數學科

在以下所提到的泡膜，皆只討論由相同液體所構成，且泡泡以不同大小兩兩接合。當泡泡互相接合時，因為表面張力與泡泡內外壓力差的關係，會慢慢移動至最穩定的狀態，我們由兩個泡泡結合時的Plateau結構理論，嘗試去推論三個泡泡相接達穩定時的結構公式，發現此結構公式符合孟氏定理的圖形，再由這個理論架構去推導四個泡泡相接情形達穩定後的結構之公式，發現也符合孟氏定理，再延伸討論n個泡泡時的可能狀態。

本研究從兩個對偶的定理出發：Brianchon定理「圓外切六邊形三條對角線共點」以及Pascal定理「圓內接六邊形三組對邊延長線交點共線」，以「雙心六邊形共點共線性質探討」的前置研究為基礎，探討「雙心六邊形廣義Brianchon點與Pascal線的軌跡圖形與其邊延長或頂點切線交點連線所遞延形成的圓錐曲線雙心六邊形，其共點共線的可能情形」。研究有更驚人的發現，當雙心六邊形層層遞延所形成的圓錐曲線雙心六邊形，仍保有「三條對角線與三條對邊切點連線等六線共定點（Brianchon點）」及「三組對邊延長線交點與三組對頂點切線交點等六點共定線（Pascal線）」之對偶性質。

從十片看似形狀不一的圖形（圖1）組合成圓形是我們挑戰的目標。經由實際的拼組操作及多次討論，我們發現可以利用圓的外型特徵以及全等圖形交換的方式，組合出許多好玩又不同的圓。從第一次成功拼出圓，接二連三大家又陸陸續續發現不同的拼湊方法，再經過老師的指點，整理出菱形、正三角形和四分之ㄧ圓的對稱規則性，找出之前遺漏的部份，越拼越多，彷彿進入拼圖世界，讓人一探究竟！

某次校內數學科考試出現了關於「爬樓梯種類」的問題，幾乎把大家都考倒了。事後大家極有興趣積極研究，經請教老師並參考許多資料，發現越深入研究越覺得有趣。一個人自出生至今，不知走過多少階梯，但你是否注意到以不同方式走階梯所得的結果？對此結果我們利用求整數解及排列的方怯，作一番深入探討，我們發現有一規律性的數列，此數列即為費氏數列。

有關於方陣的作品，在歷年的科學展覽會中經常出現，我也是這方面的大玩家，曾經做出了無數個二度空間的拉丁方陣和鬼方陣。去年，我在國際科展會場內邂逅了一些作者與師長，就熱烈地和他們討論著這方面的幾道大難題，並經由他們的介紹得到了許多寶貴的參考資料及遍訪名師高手。

在一年級的時候，師大的許志農教授演講時，曾提到有關平行線的相關性質。由於在那以前，我們的數學老師也曾經出過一題「在三條平行線上各取一點，作正三角形的方法研究。因此我們覺得很有興趣，並且有研究推廣的價值。所以我們就開始著手進行…。

勾股定理中以直角三角形三邊邊長引作正方形，則兩股正方形面積和等於直角三角形斜邊正方形的面積；那一般三角形呢?有無類似情形呢? 我們找到一種方法，以西姆松線為主題作出的三角形面積和等於原三角形的面積。

有一天我們幾位同學到數學老師家，正巧師丈在打電腦，我們很好奇想玩，師丈就拿了一些遊戲程式讓我們玩，並叮嚀我們別忘了在玩之餘還得動動腦筋，怎樣才會獲勝，可別讓電腦笑你笨哦！其中有一種類似下棋的尋寶遊戲，在我們輪流玩了許多回之後，漸漸的發覺好像只要能走到某一格就有獲勝的機會，科展在即，老師就鼓勵我們不妨想看看能不能推論其規則，也是科展的好題材！

本篇研究首先針對「登n階層的樓梯，每一次跨1~m階登樓梯總方法數」深入探討，而先建構樓梯法則，則可得到生成路徑圖，如此可推得轉移矩陣與方法數矩陣，最後得出總方法數，再推廣若一次跨任意階，推得其方法數的遞迴關係式，同時再建構跨p~m階樓梯法則，必存在生成路徑圖與轉移矩陣，因而求得總方法數。另外探討指定步數總方法數，其分佈呈現斜方向巴斯卡三角形係數。接著探討費氏數列(Fn)其彼此項數間具有因倍數的關係，並探討每一次跨1~m階所成樓梯數列每一項除以一正整數k後為餘數數列，探討其循環節個數的規律，同時每一項除以k後餘數數列呈現循環數列與有序性的餘數數列。最後建構樓梯數列對應立體幾何圖形，呈現直觀看到立體樓梯作為本篇的應用範疇。

最被廣泛使用的相似形尺規作圖法是使用投射中心作相似圖。這方法也被應用於相機、影印機……等依靠光源作放大縮小的機器上，本文創造了一種全新的相似形作圖法，不依賴投射中心，改成在各邊的延長線上依所要求的面積比，先建立一系列的動態還原表，擇最易操作組做動態操作。△依指定的投射比經一次順時針再一次逆時針後即可相似，多邊形則從一固定頂點處切割後，分別依指定的投射比及相同次序的順逆時針各一次操作，再合併回來後，即可得所要的相似形。放大圖及縮小圖本文的新方法都能達成。