數學科

黑格攣線是一個用有方向性攣線攣接平面或蒚體棋盤中黑格的動作。以平面棋盤為例，在給定的m× n 黑白格相間的棋盤(其左下角為黑格)，由左下角開始以連線將共點黑格連接，若所有黑格都能被連接，則稱(m,n)符合黑格連線條件。本研究主要目的是以推理方法導出當(m, n)符合黑格連線條件時， m,n 之間的關係，研究初期猜測當gcd(m ?1, n ?1) = 1時，數對(m,n)符合黑格連線條件。為達上述目的，研究中需探討棋盤中的黑格總數、連線在棋盤上重複通過的黑格數量及重複通過的次數，以及在如何的情況下可以使連線通過棋盤上所有的黑格，最後驗證研究初期之猜測成立。本研究預期推展到高維度棋盤符合黑格連線的條件。目前發現此推廣面臨高維度中點、線、面、高維度體個數及相互連接的問題，由實例進行黑格連線後，猜測結果與二維、三維相仿（各維度的格數減一之值必須兩兩互質）。另外，還有一個研究推廣的思考方向：mxn棋盤中，將連線視為繩，連線第二次經過黑格時，依序向前一條連線上方、下方通過，最後將黑格相連後，繩拉緊所能產生的繩結數。

我們用簡潔的方法、巧妙借用益智遊戲的規則，解決一道月刊數學題目的一般化情形，得到豐富的成果。 「有9位足球隊員，身高兩兩不同，排成 3×3 的隊形，命橫列最高的2人舉手、縱行最高的2人舉手，兩次都有舉手的人去收拾場地。」 本作品探討上述題目隊形的一般化：隊員們分別排成任意長方形和長方體，得到下列結論： 一、將身高由低到高編號為：1、2、3、…，得到「必定收場地」的人之編號與「必不用收場地」的人之編號； 二、承一，若編號x不在必收或必不收之中，則可排出使x號學生收場地或不收場地的隊形； 三、收場地人數的最大值與最小值； 四、若人數p介於收場地人數最大值與最小值之間，均可排出恰為p人收場地的隊形。

2004年DragutinSvrtan,DarkoVeljanandVladimirVolenec三位教授在math.MG上發表了一篇文章,內容提到18世紀的幾何學家Monge將Ptolemy定理延伸到一般的五邊形,而Gauss則利用這個結果證明了一個鮮為人知的有趣定理—“高斯五邊形定理”,其內容是在說明如何從一個五邊形的”部份面積”算出”整體面積”。此結果經由許志農教授重新編寫在《算術講義》第19講中,同時也提出了一些新的問題。我們則在這篇文章中解決了之前留下來的問題,同時也發現了另一個與高斯五邊形定理等價且形式相似的結果—內五邊形定理,再利用之前的文獻和本篇文章的結果便能證明了以下定理的等價關係： Ptolemy定理≡和角公式 ‖‖ Monge公式 ‖‖ 高斯五邊形定理≡內五邊形定理

三角獨子棋是一個有趣的遊戲，其玩法是在一個15格的三角棋盤中，由電腦隨機出題，以跳棋的方式，跳一子取一子，最後棋盤上必須只剩下一子才算過關。我們好奇到底可以出幾個不重複的關卡，也想要找出每關的破解方法，對其展開深入的研究…。透過棋子兌換法及電腦程式運算，找出了此遊戲中不同棋數的所有有解盤面；進一步透過三色定理以及自行發展找解策略：一線法、對稱跳法、棋子集中原則、棋盤切割法、缺子終點對調法等，找出了有限棋盤T（5）至T（8）缺一子位置與其終點位置的關係及其解法。

小丑手裡拿著各式各樣的球以五花八門的手法自在的拋接，在這樣拋接球的過程中，隱藏著奧妙的數學問題。若將拋接球的動作以數列的方式表示，則稱該數列稱為《Juggling Sequences》，此數列不僅可以簡單的方法，辨別出小丑拋接球時所持的球數以及所丟的高度，更可表達各種拋接球的方式。 由於小丑拋接球時，球不能在同一時間落地，因此Juggling Sequences所代表的必須為連續動作。固定週期與球數後，透過數列構成條件的探討，得到如下結果： 1. 當n

本研究找出3×3×3立體空間中一筆畫路徑的可能部件共38個，並以符號命名排序。又將立體骨架圖中的一筆畫路徑，用「省略」部分路徑的方法，從路徑取出部件，並把路徑用起點和終點的關係及部件排列的符號表示。採用「固定」部分路徑的方法，探討找尋3×3×3立體空間內一筆畫路徑的流程，並找出下列空間中的一筆畫路徑： 2×2×2、2×3×2、3×3×2立體空間中一筆畫路徑數分別有3、41、1076條；也找出3×3×3立體空間中逐層走完的一筆畫路徑數是166條。最後將立體空間的一筆畫路徑走法分類，再利用3×3×2立體空間中隨機穿越走完上下二層的一筆畫路徑數1044條，分類推算出3×3×3立體空間中隨機穿越走完前二層，再走完第三層的一筆畫路徑數共有9832條。

數學是學生最感頭痛的學科，教師們為了破除學生對數學科的畏懼，無不挖空心思，運用各種方法進行教學，冀望學生有朝一日能頓悟做數學的樂趣，而順利達成教學目標。在許多教學方法中，最有效也最受學生歡迎的莫過於多利用教具了。好的教具能協助效師與學生的溝通，也能使教者與學者兩方面都感到輕鬆愉快。經由教具的協助，可能使教學收到事半功倍的效果，這樣的教具當然能受到師生的歡迎，並且很樂意常加利用。相反的，如果某種教具，使用不夠方便，溝通又不容易，讓使用者覺得有了它反而是一種累贅時，這樣的教具就註定要遭到摒棄，而被塵封於倉庫裡。近幾年來，教育廳曾配發給學校許多教具，這些教具大都是方便而有效的好教具，因此很受學校的歡迎。可是其中卻有一種“位值算盤”自從配發以來就很少有人動用過。由於它的數量相當多（註一），應該是經專家認定為值得推廣的優良教具才對，然而為什麼它會被如此冷落呢？其中的因由何在？為了探究它失寵的道理，於是我們開始進行這項研究。

上數學課前，老師要全班先背一遍九九乘怯表 2 到 5 都背得很順口，也背得很快，叫起來但是4X9=36 就常有同學背成4X9=32。孟怡和我還有碧蕙就大叫起來，4X9怎麼會32呢？老師就點點頭叫大家繼續背， 6 的乘數背的速度就比前面的 5 慢，7 和 8 更慢，而且雜音很多，背錯的同學都伸長舌，慢慢的背到9X4又是32。 等大家都背完9X9=81，老師就從 2 的倍數開始教大家算一算，它的倍數會變什麼魔數？讓大家認識九九乘法的變數，老師教大家做一做，我們覺得很有趣因為： 發現： ( 1 ) 2 . 4 . 5 . 7 . 8的乘法它們的積數 ，十位和個位數字相加所得的和 1 到 9 的數字都有，【 如(一)(三)(四)(六)(七)】。 ( 2 ) 3 和 6 的乘扶，積數的十位數和個位數相加所得的和都是 3 、 6 、 9 三個數字 【 如(二)(五) 】。 ( 3 ) 9 的乘怯，積數的十位數和個位數字相加，所得的和都是 9 的數字 【 如(八)】。 ( 4 ) 3 . 6 . 9 的倍數，要怎麼認呢？

農曆年前石門水庫的水位急速的下降， 導致民生及工業用水不足， 而有限制用水的政策，更別說是供給農業使用的農業用水，農夫們因用水不夠而休耕，像這種情形每逢乾旱季節時就時常的發生， 是不是我們石門水庫的水裝的不夠多？ 而我們又要如何知道石門水庫的蓄水量？ 適逢數學課學到體積、面積與容積的算法， 於是我們就想利用這種算法來思考， 如何測量石門水庫的蓄水量？在思考的過程中經由資料蒐集與分析， 幾經討論乃決定使用辛普森法則運用於容積的計算， 但水庫的容積是如此的龐大， 欲解此難題， 有組員提出何不以學校內生態池為實驗標的， 因此， 本實驗以生態池為標的， 希望借此方法能推及各種不規則形狀的水池、湖泊、水庫? ? 等等的容積計算， 同時在操弄過程中能了解水池、湖泊、水庫所具有的蓄水與防洪功能， 又借由電腦強大的運算功能處理繁雜的測量數據， 更能精準算出結果。

本研究旨在探討圓錐表面積與圓錐體積的關係，期能找到最佳圓心角，使得不浪費紙板材料（圓錐表面積）的情況下，可以得到最大的圓錐體積。本結果之應用可以提供圓錐甜筒、圓錐型帳篷、漏斗等產品製造商的參考，在節省材料以及經濟效益的考慮前提下，建議製造圓錐造型廠商可以針對不同的考量，選擇圓心角的角度介於 222 度和 294 度之間。