數學科

清華大學林哲雄教授曾經蒞臨本校演講，提到 1994 年 IMO 第 6 題曾被撤換，原題如下： 給定 n 堆銅板，允許採用下述規則來搬動：在每次搬動中，可任意選擇兩堆，從一推搬動一些銅板到另一堆，使得每次搬動後，另一堆的銅板數目增加一倍。 (一)試證：當 n = 3 時，經有限次搬動必可將 3 堆變 2 堆。 (二)當 n = 2 時，試找出兩堆銅板數的關係式，使得經過有限次搬動後，一定可以將 2 堆變成 1 堆的充要條件。 經過幾次的搬動後，我們對此問題產生濃厚的興趣。

在遞迴式an+2＝|an+1|－an中簡單的代入幾個值，發現有九個一循環的現象。在一番巧思之下，我們先證明：函數f1(x)分別為1及-1、f2(x)＝x，且fn+2(x)＝|fn+1(x)|－fn(x), ?n?N， f5(x)與f6(x)圖形對稱於x＝1/2，進一步證得遞迴式循環，再將初始值伸縮至a1, a2為任意實數值。解法固然令人拍案叫絕，但令我們深深著迷，決定投入大量心血在此研究的原因，乃是遞迴式an+2＝β|an+1|-an，當0＜β＜1時，點(an, an+1)構成遞迴圖形的種種現象。 我們大量使用了函數及圖形分析的方法，定義函數fβ(cosθ, sinθ)＝(sinθ, β|sinθ|-cosθ)，發現f (n)β皆為 ?連續函數；?一對一；?(cosθ, sinθ)逆時針旋轉時f (n)β(cosθ, sinθ)同樣逆時針旋轉。藉由上述的性質推得遞迴圖形?在角度上稠密；?形狀與初始值無關；?初始值的改變產生相似的遞迴圖形。 在研究過程中，發現β＝0.86的遞迴圖形有別於其他β值，有待未來，我們四人能一窺遞迴圖形的終極密碼。

在撲克牌遊戲中，我們選擇了一個單人撲克牌遊戲，找尋在這40 張牌中迷人的規律。遊戲中發現要玩出一個結果似乎要花費很久的時間，並且也很容易失敗，所以我們簡化遊戲規則，讓完成的牌組不再循環，剩餘牌再重新排起。規則簡化後，不僅更快完成，並發現從中可找出最簡化的結果，４０張牌可找出１３組牌組，還剩一張固定剩餘牌３。接著我們討論出三種方法來觀察遊戲所遵循的規則，第三種方法可以找出一個規律，讓我們確定此遊戲的剩餘牌為３。得到遊戲規律後，我們試著以八尾來做推論，並試著將規律推測至所有的數，發現過了五以後，就不可能出現剩餘牌。我們很高興，以後這個遊戲可以不用侷限在九尾了，可以換作八尾、七尾，甚至只有一種可能的五尾。

以相對實力的概念計算第n節點的對手Xn之實力，藉此評估對手Xn對自己的威脅程度；以函數b0判斷旁子樹選手實力升降對己身造成的優勢或威脅；由勝率一般式Pn(Q1)計算各選手晉升至第n節點的勝率；定義實力發揮度Fn(Qi,Aj)用於計算選手Qi於賽程表Aj中的實力發揮度；定義賽程表現率Sn(Qi,Aj)評估賽程Aj對選手Qi勝率的影響；分別以選手重實力、最新組重實力、累乘組重實力預測各賽程將晉級的選手；檢驗模型計算之勝率是否得以預測實際冠軍。

最近老師在一次平時考中曾有一題"八女四男順序排列，遂個進入教室，規定任一時刻教室內之男生人數不得多於女生人數，則進法有幾？"事後同學爭論不已，提出之答案不下百種，遂激起吾人求證之興趣。(註：該題為275種)

在一本課外讀物中有一道題目談到：在直角三角形中，若將一邊四等分，沿著等分點，作一倍、二倍、三倍、四倍的投射，則四投射點在同一拋物線上，如圖。我對此種投射法感到非常有趣，於是開始了相關的研究。

在直角三角形中，最重要的性質就是畢氏定理 x2+ y2= z2，當x,y,z都是整數時，這種解有那些？這是平方和的最基本問題，這個問題，在數論上早已經解決了，並且證出了許多美 好的結果。這類問題令人質疑又令人感與趣的就是Fermat 最後問題"當 n≧ 3 時，方程式x2+y2=z2有沒有正整數解？"

一個小小的繪圖尺，2 個固定的外圓搭配3 個內滾圓及多個筆插定點，就可以畫出108 種花瓣圖形，令人?嘖稱奇，仔細探究發現竟與內外圓齒數的公因數公倍數及比例有相關，且察覺內外圓大小比例是影響花瓣數及花瓣形成軌跡的重要因素，其中外圓決定了花瓣數，而內滾圓則決定了花瓣形成軌跡的順序。經由此研究探討後，我們已能從花瓣圖形中判定此圖形是由怎樣的內滾圓繞外圓旋轉，也能由內外圓的大小預測能畫出怎樣的圖形，同時更進一步我們也運用這些原理隨心所欲的創作出不同組合的繪圖尺，感到很有成就感。

三年前，在老師的指導下，以「n等分三角形面積」為題，參加了數學科展，並得到很好的名次，但在研究的過程中，卻發現了許多無該解決的問題，其中最重要的是何以有些點無法作出直線等分三角形，而在學過解析幾何，微積分後，遂欲利用這些工具解此問題。

有一天，我看見弟妹在排牙籤，覺得很好玩！弟弟回頭問我說：「姊！妳猜這兩個圖形是用多少根牙籤排成的？它們所組成的大小正三角形、大小正方形的個數各有多少個？」 這一問，竟把我問傻了，後來覺得它相當有趣，上學時就和老師同學們開始研究這有趣的牙籤組合。