數學科

對於「厄多斯與斯特勞斯猜想」，一直以來皆尚未有人破解。但研究價值未減，我們受其\r 吸引先後做出兩份作品。\r 第一份針對四十五屆中小學國展第三名作品做改進。發現其內容太複雜，不夠精簡，且\r 過於執著全國第三名作品的部份思維，導致代數衍生過多、計算困難，不夠系統化！\r 所以今年我們改進前份作品：最初思考以完全代數化來精簡內容，並引用方便閱讀紀錄\r 的數學符號運算。沒想到卻也意外找到「 厄多斯與斯特勞斯猜想」更 有系統地處理方式！\r 也因架構更系統化，讓我們方便以電腦程式來測試。\r 雖然最後，我們仍然未解決「厄多斯與斯特勞斯猜想」，不過卻在目前找到的資料中，得\r 到最有系統的解題架構，並將此猜想轉化成另一個存在性問題。

曾經在數形關係的章節中，遇到了數列1，1，2，3，5，8…，覺得這數列真是與眾不同，詢問老師後才知道這數列的名稱是斐波那契數列，且這數列是在13世紀初的數學著作中被提出的，更有趣的是一開始其實這是個生小兔的問題，於是決定與同學一起研究這特別的數列------斐波那契數列。

本文試著討論，在一個 3x3 的棋盤上放置九個兩面棋(一面為紅色、一個為黑色)，規定其中任何一個棋子翻面時，則與它相鄰的棋子也必須同時翻面，依照這個規定，我們要研究：翻那幾個棋子才能過關?我們先以 2x2 棋盤，來看看會有什麼蛛絲馬跡?在一面歸納一面嘗試之後，發現 3x3 棋盤快速過關的祕訣，以及那些棋子翻動後就無法過關。另外，如果棋盤擴增為 4x4 或 5x5 時，我們試著先翻棋盤上對角線的棋子，全面翻紅的成功率比較高，在尋找 4x4 或 5x5 的過關翻法時，我們察覺到 4x4 棋盤過關翻法的前幾步與有規律的一直下去，那我們真的就是無敵「操盤手」。

在去年，我曾以「有關整變數多項式之定理」為題（現更名為「等差變數多項式之定理」）參加第十八屆全國中小學科學展覽倖獲全國高中學生組第一名，後來幾經研究又得到了一些結果，並在其推廣探討中，又獲得更進一步的發現。在「有關整變數多項式定理」一文中，我所探討的皆限制於單變數多項式，舉凡一切的性質、定理等均建立在單一變數多項式函數之上。因是，我們便有了疑問，是否這種關係也存在於二變數、三變數 .... ，甚至多變數多項式之中呢？這是個很有趣的．猜測。因此，下面我們先回憶一下以前的資料，作全盤的了解，再繼續探討剛才所提出的新猜測。

因為數學社團的一個遊戲，開始讓我們對研究：「讓所有數字變成一」的方法有興趣。在經過許多人的幫助以及很多的實驗挫折之後，我們總結了有「PxN+1」與「tN+t」/t 這兩種方法可以讓所有的數字變成一。而且在研究與實驗的過程，我們還利用「PxN+1」的倒推方法：「樹狀圖」，發現了一種編碼方法。

有一次，我在 〝 小叮噹數學百科 〞 上，看到一個問題，它說：用同一條線圍成的長方形和正方形面積不一樣大，我覺得很奇怪，為什麼不一樣大呢？如果用同樣這一條線圍成圓形、三角形、四邊形、五邊形……很多邊形，誰的面積大呢？於是我和同學一起收集資料並且請教老師，做了以下的實驗。

射擊中的成績，通常是以實際彈著點與靶心的距離為準，距離愈近則成績愈佳反之則劣。

未來21世紀高雄將跟上首都台北的腳步--興建捷運系統，將海都高雄完全發展成最先進的都會區。高雄捷運跟台北不一樣，採地下化建築，其中紅線與橘線基本路網已經規劃好，聽爸爸說，不管是哪一路線都需建捷運主機廠，主機廠對於捷運相當於心臟對於人類，於是便想:是否能找到一個位置到各捷運站的距離和為最小，以方便控制?又從文獻上得知在三角形中有一點到三頂點距離和為最小，稱為"費馬點"，於是即以此為出發點，對費馬點的性質來進行一系列的探討與研究。

清華大學林哲雄教授曾經蒞臨本校演講，提到 1994 年 IMO 第 6 題曾被撤換，原題如下： 給定 n 堆銅板，允許採用下述規則來搬動：在每次搬動中，可任意選擇兩堆，從一推搬動一些銅板到另一堆，使得每次搬動後，另一堆的銅板數目增加一倍。 (一)試證：當 n = 3 時，經有限次搬動必可將 3 堆變 2 堆。 (二)當 n = 2 時，試找出兩堆銅板數的關係式，使得經過有限次搬動後，一定可以將 2 堆變成 1 堆的充要條件。 經過幾次的搬動後，我們對此問題產生濃厚的興趣。

研究主題探討「七邊形的數字謎題」：七邊形每邊三個圓圈，圈中填入數字1~14(不得重複使用)，使得每邊和為26。觀察發現數字填入時的特性：七個邊中圓圈務必填入1~7，七個頂點圓圈務必填入8~14。嘗試在此條件下尋求謎題解，方法一：將1~7 依序填入邊中圓圈，再考慮8~14 來配成每邊和26。方法二：以14 為中心起始數字(頂點圓圈)，考慮兩旁(邊中圓圈)放的數字組合，再找出整組解。方法三：列出每邊和為26 的所有可能組合，從中挑7 組串成一七邊形的組合。結果發現：謎題有解，解非唯一。依同樣的數字填法，進一步推廣討論，(一)「邊數改變」，求每邊和。(二)快速找出各邊數的謎題解法。(三)填入「數字改變」，求每邊和。(四)七邊形的數字謎題數字填法改變，求「各邊和的變化」。結果發現：圖形的邊數可推廣至n 邊形，其中奇數邊形的謎題有解，偶數邊形的謎題則否，而數字的改變只需考慮連續性，皆能有解。七邊形的數字謎題之各邊和的值可變動，上下限範圍值於19~26 之間。