在一年級的時候，師大的許志農教授演講時，曾提到有關平行線的相關性質。由於在那以前，我們的數學老師也曾經出過一題「在三條平行線上各取一點，作正三角形的方法研究。因此我們覺得很有興趣，並且有研究推廣的價值。所以我們就開始著手進行…。

尺規作圖定義可作出直線、圓及其互相的交點，而無法完整作出一個圓錐曲線，但在已知決定圓錐曲線的要素時，仍可利用尺規作出圓錐曲線上的點和切線。在圓錐曲線中，給焦點和給五點的初始條件其實是等價的，在參考資料 3 中已找到了給橢圓上五點求出兩焦點以及給拋物線上四點作出焦點頂點的尺規作圖方法；但是其中的證明程度稍高且過於繁雜，我們發現一種簡單的證明方法，並將類似方法延伸至雙曲線。後半部分討論作出圓錐曲線和直線、圓、圓錐曲線的交點的可行性，將尺規作圖應用在圓錐曲線上的情形作一個概括性論述。

有關於方陣的作品，在歷年的科學展覽會中經常出現，我也是這方面的大玩家，曾經做出了無數個二度空間的拉丁方陣和鬼方陣。去年，我在國際科展會場內邂逅了一些作者與師長，就熱烈地和他們討論著這方面的幾道大難題，並經由他們的介紹得到了許多寶貴的參考資料及遍訪名師高手。

一張紙四角截去小正方形即可組成一個紙盒，截去的正方形邊長要多長才能使紙盒的容積最大呢？數學課室的這麼一個問題足以讓我們班探討一節課，當一組同學找出一個答案後就會有另一組同學找出比他們更精準的答案，究竟要如何截取絕非胡亂拼湊即能得知的，因此，我們利用逼近法來尋求更接近的答案，同時也深入探究以長方形來折與以正方形來折又會有什麼不同？其中是否有規律存在。再連結到生活上，我們發現一般常見的紙盒折法及紙箱折法也與此問題有相關，究竟我們平常折的餐桌紙盒容積是否最大呢？若不是，我們能否運用這次的研究所得折出最大容積的紙盒呢？而所用紙張的長寬比例是否影響著折出的容積大小？一連串的問題在我們這次的研究中都得到了滿意的答案，也從中察覺到一些規律，可算收獲不少。

在實際的工藝應用上，我們有時順利用正方形的材料，剪裁出正三角形、正五邊形、正六邊形或邊數更多的正多邊形，為了減少材料的浪費，我們要使剪裁出之正多邊形面積最大，因此，如何剪裁才能使所剪裁的正多邊形面積達到最大，又面積最大時其與正方形面積的比為何，便是本文探討的主題。

勾股定理中以直角三角形三邊邊長引作正方形，則兩股正方形面積和等於直角三角形斜邊正方形的面積；那一般三角形呢?有無類似情形呢? 我們找到一種方法，以西姆松線為主題作出的三角形面積和等於原三角形的面積。

農曆年前石門水庫的水位急速的下降， 導致民生及工業用水不足， 而有限制用水的政策，更別說是供給農業使用的農業用水，農夫們因用水不夠而休耕，像這種情形每逢乾旱季節時就時常的發生， 是不是我們石門水庫的水裝的不夠多？ 而我們又要如何知道石門水庫的蓄水量？ 適逢數學課學到體積、面積與容積的算法， 於是我們就想利用這種算法來思考， 如何測量石門水庫的蓄水量？在思考的過程中經由資料蒐集與分析， 幾經討論乃決定使用辛普森法則運用於容積的計算， 但水庫的容積是如此的龐大， 欲解此難題， 有組員提出何不以學校內生態池為實驗標的， 因此， 本實驗以生態池為標的， 希望借此方法能推及各種不規則形狀的水池、湖泊、水庫? ? 等等的容積計算， 同時在操弄過程中能了解水池、湖泊、水庫所具有的蓄水與防洪功能， 又借由電腦強大的運算功能處理繁雜的測量數據， 更能精準算出結果。

國中二年級的數學課程中，我們學習到 (a+b)2 = a2+2ab+b2，如果次方依序增加，即(a+b)3、(a+b)4、(a+b)5．．老師教導我們可以利用巴斯卡三角形的方法求解二項式各次方乘積的結果。那麼(a+b+c)2、(a+b+c)3、(a+b+c)4三項展開式會如何呢？又(a+b+c+d)2、(a+b+c+d)3、(a+b+c+d)4四項展開式會有什麼規律麼? 這就是我們這次想要探索的目標。

國小五年級時學到了體積的求法，印象中的體積是很死的公式：長 × 寬 × 高，本來以為祇有長方體才能求體積，但是後來學到了柱形的體積，才知道原來體積的計算不祇限於長方體，圓柱體也可以算出體積，我們現在試著用切割與組合的方法，看看能不能求出錐形的體積。

「神奇的傑克」是上屆全國科展第二名作品，由於考慮其內容還有充實的空間，我們便決定以更有系統的討論觀點，來完成這份作品。我們的作圖方式是以傑克中心為標準，完整討論傑克結構九種不同連法下，向傑克中心的異側做正方形時，面積發展的關係與性質。由於以推理幾何驗證面積關係的過程，必須用到複雜的輔助線、且驗證步驟冗長，所以轉而運用「解析幾何」以簡化繁瑣的驗證程序。因為解決了坐標設定的問題，才得以為傑克結構開拓更大的研究空間。我們進一步以「解析幾何」討論向傑克中心同側做正方形時，九種不同連法下，圖形或面積發展的關係與性質。我們以MB(i)、MT(i)、MC(i)、NB(i)、NT(i)、NC(i)、HB(i)、HT(i)、HC(i)表示九種不同連結情況下的第i層四邊形；A[MB(i) ]、A[MT(i) ]、A[MC(i) ]、A[NB(i) ]、A[NT(i) ]、A[NC(i) ]、A[HB(i) ]、A[HT(i) ]、A[HC(i) ]表示九種不同連結情況下的第i層四邊形面積，最後整理不同連接情況下，同一層四邊形間的各種面積關係，「從一粒沙看一世界」，窺探永恆、無盡的幾何之美。