數學科

古老數學遊戲「拈」是本研究的主題。本研究發展出一套可以贏的策略， 提出主控制點和副控制點，研究單純主控制點數學、證明複合主控制點存在性，並發現拈具有費式數列的現象，進而研究費式數列循環節奇偶性。

本研究係配合國小數學科「整數的四則運算」及自然科「天平的操作」教材內容，在二位指導老師的引導下企圖透過數學演算「使用最少整數的加減」，得到最多的連續整數，並將演算結果應用到天平與砝碼的操作，改變傳統天平與砝碼操作的舊思維，從研究中發現出可以利用最少的砝碼，即可得到最佳的天平砝碼組合，研究結果並歸納出快速推算公式，我們發現這些關鍵的數字都是3的次方，其第n個數字的公式是3n-1。我們也推算從1到第n個關鍵數字這些連續整數和規律性，其公式為3n÷ 2- 0.5，也就是 (3n -1) / 2。 本研究利用來推算的數字僅止於整數部分，如果待測物的重量並非單純的整數，可能需利用到0.1～0.9的砝碼克數，當然，我們也可以由整數推算的經驗，設計出0.1、0.3、0.9克數的砝碼，使用相同的方式作本身及各數間加減的運算，可得到0.1～0.9的克數，同樣地，再往下延伸，也可依循相同的模式設計出0.01、0.03、0.09三種克數的砝碼，使用相同的方式作本身及各數間加減的運算，可得到0.01～0.09的克數，三位、四位、五位的小數克數也可依此規則類推。 最後本研究也提出建議往後國小自然科學的天平砝碼盒教具，其內含的砝碼克數，更改為0.01、0.03、0.09、0.1、0.3、0.9、1、3、9、27、81不同克數的關鍵性砝碼各一個，共11個。則我們可以測量的重量範圍將可由0.01克～122.43克。這就是我們設計出來經濟、快速、實用的砝碼盒。

智慧拼圖現在已是一種處處可見的益智遊戲。在本研究中我們利用矩陣去定義智慧拼圖的位置，實際去操作a11與其他位置互換的狀況。我們將矩陣分成長方形與正方形兩部分來討論，並且在兩種不同形狀的矩陣中找出基本變換型，並且定義出一些固定走法，讓我們推導出不管是m×n矩陣或是n階方陣我們一樣可按照固定走法配合基本變換型進行a11 與aij的最短路徑的位置互換。最後我們嘗試點對稱的倒轉，也就是將矩陣內所有aij與a(m+1-i)(n+1-j)對調，去找出倒轉的可行性及步法規則，並且利用遞迴數列推導出在我們的固定走法下的步數通式。

一天上數學課時，老師介紹我們玩幾種跳棋遊戲，其中最受歡迎的就是“騎士問題”(Knight Question)一時風行全班，於是大家紛紛鑽研互相競賽，為求能贏過對方，我開始動手尋找騎士問題的各種特性，希望能夠由此找出各種階數的走法，並求出其快速解。

利用傳統方法(操作電算器及利用代數)及Excel 套裝軟體，尋找1～1000所有的重圓數及攣生重圓數，結果發現了9 個二次重圓數﹑18 個三次重圓數﹑22 個四次重圓數﹑6 組攣生重圓數及2 組連續的三個重圓數。這次研究，讓我們認識到自然數的趣味及美妙之處，尋找出更多的重圓數與攣生重圓數，進而認識到掌握不同數學工具的重要性。希望以後長大之後，我們還能發現更多、更好用的方法，來探討研究重圓數與攣生重圓數，做更大、更深、更廣的研究。

「有10公斤的酒裝在甲酒桶中，另有乙、丙兩個空桶，一個恰可裝酒7公斤，一個恰可裝3公斤，如果只能利用這些桶仔做量器，要量出5公斤的酒來，應該怎麼分法？」 有一天在書上看到這個問題後，經過一番努力，終於找到解答，但在求解過程中，卻想到了幾個問題，引起我們的研究於是在老師指導之下，我們對這些問題再做深入的探討，並找出答案。

在一次無意中，我將一這個分數變為小數，答案等於 0.142857，當時因我從未見過這個數目，接著將 142857 × 3，× 4...× 6 它的答案只是這些數字的循環而已，面對這個變化奧妙的數目產生 了極大的興趣，於是約集了幾位志同道合的同學，共同來作這件奇妙而有趣的數學，並將它看成好比一本變化無窮的故事書，越看越有趣，越看越精彩。

本研究探討的是俄羅斯遊戲法則之奧秘，其規則為一圈人循環報數由1到Ｘ號，淘汰報數為Ｙ號的參賽者，Ｘ≧Ｙ，從而找出最後存留之獲獎者。本研究涵蓋了39屆全國科展高小組作品「公主救王子」的定義，且更廣泛更完整的將參賽人數Ｎ、循環報數Ｘ、淘汰報數Ｙ，當作研究變因，並擴充獲獎人為任意指定第K個被淘汰者其所在位置序號Ｓ，Ｋ≦Ｎ。經由我們的研究，得到了簡易的法則，推導出獲獎人所在位置之序號Ｓ。

本文主要在探索圓錐曲線上，以某點A為固定頂點的內接三角形，所具有的特殊性質。當A點的兩夾邊斜率相乘為固定數時，我們用了一個較為簡潔的方法證明之前文獻已有的結論：『A點的對應邊必通過一定點。』另外，本文證明出點的兩夾邊斜率相加為固定數時，若為圓、橢圓與雙曲線，A點的對應邊必通過一定點；但在拋物線的情況下，點的對應邊則會產生一系列的平行直線。本文也針對一些相乘或相加的特殊固定值作了詳細的分析。此外，若角A為固定角度的情形下，我們也利用了GeoGebra繪出其包絡線的圖形。

1.電視廣告上，有一種兒童"科學樂園"游戲，是由許多個齒輪巧妙的結合，而由其中某一齒輪的轉動，帶動整個遊戲，非常有趣！因此，我開始嘗試以兩個硬幣之相切滾動作實驗，研究其軌跡之成因與其變化。2.在一次偶然的機會，在文具行李發現一種由兩圓相內切滾動的繪圖工具，頗為新奇，可以惠出各式對稱、美妙的圖形，至於如何形成有所茫然，在好奇心的驅使下，再次引起其深入探討的動機！