數學科

83 年 4 月 16 日聯合報副刊，登了一篇陳之藩教授發表的成功湖邊散記之四一（令人失眼的數），文章中介紹令費曼大師抱恨以終的怪數 1 / 243 =0.004,115,226,337,448,559 ……並呼籲中小學的同學們加以思考，看規律有什麼演變？

在老師教完數列這一章後，也順便把Fibonacci數列及Lucas數列介紹始我們，而引發了好奇心與興趣去探索它。我們首先發現Fibonacci數列的第十五項末位有一個“0”，那兩個“0”呢？或許我們將表列得多一點，可找出末兩位為“0”的項，但三個、四個、…… “0”呢？若有，又是第幾項呢？這些都是值得我們去探討的問題，因此展開了底下的研究！

自從上了六年級以後，教室的佈置欄裡，就常常擺著各種具有挑戰性的數學題目或數學遊戲。有一次就出現了四塊積木，這四塊積木似乎與眾不同，每一塊積木都以紅、白、藍、綠四種顏色分別塗在各表面，但是每塊積木顏色的分佈都不一樣，而要求我們把這四塊積木疊在一起，使得每一側面都各出現四種顏色。對於這個挑戰，因為經過幾番的挫折，於是引起我們研究它的與趣。

本研究主要在探討奇數階平面方陣及奇數階立體方陣的規則，我們發現奇數階平面方陣及奇數階立體方陣有一定的規則可循。建構奇數階平面方陣可依據兩個規則：〈一〉平面方陣中的正中央所填入數字一定是數列的中間數。〈二〉每條直行及橫行中，各行數字所代表的座標依循著一定規律方式，座標依照A→B→C 或C→B→A，以及1→2→3 或3→2→1 的規則，並且都不重複。建構奇數階立體方陣可依據四個規則：〈一〉依據階數，將所有數字平均分組，接著將所有數字座標化。〈二〉數列的中間數字必落於中層，選取各組數字時，由中層先選取，其他層選取各組數字時，依據平面方陣建構之規則來選取。〈三〉各層數字選取後，先由中層開始建構，建構之規則與平面方陣之規則相同。〈四〉中層建構完成後，其他各層與中層的座標需要交錯，然後依序所對應的填上數字。

以「保險箱駭客」的問題出發，討論在偶偶棋盤、偶偶不相等棋盤、奇奇棋盤、奇奇不相等棋盤、奇偶棋盤中，符合行列奇數和行列偶數的各種可能。接著歸納出棋子總數的規則，找到其中幾個例外情況以及特殊的性質。利用棋子數的「增加2」與「增加4」，找出棋子的排列方法。並且，從中學習科學研究的方法，以及了解奇偶性質與行列的關聯。

有一次看到班上小朋友玩智慧盤的遊戲，它是一個（ 4 × 4 ）的盒子，裹面有 l ~ 15 共 15 個數字塊，這些數字是各自散開的，而且沒有一定的順序，遊戲時只能用推移來重新排列，使它能變成整齊的排列，這個遊戲看起來並不難，可是有一次智慧盤掉在地上，我們把散在地上的數字重新放上，卻無論怎樣都排不起來，這使我們懷疑是不是所有的智慧盤都能排成功？於是我們決定用智慧盤做一些研究。

本研究以五連塊為基礎，利用窮舉法、圖形操作推導與驗證六連塊之所有組合方式。研究結果發現連塊個數、連接邊數、L形轉角數與連塊可擴充位置數量及連塊組合方式有關，此研究可做為後續推導七以上連塊組合方式之參考。

在復習第四冊時，發現了八十年度台灣省高中聯考的數學題目：在一個矩形紙板上，剪去其2/3，再剪去其剩下之紙板的2/3，反覆地做…。基於好玩的心理就在附圖上畫了起來，突然發現這個圖形非常有規律，有點像黃金矩形。我們便向老師提出問題：“若不按此種比值作分割，是否有其他變化，結果如何？”老師說： “ 如果你們有興趣想知道答案的話，可以去研究看看。” 因而，便在老師的指導下，展開了我們一連串的探討旅程。

平面上有一個有趣的幾何性質：在平面上給一定圓，L1,L2,L3為通過圓心之三相異直線，若圓上有一動點P，過P分別作對L1,L2,L3之投影點A,B,C，此我們稱為P對L1,L2,L3之正射影三角形，則為一剛體三角形(RigidTriangle)，即隨著動點P在圓上移動，ΔABC之形狀、大小不變。本篇研究主要是針對L1,L2,L3之相對位置，分別探討P點在圓上移動時，其正射影三角形之性質及其五心之軌跡。更進一步將P點在圓上移動之情形推廣至P點在其他圓錐曲線上移動之情形。這次的研究，我們利用了GeoGebra的軟體協助觀察各種情形之軌跡圖形，並引入了三線坐標系之觀念協助我們推導公式，研究中善用了三角形的五心中三線坐標系與直角座標系相互轉換之性質，搭配高二學習到的圓錐曲線內容，得到許多令人驚喜的結論。

在實際的工藝應用上，我們有時順利用正方形的材料，剪裁出正三角形、正五邊形、正六邊形或邊數更多的正多邊形，為了減少材料的浪費，我們要使剪裁出之正多邊形面積最大，因此，如何剪裁才能使所剪裁的正多邊形面積達到最大，又面積最大時其與正方形面積的比為何，便是本文探討的主題。