數學科

在月曆上任意圈選出一塊4x4的方陣，並在方陣內任選一個數字，將跟此數位在同一行、同一列的其它數字刪除掉，繼續重複一樣的工作，直到4x4的方陣的各行各列都只剩下一個數字，觀察後發現縱橫刪後的四數和等於四角數和。研究過程中，我們發現「八皇后棋」的遊戲方式和「縱橫刪」有異曲同工之妙，將「八皇后棋」與「縱橫刪」的遊戲結合後，發現縱橫斜刪後的八數和均等於四角數和x(8/4)。我們利用符號將縱橫刪的所有可能列舉計算後證明：只要橫列與縱列均為等差數列的nxn方陣，其縱橫刪後的n數和均等於四角數和x(n/4)。另外，我們也延伸思考出一些與「縱橫刪」、「八皇后棋」相關的數學遊戲，希望將來更能研究出結合其他遊戲的「縱橫刪」新玩法。

有5對男女舞者穿著5種不同顏色的舞衣(男舞者舞衣顏色各異，女舞者舞衣亦然)，圍成內、外兩圈跳舞。每當他們跳完一小節後，內圈的舞者會以順時針方向移動一個位置來交換舞伴，現在如果女生排在內圈(如圖一)，那麼外圈的男生該怎麼排，才能使得排定跳舞位置時，以及每次交換舞伴後，恰好都只有1對男女舞者穿著同顏色的舞衣。我們探討3對、5對、7對、……15對男女舞者的跳舞位置，觀察這些位置的排法，找到一種有規律的排列方式，將它稱為間隔排法，間隔排法中的間隔數以n表示，後來利用間隔排法排出m對男女舞者的跳舞位置，並說明間隔排法的適用性，最後歸納得到：當(m、n)=1且(m、n-1)=1時，就可利用間隔排法排出符合條件的跳舞位置。

利用硬幣、骰子、撲克牌、電算器等，經由實驗、操作及推論，驗證了簡單的機率原則，並且求出簡單的規律性，進而利用這些規律求解出撲克牌梭哈遊戲中，同花大順、四梅、葫蘆的組合數及出現機率，最後，激起我們研究動機的題目----「中樂透頭獎的機率是多少？」

使用樸克牌來進行尋牌遊戲，是很多人知道的方式，我們透過實際分析，加上結合運用輔助牌及進位制的方法，對尋牌遊戲中的發牌疊合造成的牌子位置變化關係，做一完整分析，並在了解其規律後，進一步探究其相關原理的推衍與應用，讓這尋牌活動有更多的方法可行。

一個假日，我跟同學到離家不遠的小公園玩，我們發現一件有趣的事。公園裡的花圃都是用24塊水泥甎圍成的，我們又發現，有的長方型花圃裡種了10株太陽菊，有的長方形裏種了18珠，可是正方形的花圃裡卻種了25株。每一株花的距離又都一樣。奇怪!正方形花圃裏，為什麼能種的比較多呢？第二天我去請教老師。老師開始指導我研究這個問題。

「為什麼容器大都是圓形的？」去年我們在研究「三角數與四角數的探討」時，其中在操作罐頭、鼓、汽油桶的堆排實驗時，因為所使用的器材都是圓柱體的，我們心中就有個疑問：為什麼這些東西都要做成圓形的呢？後來在一次的郊外遠足中，發現同學們帶來的飲料容器，大大小小的，不管是塑膠的、鐵皮的或玻璃裝的，大都是圓形的，我們更感覺到奇怪了，為什麼這些東西不做成四方形呢？上課中同學們把它提出來討論，老師說：「這問題很有趣，也很有意義，我們可以進一步蒐集資料，加以研究探討。」於是我們就運用去年的經驗，繼續研究這個問題了。

數論與幾何最迷人的地方就是找尋具有某些特定性質的整數邊二角形，譬如說直角三角形的所有整數邊三角形是 其中 u , v 滿足( u , v )= l ，且一奇一偶的整數。 然後，另個有趣的課題是面積為整數的 Heron 三角形 但這是個非常困難的問題。 今天，我想要探討一個類似於上面，但簡單的問題，也就是其中一個內角，是另一內角的 n 倍的所有整數邊三角形，這個問題是我們從 87 年度台灣省第二區數學科能力競賽的第二試的問題二

在上學期高二數學第三冊中提到球面幾何性質與圓周的幾何性質可以類比， 如圓幕定理與球幕定理、過圓或球外一點求切線段長的公式等， 之前也學過空間的圖形如四面體(三角錐)、球等； 因此我們想： 三角錐的幾何性質與三角形的幾何性質應該也可以類比才對。讀了老師提供的波利亞(G.Polya )著的《數學與猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning )一書，裡面說道：在平面上， 至少要三條直線才能圍成有限的圖形－－三角形； 而在空間中， 至少要四個平面才能圍成有限的區域－－三角錐。就兩者以數目最少的簡單分界為元素所圍成這一點來說， 三角形與平面的關係同三角錐與空間的關係是一樣的。使我們更加確定自己的推論，由此展開了漫長的研究路程。

數字方塊曾以不同的樣式出現在一些數學書籍中，在科展活動中也有過幾件類似的作品，大部分都在討論它的共同特徵，例如：其中的奇偶現象，或是往內部發展時數字間的和差關係，我們這次的研究目標是挑戰在特定區間內（例如：只准用1~50的數字）的最高層數解答，以及特定區間內的最佳解答個數，研究結果顯示，應用我們反向思考得到的「上推法」，以及應用「費式數列變形」來抓取數字做數字方塊，並以「波峰現象」來輔助檢驗，確認了1~50之間的最佳解答為十三層以及解答數（２群解答）甚至更精確的說，特定區間不應該用10的倍數為斷點，而是確認十三層的最佳解區間（1~45），最佳解答為（1,8,21,45）及(1, 25,38,45)。

上藝術人文課時，老師要全班用紙摺出平面的星星來佈置教室。剛開始，不用量角器，利用向上摺和向下摺的方法，在長條紙上的摺線摺出不同的多角星。然後發現只要在長條紙上用 180 度來平分等分的角，就能摺出多角星。在操作中我們從多邊形的外角及轉角的關係，讓我們想到利用轉角，也可以摺出不同的多角星。後來發現在長條紙上從向上摺與向下摺的次數方法中，利用課本解題方法找到規律性。更可貴的是從摺法中，發現長條紙上的等分平分，讓我們發現竟然與數學的二進位是相同的，那是令我感到非常驚訝的事，也讓我們覺得「數學」是無處不在的隱藏在日常生活中。同學們！大家趕快一起來翻轉「多角星星」吧！您就可以發現它的趣味性與神祕性。