數學科

有時為了急事，想要很快到達某地，叫了計程車，司機按規定速度前行，這時卻偏偏連續遇上幾個紅燈，行行又停停，終於到不了目的地，這是因為現有市內道路忽長忽短，所以雖然有紅綠燈控制，仍不能暢行無阻，因此與起研究此標題的動機，希望車在第一次被紅燈所阻以後，便一路無阻不再遇到第二次紅燈。

如果有四種顏色可供選擇，我們想在併排四個正方形格子上（如圖□□□□）著色，假定位置是固定的若限定四格異色，當然就有 P4 4種塗法，如果四格不須異色，就有 4 4種，在同樣條件下，如果塗在一個可翻轉之正四面體上（如圖） E1表 △ ABC , E2表 △ ABD , E3表 △ ACD ，例如(一)E1 → 白， E2→ 黃， E3→ 紅，和(二) E1→ 紅，E2→ 白， E3 → 黃，根據上面的算法 是(一)(二)兩種塗法，而事實上，當(一)適常地旋轉了 120。後就是(二)了，所以應視為同一種塗法，這正多面體對稱的特性，致使塗法數減少，引起我們探討的興趣。

一、利用電腦或媒體做出實驗的一些數據或圖形，從中觀察出規律，再加以數學的歸納與演繹，得到很不錯的事實或定理。 二、作品參考資料逐漸地做得比較好了，但仍有不週之處。 三、學生表現比以前大方得多，較能掌握面談的訣竅，就是如何呈現你的作品，刻板的背誦較少。 四、件數較往年為多，顯現能有一些喜歡數學的學生。有些高中生雖不以數學為升學志向，但數學能力不錯。

本研究在探討由18個正三角形所組成的三角環形（如圖一），經摺疊可產生的連塊，針對其中正六邊形連塊進行研究，找出摺疊的規律，並設計益智遊戲。

關於型如X12+X22+X32=X42的四元二次不定方程的正整數解的一般式，在各篇報告或各著作書上，基於不同的觀點，站在不同的角度去研究，各有各的結果公式，但經過詳細的檢查，都會發現一些漏解，當擴充到更多元時，漏解必然更多。本文透過第47 屆利用銳角Δ、鈍角Δ及直角⊿擴充廣義畢氏定理的探討，擷取”平行線段”及其k 值的概念，發展出一整套N 元二次不定方程正整數解的一般式，並進一步擴展到型如X12+X22+X32=X42+X52(簡稱三對二二次不定方程)的m對n二次不定方程正整數解的一般式。

尺規作圖定義可作出直線、圓及其互相的交點，而無法完整作出一個圓錐曲線，但在已知決定圓錐曲線的要素時，仍可利用尺規作出圓錐曲線上的點和切線。在圓錐曲線中，給焦點和給五點的初始條件其實是等價的，在參考資料 3 中已找到了給橢圓上五點求出兩焦點以及給拋物線上四點作出焦點頂點的尺規作圖方法；但是其中的證明程度稍高且過於繁雜，我們發現一種簡單的證明方法，並將類似方法延伸至雙曲線。後半部分討論作出圓錐曲線和直線、圓、圓錐曲線的交點的可行性，將尺規作圖應用在圓錐曲線上的情形作一個概括性論述。

本次研究的靈感來自於2011年亞太數學奧林匹亞競賽初選考題中：「將10個箱子編號為1 , 2 , 3 , … , 10，另將10個球編號為1 , 2 , 3 , … , 10。今規定編號i的球只能放入編號1 , 2 , 3 , … , i的箱子 , i = 1 , 2 , 3 , … , 10。求恰有一個空箱子的放球方法數?」 此報告由原題向外延伸，運用「遞迴數列」與「排列組合」找出關係，從10個箱子空任一個箱子的總方法數，推廣到m個箱子空任n個箱子的總方法數，其結果與Euler's triangle相符。最後也將限制條件加以改變，包括奇偶數、改變球數與限制容球數，並討論其解法。

研究圍棋競賽瑞士制賽程編排準則與其邏輯，將賽程編排準則電腦化。應用Excel程式函數語言建制賽程表與實際比賽賽程表做比較，結果與實際比賽賽程表相符。

人類社會的現象可說是錯綜複雜，其影響的因素甚多，故一切社會科學的理論及決策，往往必須透過數學的模型，給于簡化，並藉此印證實際現象，更提供往後更深入的研究。雖然數學模式不能切實代表實際現象，然而它可提供一個近似的模型，如我們常見報紙登載說：今年預計我網經濟成長率為7.5% ，無道這趙自我吹噓，無憑無據的嗎？答案是不對的，原來那是透過國民所得的理論模型下而估計的，現在吾人也欲想透過一套數學的模式而對民生主義，何以主張均富？何以民生主義是解決民生問題中最完美的主義？及一此政府決策，提出一們新註解更能使其理論有所依據。

無論在平面上或空間中，都存在有一些「正多邊形」或「正多面體」。在解析幾何出現之前，對於這些「正」的幾何形體，已有相當的研究結果。由於解析幾何的發明，四維以上歐氏空間的概念，也逐漸被人們接受。隨之而來的問題是，高維空間中也能找到由若干相同正多面體所組成的「超體」，或是由若干超體所組成的「超超體」嗎？在二度和三度空間中的各項性質，又能夠以怎樣的方法推廣至高維空間呢？