數學科

數學是學生最感頭痛的學科，教師們為了破除學生對數學科的畏懼，無不挖空心思，運用各種方法進行教學，冀望學生有朝一日能頓悟做數學的樂趣，而順利達成教學目標。在許多教學方法中，最有效也最受學生歡迎的莫過於多利用教具了。好的教具能協助效師與學生的溝通，也能使教者與學者兩方面都感到輕鬆愉快。經由教具的協助，可能使教學收到事半功倍的效果，這樣的教具當然能受到師生的歡迎，並且很樂意常加利用。相反的，如果某種教具，使用不夠方便，溝通又不容易，讓使用者覺得有了它反而是一種累贅時，這樣的教具就註定要遭到摒棄，而被塵封於倉庫裡。近幾年來，教育廳曾配發給學校許多教具，這些教具大都是方便而有效的好教具，因此很受學校的歡迎。可是其中卻有一種“位值算盤”自從配發以來就很少有人動用過。由於它的數量相當多（註一），應該是經專家認定為值得推廣的優良教具才對，然而為什麼它會被如此冷落呢？其中的因由何在？為了探究它失寵的道理，於是我們開始進行這項研究。

本研究找出3×3×3立體空間中一筆畫路徑的可能部件共38個，並以符號命名排序。又將立體骨架圖中的一筆畫路徑，用「省略」部分路徑的方法，從路徑取出部件，並把路徑用起點和終點的關係及部件排列的符號表示。採用「固定」部分路徑的方法，探討找尋3×3×3立體空間內一筆畫路徑的流程，並找出下列空間中的一筆畫路徑： 2×2×2、2×3×2、3×3×2立體空間中一筆畫路徑數分別有3、41、1076條；也找出3×3×3立體空間中逐層走完的一筆畫路徑數是166條。最後將立體空間的一筆畫路徑走法分類，再利用3×3×2立體空間中隨機穿越走完上下二層的一筆畫路徑數1044條，分類推算出3×3×3立體空間中隨機穿越走完前二層，再走完第三層的一筆畫路徑數共有9832條。

本研究旨在探討圓錐表面積與圓錐體積的關係，期能找到最佳圓心角，使得不浪費紙板材料（圓錐表面積）的情況下，可以得到最大的圓錐體積。本結果之應用可以提供圓錐甜筒、圓錐型帳篷、漏斗等產品製造商的參考，在節省材料以及經濟效益的考慮前提下，建議製造圓錐造型廠商可以針對不同的考量，選擇圓心角的角度介於 222 度和 294 度之間。

將某一個自然數平方之後，如果此自然數全部數字出現在平方後的數尾部，則此自然數叫做「自守數」。我們所要討論的是自守數是否有固定的公式可以找出來，又或者根本沒有規則可循。經由我們一連串的假設、推論、證明，並利用電腦程式 Excel 速算表的快速運算，我們發現自守數如同化學的連鎖反應一般，它可以一個接著一個的被”反應”出來，而且只有兩個反應程式可以造出來。在整個研究過程中，我們發展出一套完整的路徑，推導過程中，也發展出一些簡潔的方法；讓我們體會到，改變思考方向，也許更簡單、更容易了解。

農曆年前石門水庫的水位急速的下降， 導致民生及工業用水不足， 而有限制用水的政策，更別說是供給農業使用的農業用水，農夫們因用水不夠而休耕，像這種情形每逢乾旱季節時就時常的發生， 是不是我們石門水庫的水裝的不夠多？ 而我們又要如何知道石門水庫的蓄水量？ 適逢數學課學到體積、面積與容積的算法， 於是我們就想利用這種算法來思考， 如何測量石門水庫的蓄水量？在思考的過程中經由資料蒐集與分析， 幾經討論乃決定使用辛普森法則運用於容積的計算， 但水庫的容積是如此的龐大， 欲解此難題， 有組員提出何不以學校內生態池為實驗標的， 因此， 本實驗以生態池為標的， 希望借此方法能推及各種不規則形狀的水池、湖泊、水庫? ? 等等的容積計算， 同時在操弄過程中能了解水池、湖泊、水庫所具有的蓄水與防洪功能， 又借由電腦強大的運算功能處理繁雜的測量數據， 更能精準算出結果。

黑格攣線是一個用有方向性攣線攣接平面或蒚體棋盤中黑格的動作。以平面棋盤為例，在給定的m× n 黑白格相間的棋盤(其左下角為黑格)，由左下角開始以連線將共點黑格連接，若所有黑格都能被連接，則稱(m,n)符合黑格連線條件。本研究主要目的是以推理方法導出當(m, n)符合黑格連線條件時， m,n 之間的關係，研究初期猜測當gcd(m ?1, n ?1) = 1時，數對(m,n)符合黑格連線條件。為達上述目的，研究中需探討棋盤中的黑格總數、連線在棋盤上重複通過的黑格數量及重複通過的次數，以及在如何的情況下可以使連線通過棋盤上所有的黑格，最後驗證研究初期之猜測成立。本研究預期推展到高維度棋盤符合黑格連線的條件。目前發現此推廣面臨高維度中點、線、面、高維度體個數及相互連接的問題，由實例進行黑格連線後，猜測結果與二維、三維相仿（各維度的格數減一之值必須兩兩互質）。另外，還有一個研究推廣的思考方向：mxn棋盤中，將連線視為繩，連線第二次經過黑格時，依序向前一條連線上方、下方通過，最後將黑格相連後，繩拉緊所能產生的繩結數。

本研究主要在探討奇數階平面方陣及奇數階立體方陣的規則，我們發現奇數階平面方陣及奇數階立體方陣有一定的規則可循。建構奇數階平面方陣可依據兩個規則：〈一〉平面方陣中的正中央所填入數字一定是數列的中間數。〈二〉每條直行及橫行中，各行數字所代表的座標依循著一定規律方式，座標依照A→B→C 或C→B→A，以及1→2→3 或3→2→1 的規則，並且都不重複。建構奇數階立體方陣可依據四個規則：〈一〉依據階數，將所有數字平均分組，接著將所有數字座標化。〈二〉數列的中間數字必落於中層，選取各組數字時，由中層先選取，其他層選取各組數字時，依據平面方陣建構之規則來選取。〈三〉各層數字選取後，先由中層開始建構，建構之規則與平面方陣之規則相同。〈四〉中層建構完成後，其他各層與中層的座標需要交錯，然後依序所對應的填上數字。

我最喜歡吃香腸，每次家裡有香腸，我就要求媽媽多炸些，好讓我吃個痛快，但媽媽總是說要留著請客用，我只有望看香腸流口水的份兒，巧的很，農曆過年的時候，社區內有一個商人，買回一架"珠仔台"並灌了些香腸做獎品，掛起了--打香腸--的招牌。從此，每當傍晚時分，由其是晚餐之後的時間，總有一大群國中、國小學生，圍著笑容滿面的老闆和珠仔台打個不停，這對我來飽口福的良機，幾天下來，我幾乎把所有的壓歲錢都給"打"光了。不過，老闆也真夠意思，有時我打了一整天都沒得”獎”他會自動的送我一、二條香腸止饞。雖沒統計我打中的次數，但能享受整條香腸在嘴裡啃的滋味，就是把所有的錢都“打”光了，我也認為是值得的，且心理還暗笑那些玩電動玩具的人傻呢？既沒有東西吃，又被人看成是賭博。開學後，我向同學大吹特吹我這聰明的行為和收穫，同時回味一下恳香腸的滋味，正得意時，被老師聽見了，老帥問明詳情後告訴我說：你也犯了規定，那也是一種賭博行為，不信的話，我們不妨來做個研究，等研究後看你還會不會得意的大吹你一一總明的行為和收。我們於是開始著手，以下是我們研究的過程和結果。

極限在近代數學中無異扮演者極重要的角色。但是在高中數學介紹了極限之後，我們卻很少找到實際去應用的例子。有很多例子本可用極限的概念作一典型的描述，但是數學課本一直避而不談；我們看整個課程，除了切線、導數一部分採用極限的作法，極少數是以極限為立論的根據。並且在一般學生的概念中，對於極限的定義都似懂非懂，原因是在於其抽象的證明。今天我們希望能藉此件作品來引起大家對於這個部分的重視，我們盡量少用證明，而多用實際運算來作這一些題目。我們只要先把握住一一一個（數列（點列）若收斂，則極限唯一）一一的觀念就可以做好下面的問題。

小丑手裡拿著各式各樣的球以五花八門的手法自在的拋接，在這樣拋接球的過程中，隱藏著奧妙的數學問題。若將拋接球的動作以數列的方式表示，則稱該數列稱為《Juggling Sequences》，此數列不僅可以簡單的方法，辨別出小丑拋接球時所持的球數以及所丟的高度，更可表達各種拋接球的方式。 由於小丑拋接球時，球不能在同一時間落地，因此Juggling Sequences所代表的必須為連續動作。固定週期與球數後，透過數列構成條件的探討，得到如下結果： 1. 當n