笛卡爾結合幾何與代數，讓我們了解直角座標的美，體認代數與幾何有著密不可分的關係，因此本研究中結合數列和平面圖形－正方形、六邊形、三角形，按著左轉或右轉的規則行走舞動的軌跡，交織出多種複雜卻具有規律的有趣圖形。我們利用方格紙及GSP軟體繪製出這有的像風車、有的像烏龜的圖形並進行歸納、推測與證明。研究結果顯示：轉彎時的角度和方向是影響圖形的變化最關鍵的因素；利用外角和與對稱等相關性質可證明舞步圖形是封閉圖形與否。舞步數列的循環次數與舞步軌跡所圍成的面積、周長、重疊線段的長度在研究中也都可得出個別之通式。

曾經在數形關係的章節中，遇到了數列1，1，2，3，5，8…，覺得這數列真是與眾不同，詢問老師後才知道這數列的名稱是斐波那契數列，且這數列是在13世紀初的數學著作中被提出的，更有趣的是一開始其實這是個生小兔的問題，於是決定與同學一起研究這特別的數列------斐波那契數列。

黃金矩形與費氏數列的關係是數學上十分著名的例子，國民中學數學課本第四冊曾介紹以一元二次方程式來解決黃金矩形的長寬比值問題，此種方法使我們感到新奇，想看看是否能加以推廣？是否能找到類似於黃金矩形而可無限次分割的矩形？若是能找到這種矩形，那麼它的長寬比值，是否類似黃金矩形和費氏數列之關係，而伴隨一個數列？此數列能不能發掘出它內涵的規則所在？這些新穎的問題，使我們興起了研究的動機，試著去探討，希望能解決這些問題。

國中數學課本第四冊曾提到黃金矩形的意義。如圖，長方形較長的部分剪下長條叫做「橫切」，剩下的長方形，依與橫切垂直的方向剪下長條叫做「直切」，而黃金矩形經橫切即直切交替切割下，可切出無限個正方形。我們便想，什麼樣的長方形可交替切割成有線個正方形。

在此次的科展中，我們將利用高中數論所學的同餘運算，來進行加解密計算。並利用橢圓曲線逆運算不易的幾何特點[4][5]，來確保明文加密後的安全理論並設計出結合中文加密模式。我們研究結果如下：一. 公式分析：我們先引用橢圓曲線的加解密運算式分析出它的數學原理，進而推算出其關係式以進行電腦演算。二. 演算法內容分析：由公式分析出的結果，我們開始為每一個中文明文進行編碼，並歸納出其關係式來推論出可用的加密點。三. 由橢圓曲線上的可加密點來進行中文注音及標點符號的編碼，並以馬致遠的「天淨沙」來實作出我們模擬的成果。

本研究以循環及由後面推理方式完整的解決歷屆科學展覽的難題「約瑟夫排列」。

使用樸克牌來進行尋牌遊戲，是很多人知道的方式，我們透過實際分析，加上結合運用輔助牌及進位制的方法，對尋牌遊戲中的發牌疊合造成的牌子位置變化關係，做一完整分析，並在了解其規律後，進一步探究其相關原理的推衍與應用，讓這尋牌活動有更多的方法可行。

本篇研究中考慮在m×n棋盤中放置若干阻隔點，使得給定的圖形A經任意旋轉翻轉並放入棋盤中，皆會碰到阻隔點，這些阻隔點所形成的集合稱之為「阻隔集」。我們的目標是先有根據地推測阻隔點的排列方式，再證明我們的推測是正確的，以求出阻隔集的最小值。 相關參考資料大多利用窮舉法猜測答案，故此份研究報告首先釐清原題並補充參考資料的不足，即考慮以下三種二維平面圖形A:Sr(表r×r的正方形)、Pr(表1×r 的長方形)和Lr(表Pr末端旁接上一個方格的圖形)，求出b(m, n, A)之值並證明。最後將原題的平面概念延伸至三維空間m×n×l長方體)，研究圖形S'r(表r×r×r的正方體)、P'r(表兩邊為1、一邊為r的長方體)和L'r(表P'r末端旁接上一個方塊的圖形)，求出b(m, n, l, A)之值並證明。

嘗試澳洲 AMC 從競賽題出發，探討一正 n 邊形中的一點在單位圓內滾動，及一正 n邊形的繞一正 n 邊形滾動軌跡，發現該軌跡均會產生奇妙的循環規律。接下來推廣探討圓形其他的規律，發現若將一單位圓去繞另一單位圓或其他由單位圓組成的幾何圖形，探討其滾動軌跡，並探討在何種情況該單位圓繞回原出發點時會和原圖相同，從研究中得知所繞全等圓圖形與旋轉圈數和邊長所需個數的關係，如：『邊長為 3的全等圓正方形』其旋轉圈數是 2＋4(3-1)/3＝14/3圈，此時和原圖不同，而回到原點且和原圖相同邊長所需個數則為 3k＋1（k?N）等。另外，『繞一間隔大小等於圓直徑的全等圓圖形』是指從第一個圓開始逆時針滾動，若接觸到另一個圓時則往反方向繼續繞圖形滾動，依此類推，探討圓心所繞的軌跡型態及長度繞一間隔全等圓圖形，發現其圓心軌跡型態存在著規律性，且圓必繞回原點。最驚人的是，應用我們的研究結果於許多商業用途，並創造出寓數學於遊戲的「多功能滾滾樂尺」。

有一天數學老師在黑板上寫著1，2，3，4，5，6，7，8，9的數字，問我們，這些樹中那三個數字乘起來等於252？結果我們所做的答案有好幾個？我們在好奇之下，想如果能提出一些正整數，不管您用什麼方法來做加、減、乘、除四澤的計算恰恰好，這是多麼有趣啊!於是我們要求老師輔導我們，開始做我們的研究。