數學科

在“教學思考”一書中 ，有一個建中科展得獎作品 《 國際科展加拿大正選 》「走走跳跳 」，它的問題是從以下的“跳棋遊戲”開始的：\r 現在有五粒黑棋子及五粒白棋子一共十粒棋子，將它們放入一塊有十一個洞的木板上，五黑子置於其中 一個的五個洞中，五白子放在另一側的五個洞裡。我們想要將黑子及自子的位置互換但只能將棋子移到相鄰的洞或跳過一個棋子到另一個洞中。我能交換成功嗎？

給定一個自然數n，如何最有效率的計算Xn？此處Xn表X自乘n次，X可以是任一具有乘法的代數體系中元素；所謂最有效率是指使用最少次的乘法。由此引發了“加法鏈”的概念及許多有趣的數學問題。Knuth[1]的話恰說明了本研究的動機：\r Not only because it is interesing in its own right, but because it is an excellent example of the theoretical questions that arise in the study of "optimum methods of computation."

首先我們討論當兩面牆壁成直角，拿兩根相同的棒子圍牆壁，端點位於牆面上，另一頭互相接觸，如何圍出最大面積。接著，由兩根棒子推廣到N根棒子。再來推廣到棒子長度不相同與牆壁不成直角或其他形狀的牆壁。

數字方塊曾以不同的樣式出現在一些數學書籍中，在科展活動中也有過幾件類似的作品，大部分都在討論它的共同特徵，例如：其中的奇偶現象，或是往內部發展時數字間的和差關係，我們這次的研究目標是挑戰在特定區間內（例如：只准用1~50的數字）的最高層數解答，以及特定區間內的最佳解答個數，研究結果顯示，應用我們反向思考得到的「上推法」，以及應用「費式數列變形」來抓取數字做數字方塊，並以「波峰現象」來輔助檢驗，確認了1~50之間的最佳解答為十三層以及解答數（２群解答）甚至更精確的說，特定區間不應該用10的倍數為斷點，而是確認十三層的最佳解區間（1~45），最佳解答為（1,8,21,45）及(1, 25,38,45)。

笛卡爾結合幾何與代數，讓我們了解直角座標的美，體認代數與幾何有著密不可分的關係，因此本研究中結合數列和平面圖形－正方形、六邊形、三角形，按著左轉或右轉的規則行走舞動的軌跡，交織出多種複雜卻具有規律的有趣圖形。我們利用方格紙及GSP軟體繪製出這有的像風車、有的像烏龜的圖形並進行歸納、推測與證明。研究結果顯示：轉彎時的角度和方向是影響圖形的變化最關鍵的因素；利用外角和與對稱等相關性質可證明舞步圖形是封閉圖形與否。舞步數列的循環次數與舞步軌跡所圍成的面積、周長、重疊線段的長度在研究中也都可得出個別之通式。

在此次的科展中，我們將利用高中數論所學的同餘運算，來進行加解密計算。並利用橢圓曲線逆運算不易的幾何特點[4][5]，來確保明文加密後的安全理論並設計出結合中文加密模式。我們研究結果如下：一. 公式分析：我們先引用橢圓曲線的加解密運算式分析出它的數學原理，進而推算出其關係式以進行電腦演算。二. 演算法內容分析：由公式分析出的結果，我們開始為每一個中文明文進行編碼，並歸納出其關係式來推論出可用的加密點。三. 由橢圓曲線上的可加密點來進行中文注音及標點符號的編碼，並以馬致遠的「天淨沙」來實作出我們模擬的成果。

我們的主題是「已知有1k、2k…mk（m?N且k?N），將這些數分成n 組，使每組的數字皆有 m /n 個，而且每組的數字和皆相等，試問應如何分法？」，研究重點放在k、n、 m之間的關係，希望對於1k、2k…mk來說，我們能很快求得到一組分法解。

在上學期高二數學第三冊中提到球面幾何性質與圓周的幾何性質可以類比， 如圓幕定理與球幕定理、過圓或球外一點求切線段長的公式等， 之前也學過空間的圖形如四面體(三角錐)、球等； 因此我們想： 三角錐的幾何性質與三角形的幾何性質應該也可以類比才對。讀了老師提供的波利亞(G.Polya )著的《數學與猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning )一書，裡面說道：在平面上， 至少要三條直線才能圍成有限的圖形－－三角形； 而在空間中， 至少要四個平面才能圍成有限的區域－－三角錐。就兩者以數目最少的簡單分界為元素所圍成這一點來說， 三角形與平面的關係同三角錐與空間的關係是一樣的。使我們更加確定自己的推論，由此展開了漫長的研究路程。

除非是散步解悶，可以漫不經心地隨意走，否則必有一個目標，並且要選擇一條達到目的的「捷徑」，這不是數學家的專門話題，而是你我現實的問題。如果世界到處都是一片沙漠，這問題也就沒什麼了。只是都市中街道交錯有紅綠釘，即使在郊外也是山巒起伏，很不簡單」。如果對一個平常人來說，選擇短的路徑可為他節省許多體力上的透支，但在「特殊情形」之下，時間所扮演的角色就是最重要的了。例如在軍事上行軍的路徑，飛機航路導向飛彈的路徑等等....。如果發生火災和交通事故，救火車和救護車的行徑更決定了生命和財產損失的多寡，和你切身關係密切的，更是不少，如果你早上起床晚了，抄個近路，可免遲到，上班、上學都很實用。

“黑盒子 ”─魔術拼盤的組成為： (一)每邊皆為 8 公分的正方形底盤。 (二)內有八塊形狀各不相同，但各塊面積皆相等（都是 8 平方公分）的“小拼塊”。 而其遊戲規則為： (一)任選一塊“小拼塊”將其一邊固定於拼盤之左上角。 (二)憑著自己的判斷力，將剩下的其他“小拼塊”排入盤內，使其恰好能將拼盤完全排滿。 “小拼塊 ” 的面積、形狀、塊數和魔術拼盤的完成，有什麼關係？我們能不能找出“魔術拼盤 ”的秘密，自己來發明變化更多、更好玩的魔術拼盤呢？