數學科

某次校內數學科考試出現了關於「爬樓梯種類」的問題，幾乎把大家都考倒了。事後大家極有興趣積極研究，經請教老師並參考許多資料，發現越深入研究越覺得有趣。一個人自出生至今，不知走過多少階梯，但你是否注意到以不同方式走階梯所得的結果？對此結果我們利用求整數解及排列的方怯，作一番深入探討，我們發現有一規律性的數列，此數列即為費氏數列。

本研究主要探討農曆閏年規則是否會造成19歳生日時公曆與農曆重合，並進一步探討是否有其它歳數生日時會重合，另一方面則探討閏年的周期及閏月的規侓，並比較各種曆法，如陰曆、陽曆、陰陽合曆閏年方法。

有一天我們幾位同學到數學老師家，正巧師丈在打電腦，我們很好奇想玩，師丈就拿了一些遊戲程式讓我們玩，並叮嚀我們別忘了在玩之餘還得動動腦筋，怎樣才會獲勝，可別讓電腦笑你笨哦！其中有一種類似下棋的尋寶遊戲，在我們輪流玩了許多回之後，漸漸的發覺好像只要能走到某一格就有獲勝的機會，科展在即，老師就鼓勵我們不妨想看看能不能推論其規則，也是科展的好題材！

本文探討結理論及不變量，來建構結的數學模型，並由雙錢結為分析主體，最後找出結的數\r 學表示式並推論判斷質結與複合結。\r 文章選擇雙錢結作為研究主題有二個主因：\r (1) 2000年，清大徐教授發表『把”雙錢結”一般化』一文，但文中只說明編結的方式[2]，\r 卻沒說明它的結理論關係及數學模型。\r (2) 由課堂中師生的一時戲言所引出的好奇心。\r 文中利用結多項式及結群不變量來分辦質結與複合結，也印證高三所學數學不變量的具體意\r 涵，更學會雙錢結的編結方式及其數學模型，在分析雙錢結的數學相關性質中，由W.P.及\r Alexander多項式方法得出一個判斷複合結與質結的數學現象：『若結為質結則必存在唯一型\r 不變量，若結為複合結則必存在一組以上同型不變量。』

旋轉盤是一種操作簡單又好玩的益智遊戲。利用對稱與旋轉的原理，測驗一個人的空間位置轉換概念。 本研究藉著一步步推理，希望找出它的規律性，首先定義角度、方向、不同玩法模式，以利分析歸納。我們先從簡單的模式開始尋求規律，發現角度和及位置和有固定的數值，進一步研究較複雜的模式，尋求它們的相關性。發現不管左右轉、上下轉，甚至斜著轉，其實答案都相同。 再以單一模式的轉動，對答案的變化來分析，發現答案受兩種因素的影響，一個因素是線對稱〈鏡射對稱〉Y＝－X。另一個因素是起始點的角度差。最後我們歸納出答案的公式：Y＝－X＋(Y0－X0)。這個公式符合所有模式。 在實際操作上，經由公式分析，發現一個快速的解題方法：以角度夾角中線為對稱軸，找反向的對稱圖案方向即可。 最後，我們將發現的規律，找同年級的同學做測驗，發現同學答對率有明顯提高。為了增加趣味性及合成各種模式，我們也設計一些相關的玩具。

這原本是一個科學遊戲，盡量讓紙張伸展開來，卻不會弄破紙，除了發現其中有許多強韌的支撐點外，還利用許多數學規則來解開影響紙張伸展的因素，並發展出估測長度的最佳方法。從遊戲中學習數學，生動有趣。

本研究從兩個對偶的定理出發：Brianchon定理「圓外切六邊形三條對角線共點」以及Pascal定理「圓內接六邊形三組對邊延長線交點共線」，以「雙心六邊形共點共線性質探討」的前置研究為基礎，探討「雙心六邊形廣義Brianchon點與Pascal線的軌跡圖形與其邊延長或頂點切線交點連線所遞延形成的圓錐曲線雙心六邊形，其共點共線的可能情形」。研究有更驚人的發現，當雙心六邊形層層遞延所形成的圓錐曲線雙心六邊形，仍保有「三條對角線與三條對邊切點連線等六線共定點（Brianchon點）」及「三組對邊延長線交點與三組對頂點切線交點等六點共定線（Pascal線）」之對偶性質。

在一年級的時候，師大的許志農教授演講時，曾提到有關平行線的相關性質。由於在那以前，我們的數學老師也曾經出過一題「在三條平行線上各取一點，作正三角形的方法研究。因此我們覺得很有興趣，並且有研究推廣的價值。所以我們就開始著手進行…。

在△ABC 中，以C 點為圓心，C 至BC邊上一點P1的長為半徑畫弧，交CA邊上的Q1點，接著以A 點為圓心，AQ1 為半徑畫弧到達AB邊上的R1點，然後以B 點為圓心，BR1為半徑的畫弧達到BC邊上的P2 點，依這樣的規律進行下去，在BC邊上會產生點P1，P2， P3，…。本文探討上述圖形中起始半徑CP1、數列P(由CP1、CP2、CP3、…、CPn 的長度組成)及弧弧相切的關係，並類推至多邊形，結果顯示：雖然數列P在奇數多邊形及偶數多邊形中，皆有形成公差為零之等差數列的狀況，但是發生條件相當不同，在奇數多邊形中，與「起始半徑CP1值」有關，但在偶數多邊形中，僅與「邊長」有關；弧弧相切的況狀在奇數多邊形中，一定會發生，而在偶數多邊形時，只有當『奇數邊的和＝偶數的和』時，才會有弧弧相切的現象產生。

在日常生活中，我們到處可見許多磁磚、壁紙，都是利用邊長相同的正多邊形組合而成。 甚至大自然界的蜂窩形狀（如圖）亦正是正六邊形鑲嵌而成。 到底那些正多邊形的組合可鑲嵌成一個面呢？依此問題，平行類推，到底那些正多面體（或「半正多面體」）的組合可鑲嵌整個空間呢？這個問題，引起我們的興趣。