數學科

對於「厄多斯與斯特勞斯猜想」，一直以來皆尚未有人破解。但研究價值未減，我們受其\r 吸引先後做出兩份作品。\r 第一份針對四十五屆中小學國展第三名作品做改進。發現其內容太複雜，不夠精簡，且\r 過於執著全國第三名作品的部份思維，導致代數衍生過多、計算困難，不夠系統化！\r 所以今年我們改進前份作品：最初思考以完全代數化來精簡內容，並引用方便閱讀紀錄\r 的數學符號運算。沒想到卻也意外找到「 厄多斯與斯特勞斯猜想」更 有系統地處理方式！\r 也因架構更系統化，讓我們方便以電腦程式來測試。\r 雖然最後，我們仍然未解決「厄多斯與斯特勞斯猜想」，不過卻在目前找到的資料中，得\r 到最有系統的解題架構，並將此猜想轉化成另一個存在性問題。

一張全開的紙(1090mm*787mm)最多可以切成幾張A4(297mm*210mm)，切了老半天我們只能切出10張，沒想到印刷廠老闆輕輕鬆鬆就可以畫出11張的切割圖，簡直太帥了，這不禁讓我們想到，若換了紙張或換了單位紙張又能切出多少塊呢？難道我們得不斷地畫不斷地排才能找出答案嗎？或許這些長寬之間是有關係的，因此我們就針對這個紙張切割問題去嘗試進行研究。研究中除了探索市面上紙張規格（菊版與四六版）與切割k數及影印紙的關係外，針對一張紙要如何才能切出最多塊單位紙張之問題，我們發現除了大小長寬有倍數關係的組合能完全切割外，其餘的並非能順利完切，在嘗試了數百組的數據進行紙上切割後，我們找到了能夠完切或接近完切的方法（或拼法），利用十字交乘法及搭配旋轉排法即可順利推得所能切出的最大數量，另外，我們再延伸利用此研究成果，設計了16套遊戲拼盤組，讓班上同學挑戰之。

曾經在數形關係的章節中，遇到了數列1，1，2，3，5，8…，覺得這數列真是與眾不同，詢問老師後才知道這數列的名稱是斐波那契數列，且這數列是在13世紀初的數學著作中被提出的，更有趣的是一開始其實這是個生小兔的問題，於是決定與同學一起研究這特別的數列------斐波那契數列。

射擊中的成績，通常是以實際彈著點與靶心的距離為準，距離愈近則成績愈佳反之則劣。

研究主題探討「七邊形的數字謎題」：七邊形每邊三個圓圈，圈中填入數字1~14(不得重複使用)，使得每邊和為26。觀察發現數字填入時的特性：七個邊中圓圈務必填入1~7，七個頂點圓圈務必填入8~14。嘗試在此條件下尋求謎題解，方法一：將1~7 依序填入邊中圓圈，再考慮8~14 來配成每邊和26。方法二：以14 為中心起始數字(頂點圓圈)，考慮兩旁(邊中圓圈)放的數字組合，再找出整組解。方法三：列出每邊和為26 的所有可能組合，從中挑7 組串成一七邊形的組合。結果發現：謎題有解，解非唯一。依同樣的數字填法，進一步推廣討論，(一)「邊數改變」，求每邊和。(二)快速找出各邊數的謎題解法。(三)填入「數字改變」，求每邊和。(四)七邊形的數字謎題數字填法改變，求「各邊和的變化」。結果發現：圖形的邊數可推廣至n 邊形，其中奇數邊形的謎題有解，偶數邊形的謎題則否，而數字的改變只需考慮連續性，皆能有解。七邊形的數字謎題之各邊和的值可變動，上下限範圍值於19~26 之間。

幾個月前，我無意間翻開哥哥去年參加學校算術奧林匹克競賽初賽的試題，其中有一題是有關正方形的算法。它是在木板上釘了 32 個釘子，木板上的每一個小格子都是大小一樣的正方形。然後用橡皮筋在這些釘子上套出正方形（如下圖）。問總共可套出多少個正方形？結果解答是 38 個，可是我卻畫超過 38 個，經詢問老師而且看過解答的說明後，它是一些用座標表示方程式的解，看也看不懂。於是就開始我這趟「釘板上的正方形」之旅了。

因為數學社團的一個遊戲，開始讓我們對研究：「讓所有數字變成一」的方法有興趣。在經過許多人的幫助以及很多的實驗挫折之後，我們總結了有「PxN+1」與「tN+t」/t 這兩種方法可以讓所有的數字變成一。而且在研究與實驗的過程，我們還利用「PxN+1」的倒推方法：「樹狀圖」，發現了一種編碼方法。

未來21世紀高雄將跟上首都台北的腳步--興建捷運系統，將海都高雄完全發展成最先進的都會區。高雄捷運跟台北不一樣，採地下化建築，其中紅線與橘線基本路網已經規劃好，聽爸爸說，不管是哪一路線都需建捷運主機廠，主機廠對於捷運相當於心臟對於人類，於是便想:是否能找到一個位置到各捷運站的距離和為最小，以方便控制?又從文獻上得知在三角形中有一點到三頂點距離和為最小，稱為"費馬點"，於是即以此為出發點，對費馬點的性質來進行一系列的探討與研究。

本文試著討論，在一個 3x3 的棋盤上放置九個兩面棋(一面為紅色、一個為黑色)，規定其中任何一個棋子翻面時，則與它相鄰的棋子也必須同時翻面，依照這個規定，我們要研究：翻那幾個棋子才能過關?我們先以 2x2 棋盤，來看看會有什麼蛛絲馬跡?在一面歸納一面嘗試之後，發現 3x3 棋盤快速過關的祕訣，以及那些棋子翻動後就無法過關。另外，如果棋盤擴增為 4x4 或 5x5 時，我們試著先翻棋盤上對角線的棋子，全面翻紅的成功率比較高，在尋找 4x4 或 5x5 的過關翻法時，我們察覺到 4x4 棋盤過關翻法的前幾步與有規律的一直下去，那我們真的就是無敵「操盤手」。

班際籃球賽期間，我走到體育組前面的佈告欄，看到籃球賽程有 12 隊參加，在比賽中有： a 隊勝 b 隊、 b 隊勝 c 隊、 c 隊勝 a 隊，此種和局情況。我知道：若 12 個相異點中任三點不共線，兩兩連線有(12×11×10)/(3×2×1)個 △ 。但我想到：若以 1 ~ n 表各隊參賽名稱及點的編號，並定義「 p→q 」表第 p 隊勝第 q 隊，則三隊和局情況可以b>c" src="/ezfiles/4/1004/img/13/4.jpg" /> 或c>b" src="/ezfiles/4/1004/img/13/5.jpg" /> 表示，我們稱此為「完美三角形」。那麼在這定義下，若有 n 個隊伍舉辦了單循環賽，那麼形成完美 △ 個數之範圍為何？於是就展開了我的研究之旅。