數學科

83 年 4 月 16 日聯合報副刊，登了一篇陳之藩教授發表的成功湖邊散記之四一（令人失眼的數），文章中介紹令費曼大師抱恨以終的怪數 1 / 243 =0.004,115,226,337,448,559 ……並呼籲中小學的同學們加以思考，看規律有什麼演變？

在去年，我曾以「有關整變數多項式之定理」為題（現更名為「等差變數多項式之定理」）參加第十八屆全國中小學科學展覽倖獲全國高中學生組第一名，後來幾經研究又得到了一些結果，並在其推廣探討中，又獲得更進一步的發現。在「有關整變數多項式定理」一文中，我所探討的皆限制於單變數多項式，舉凡一切的性質、定理等均建立在單一變數多項式函數之上。因是，我們便有了疑問，是否這種關係也存在於二變數、三變數 .... ，甚至多變數多項式之中呢？這是個很有趣的．猜測。因此，下面我們先回憶一下以前的資料，作全盤的了解，再繼續探討剛才所提出的新猜測。

運用中線性質、平行線交換面積、等角面積比定理和作相似形、作三點共圓等，求出「過三角形邊上、內部、外部任意點」的三角形面積平分線。再探討出過三角形內部點的位置和面積平分線的數目關係。並擴大解出「過四邊形至N邊形邊上、內部、外部任意點」的N邊形面積平分線。

自從上了六年級以後，教室的佈置欄裡，就常常擺著各種具有挑戰性的數學題目或數學遊戲。有一次就出現了四塊積木，這四塊積木似乎與眾不同，每一塊積木都以紅、白、藍、綠四種顏色分別塗在各表面，但是每塊積木顏色的分佈都不一樣，而要求我們把這四塊積木疊在一起，使得每一側面都各出現四種顏色。對於這個挑戰，因為經過幾番的挫折，於是引起我們研究它的與趣。

極限在近代數學中無異扮演者極重要的角色。但是在高中數學介紹了極限之後，我們卻很少找到實際去應用的例子。有很多例子本可用極限的概念作一典型的描述，但是數學課本一直避而不談；我們看整個課程，除了切線、導數一部分採用極限的作法，極少數是以極限為立論的根據。並且在一般學生的概念中，對於極限的定義都似懂非懂，原因是在於其抽象的證明。今天我們希望能藉此件作品來引起大家對於這個部分的重視，我們盡量少用證明，而多用實際運算來作這一些題目。我們只要先把握住一一一個（數列（點列）若收斂，則極限唯一）一一的觀念就可以做好下面的問題。

本研究從探討右圖中一種益智火柴遊戲開始，我們在反覆的尋找解答與討論中，發現其解答的個數與圖形之間有某種規律。因此，第一章，我們從一些相類似的題目，歸納出一套解題的方法與技巧。第二章，我們定義「拆解後火柴棒數與原有火柴棒數的差」為「重複」，「重複」是圖形的其中一項要素，且在下一章探討中扮演重要的角色。在第三章中，我們針對有關益智題型的「移除」做探討，瞭解「移除s根火柴棒使其變成n個正方形」之題型，尋其規律。

國中二年級的數學課程中，我們學習到 (a+b)2 = a2+2ab+b2，如果次方依序增加，即(a+b)3、(a+b)4、(a+b)5．．老師教導我們可以利用巴斯卡三角形的方法求解二項式各次方乘積的結果。那麼(a+b+c)2、(a+b+c)3、(a+b+c)4三項展開式會如何呢？又(a+b+c+d)2、(a+b+c+d)3、(a+b+c+d)4四項展開式會有什麼規律麼? 這就是我們這次想要探索的目標。

有一次看到班上小朋友玩智慧盤的遊戲，它是一個（ 4 × 4 ）的盒子，裹面有 l ~ 15 共 15 個數字塊，這些數字是各自散開的，而且沒有一定的順序，遊戲時只能用推移來重新排列，使它能變成整齊的排列，這個遊戲看起來並不難，可是有一次智慧盤掉在地上，我們把散在地上的數字重新放上，卻無論怎樣都排不起來，這使我們懷疑是不是所有的智慧盤都能排成功？於是我們決定用智慧盤做一些研究。

此作品研究「若有m個杯子，其中t1個杯子朝上，每次翻轉n個杯子，討論m、n在何條件下，可將m個杯子翻成t2個杯子朝上，且最少翻轉次數為何？其翻轉過程又為何？是否有漢米爾頓路徑及迴路？」我們用數學歸納法和奇、偶數的特性來解決此問題，當翻轉杯數為奇數時，不管原有杯數為何，每個狀態均可翻到且互通；但翻轉杯數為偶數時，其情形則分兩類：杯子朝上的個數為奇數者屬一類，偶數者為另一類，同類可互通，不同類即不互通。而探討最少次數的作法則有別於其他研究，我們把問題轉換成狀態圖，來尋找最短路徑及翻轉流程，且探討此圖是否有Hamiltonian Cycle或Hamiltonian path。此外，我們亦用矩陣討論當翻轉次數固定時，可看出某狀態至某狀態可互通，並可計算其方法數。

暑假上科學營時，老師教我們玩發芽（ sprout ）遊戲，愈玩愈好奇，越劃越多，漸漸浮現出變化規則，而引起我們的研究興趣，於是共同探討發芽的變化，以掌握勝利要訣。甚至用電腦來玩，從螢幕上看到具體的現象，建立直接基礎，以激發想像力與創造力。