數學科

過去曾碰到「正方形的內接正三角形」這樣的問題，基於好奇心，便對三角形之內接三角形產生濃厚的興趣，於是開始著手研究。我們的目的是在任意三角形的一邊上取一點，由這點出發，做出此三角形的內接三角形，並求出所有同類型的相似內接三角形之最小面積。

寒假作業中，有一個題目： 已知1/4=(1/甲)+(1/乙)，其中甲是比乙小的整數，求甲和乙。 我的答案是1/4=(1/5)+(1/20)，也就是甲=5，乙=20，心瑩的答案卻是甲=6，乙=12 。驗算起來，兩個人都沒有錯。於是我們一起去請教老師。 原來的題目是1/3=(1/A)+(1/B)，A和B是不等的整數。查答案，只有：A=4，B=12。也就是1/3=(1/4)+(1/12)，而沒有其他答案了。我們都覺得，這個題目和原數的分母有很大的關係。就在老師的指導下，進行更深入的研究。

這是一個好玩又特別的拼湊卡遊戲，我們發現和拼湊卡有關的科展研究曾拿過 3個全國第一名(第 31 屆初小、第 32 屆高小、第 41 屆初小)，但我們詴著從另外的角度出發，在紙卡上畫出兩面均是 4 欄*4 列的格子，利用不同的切割方式，產生不同格式的拼湊卡，接著訂出每一型的遊戲規則，再經由不同的摺法所產生之田字型數字組合的數值，其數值必須是連續性，我們藉由嘗詴研究與歸納整理，詴圖摺出理想中田字和連續之最大數值。

一天上數學課時，老師介紹我們玩幾種棋子遊戲，其中最受歡迎的 〝 走角落數步數的問題 〞 ，一時風行全班，於是大家互相競賽，當格數少的時候，我們還可以一步一步的數出步數，可是格數多時，我們就很難在短時間內算出步數，於是我們就深入研究探討其特性，並求出其快速解題的方法。\r 遊戲規則：\r 一枚棋子由棋盤的左下角出發，沿對角線方向移動，每遇到邊緣便轉90度繼續前進，直到走進某個角落為止，一共走了幾步。\r 例一：4×3的棋盤走了6步(見表1-1)

本篇文章從”將βm1 +βm2 +βm3 分解成β1 +β2 +β3 ， β1 β3 + β2 β1 +β2 β3 ， β1 β2 β3 的非線性組合出發，令fm(a1, a2, a3) = βm1 +βm2 +βm3 ，m = 0,1,2,......，我們發現fm(a1, a2, a3)= ， i,j,k? N ∪{0}，代表 ai1 aj2 ak3且i+2j+3k=m 這一項的係數，在空間座標中，標記在(i,j,k)點上，結果得到許多類似巴斯卡三角錐圖形的相關性質。而 的絕對值在 k=0 時的圖形，是一個 Lucas 三角形 ，因此我們稱 的圖形為”有符號的Lucas 三角錐”。 在探討巴斯卡三角錐 和”有符號的Lucas 三角錐”在X-Y 平面上的奇偶性圖形時，結果竟然發現只要把巴斯卡三角錐的奇偶性圖形往 X 軸正向移動1 單位就能和”有符號的Lucas 三角錐”的奇偶性圖形全等，這使我們更想知道巴斯卡三角錐與”有符號的Lucas 三角錐”在空間中的奇偶性圖形之間的關係。 最後我們將 的相關性質推廣到四維的情形。

本次研究主要是在探討人狗過河問題，由網路上的3對人狗開始探討，並推究到不成對的人狗，找出最少次數的過河方法，歸納過河的規律，並訂出過河策略流程圖。我們發現人狗是否成對、船的乘載數、人狗個數都會影響過河的難易程度，也發現人狗是否成對、乘載數是奇數或偶數時，會有不同的過河模式。

此研究乃從兩股差1 的勾股三角形 (3 ,4 ,5)開始，藉由勾股數的表達式(n2–m2,2mn,m2+n2)得一數對(m,n)=(1,2)。而我發現一遞迴關係式Sn+2Sn+1=Sn+2。令S1=1,S2=2 則可產生一條數列1 ,2 , 5 , 12 , …；取相鄰兩項如(2,5)、(5,12)、…等，則可找到其他兩股差1 的勾股三角形。Sn+2Sn+1=Sn+2 對於所有邊長為最簡整數比之勾股三角形皆適用。此外我發現任何互質邊長之勾股三角形的股差皆可寫成8k±1 的形式。接著討論股差與數列之性質。我找到一個合成法則，可以將股差分別是d1、d2 之兩條數列合成一條新的數列，且其股差恰為d1d2。另外我也找到共軛法則，來對同一股差的數列予以衍生。最後，將所有的數列集結在一起，便成了一網絡。在數列鐵路網建構完成後，我則推導出了一套原則，用以確認或預估數列的條數。在數列鐵路網建構完成後，我則推導出了一套原則，用以確認或預估數列的條數。

首先我們討論當直線P1P2和直線L垂直時(其中P1、P2在L的同一側)，如何在L上找到一點P使得∠P1PP2為最大的角。接著，考慮直線P1P2和直線L的夾角從0°到180°的情形。再將直線L改成平面E、圓O和球面S，並試著在其上找到一點P使得∠P1PP2為最大的角或最小的角。

1. 將 cos nθ以cosθ 形式依高次降羃排列展開，觀察各項係數，找尋其變化規律，進一步求得各項係數的一般項公式。2. 將 sin nθ以sinθ 形式依低次升羃排列展開，觀察各項係數之變化規律，進一步求得各項係數的一般項公式。3. 找出cos nθ 與cos(n-1)θ，cos(n+1)θ 之間的關係式。4. 找出sin nθ 與sin(n-1)θ，sin(n+1)θ 之間的關係式。5. 利用cos nθ 的係數間的遞迴關係，找出其相對應的特徵方程式。