數學科

本次研究主要是在探討人狗過河問題，由網路上的3對人狗開始探討，並推究到不成對的人狗，找出最少次數的過河方法，歸納過河的規律，並訂出過河策略流程圖。我們發現人狗是否成對、船的乘載數、人狗個數都會影響過河的難易程度，也發現人狗是否成對、乘載數是奇數或偶數時，會有不同的過河模式。

我們的研究主題是「若有連續n個數字（nεN），要如何將這些數平分成k組，且使各組的數字和皆相同？」研究重點在於嘗試從列舉法得到的數據中，找到n與k的規律，並且找到最快且最方便的分組方法，研究方向朝「數字個數增加」及「次方數提高」兩個面向進行。最後，我們成功找出數字分組的規則和公式。

填填圈是一個常見的數學遊戲，規則是在一個三角形的每一邊畫上三個圈圈，並在圈圈內分別填入數字1～6使每邊數字和相等，我們討論了四邊形、五邊形、六邊形（規則不變）和可用數字範圍加大的進階版三、四邊形，以及每邊和與每邊平方和都相等的三、四邊形。普通版的研究我們找到一種適用於三、四、五、六邊形的快速刪解法稱作「三數字消去法」與「雙三數字消去法」，另外我們還發現普通版和進階版的填填圈均有「互補關係」，只要找出一半的答案，便能推出另外一半的解答。最後還發現只要找出一組答案便能以等差推出無限組其他的解答，稱為「平移關係」。以及找出所有奇數邊放入連續整數時必有的一解與排法。

這是一種撲克牌遊戲，關於數列規律與函數的研究，類似「約瑟芬問題」。假設手上有一些牌其正面朝上順時鐘排成圓圈，首先探討「蓋一張跳一張」的玩法，一開始將A號牌蓋牌，跳過2號牌把3號牌蓋牌，跳過4號牌把5號牌蓋牌，…每次都跳過一張還沒蓋牌的牌（若已蓋牌成背面的牌不予理會），最後可找到最後一張牌面朝上的牌。首先探討先蓋牌後跳牌的玩法，例如：「蓋一張跳一張」、「蓋一張跳二張」、「蓋一張跳三張」、…等，接著探討先跳牌後蓋牌的玩法，其不同張數牌之最後一張牌的規律。最後我們發現「蓋p張牌再跳q張牌」與「跳q張牌再蓋p張牌」的規則，不同張數n其最後一張牌為「等差跳躍函數」，分別為F(n)與G(n)，有著相關性為F(n+p)=G(n)+p (n≥1)。

尺規作圖定義可作出直線、圓及其互相的交點，而無法完整作出一個圓錐曲線，但在已知決定圓錐曲線的要素時，仍可利用尺規作出圓錐曲線上的點和切線。在圓錐曲線中，給焦點和給五點的初始條件其實是等價的，在參考資料 3 中已找到了給橢圓上五點求出兩焦點以及給拋物線上四點作出焦點頂點的尺規作圖方法；但是其中的證明程度稍高且過於繁雜，我們發現一種簡單的證明方法，並將類似方法延伸至雙曲線。後半部分討論作出圓錐曲線和直線、圓、圓錐曲線的交點的可行性，將尺規作圖應用在圓錐曲線上的情形作一個概括性論述。

研究圍棋競賽瑞士制賽程編排準則與其邏輯，將賽程編排準則電腦化。應用Excel程式函數語言建制賽程表與實際比賽賽程表做比較，結果與實際比賽賽程表相符。

本研究在探討由18個正三角形所組成的三角環形（如圖一），經摺疊可產生的連塊，針對其中正六邊形連塊進行研究，找出摺疊的規律，並設計益智遊戲。

由AMPO 的題目「設ABCD 是一張長為a 的正方形的紙片。平面上有二平行直線L1,L2，其間隔之長也是a 。將正方形的紙片置於平面上，使AB，AD兩邊分別交L1於E 和F 兩點；同時CB，CD 兩點分別交L2於G 和H 兩點。設ΔAEF 和ΔCGH的周長分別是m1 和m2 。試證不論正方形ABCD如何擺，m1+m2是一個常數。」展開這趟充滿挫折、振奮、驚喜…五味雜陳的研究之旅，過程雖然艱辛，卻也帶給我們無限的成就感與更敏銳的觀察力。 我們的研究內容為多邊形與二條水平平行線所截出上下二個圖形其周長和之探討。一開始我們與在課本相似形單元時老師所問的問題連結並依此做猜想，再利用簡單的圖形基本性質做特殊化的驗證。當完成了原題目（正方形）的證明之後我們又繼續利用GSP 做輔助去尋找是否有其他的圖形也能擁有如此漂亮的性質？接著我們將研究分成兩大方向：1.奇數邊多邊形2.偶數邊多邊形的探討。 首先完成了所有奇數邊多邊形所能符合的條件討論與結果。接著又著手於偶數邊多邊形的探討：從正六、正八、正十、正十二邊形的研究中我們觀察出似乎按照某種方式去排放的話可以推廣至所有的偶數邊正多邊形使得它們都能像原題目那樣有著令人驚豔的結果呈現出來。 最後我們要對於先前所觀察猜測的部分做一完整的驗證：將所有偶數邊正多邊形分成兩大類1. n=4k, k?N 2. n=4k+2, k?N 完成研究討論。至此我們已經完整的將全部的多邊形與二條平行線截出二個三角形時的所有情況討論完畢，並且成功的推導出了正n 邊形的適用公式。

本文旨在探討萬花筒中的美麗圖形的現象原理。過程中透過碎形理論及迭代函數系統進行分析，並對其美麗圖形的建構組成，找出背後的數學理論。文中在制式萬花筒實物模型及軟體的模擬中，找出萬花筒中圖形背後的數學函數對映關係。發現其結果是依循三稜鏡所構成的頂點為中心，並以三頂點中心等間隔鏡射生成的平面，複製出對稱的圖形進而產生六芒星，並在三稜鏡面上所生成的鏡射平面上，再進行以六芒星為基礎圖複製的無理旋轉而成，最終使鏡射平面上佈滿稠密的六芒星。而該六芒星中心點會以三稜鏡的三個頂點為圓心的夾角，等間距地生成於起始位置周圍，而轉動萬花筒所產生的美麗圖形，正是基本圖在圓筒內進行遍歷的鏡射所生成，結果如下。

蝴蝶定理（Butterfly theorem）是在一個圓形中，設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。 在此份研究中，我們探討正方形邊上兩個動點、正方形內一個定點以及邊上動點與內點的連線，延伸交四邊的另外兩點，所構成的「蝴蝶形狀」的「蝴蝶線」。主要利用兩個動點在邊上的位置，以及內點在正方形內的位置，尋找上述條件與蝴蝶線的關係。由於邊上四個點的分布對於蝴蝶線有很大的影響，所以又依照四點分布位置進行分段討論。另外，我們也尋找正方形內接蝴蝶形的特殊性質。