數學科

有一天，我看見弟妹在排牙籤，覺得很好玩！弟弟回頭問我說：「姊！妳猜這兩個圖形是用多少根牙籤排成的？它們所組成的大小正三角形、大小正方形的個數各有多少個？」 這一問，竟把我問傻了，後來覺得它相當有趣，上學時就和老師同學們開始研究這有趣的牙籤組合。

本研究利用幾何和代數的方法配合Corel Draw 繪圖軟體突破一般探索星形內角和公式的範圍，從直線星形延伸探討至折線星形。另外，使用GSP 繪製星形，用以呈現折線星形的動態漸變過程，且驗證公式的正確性。主要的研究流程及結果如下：1. 直線星形種類：首先，利用正N 邊形的外框，固定相隔L 點連線即可完成星形。經推理和實際連線的結果，最多可連出[(N-3)/2]種。2. 探討直線星形內角和的一般性公式：無論星形內部的層數存在與否，可證得任意N（L）星形內角和公式為S（N,L）＝（N-2L-2）×180°。3探討折線星形的一般內角和公式：當星線為一個折點時，任意N? (L)折線星形內角和為S?(N, L)＝Q? (N, L)－（2L＋2）×180°，其中Q? (N, L)是折角總和。4. 在一個折點，且折角均相等的條件下，正N? (L,K)折線星形內角和為S?(N, L,K)＝（NK－2L－2）×180°。其K 值的變化範圍（2L+2）/N ?K? 1＋2（L-[L/2]）/2，星形變化的範圍為正N 條放射線至正N（[L/2] ）直線星形之間，在這個變化的範圍中除了包含了不同層的直線星形（[(N-3)/2]- [L/2]+1 種）外，層與層之間尚存在無窮多個星形。5. 當折線星形具 M 個折點時，一般的星形內角和為S?(N, L,M)＝（N(1-M)－2L－2）×180°＋ Q? (N, L,M) ；而當M 個折角均相等時，正N? (L,K,M) 星形內角和為S?(N, L,K,M)＝{N[MK－(M－1)]－2L－2}×180°。

數論與幾何最迷人的地方就是找尋具有某些特定性質的整數邊二角形，譬如說直角三角形的所有整數邊三角形是 其中 u , v 滿足( u , v )= l ，且一奇一偶的整數。 然後，另個有趣的課題是面積為整數的 Heron 三角形 但這是個非常困難的問題。 今天，我想要探討一個類似於上面，但簡單的問題，也就是其中一個內角，是另一內角的 n 倍的所有整數邊三角形，這個問題是我們從 87 年度台灣省第二區數學科能力競賽的第二試的問題二

本研究以循環及由後面推理方式完整的解決歷屆科學展覽的難題「約瑟夫排列」。

六上數學，「怎樣解題」是我們學習的重心。在「角柱與角錐」的單元裡，我們觀察立體模型及其展開圖，歸納出「角柱與角錐」的特性及規律性。\r 在一個偶然的機會，看到師大數學系收藏的多面體組合模型和幾何拼圖板，引起我動作操作拼圖的樂趣，拼出各式各樣的多面體，有的是正多面體，有的是奇形怪狀凹凸不平的，有些看起來像一個球，有些是拼不出封閉的多面體，引起我的好奇心。我想這其中一定有一些道理，結果在拼圖的過程中，觀察出立體頂點數、稜數、面數的變動有一定的規則。在老師的指導下，閱讀相關的書籍資料，終於了解其中的道理和許多解題思考的規則，並得到實用的研究成果，很有收獲。

我們的研究在探討各式函數圖形，什麼時候會與弦圍出最小面積，首先我們探討了圓錐曲線，這是分別利用代數、空間幾何、及平面幾何的方法來證明。在證明完圓錐曲線後，我們開始推廣探討各式函數是否皆適用，過程中也利用平面幾何的方法來嘗試證明，但其中會遇到反曲點、開口方向不同等等情況，於是我們再利用一些特殊方法解決了這些問題，也證明了在任意多項式函數圖形中，中點弦會與函數圖形圍出最小面積。

數學在本質上雖然是嚴格的演繹科學，但在教學方法上卻也重視其實驗與歸納的一面，所以教育部所頒國中數學教學原理上，特別強調這一點，即學生親自操作的行為表現，而此種具體運作，如果藉多變化的釘板幾何，進而使用般進步的Logo電腦語言表達出來，當更能培養學生對數學之學習興趣及創造精神，本乎此，乃致力此種輔助激學之潛心研究。

在去年，我曾以「有關整變數多項式之定理」為題（現更名為「等差變數多項式之定理」）參加第十八屆全國中小學科學展覽倖獲全國高中學生組第一名，後來幾經研究又得到了一些結果，並在其推廣探討中，又獲得更進一步的發現。在「有關整變數多項式定理」一文中，我所探討的皆限制於單變數多項式，舉凡一切的性質、定理等均建立在單一變數多項式函數之上。因是，我們便有了疑問，是否這種關係也存在於二變數、三變數 .... ，甚至多變數多項式之中呢？這是個很有趣的．猜測。因此，下面我們先回憶一下以前的資料，作全盤的了解，再繼續探討剛才所提出的新猜測。

本文試著討論，在一個 3x3 的棋盤上放置九個兩面棋(一面為紅色、一個為黑色)，規定其中任何一個棋子翻面時，則與它相鄰的棋子也必須同時翻面，依照這個規定，我們要研究：翻那幾個棋子才能過關?我們先以 2x2 棋盤，來看看會有什麼蛛絲馬跡?在一面歸納一面嘗試之後，發現 3x3 棋盤快速過關的祕訣，以及那些棋子翻動後就無法過關。另外，如果棋盤擴增為 4x4 或 5x5 時，我們試著先翻棋盤上對角線的棋子，全面翻紅的成功率比較高，在尋找 4x4 或 5x5 的過關翻法時，我們察覺到 4x4 棋盤過關翻法的前幾步與有規律的一直下去，那我們真的就是無敵「操盤手」。

本文主要就完全數列中的布朗準則(Brown's Critertion)、亨斯貝爾格(Honsberger)推理來探討正數係數線性齊次遞歸數列，得出是完全數列的有兩種類型：例如an+k = an+k-1 + an+k-2 + ......+ an+1 + 2an的數列、及型如an+k = an+k-1 + an+k-2 + ......+ an+1 + an，的k階廣義斐波納契數列；在適當選取初始條件，可使此數列為完全數列。且其初始條件的前k項最大值分別為1,2,4,8,…,2k-1 。 除了等比數列﹛1,2,4,8.16,…﹜的子序列和可唯一替代所有正整數外；本文同時建構廣義ｋ階斐波納契數列的初始條件，使其任一正整數可以唯一表示成相異且無k個相鄰的廣義k階斐波納契數和來替代。