在一次偶然中，我們在牛頓雜誌上看到了一個題目：“已知一線段 ，欲求 上一點 E 使 為黃金比。” 作法如下： ( l ）取 長的一半為 ，使之垂直 於 B ，並連接 。 ( 2）以 C 為圓心， 為半徑，書弧交 於 D 點。 ( 3）以 A 為圓心， 為半徑，畫弧交 於 E 點。 ( 4）則 被E點分成具有黃金比例之二線段。 從數值上來分析： 雖然作法簡潔、特殊，且能由值的計算得到證明，但是，我們卻無法了解為什麼這樣作就能得到黃金分割，它的動機、思考方向引起了我們的興趣，而促成了我們深入去研究──黃金矩形。

除非是散步解悶，可以漫不經心地隨意走，否則必有一個目標，並且要選擇一條達到目的的「捷徑」，這不是數學家的專門話題，而是你我現實的問題。如果世界到處都是一片沙漠，這問題也就沒什麼了。只是都市中街道交錯有紅綠釘，即使在郊外也是山巒起伏，很不簡單」。如果對一個平常人來說，選擇短的路徑可為他節省許多體力上的透支，但在「特殊情形」之下，時間所扮演的角色就是最重要的了。例如在軍事上行軍的路徑，飛機航路導向飛彈的路徑等等....。如果發生火災和交通事故，救火車和救護車的行徑更決定了生命和財產損失的多寡，和你切身關係密切的，更是不少，如果你早上起床晚了，抄個近路，可免遲到，上班、上學都很實用。

在三色卡中，發現若能排列成使所有(n-1)(n-2)/2 個正六邊形中都有0 或3 或6 張「相異卡」時，此色卡必可拼成。四色卡共有A、B、C、D、E、F 六種，其中A 和F，B 和D，C 和E 顏色排列順序恰好相反。當任取四張四色卡排成田字欲判斷是否有解時，可用換半套法將F 換成A，D 換成B，E 換成C，再依判別規則即知是否有解。這在n×n 拼圖上可迅速檢查出無解排列。四色卡中只取相對一組卡(如A 和F)作九宮格拼圖，在所有(n-2)2 個排列組合中，若均有(1)一條鞭型 (2)提燈籠型(3) Y 字型 (4)X 字型四形之一則此色卡必可拼成，反之則否。利用 n2/2 張A 與n2/2 張F，想在一張空白n×n 拼盤上快速拼出一個成功的拼圖，須使一、 行中 A 張數×列中A 張數＋行中F 張數×列中F 張數＝n2/2 張。或 二、 只要在一排中放n/2 張A，亦能拼成。在一種創新四色卡兩人拼圖競賽(甲欲拼成，乙扯後腿)中，常態下輸贏機率各半，但本文中找到一種贏的策略，若甲方使用此策略必勝。

本研究從探討右圖中一種益智火柴遊戲開始，我們在反覆的尋找解答與討論中，發現其解答的個數與圖形之間有某種規律。因此，第一章，我們從一些相類似的題目，歸納出一套解題的方法與技巧。第二章，我們定義「拆解後火柴棒數與原有火柴棒數的差」為「重複」，「重複」是圖形的其中一項要素，且在下一章探討中扮演重要的角色。在第三章中，我們針對有關益智題型的「移除」做探討，瞭解「移除s根火柴棒使其變成n個正方形」之題型，尋其規律。

利用硬幣、骰子、撲克牌、電算器等，經由實驗、操作及推論，驗證了簡單的機率原則，並且求出簡單的規律性，進而利用這些規律求解出撲克牌梭哈遊戲中，同花大順、四梅、葫蘆的組合數及出現機率，最後，激起我們研究動機的題目----「中樂透頭獎的機率是多少？」

使用尤拉函數尋找某一個自然數n互質個數k，Ψ（n）=k是大家都以精熟悉的方法。而，我們有一個想法，某一個互質個數是k的情況下，則對應於自然數n的情況是如何？如何從Ψ（n）=k反推Ψ-1（k）=n？Ψ-1（k）=n有沒有解？對於Ψ-1（k）=n有哪些性質？Ψ-1（k）=n解的範圍如何？在本研究將逐一研究及討論。

三角形有角(angle)、邊(side)、高(height)、中線(median)以及內角平分線(angle bisector)各3個，總共15個條件，從其中任取3個，有95種不同的組合。研究中應用尺規作圖與國中所學的幾何性質，可以作出所有不含內角平分線的48種組合的三角形，含內角平分線的47種組合中，只作出9種，共作出57種組合的三角形。作出的組合中，有27種組合的三角形是唯一的，不唯一的組合中，有16種條件中只包含一個角，而當這個角為直角時，有15種的三角形會變成唯一。也就是說，研究中找到27個三角形全等條件以及15個特殊的全等條件。

數學在本質上雖然是嚴格的演繹科學，但在教學方法上卻也重視其實驗與歸納的一面，所以教育部所頒國中數學教學原理上，特別強調這一點，即學生親自操作的行為表現，而此種具體運作，如果藉多變化的釘板幾何，進而使用般進步的Logo電腦語言表達出來，當更能培養學生對數學之學習興趣及創造精神，本乎此，乃致力此種輔助激學之潛心研究。

對於「厄多斯與斯特勞斯猜想」，一直以來皆尚未有人破解。但研究價值未減，我們受其\r 吸引先後做出兩份作品。\r 第一份針對四十五屆中小學國展第三名作品做改進。發現其內容太複雜，不夠精簡，且\r 過於執著全國第三名作品的部份思維，導致代數衍生過多、計算困難，不夠系統化！\r 所以今年我們改進前份作品：最初思考以完全代數化來精簡內容，並引用方便閱讀紀錄\r 的數學符號運算。沒想到卻也意外找到「 厄多斯與斯特勞斯猜想」更 有系統地處理方式！\r 也因架構更系統化，讓我們方便以電腦程式來測試。\r 雖然最後，我們仍然未解決「厄多斯與斯特勞斯猜想」，不過卻在目前找到的資料中，得\r 到最有系統的解題架構，並將此猜想轉化成另一個存在性問題。

暑假上科學營時，老師教我們玩發芽（ sprout ）遊戲，愈玩愈好奇，越劃越多，漸漸浮現出變化規則，而引起我們的研究興趣，於是共同探討發芽的變化，以掌握勝利要訣。甚至用電腦來玩，從螢幕上看到具體的現象，建立直接基礎，以激發想像力與創造力。