數學科

在本文中我們以同心圓和直線構成蜘蛛網，並對每一個蜘蛛網定義出蜘蛛數；則若在此蜘蛛網中加入缺口後，會影響蜘蛛數的大小。探討蜘蛛網上的缺口該如何配置，才能夠得到蜘蛛數的極值(最大值及最小值)。首先由一直線或圓該如何分配缺口，蜘蛛數將有極值，再深入探討許多條直線或圓上的情況，進而推展到許多同心圓及通過圓心的許多條放射線的缺口該如何分配，蜘蛛數才會有極值發生。像科學家的研究，藉由特殊化簡單的情況，進而推廣至較為複雜一般化的結果。在得到初步的結果之後，我們再將研究的目標轉到三個不同方向：將蜘蛛數的規則放到其他圖形中(正多邊形、星型)；設計出新採地雷遊戲；總缺口數為定值的策略設計。

關於型如X12+X22+X32=X42的四元二次不定方程的正整數解的一般式，在各篇報告或各著作書上，基於不同的觀點，站在不同的角度去研究，各有各的結果公式，但經過詳細的檢查，都會發現一些漏解，當擴充到更多元時，漏解必然更多。本文透過第47 屆利用銳角Δ、鈍角Δ及直角⊿擴充廣義畢氏定理的探討，擷取”平行線段”及其k 值的概念，發展出一整套N 元二次不定方程正整數解的一般式，並進一步擴展到型如X12+X22+X32=X42+X52(簡稱三對二二次不定方程)的m對n二次不定方程正整數解的一般式。

有時為了急事，想要很快到達某地，叫了計程車，司機按規定速度前行，這時卻偏偏連續遇上幾個紅燈，行行又停停，終於到不了目的地，這是因為現有市內道路忽長忽短，所以雖然有紅綠燈控制，仍不能暢行無阻，因此與起研究此標題的動機，希望車在第一次被紅燈所阻以後，便一路無阻不再遇到第二次紅燈。

一天，上數學課時，老師一時興起拿了個魔術方塊給大家看，大家以為老師要教我們玩魔術方塊的訣竅，役想到老師卻出了難題，要我們說出在方塊上，由一點到另一點的最近路線來；並且是否可以由一點出發，不重覆的經過每一個點，不必經過每一個邊，再回到原點；我們絞盡腦汁，花了很多時間和同學討論，而在老師的指導之下做了探入的研究。

如果有四種顏色可供選擇，我們想在併排四個正方形格子上（如圖□□□□）著色，假定位置是固定的若限定四格異色，當然就有 P4 4種塗法，如果四格不須異色，就有 4 4種，在同樣條件下，如果塗在一個可翻轉之正四面體上（如圖） E1表 △ ABC , E2表 △ ABD , E3表 △ ACD ，例如(一)E1 → 白， E2→ 黃， E3→ 紅，和(二) E1→ 紅，E2→ 白， E3 → 黃，根據上面的算法 是(一)(二)兩種塗法，而事實上，當(一)適常地旋轉了 120。後就是(二)了，所以應視為同一種塗法，這正多面體對稱的特性，致使塗法數減少，引起我們探討的興趣。

在一次數學課時老師提到從直角三角形的頂點開始，連續往三邊作垂線，垂足點會逼近同一點如圖(1)，P1，P2，P3，P4……Pn，我們將此趨近點P與三頂點A，B，C 連接後發現將 P 點的周角分成三對與原三角形內角相等的角，如圖(2)，∠1=∠A，∠2=∠B，∠3=∠C，這很神奇，我們從老師口中約略的知道，此點叫布落卡點，但對一般三角形卻不知要怎麼去作出該點，這引起我們想要深入的去探村其中道理的興趣，老師也鼓勵我們去研究。 \r

這是一個好玩又特別的拼湊卡遊戲，我們發現和拼湊卡有關的科展研究曾拿過 3個全國第一名(第 31 屆初小、第 32 屆高小、第 41 屆初小)，但我們詴著從另外的角度出發，在紙卡上畫出兩面均是 4 欄*4 列的格子，利用不同的切割方式，產生不同格式的拼湊卡，接著訂出每一型的遊戲規則，再經由不同的摺法所產生之田字型數字組合的數值，其數值必須是連續性，我們藉由嘗詴研究與歸納整理，詴圖摺出理想中田字和連續之最大數值。

本次研究的靈感來自於2011年亞太數學奧林匹亞競賽初選考題中：「將10個箱子編號為1 , 2 , 3 , … , 10，另將10個球編號為1 , 2 , 3 , … , 10。今規定編號i的球只能放入編號1 , 2 , 3 , … , i的箱子 , i = 1 , 2 , 3 , … , 10。求恰有一個空箱子的放球方法數?」 此報告由原題向外延伸，運用「遞迴數列」與「排列組合」找出關係，從10個箱子空任一個箱子的總方法數，推廣到m個箱子空任n個箱子的總方法數，其結果與Euler's triangle相符。最後也將限制條件加以改變，包括奇偶數、改變球數與限制容球數，並討論其解法。

本篇文章從”將βm1 +βm2 +βm3 分解成β1 +β2 +β3 ， β1 β3 + β2 β1 +β2 β3 ， β1 β2 β3 的非線性組合出發，令fm(a1, a2, a3) = βm1 +βm2 +βm3 ，m = 0,1,2,......，我們發現fm(a1, a2, a3)= ， i,j,k? N ∪{0}，代表 ai1 aj2 ak3且i+2j+3k=m 這一項的係數，在空間座標中，標記在(i,j,k)點上，結果得到許多類似巴斯卡三角錐圖形的相關性質。而 的絕對值在 k=0 時的圖形，是一個 Lucas 三角形 ，因此我們稱 的圖形為”有符號的Lucas 三角錐”。 在探討巴斯卡三角錐 和”有符號的Lucas 三角錐”在X-Y 平面上的奇偶性圖形時，結果竟然發現只要把巴斯卡三角錐的奇偶性圖形往 X 軸正向移動1 單位就能和”有符號的Lucas 三角錐”的奇偶性圖形全等，這使我們更想知道巴斯卡三角錐與”有符號的Lucas 三角錐”在空間中的奇偶性圖形之間的關係。 最後我們將 的相關性質推廣到四維的情形。

首先我們討論當直線P1P2和直線L垂直時(其中P1、P2在L的同一側)，如何在L上找到一點P使得∠P1PP2為最大的角。接著，考慮直線P1P2和直線L的夾角從0°到180°的情形。再將直線L改成平面E、圓O和球面S，並試著在其上找到一點P使得∠P1PP2為最大的角或最小的角。