一天，上數學課時，老師一時興起拿了個魔術方塊給大家看，大家以為老師要教我們玩魔術方塊的訣竅，役想到老師卻出了難題，要我們說出在方塊上，由一點到另一點的最近路線來；並且是否可以由一點出發，不重覆的經過每一個點，不必經過每一個邊，再回到原點；我們絞盡腦汁，花了很多時間和同學討論，而在老師的指導之下做了探入的研究。

關於型如X12+X22+X32=X42的四元二次不定方程的正整數解的一般式，在各篇報告或各著作書上，基於不同的觀點，站在不同的角度去研究，各有各的結果公式，但經過詳細的檢查，都會發現一些漏解，當擴充到更多元時，漏解必然更多。本文透過第47 屆利用銳角Δ、鈍角Δ及直角⊿擴充廣義畢氏定理的探討，擷取”平行線段”及其k 值的概念，發展出一整套N 元二次不定方程正整數解的一般式，並進一步擴展到型如X12+X22+X32=X42+X52(簡稱三對二二次不定方程)的m對n二次不定方程正整數解的一般式。

對於n柱河內塔的移動，當完成遊戲，其過程必存在「半移動」(名稱說明見P5 )狀態。我們從「半移動」狀態中，尋找出如何達成「捷徑半移動」(名稱說明見P14)的方法？此種方法為「滿格建構」(名稱說明見P12)。進一步利用「捷徑半移動」，建構出「河內塔的捷徑」。並從「滿格建構」推導出的「滿格數量關係表」，發現其關係存在著「巴斯卡三角圖形」。利用「巴斯卡三角圖形」的關係，我們推導出n柱m環的通式。成功的解決了”Explorations in 4-peg Tower of Hanoi” ( Ben Houston & Hassan Masum , 2004 )這篇論文，所談及的『百年來，河內塔4柱以上的移動是不能証明最優化』。

課本上提到三角形的重心是三邊中線的交點，使我們好奇的想到四邊形的重心在那裏呢？五邊形、六邊形呢？甚至扇形、拋物線圖形呢？因而引起我們研究的動機。

有時為了急事，想要很快到達某地，叫了計程車，司機按規定速度前行，這時卻偏偏連續遇上幾個紅燈，行行又停停，終於到不了目的地，這是因為現有市內道路忽長忽短，所以雖然有紅綠燈控制，仍不能暢行無阻，因此與起研究此標題的動機，希望車在第一次被紅燈所阻以後，便一路無阻不再遇到第二次紅燈。

「點燈」益智遊戲，要想辦法讓所有的格子變亮，但點亮的方式必須遵循一個法則，即點亮一個燈時，周遭緊鄰的格子也都會亮起或熄滅，依其原本明暗狀態而變化。二維平面的點燈技巧，經過參考相關資料及嘗試，很快便能掌握，但是較為複雜的三維立體空間點燈，更引起我們的興趣。藉由這次的探討，我們發現立體點燈和平面點燈是有關聯性的，而且解法都具有規律。只要整理出規律，便能推算出同類圖形的解法，輕鬆掌握立體點燈的技巧。

一天上數學課時，老師介紹我們玩幾種棋子遊戲，其中最受歡迎的 〝 走角落數步數的問題 〞 ，一時風行全班，於是大家互相競賽，當格數少的時候，我們還可以一步一步的數出步數，可是格數多時，我們就很難在短時間內算出步數，於是我們就深入研究探討其特性，並求出其快速解題的方法。\r 遊戲規則：\r 一枚棋子由棋盤的左下角出發，沿對角線方向移動，每遇到邊緣便轉90度繼續前進，直到走進某個角落為止，一共走了幾步。\r 例一：4×3的棋盤走了6步(見表1-1)

用矩陣的特殊性質，如特徵根、行列式值，來解出有關矩陣週期的問題。

對於集合 S={k,k+1,…,k+3n-1}，考慮其所有三元子集的劃分，我們研究在其中所有子集皆含有的一致性：鈍角三角形。文中給出了對於初始值 k 尋找 n 的方法，並證明其存在性。對於所有 k 我們都能給出 n 的下界，並且發現這下界其實是相當緊的，如果能給出遞增性並且將極小值都構造出來，我們即可將所有 n 最小值之上下界差皆壓至1。在文末我們期望能夠從解析方面來對這問題進行更深的剖析，所以對於一類鈍角三角的的劃分方式給出了其必要條件的限制，並且同時作出關於全體鈍角三角形的等價類分組方式。