本文主要是將生活中玩撲克牌時分兩堆的洗牌程序，抽象化為將n 張牌等份為m 堆，探討至少需要幾次「向下洗牌」才能回覆到原來次序。在處理過程中，我們先利用電腦以歸納原則觀察後，發現與整數系中的餘數有密切的關係。於是利用整數系中最基本的性質：長除法原理及多項式的因式分解著手。當我們從n 的標準分解式作分類討論時，發現以2 為質因數的n 的相關問題，如當n=22p 時(p 為質數)，則將牌等分成堆數不同，要回復到原來次序的「向下洗牌」，所需的最少次數就會不一樣。而當n=23p 時，所需的最少次數則又似會都一樣。就我們目前所學，尚無能力解決這類問題。故僅考慮牌數n=ab 及 n=ab+1(a,b 為正整數)兩種情形。為方便計，我們也利用模的符號及一些簡單性質。

本文主要是研究如何利用“邊長為1的正方形紙張,折出各種面積小於1的正方形圖形”,與如何利用紙張摺出各種的正N邊形(含尺規作圖無法作出的正七邊形、正九邊形、……),以達加深加廣學習者的幾何概念並與小學的美勞課程銜接。試圖以摺紙方法解決“古典幾何三大問題”,並已解決其中的三等分角與立方倍積問題。

某次校內數學科考試出現了關於「爬樓梯種類」的問題，幾乎把大家都考倒了。事後大家極有興趣積極研究，經請教老師並參考許多資料，發現越深入研究越覺得有趣。一個人自出生至今，不知走過多少階梯，但你是否注意到以不同方式走階梯所得的結果？對此結果我們利用求整數解及排列的方怯，作一番深入探討，我們發現有一規律性的數列，此數列即為費氏數列。

本次研究主要是在探討人狗過河問題，由網路上的3對人狗開始探討，並推究到不成對的人狗，找出最少次數的過河方法，歸納過河的規律，並訂出過河策略流程圖。我們發現人狗是否成對、船的乘載數、人狗個數都會影響過河的難易程度，也發現人狗是否成對、乘載數是奇數或偶數時，會有不同的過河模式。

藉由數學課程中，怎樣解題的學習經驗，我們嘗試找出「別跟我相鄰」遊\r 戲中雙方可走的棋數，以探究遊戲的公平性；在由對戰結果進行觀察、分析、驗\r 證後，我們找出遊戲的必勝方法，並發現雙方可走棋數具規則性，且遊戲具公平\r 性；經由嘗試創造不同的正方形棋盤，進行遊戲，也能有相同的結論；更將遊戲\r 應用於生活中，以「別跟我相鄰」進行填滿平面圖形遊戲、填滿立體圖形遊戲及\r 串珠子活動，並從中找出棋子、珠子數量所呈現的規則性，並將其以數學式表示。\r 在研究過程中，我們將五年級數學課程中所學得「怎樣解題」、「因數和倍數」、「柱\r 體與錐體」的觀念及經驗加以應用，讓我們再次感受到數學有趣及神奇之處；另\r 一方面，這個研究有助於大家對於平面及空間的觀察及思考更加敏銳，且不論年\r 紀皆可以多玩「別跟我相鄰」，亦可幫助思考。

寒假作業中，有一個題目： 已知1/4=(1/甲)+(1/乙)，其中甲是比乙小的整數，求甲和乙。 我的答案是1/4=(1/5)+(1/20)，也就是甲=5，乙=20，心瑩的答案卻是甲=6，乙=12 。驗算起來，兩個人都沒有錯。於是我們一起去請教老師。 原來的題目是1/3=(1/A)+(1/B)，A和B是不等的整數。查答案，只有：A=4，B=12。也就是1/3=(1/4)+(1/12)，而沒有其他答案了。我們都覺得，這個題目和原數的分母有很大的關係。就在老師的指導下，進行更深入的研究。

我們發現 一、Menelus、Ceva定理亦可應用於平面的凸多邊形與空間中的多角錐， 且結論彼此有高度關聯性。 二、(一)、能畫出三角錐內部7條線段共點及內部6個△亦共於此點的方法。(二)、若三角錐中的任一個△之任2條線段的比例為已知，只要再任給剩下[25-(2+4)]=19條的其中1條線段比例，必可知所有25條線段比例！ 三、(一)、正四面體的外接球球心及內切球球心均為同一點I。(二)、 (外接球半徑):(內切球半徑)=3:1 四、(一)、Menelus、Ceva定理『大和解』的△跳法可推廣到三角錐。(二)、三角錐內部7條線段共點的結論可應用於在已知空間中任意相異四點P1, P2, P3, P4 (任三點不共線)的條件下， 證明出若此四點P1, P2, P3, P4 共平面AP1/P1B?BP2/P2C?CP3/P3D?DP4/P4A=1

在以下所提到的泡膜，皆只討論由相同液體所構成，且泡泡以不同大小兩兩接合。當泡泡互相接合時，因為表面張力與泡泡內外壓力差的關係，會慢慢移動至最穩定的狀態，我們由兩個泡泡結合時的Plateau結構理論，嘗試去推論三個泡泡相接達穩定時的結構公式，發現此結構公式符合孟氏定理的圖形，再由這個理論架構去推導四個泡泡相接情形達穩定後的結構之公式，發現也符合孟氏定理，再延伸討論n個泡泡時的可能狀態。

無論在平面上或空間中，都存在有一些「正多邊形」或「正多面體」。在解析幾何出現之前，對於這些「正」的幾何形體，已有相當的研究結果。由於解析幾何的發明，四維以上歐氏空間的概念，也逐漸被人們接受。隨之而來的問題是，高維空間中也能找到由若干相同正多面體所組成的「超體」，或是由若干超體所組成的「超超體」嗎？在二度和三度空間中的各項性質，又能夠以怎樣的方法推廣至高維空間呢？

在△ABC 中，以C 點為圓心，C 至BC邊上一點P1的長為半徑畫弧，交CA邊上的Q1點，接著以A 點為圓心，AQ1 為半徑畫弧到達AB邊上的R1點，然後以B 點為圓心，BR1為半徑的畫弧達到BC邊上的P2 點，依這樣的規律進行下去，在BC邊上會產生點P1，P2， P3，…。本文探討上述圖形中起始半徑CP1、數列P(由CP1、CP2、CP3、…、CPn 的長度組成)及弧弧相切的關係，並類推至多邊形，結果顯示：雖然數列P在奇數多邊形及偶數多邊形中，皆有形成公差為零之等差數列的狀況，但是發生條件相當不同，在奇數多邊形中，與「起始半徑CP1值」有關，但在偶數多邊形中，僅與「邊長」有關；弧弧相切的況狀在奇數多邊形中，一定會發生，而在偶數多邊形時，只有當『奇數邊的和＝偶數的和』時，才會有弧弧相切的現象產生。