數學科

在知識探索的歷程中，接觸實際的事物是增進學習的最佳方法。高二下，我們面臨許多二次曲線上的問題，過些問題可以用空問上的概念來解釋。在以往，我們所涉及、所熟知的只限於平而上的幾何圖形。囚此，我們對於空間上的概念並非十分明確，而必須借重各種模型來加以深入探討，但是我們對於所接觸到教具，感到並非理想，他們過於死板化。所以我們建立了一套活動的立體模型，希望能夠使教學兩方面進行得更順暢，同時也將一些"性質"加以研究、討論、證明。

本文探討結理論及不變量，來建構結的數學模型，並由雙錢結為分析主體，最後找出結的數\r 學表示式並推論判斷質結與複合結。\r 文章選擇雙錢結作為研究主題有二個主因：\r (1) 2000年，清大徐教授發表『把”雙錢結”一般化』一文，但文中只說明編結的方式[2]，\r 卻沒說明它的結理論關係及數學模型。\r (2) 由課堂中師生的一時戲言所引出的好奇心。\r 文中利用結多項式及結群不變量來分辦質結與複合結，也印證高三所學數學不變量的具體意\r 涵，更學會雙錢結的編結方式及其數學模型，在分析雙錢結的數學相關性質中，由W.P.及\r Alexander多項式方法得出一個判斷複合結與質結的數學現象：『若結為質結則必存在唯一型\r 不變量，若結為複合結則必存在一組以上同型不變量。』

有一次班級慶生會時，我們邀請陳文龍老師參加，陳老師表演了一種撲克牌魔術，許嘉銘同學很好奇，就想知道為什麼，於是我們和老師一起研究探討。

在一次偶然中，我們在牛頓雜誌上看到了一個題目：“已知一線段 ，欲求 上一點 E 使 為黃金比。” 作法如下： ( l ）取 長的一半為 ，使之垂直 於 B ，並連接 。 ( 2）以 C 為圓心， 為半徑，書弧交 於 D 點。 ( 3）以 A 為圓心， 為半徑，畫弧交 於 E 點。 ( 4）則 被E點分成具有黃金比例之二線段。 從數值上來分析： 雖然作法簡潔、特殊，且能由值的計算得到證明，但是，我們卻無法了解為什麼這樣作就能得到黃金分割，它的動機、思考方向引起了我們的興趣，而促成了我們深入去研究──黃金矩形。

國中數學課本第四冊曾提到黃金矩形的意義。如圖，長方形較長的部分剪下長條叫做「橫切」，剩下的長方形，依與橫切垂直的方向剪下長條叫做「直切」，而黃金矩形經橫切即直切交替切割下，可切出無限個正方形。我們便想，什麼樣的長方形可交替切割成有線個正方形。

假如你（您）每天山你家最近的公車站牌搭乘市區公車，而 1路順時針方向2路反時鐘方向走同一路線各為每隔20分鐘一班，班次相等由總站每隔 10分鐘輪流交互開出繞市區一周，你不定時到站牌處不管1路2 路，反正都可到達目的地，只要先到的就上車，那麼您搭乘到的1路機會多？還是2路機會多？

當有一數字不完全一樣的四位數，進行r進位( rd3 )Kaprekar’s operation時至少有一Kaprekar constant或封閉迴路，經分析，若Kaprekar constant存在，則可分為14種情況討論，發現到只有當r＝4、5t時才存在唯一的Kaprekar constant。在尋找Kaprekar constant的一般性時，經研究發現：(一)當r為正偶數，一個n位數的hM＝(r－1,r－2, … ,1,0)時，hM－hm即為Kaprekar constant；此外，當所有數字皆為Ｔ個時，亦有此一性質。(二)當r為正奇數，hM＝(r－1,…,r－1,r－2,…,r－2,…,1,…,1,0,…,0)，其中0為T個，其餘數字皆為2T個，則hM－hm即為Kaprekar constant；此外，0為T個，r－1為nT個，其餘皆為2T(n－1)個時，亦有此一性質。

在數學課本第十冊綜合與應用二， 76 頁一題：在三張每邊長 20 公分的正方形厚紙，照下面甲、乙、丙三圖，在四角各剪去相等的四個小正方形，摺成無蓋紙盒三個，那個容積最大？最大和最小相差是多少立方公分？我們想知道除了課本問題外，還有沒有比這三個更大的容積，於是我們做了各種的計算分析、歸納、預測等研究工作“

旋轉盤是一種操作簡單又好玩的益智遊戲。利用對稱與旋轉的原理，測驗一個人的空間位置轉換概念。 本研究藉著一步步推理，希望找出它的規律性，首先定義角度、方向、不同玩法模式，以利分析歸納。我們先從簡單的模式開始尋求規律，發現角度和及位置和有固定的數值，進一步研究較複雜的模式，尋求它們的相關性。發現不管左右轉、上下轉，甚至斜著轉，其實答案都相同。 再以單一模式的轉動，對答案的變化來分析，發現答案受兩種因素的影響，一個因素是線對稱〈鏡射對稱〉Y＝－X。另一個因素是起始點的角度差。最後我們歸納出答案的公式：Y＝－X＋(Y0－X0)。這個公式符合所有模式。 在實際操作上，經由公式分析，發現一個快速的解題方法：以角度夾角中線為對稱軸，找反向的對稱圖案方向即可。 最後，我們將發現的規律，找同年級的同學做測驗，發現同學答對率有明顯提高。為了增加趣味性及合成各種模式，我們也設計一些相關的玩具。

有關於方陣的作品，在歷年的科學展覽會中經常出現，我也是這方面的大玩家，曾經做出了無數個二度空間的拉丁方陣和鬼方陣。去年，我在國際科展會場內邂逅了一些作者與師長，就熱烈地和他們討論著這方面的幾道大難題，並經由他們的介紹得到了許多寶貴的參考資料及遍訪名師高手。