數學科

本研究係配合國小數學科「整數的四則運算」及自然科「天平的操作」教材內容，在二位指導老師的引導下企圖透過數學演算「使用最少整數的加減」，得到最多的連續整數，並將演算結果應用到天平與砝碼的操作，改變傳統天平與砝碼操作的舊思維，從研究中發現出可以利用最少的砝碼，即可得到最佳的天平砝碼組合，研究結果並歸納出快速推算公式，我們發現這些關鍵的數字都是3的次方，其第n個數字的公式是3n-1。我們也推算從1到第n個關鍵數字這些連續整數和規律性，其公式為3n÷ 2- 0.5，也就是 (3n -1) / 2。 本研究利用來推算的數字僅止於整數部分，如果待測物的重量並非單純的整數，可能需利用到0.1～0.9的砝碼克數，當然，我們也可以由整數推算的經驗，設計出0.1、0.3、0.9克數的砝碼，使用相同的方式作本身及各數間加減的運算，可得到0.1～0.9的克數，同樣地，再往下延伸，也可依循相同的模式設計出0.01、0.03、0.09三種克數的砝碼，使用相同的方式作本身及各數間加減的運算，可得到0.01～0.09的克數，三位、四位、五位的小數克數也可依此規則類推。 最後本研究也提出建議往後國小自然科學的天平砝碼盒教具，其內含的砝碼克數，更改為0.01、0.03、0.09、0.1、0.3、0.9、1、3、9、27、81不同克數的關鍵性砝碼各一個，共11個。則我們可以測量的重量範圍將可由0.01克～122.43克。這就是我們設計出來經濟、快速、實用的砝碼盒。

古老數學遊戲「拈」是本研究的主題。本研究發展出一套可以贏的策略， 提出主控制點和副控制點，研究單純主控制點數學、證明複合主控制點存在性，並發現拈具有費式數列的現象，進而研究費式數列循環節奇偶性。

m 個杯口向上的杯子，每次翻轉 n 個，讓所有的杯子朝下最少需要翻轉幾回合？去年的全國科展有一優勝作品，探討的正是這類問題。經過研究，我發現該文因較缺乏系統性，沒有提出快捷翻轉杯子的策略，在未證明翻轉次數確實是最少的情況下，即從所得數據歸納最少翻轉次數的公式，所以沒有發現部份結論有誤。一般研究杯子翻轉的問題都是在每一回合計算正反杯的數量變化，可是當杯數和翻量變大，這種計算杯數差的方法會十分複雜。因此本研究創造了三種特殊且簡易的操作法，分別稱為折半法、對稱法及折半法+對稱法。文內將介紹如何用這幾種快捷的翻法解各類型翻轉杯子的問題，並證明所得的確實是最少翻轉回合數。最後，本研究還會討論以連續數翻轉杯子的延伸問題，並設計一些生活應用題，以推廣研究的結果。

在去年的「磨圓陣之研究」中，探討的是平面上相交的圓之間的排列組合，但是立體的球形「魔球陣」也是令人非常感興趣的主題。

用矩陣的特殊性質，如特徵根、行列式值，來解出有關矩陣週期的問題。

本研究探討的是俄羅斯遊戲法則之奧秘，其規則為一圈人循環報數由1到Ｘ號，淘汰報數為Ｙ號的參賽者，Ｘ≧Ｙ，從而找出最後存留之獲獎者。本研究涵蓋了39屆全國科展高小組作品「公主救王子」的定義，且更廣泛更完整的將參賽人數Ｎ、循環報數Ｘ、淘汰報數Ｙ，當作研究變因，並擴充獲獎人為任意指定第K個被淘汰者其所在位置序號Ｓ，Ｋ≦Ｎ。經由我們的研究，得到了簡易的法則，推導出獲獎人所在位置之序號Ｓ。

「有10公斤的酒裝在甲酒桶中，另有乙、丙兩個空桶，一個恰可裝酒7公斤，一個恰可裝3公斤，如果只能利用這些桶仔做量器，要量出5公斤的酒來，應該怎麼分法？」 有一天在書上看到這個問題後，經過一番努力，終於找到解答，但在求解過程中，卻想到了幾個問題，引起我們的研究於是在老師指導之下，我們對這些問題再做深入的探討，並找出答案。

當一顆球在撞球桌上晶無數次與桌邊碰撞，則入射角之間有啥變化呢？如果撞球桌不是長方形而且是正n 邊形時？球的出發點是否跟角度之間有關係呢？讓我們一起來探討這個問題吧!且當正n 邊形時,球由任一邊的中點出發且能碰擊其他各邊θ 的取值範圍,若不是由中點出發而是由任一點出發,那又是什麼情形呢？如果是任意凸n 邊形又有什麼情形？

1.電視廣告上，有一種兒童"科學樂園"游戲，是由許多個齒輪巧妙的結合，而由其中某一齒輪的轉動，帶動整個遊戲，非常有趣！因此，我開始嘗試以兩個硬幣之相切滾動作實驗，研究其軌跡之成因與其變化。2.在一次偶然的機會，在文具行李發現一種由兩圓相內切滾動的繪圖工具，頗為新奇，可以惠出各式對稱、美妙的圖形，至於如何形成有所茫然，在好奇心的驅使下，再次引起其深入探討的動機！

利用傳統方法(操作電算器及利用代數)及Excel 套裝軟體，尋找1～1000所有的重圓數及攣生重圓數，結果發現了9 個二次重圓數﹑18 個三次重圓數﹑22 個四次重圓數﹑6 組攣生重圓數及2 組連續的三個重圓數。這次研究，讓我們認識到自然數的趣味及美妙之處，尋找出更多的重圓數與攣生重圓數，進而認識到掌握不同數學工具的重要性。希望以後長大之後，我們還能發現更多、更好用的方法，來探討研究重圓數與攣生重圓數，做更大、更深、更廣的研究。