數學科

83 年 4 月 16 日聯合報副刊，登了一篇陳之藩教授發表的成功湖邊散記之四一（令人失眼的數），文章中介紹令費曼大師抱恨以終的怪數 1 / 243 =0.004,115,226,337,448,559 ……並呼籲中小學的同學們加以思考，看規律有什麼演變？

在老師教完數列這一章後，也順便把Fibonacci數列及Lucas數列介紹始我們，而引發了好奇心與興趣去探索它。我們首先發現Fibonacci數列的第十五項末位有一個“0”，那兩個“0”呢？或許我們將表列得多一點，可找出末兩位為“0”的項，但三個、四個、…… “0”呢？若有，又是第幾項呢？這些都是值得我們去探討的問題，因此展開了底下的研究！

幾個月前，我無意間翻開哥哥去年參加學校算術奧林匹克競賽初賽的試題，其中有一題是有關正方形的算法。它是在木板上釘了 32 個釘子，木板上的每一個小格子都是大小一樣的正方形。然後用橡皮筋在這些釘子上套出正方形（如下圖）。問總共可套出多少個正方形？結果解答是 38 個，可是我卻畫超過 38 個，經詢問老師而且看過解答的說明後，它是一些用座標表示方程式的解，看也看不懂。於是就開始我這趟「釘板上的正方形」之旅了。

有一次看到班上小朋友玩智慧盤的遊戲，它是一個（ 4 × 4 ）的盒子，裹面有 l ~ 15 共 15 個數字塊，這些數字是各自散開的，而且沒有一定的順序，遊戲時只能用推移來重新排列，使它能變成整齊的排列，這個遊戲看起來並不難，可是有一次智慧盤掉在地上，我們把散在地上的數字重新放上，卻無論怎樣都排不起來，這使我們懷疑是不是所有的智慧盤都能排成功？於是我們決定用智慧盤做一些研究。

在實際的工藝應用上，我們有時順利用正方形的材料，剪裁出正三角形、正五邊形、正六邊形或邊數更多的正多邊形，為了減少材料的浪費，我們要使剪裁出之正多邊形面積最大，因此，如何剪裁才能使所剪裁的正多邊形面積達到最大，又面積最大時其與正方形面積的比為何，便是本文探討的主題。

本研究的內容關於：在一個三維的立方格子點(請見名詞定義)，在其中連接格線，使得從每一面透視，行與列都被填滿格線，我們稱為錯視全滿。 我們想要找到達成錯視全滿的方法、方法數與旋轉下的相異方法數…… 對所有 n 立方格子點，我們得出以下的結果： (一)達成錯視全滿至少需 3n 條格線，且必有 3n 格線達成的情況。 (二)收集 n 錯視點集合中所有點的骨架，必達成錯視全滿。稱為錯視解。 (三)用 Burnside 定理製作程式，計算「旋轉下相異錯視解數」。 (四)使用 Burnside，計算「旋轉下相異錯視解數」的一般式、遞迴式。

在復習第四冊時，發現了八十年度台灣省高中聯考的數學題目：在一個矩形紙板上，剪去其2/3，再剪去其剩下之紙板的2/3，反覆地做…。基於好玩的心理就在附圖上畫了起來，突然發現這個圖形非常有規律，有點像黃金矩形。我們便向老師提出問題：“若不按此種比值作分割，是否有其他變化，結果如何？”老師說： “ 如果你們有興趣想知道答案的話，可以去研究看看。” 因而，便在老師的指導下，展開了我們一連串的探討旅程。

平面上有一個有趣的幾何性質：在平面上給一定圓，L1,L2,L3為通過圓心之三相異直線，若圓上有一動點P，過P分別作對L1,L2,L3之投影點A,B,C，此我們稱為P對L1,L2,L3之正射影三角形，則為一剛體三角形(RigidTriangle)，即隨著動點P在圓上移動，ΔABC之形狀、大小不變。本篇研究主要是針對L1,L2,L3之相對位置，分別探討P點在圓上移動時，其正射影三角形之性質及其五心之軌跡。更進一步將P點在圓上移動之情形推廣至P點在其他圓錐曲線上移動之情形。這次的研究，我們利用了GeoGebra的軟體協助觀察各種情形之軌跡圖形，並引入了三線坐標系之觀念協助我們推導公式，研究中善用了三角形的五心中三線坐標系與直角座標系相互轉換之性質，搭配高二學習到的圓錐曲線內容，得到許多令人驚喜的結論。

2004年DragutinSvrtan,DarkoVeljanandVladimirVolenec三位教授在math.MG上發表了一篇文章,內容提到18世紀的幾何學家Monge將Ptolemy定理延伸到一般的五邊形,而Gauss則利用這個結果證明了一個鮮為人知的有趣定理—“高斯五邊形定理”,其內容是在說明如何從一個五邊形的”部份面積”算出”整體面積”。此結果經由許志農教授重新編寫在《算術講義》第19講中,同時也提出了一些新的問題。我們則在這篇文章中解決了之前留下來的問題,同時也發現了另一個與高斯五邊形定理等價且形式相似的結果—內五邊形定理,再利用之前的文獻和本篇文章的結果便能證明了以下定理的等價關係： Ptolemy定理≡和角公式 ‖‖ Monge公式 ‖‖ 高斯五邊形定理≡內五邊形定理

我們用簡潔的方法、巧妙借用益智遊戲的規則，解決一道月刊數學題目的一般化情形，得到豐富的成果。 「有9位足球隊員，身高兩兩不同，排成 3×3 的隊形，命橫列最高的2人舉手、縱行最高的2人舉手，兩次都有舉手的人去收拾場地。」 本作品探討上述題目隊形的一般化：隊員們分別排成任意長方形和長方體，得到下列結論： 一、將身高由低到高編號為：1、2、3、…，得到「必定收場地」的人之編號與「必不用收場地」的人之編號； 二、承一，若編號x不在必收或必不收之中，則可排出使x號學生收場地或不收場地的隊形； 三、收場地人數的最大值與最小值； 四、若人數p介於收場地人數最大值與最小值之間，均可排出恰為p人收場地的隊形。