數學科

在數學課本第十冊綜合與應用二， 76 頁一題：在三張每邊長 20 公分的正方形厚紙，照下面甲、乙、丙三圖，在四角各剪去相等的四個小正方形，摺成無蓋紙盒三個，那個容積最大？最大和最小相差是多少立方公分？我們想知道除了課本問題外，還有沒有比這三個更大的容積，於是我們做了各種的計算分析、歸納、預測等研究工作“

六十六年十二月二十六日有一份報紙刊出了一篇專訪，論及自來水廠隔月抄表計費是否變相漲價的問題，而且舉出了兩個對住戶及水廠各有利弊的例子。計算水費電費在國一時便已學過，我們就想研究看看，到底在何種情況下對住戶有利，是否有公式可以立刻算出隔月抄表計費與按月抄表計費之差額。

有一次班級慶生會時，我們邀請陳文龍老師參加，陳老師表演了一種撲克牌魔術，許嘉銘同學很好奇，就想知道為什麼，於是我們和老師一起研究探討。

在一次偶然中，我們在牛頓雜誌上看到了一個題目：“已知一線段 ，欲求 上一點 E 使 為黃金比。” 作法如下： ( l ）取 長的一半為 ，使之垂直 於 B ，並連接 。 ( 2）以 C 為圓心， 為半徑，書弧交 於 D 點。 ( 3）以 A 為圓心， 為半徑，畫弧交 於 E 點。 ( 4）則 被E點分成具有黃金比例之二線段。 從數值上來分析： 雖然作法簡潔、特殊，且能由值的計算得到證明，但是，我們卻無法了解為什麼這樣作就能得到黃金分割，它的動機、思考方向引起了我們的興趣，而促成了我們深入去研究──黃金矩形。

本研究透過函數模型的設計進行探討翻硬幣的問題，主題聚焦在翻動量為費氏數列與等差數列的情況。在費氏數列翻的方面，我們利用「逆推法」設計出「次數關係圖」和「奇偶函數推算表」，進行理論推演並證明出簡潔公式，由於我們的理論探討是架設在硬幣足夠翻的情況下，因此在進行實際操作時，還需要判斷究竟需要幾個正面硬幣才足夠翻，探討完後將所有情況分為五類。而等差數列翻，竟也可用相同的手法進行推演。此外，我們也找到了兩圖形互相轉換的問題解法，也就是完全創新的「比照圖」。

本文探討結理論及不變量，來建構結的數學模型，並由雙錢結為分析主體，最後找出結的數\r 學表示式並推論判斷質結與複合結。\r 文章選擇雙錢結作為研究主題有二個主因：\r (1) 2000年，清大徐教授發表『把”雙錢結”一般化』一文，但文中只說明編結的方式[2]，\r 卻沒說明它的結理論關係及數學模型。\r (2) 由課堂中師生的一時戲言所引出的好奇心。\r 文中利用結多項式及結群不變量來分辦質結與複合結，也印證高三所學數學不變量的具體意\r 涵，更學會雙錢結的編結方式及其數學模型，在分析雙錢結的數學相關性質中，由W.P.及\r Alexander多項式方法得出一個判斷複合結與質結的數學現象：『若結為質結則必存在唯一型\r 不變量，若結為複合結則必存在一組以上同型不變量。』

課本上提到三角形的重心是三邊中線的交點，使我們好奇的想到四邊形的重心在那裏呢？五邊形、六邊形呢？甚至扇形、拋物線圖形呢？因而引起我們研究的動機。

當有一數字不完全一樣的四位數，進行r進位( rd3 )Kaprekar’s operation時至少有一Kaprekar constant或封閉迴路，經分析，若Kaprekar constant存在，則可分為14種情況討論，發現到只有當r＝4、5t時才存在唯一的Kaprekar constant。在尋找Kaprekar constant的一般性時，經研究發現：(一)當r為正偶數，一個n位數的hM＝(r－1,r－2, … ,1,0)時，hM－hm即為Kaprekar constant；此外，當所有數字皆為Ｔ個時，亦有此一性質。(二)當r為正奇數，hM＝(r－1,…,r－1,r－2,…,r－2,…,1,…,1,0,…,0)，其中0為T個，其餘數字皆為2T個，則hM－hm即為Kaprekar constant；此外，0為T個，r－1為nT個，其餘皆為2T(n－1)個時，亦有此一性質。

國中數學課本第四冊曾提到黃金矩形的意義。如圖，長方形較長的部分剪下長條叫做「橫切」，剩下的長方形，依與橫切垂直的方向剪下長條叫做「直切」，而黃金矩形經橫切即直切交替切割下，可切出無限個正方形。我們便想，什麼樣的長方形可交替切割成有線個正方形。