數學科

本研究從探討右圖中一種益智火柴遊戲開始，我們在反覆的尋找解答與討論中，發現其解答的個數與圖形之間有某種規律。因此，第一章，我們從一些相類似的題目，歸納出一套解題的方法與技巧。第二章，我們定義「拆解後火柴棒數與原有火柴棒數的差」為「重複」，「重複」是圖形的其中一項要素，且在下一章探討中扮演重要的角色。在第三章中，我們針對有關益智題型的「移除」做探討，瞭解「移除s根火柴棒使其變成n個正方形」之題型，尋其規律。

幾個月前，我無意間翻開哥哥去年參加學校算術奧林匹克競賽初賽的試題，其中有一題是有關正方形的算法。它是在木板上釘了 32 個釘子，木板上的每一個小格子都是大小一樣的正方形。然後用橡皮筋在這些釘子上套出正方形（如下圖）。問總共可套出多少個正方形？結果解答是 38 個，可是我卻畫超過 38 個，經詢問老師而且看過解答的說明後，它是一些用座標表示方程式的解，看也看不懂。於是就開始我這趟「釘板上的正方形」之旅了。

國中二年級的數學課程中，我們學習到 (a+b)2 = a2+2ab+b2，如果次方依序增加，即(a+b)3、(a+b)4、(a+b)5．．老師教導我們可以利用巴斯卡三角形的方法求解二項式各次方乘積的結果。那麼(a+b+c)2、(a+b+c)3、(a+b+c)4三項展開式會如何呢？又(a+b+c+d)2、(a+b+c+d)3、(a+b+c+d)4四項展開式會有什麼規律麼? 這就是我們這次想要探索的目標。

班際籃球賽期間，我走到體育組前面的佈告欄，看到籃球賽程有 12 隊參加，在比賽中有： a 隊勝 b 隊、 b 隊勝 c 隊、 c 隊勝 a 隊，此種和局情況。我知道：若 12 個相異點中任三點不共線，兩兩連線有(12×11×10)/(3×2×1)個 △ 。但我想到：若以 1 ~ n 表各隊參賽名稱及點的編號，並定義「 p→q 」表第 p 隊勝第 q 隊，則三隊和局情況可以b>c" src="/ezfiles/4/1004/img/13/4.jpg" /> 或c>b" src="/ezfiles/4/1004/img/13/5.jpg" /> 表示，我們稱此為「完美三角形」。那麼在這定義下，若有 n 個隊伍舉辦了單循環賽，那麼形成完美 △ 個數之範圍為何？於是就展開了我的研究之旅。

暑假上科學營時，老師教我們玩發芽（ sprout ）遊戲，愈玩愈好奇，越劃越多，漸漸浮現出變化規則，而引起我們的研究興趣，於是共同探討發芽的變化，以掌握勝利要訣。甚至用電腦來玩，從螢幕上看到具體的現象，建立直接基礎，以激發想像力與創造力。

運用中線性質、平行線交換面積、等角面積比定理和作相似形、作三點共圓等，求出「過三角形邊上、內部、外部任意點」的三角形面積平分線。再探討出過三角形內部點的位置和面積平分線的數目關係。並擴大解出「過四邊形至N邊形邊上、內部、外部任意點」的N邊形面積平分線。

此作品研究「若有m個杯子，其中t1個杯子朝上，每次翻轉n個杯子，討論m、n在何條件下，可將m個杯子翻成t2個杯子朝上，且最少翻轉次數為何？其翻轉過程又為何？是否有漢米爾頓路徑及迴路？」我們用數學歸納法和奇、偶數的特性來解決此問題，當翻轉杯數為奇數時，不管原有杯數為何，每個狀態均可翻到且互通；但翻轉杯數為偶數時，其情形則分兩類：杯子朝上的個數為奇數者屬一類，偶數者為另一類，同類可互通，不同類即不互通。而探討最少次數的作法則有別於其他研究，我們把問題轉換成狀態圖，來尋找最短路徑及翻轉流程，且探討此圖是否有Hamiltonian Cycle或Hamiltonian path。此外，我們亦用矩陣討論當翻轉次數固定時，可看出某狀態至某狀態可互通，並可計算其方法數。

本文主要是研究如何利用“邊長為1的正方形紙張,折出各種面積小於1的正方形圖形”,與如何利用紙張摺出各種的正N邊形(含尺規作圖無法作出的正七邊形、正九邊形、……),以達加深加廣學習者的幾何概念並與小學的美勞課程銜接。試圖以摺紙方法解決“古典幾何三大問題”,並已解決其中的三等分角與立方倍積問題。

本研究的內容關於：在一個三維的立方格子點(請見名詞定義)，在其中連接格線，使得從每一面透視，行與列都被填滿格線，我們稱為錯視全滿。 我們想要找到達成錯視全滿的方法、方法數與旋轉下的相異方法數…… 對所有 n 立方格子點，我們得出以下的結果： (一)達成錯視全滿至少需 3n 條格線，且必有 3n 格線達成的情況。 (二)收集 n 錯視點集合中所有點的骨架，必達成錯視全滿。稱為錯視解。 (三)用 Burnside 定理製作程式，計算「旋轉下相異錯視解數」。 (四)使用 Burnside，計算「旋轉下相異錯視解數」的一般式、遞迴式。

83 年 4 月 16 日聯合報副刊，登了一篇陳之藩教授發表的成功湖邊散記之四一（令人失眼的數），文章中介紹令費曼大師抱恨以終的怪數 1 / 243 =0.004,115,226,337,448,559 ……並呼籲中小學的同學們加以思考，看規律有什麼演變？