數學科

本研究以五連塊為基礎，利用窮舉法、圖形操作推導與驗證六連塊之所有組合方式。研究結果發現連塊個數、連接邊數、L形轉角數與連塊可擴充位置數量及連塊組合方式有關，此研究可做為後續推導七以上連塊組合方式之參考。

匈牙利數學家 L . Fejer 在處理三角形內具有最小周長的內接三角形時，他先在BC上固定一點 D ，再由 D 對AB、AC 各作對稱點 D' 及 D " ，連接 ，依次交於 E 及 F ，請看圖(一)，那麼△DEF 是在 D 固定具有最小周長的內接三角形。 他又觀察到△AD'D"為一頂角∠D'AD"=2∠BAC=定角，且腰長的等腰△，當期腰長()最小時底邊()最小所以取為上的高時，△DEF既為內接於△ABC且距最小周長的三角形。 但想利用這種作法將三角形推展至四邊形、五邊形乃至於n邊形勢必十分困難,所以我們便放棄這種解法而另起爐灶。首先我們還是從最基本的銳角三角形著手，希望從此得到推廣之道。歷經種種困難，最後我們想到我們賴以生存的光－它具有沿最短路線行進的特性，利用此特性，我們作出了以下結論。

最近我們班上流行一種遊戲，我們都很喜歡玩，為了徹底了解這個遊戲，及怎樣才容易贏，於是做了下列的研究。

在復習第四冊時，發現了八十年度台灣省高中聯考的數學題目：在一個矩形紙板上，剪去其2/3，再剪去其剩下之紙板的2/3，反覆地做…。基於好玩的心理就在附圖上畫了起來，突然發現這個圖形非常有規律，有點像黃金矩形。我們便向老師提出問題：“若不按此種比值作分割，是否有其他變化，結果如何？”老師說： “ 如果你們有興趣想知道答案的話，可以去研究看看。” 因而，便在老師的指導下，展開了我們一連串的探討旅程。

在實際的工藝應用上，我們有時順利用正方形的材料，剪裁出正三角形、正五邊形、正六邊形或邊數更多的正多邊形，為了減少材料的浪費，我們要使剪裁出之正多邊形面積最大，因此，如何剪裁才能使所剪裁的正多邊形面積達到最大，又面積最大時其與正方形面積的比為何，便是本文探討的主題。

黑格攣線是一個用有方向性攣線攣接平面或蒚體棋盤中黑格的動作。以平面棋盤為例，在給定的m× n 黑白格相間的棋盤(其左下角為黑格)，由左下角開始以連線將共點黑格連接，若所有黑格都能被連接，則稱(m,n)符合黑格連線條件。本研究主要目的是以推理方法導出當(m, n)符合黑格連線條件時， m,n 之間的關係，研究初期猜測當gcd(m ?1, n ?1) = 1時，數對(m,n)符合黑格連線條件。為達上述目的，研究中需探討棋盤中的黑格總數、連線在棋盤上重複通過的黑格數量及重複通過的次數，以及在如何的情況下可以使連線通過棋盤上所有的黑格，最後驗證研究初期之猜測成立。本研究預期推展到高維度棋盤符合黑格連線的條件。目前發現此推廣面臨高維度中點、線、面、高維度體個數及相互連接的問題，由實例進行黑格連線後，猜測結果與二維、三維相仿（各維度的格數減一之值必須兩兩互質）。另外，還有一個研究推廣的思考方向：mxn棋盤中，將連線視為繩，連線第二次經過黑格時，依序向前一條連線上方、下方通過，最後將黑格相連後，繩拉緊所能產生的繩結數。

2004年DragutinSvrtan,DarkoVeljanandVladimirVolenec三位教授在math.MG上發表了一篇文章,內容提到18世紀的幾何學家Monge將Ptolemy定理延伸到一般的五邊形,而Gauss則利用這個結果證明了一個鮮為人知的有趣定理—“高斯五邊形定理”,其內容是在說明如何從一個五邊形的”部份面積”算出”整體面積”。此結果經由許志農教授重新編寫在《算術講義》第19講中,同時也提出了一些新的問題。我們則在這篇文章中解決了之前留下來的問題,同時也發現了另一個與高斯五邊形定理等價且形式相似的結果—內五邊形定理,再利用之前的文獻和本篇文章的結果便能證明了以下定理的等價關係： Ptolemy定理≡和角公式 ‖‖ Monge公式 ‖‖ 高斯五邊形定理≡內五邊形定理

小丑手裡拿著各式各樣的球以五花八門的手法自在的拋接，在這樣拋接球的過程中，隱藏著奧妙的數學問題。若將拋接球的動作以數列的方式表示，則稱該數列稱為《Juggling Sequences》，此數列不僅可以簡單的方法，辨別出小丑拋接球時所持的球數以及所丟的高度，更可表達各種拋接球的方式。 由於小丑拋接球時，球不能在同一時間落地，因此Juggling Sequences所代表的必須為連續動作。固定週期與球數後，透過數列構成條件的探討，得到如下結果： 1. 當n

嘗試澳洲 AMC 從競賽題出發，探討一正 n 邊形中的一點在單位圓內滾動，及一正 n邊形的繞一正 n 邊形滾動軌跡，發現該軌跡均會產生奇妙的循環規律。接下來推廣探討圓形其他的規律，發現若將一單位圓去繞另一單位圓或其他由單位圓組成的幾何圖形，探討其滾動軌跡，並探討在何種情況該單位圓繞回原出發點時會和原圖相同，從研究中得知所繞全等圓圖形與旋轉圈數和邊長所需個數的關係，如：『邊長為 3的全等圓正方形』其旋轉圈數是 2＋4(3-1)/3＝14/3圈，此時和原圖不同，而回到原點且和原圖相同邊長所需個數則為 3k＋1（k?N）等。另外，『繞一間隔大小等於圓直徑的全等圓圖形』是指從第一個圓開始逆時針滾動，若接觸到另一個圓時則往反方向繼續繞圖形滾動，依此類推，探討圓心所繞的軌跡型態及長度繞一間隔全等圓圖形，發現其圓心軌跡型態存在著規律性，且圓必繞回原點。最驚人的是，應用我們的研究結果於許多商業用途，並創造出寓數學於遊戲的「多功能滾滾樂尺」。

本研究旨在探討圓錐表面積與圓錐體積的關係，期能找到最佳圓心角，使得不浪費紙板材料（圓錐表面積）的情況下，可以得到最大的圓錐體積。本結果之應用可以提供圓錐甜筒、圓錐型帳篷、漏斗等產品製造商的參考，在節省材料以及經濟效益的考慮前提下，建議製造圓錐造型廠商可以針對不同的考量，選擇圓心角的角度介於 222 度和 294 度之間。