數學科

數學在本質上雖然是嚴格的演繹科學，但在教學方法上卻也重視其實驗與歸納的一面，所以教育部所頒國中數學教學原理上，特別強調這一點，即學生親自操作的行為表現，而此種具體運作，如果藉多變化的釘板幾何，進而使用般進步的Logo電腦語言表達出來，當更能培養學生對數學之學習興趣及創造精神，本乎此，乃致力此種輔助激學之潛心研究。

約在5000年以前美索不達米亞地方，有一群巴比倫尼亞的牧羊人過著逐草而居的游牧生活。他們在牧羊的流浪生活中，每天觀察閃爍在夜空中的星星，久而久之，就從星星的動態中看出了很有規則的時刻與季節的變化。 他們將較亮的星星互相連接，並從連接而成的形狀去聯想各種動物、用具或甚至他們所信仰的神像等，並為它們取名，於是創造了所謂的星座。 在三維的宇宙中，處於同一星座的恆星，在多數情況都是沒有甚麼關係的，它們只是剛好在同一視線，而其實它們之間可能相距很遠──「如果我們身處銀河中另一太陽系，我們看到的星空將會完全不同。」 為了實現這個假設，我們透過國小高年級的課程中所運用的星座盤為起點，試著利用數學的理論，以數學軟體Geogebra做出一個立體星座盤的基礎模型。我們依下列的過程完成我們的科展： 1. 以向量來表示平面的點坐標。 2. 建立一個動態的平面直角坐標軸。 3. 利用動態的平面坐標進行作圖。 4. 將平面直角坐標系推廣，建立空間中的直角坐標軸。 5. 利用投影的原理，建立以螢幕的呈現為主的動態三維直角坐標。 6. 利用搜集到的資訊，建立立體的星座模型。 7. 利用圓的參數式，做出一個天球。

有一次，我在 〝 小叮噹數學百科 〞 上，看到一個問題，它說：用同一條線圍成的長方形和正方形面積不一樣大，我覺得很奇怪，為什麼不一樣大呢？如果用同樣這一條線圍成圓形、三角形、四邊形、五邊形……很多邊形，誰的面積大呢？於是我和同學一起收集資料並且請教老師，做了以下的實驗。

本研究由「通過三點之正n邊形」作圖延伸到「過n點之正n邊形」時，意外的發現到此n個點形成之n邊形可將費馬點以及拿破崙三角形推廣，也將視野拓展到了一個全然不同的世界。另外，在文獻收集過程中發現全國科展第51屆高中數學組「你泥中有我，」也有類似的研究討論。此文獻在過n點之正n邊形上探討的主要內容為「是否存在」，而我們邊形上探討的主要內容為「是否存在」，而我們邊形上探討的主要內容為「是否存在」，而我們邊形上探討的主要內容為「是否存在」，而我們主要為探討「如何主要為探討「如何作出存在無限多解的出存在無限多解的n個點及相關性質」，並利用廣義費馬點和拿破崙多邊性質」，並利用廣義費馬點和拿破崙多邊性質」，並利用廣義費馬點和拿破崙多邊性質」，並利用廣義費馬點和拿破崙多邊形的性質，來簡化作過n點之正n邊形的方法。

三年前的科學人雜誌曾看到一篇討論數獨初盤的文章─討論使一數獨有唯一解所需填進去的最小數目，結果是17個數字。因為數獨是最近才竄起的數字遊戲，所以能找的資料也很有限。後來便想到跟幻方(魔方陣)結合，試著找出對應關係。先鎖定較簡單的4×4數獨，為了讓數獨具備特殊性質(對角線上)，我們特別創造了”G數獨”─一組對角線上數字均不重複的數獨，使之在對角線上的和仍然與行列相同。利用幻方每行每列對4做模後為完全剩餘系之性質我們順利的找出一種變換方法，即在4×4G數獨固定一3×3方陣的四角，將固定角之相鄰元素互換可得一共軛數獨與原數獨以4:1及1:4比例構成X幻方。之後找到「井字變換法」亦可構成X幻方。原本想利用4×4G數獨的性質將9×9和16×16的情況解決，但用程式跑了一天還無法得到滿意的數據，因此我們開始懷疑9×9G數獨的存在性。於是我們利用Excel的自訂函式功能來找尋可能的變換法。最後，成功地找出一個廣義的變換法，其中仍是以兩共軛G數獨以1:n2及n2:1的比例製作X幻方。

本研究利用幾何和代數的方法配合Corel Draw 繪圖軟體突破一般探索星形內角和公式的範圍，從直線星形延伸探討至折線星形。另外，使用GSP 繪製星形，用以呈現折線星形的動態漸變過程，且驗證公式的正確性。主要的研究流程及結果如下：1. 直線星形種類：首先，利用正N 邊形的外框，固定相隔L 點連線即可完成星形。經推理和實際連線的結果，最多可連出[(N-3)/2]種。2. 探討直線星形內角和的一般性公式：無論星形內部的層數存在與否，可證得任意N（L）星形內角和公式為S（N,L）＝（N-2L-2）×180°。3探討折線星形的一般內角和公式：當星線為一個折點時，任意N? (L)折線星形內角和為S?(N, L)＝Q? (N, L)－（2L＋2）×180°，其中Q? (N, L)是折角總和。4. 在一個折點，且折角均相等的條件下，正N? (L,K)折線星形內角和為S?(N, L,K)＝（NK－2L－2）×180°。其K 值的變化範圍（2L+2）/N ?K? 1＋2（L-[L/2]）/2，星形變化的範圍為正N 條放射線至正N（[L/2] ）直線星形之間，在這個變化的範圍中除了包含了不同層的直線星形（[(N-3)/2]- [L/2]+1 種）外，層與層之間尚存在無窮多個星形。5. 當折線星形具 M 個折點時，一般的星形內角和為S?(N, L,M)＝（N(1-M)－2L－2）×180°＋ Q? (N, L,M) ；而當M 個折角均相等時，正N? (L,K,M) 星形內角和為S?(N, L,K,M)＝{N[MK－(M－1)]－2L－2}×180°。

使用尤拉函數尋找某一個自然數n互質個數k，Ψ（n）=k是大家都以精熟悉的方法。而，我們有一個想法，某一個互質個數是k的情況下，則對應於自然數n的情況是如何？如何從Ψ（n）=k反推Ψ-1（k）=n？Ψ-1（k）=n有沒有解？對於Ψ-1（k）=n有哪些性質？Ψ-1（k）=n解的範圍如何？在本研究將逐一研究及討論。

本研究對於過梯形對角線交點平行於上底的平行線，以雙光源的方式探討此平行線與上\r 下底所構成的比例線段的關係，並藉由過對角線交點，作平行線的方法，重複構造梯形，以\r 探討這些平行線所構成的比例線段的關係。並進一步探討正多邊形縮放的比例線段間的關\r 係，以及多邊形縮放的比例線段間的關係。\r 本研究發現：\r 一、 對於梯形ABCD，AD//BC，AD＜BC，由雙光源所構造的比例線段關係式為：\r 1/a1+n-2/a2=1/a3+1/a4+1/a5+1/a6+......+1/an-1+2/an\r (AD 為a1，BC 為a2，AD 與BC 之間的平行線為a3、a4、a5、a6、a7、a8…an)\r 二、 將外層正n 邊形，藉由光源法(光源置於其外接圓圓心)將其縮小為內層相似正n 邊形，\r 再用雙光源方式將其放大為中層相似正n 邊形，此三個相似正n 邊形的周長(S 大、S 中、\r S 小)所構成的比例關係式為：\r S中/S大+S中/S小=2(定值) （S 代表周長）\r 三、將外層n 邊形，藉由光源法(光源置於圖形內部)將其縮小為內層相似n 邊形，再用雙光源\r 方式將其放大為中層相似n 邊形，此三個相似n 邊形的對應邊所構成的比例線段關係式\r 為：\r b1/a1+b1/c1+b2/a2+b2/c2+b3/a3+b3/c3+...+bn/an+bn/cn=2*n

本研究以循環及由後面推理方式完整的解決歷屆科學展覽的難題「約瑟夫排列」。

本文主要就完全數列中的布朗準則(Brown's Critertion)、亨斯貝爾格(Honsberger)推理來探討正數係數線性齊次遞歸數列，得出是完全數列的有兩種類型：例如an+k = an+k-1 + an+k-2 + ......+ an+1 + 2an的數列、及型如an+k = an+k-1 + an+k-2 + ......+ an+1 + an，的k階廣義斐波納契數列；在適當選取初始條件，可使此數列為完全數列。且其初始條件的前k項最大值分別為1,2,4,8,…,2k-1 。 除了等比數列﹛1,2,4,8.16,…﹜的子序列和可唯一替代所有正整數外；本文同時建構廣義ｋ階斐波納契數列的初始條件，使其任一正整數可以唯一表示成相異且無k個相鄰的廣義k階斐波納契數和來替代。