一個假日，我跟同學到離家不遠的小公園玩，我們發現一件有趣的事。公園裡的花圃都是用24塊水泥甎圍成的，我們又發現，有的長方型花圃裡種了10株太陽菊，有的長方形裏種了18珠，可是正方形的花圃裡卻種了25株。每一株花的距離又都一樣。奇怪!正方形花圃裏，為什麼能種的比較多呢？第二天我去請教老師。老師開始指導我研究這個問題。

在遞迴式an+2＝|an+1|－an中簡單的代入幾個值，發現有九個一循環的現象。在一番巧思之下，我們先證明：函數f1(x)分別為1及-1、f2(x)＝x，且fn+2(x)＝|fn+1(x)|－fn(x), ?n?N， f5(x)與f6(x)圖形對稱於x＝1/2，進一步證得遞迴式循環，再將初始值伸縮至a1, a2為任意實數值。解法固然令人拍案叫絕，但令我們深深著迷，決定投入大量心血在此研究的原因，乃是遞迴式an+2＝β|an+1|-an，當0＜β＜1時，點(an, an+1)構成遞迴圖形的種種現象。 我們大量使用了函數及圖形分析的方法，定義函數fβ(cosθ, sinθ)＝(sinθ, β|sinθ|-cosθ)，發現f (n)β皆為 ?連續函數；?一對一；?(cosθ, sinθ)逆時針旋轉時f (n)β(cosθ, sinθ)同樣逆時針旋轉。藉由上述的性質推得遞迴圖形?在角度上稠密；?形狀與初始值無關；?初始值的改變產生相似的遞迴圖形。 在研究過程中，發現β＝0.86的遞迴圖形有別於其他β值，有待未來，我們四人能一窺遞迴圖形的終極密碼。

在課堂上教到第三冊數學的「二次曲線」時，我們的數學老師提到一個相當有趣的性質：再一個橢圓中，若是以此橢圓之中心0為起點，向橢圓的圓周做兩條互相垂直的線段0A、0B交橢圓圓周於點A、B。如下圖： \r

由AMPO 的題目「設ABCD 是一張長為a 的正方形的紙片。平面上有二平行直線L1,L2，其間隔之長也是a 。將正方形的紙片置於平面上，使AB，AD兩邊分別交L1於E 和F 兩點；同時CB，CD 兩點分別交L2於G 和H 兩點。設ΔAEF 和ΔCGH的周長分別是m1 和m2 。試證不論正方形ABCD如何擺，m1+m2是一個常數。」展開這趟充滿挫折、振奮、驚喜…五味雜陳的研究之旅，過程雖然艱辛，卻也帶給我們無限的成就感與更敏銳的觀察力。 我們的研究內容為多邊形與二條水平平行線所截出上下二個圖形其周長和之探討。一開始我們與在課本相似形單元時老師所問的問題連結並依此做猜想，再利用簡單的圖形基本性質做特殊化的驗證。當完成了原題目（正方形）的證明之後我們又繼續利用GSP 做輔助去尋找是否有其他的圖形也能擁有如此漂亮的性質？接著我們將研究分成兩大方向：1.奇數邊多邊形2.偶數邊多邊形的探討。 首先完成了所有奇數邊多邊形所能符合的條件討論與結果。接著又著手於偶數邊多邊形的探討：從正六、正八、正十、正十二邊形的研究中我們觀察出似乎按照某種方式去排放的話可以推廣至所有的偶數邊正多邊形使得它們都能像原題目那樣有著令人驚豔的結果呈現出來。 最後我們要對於先前所觀察猜測的部分做一完整的驗證：將所有偶數邊正多邊形分成兩大類1. n=4k, k?N 2. n=4k+2, k?N 完成研究討論。至此我們已經完整的將全部的多邊形與二條平行線截出二個三角形時的所有情況討論完畢，並且成功的推導出了正n 邊形的適用公式。

由學到的三角形全等、等積變換、相似多邊形、比例及二次函數等觀念，與未接觸過的三角函數及Σ的概念，利用逐步推導的方式探索由正多邊形到任意多邊形，當每邊以相同比例取分點時，依序連接各分點所形成的新多邊形與原多邊形是否相似，是否可並找出面積比值的公式及範圍；當每邊以不同比例取分點時，依序連接各分點所形成的新多邊形與原多邊形面積比值是否有公式及範圍。過程中透過Microsoft Excel及GSP繪圖軟體的運算分析來互相驗證結果。

還沒放寒假前，常聽到同學說到「魔術方塊」的速度、難度使我非常好奇，便到電動場所一探究竟，看了之後便更下定決心，研究魔術方塊的奧祕。

在“教學思考”一書中 ，有一個建中科展得獎作品 《 國際科展加拿大正選 》「走走跳跳 」，它的問題是從以下的“跳棋遊戲”開始的：\r 現在有五粒黑棋子及五粒白棋子一共十粒棋子，將它們放入一塊有十一個洞的木板上，五黑子置於其中 一個的五個洞中，五白子放在另一側的五個洞裡。我們想要將黑子及自子的位置互換但只能將棋子移到相鄰的洞或跳過一個棋子到另一個洞中。我能交換成功嗎？

三年前，在老師的指導下，以「n等分三角形面積」為題，參加了數學科展，並得到很好的名次，但在研究的過程中，卻發現了許多無該解決的問題，其中最重要的是何以有些點無法作出直線等分三角形，而在學過解析幾何，微積分後，遂欲利用這些工具解此問題。

六上數學，「怎樣解題」是我們學習的重心。在「角柱與角錐」的單元裡，我們觀察立體模型及其展開圖，歸納出「角柱與角錐」的特性及規律性。\r 在一個偶然的機會，看到師大數學系收藏的多面體組合模型和幾何拼圖板，引起我動作操作拼圖的樂趣，拼出各式各樣的多面體，有的是正多面體，有的是奇形怪狀凹凸不平的，有些看起來像一個球，有些是拼不出封閉的多面體，引起我的好奇心。我想這其中一定有一些道理，結果在拼圖的過程中，觀察出立體頂點數、稜數、面數的變動有一定的規則。在老師的指導下，閱讀相關的書籍資料，終於了解其中的道理和許多解題思考的規則，並得到實用的研究成果，很有收獲。

我們的研究在探討各式函數圖形，什麼時候會與弦圍出最小面積，首先我們探討了圓錐曲線，這是分別利用代數、空間幾何、及平面幾何的方法來證明。在證明完圓錐曲線後，我們開始推廣探討各式函數是否皆適用，過程中也利用平面幾何的方法來嘗試證明，但其中會遇到反曲點、開口方向不同等等情況，於是我們再利用一些特殊方法解決了這些問題，也證明了在任意多項式函數圖形中，中點弦會與函數圖形圍出最小面積。