數學科

寒假前，郭老師要我負責今年科學展覽作品的製作，我因為找不到題材，便去請教陳老師。陳老師說：「你在上課中提到的鏢形面積算法，解釋新穎特殊，這種觀念就是很好的題材。你如果餾巴它加以歸納整理，做有系統的實驗研究，除了能加深了解外，更可以帶動同學們，從課本內容發現問題，蔚成實驗研究的風氣。得到老師誠懇詳細的指導啊鼓勵，於是決定把解鏢形面積時的移形換位觀念提供給喜愛數學的同學參考，並共同切磋。

在中國數學雜誌八卷二期（ Chinese Journal of Mathematics volum 8, Number2 , Jun 1980）有篇朱建正、黃振芳所作”三角形的剪裁” ( "On Trimming A Triangle " ）。內容是要證明以下的猜側：定義：剪裁給定一個三角形，固定其兩頂點，而將另一頂點沿三角形的邊向某一固定頂點移動，而得出一較小的三角形，這樣的程序稱為一個剪裁。下一個剪裁則從此較小的三角形出發。 Goodman 的猜測：由 △ ABC經有限多次剪裁成之 △ A'B'C'，必可由 7 次以下之剪裁使 A 變到 A', B 變到B',C 變到 C'。實際上，朱、黃所證，僅是沒有“記號”的情形，至於有記號 的情形，卻從略不提。我試於後文提出一反例，說明朱、黃的解法何以無法解決有記號的情形。藉著電子計算機之助，我對此猜測的所有情形作了驗證，證實往考慮記號的情形下此一猜測為真。根據朱教授表示，原問題係他於 1978 年赴英參加數學會議時，一數學家 Coodman 所提出。

看起來相當不起眼的六角拼圖，不知為何會在教室引起騷動，原只是想挑戰拼組的那份成就感，沒想到定心去探索竟別有洞天。六角拼圖在經過數字化後，其秘密就明朗多了，原本單純的拼圖，經過數字對應轉化後，又可生成更多組數列拼圖。為了縮短拼組時間及判斷時的手感，我們想出了創意的快速拼組輔助道具～長條數列棒來替代六角模式，搭配尋得的一些規律，能有效縮短試誤次數，在很短的時間即可判斷出有解、有幾組解或無解，同時從很多線索的歸納整理中，我們也發現了單組解與多組解拼圖轉換之關鍵。爾後又突發奇想的思考規則改變之可行性與實用性，深入探討同時符合兩種規則之有效拼圖組的設計規律，最後衍生出”雙拼六角板”以及”六角棋”的益智遊戲，做為可推廣的數學益智教具，深具趣味性與挑戰性，真是令人雀躍。

給定一個自然數n，如何最有效率的計算Xn？此處Xn表X自乘n次，X可以是任一具有乘法的代數體系中元素；所謂最有效率是指使用最少次的乘法。由此引發了“加法鏈”的概念及許多有趣的數學問題。Knuth[1]的話恰說明了本研究的動機：\r Not only because it is interesing in its own right, but because it is an excellent example of the theoretical questions that arise in the study of "optimum methods of computation."

這件作品是經歷兩年的努力所得，第一年我們著重在多種柱形、多面體及化學中的鏈狀圖形之 Wiener 數計算，第二年我們將原有的圖形再做增廣，並發展 Johnson 多面體和蜘蛛網圖形，總共有八大類，約 80 多個圖形的 Wiener 數計算。而計算方法：則多以「步數法」及「遞迴法」來計算，中間並常以數學歸納法證明。

在“教學思考”一書中 ，有一個建中科展得獎作品 《 國際科展加拿大正選 》「走走跳跳 」，它的問題是從以下的“跳棋遊戲”開始的：\r 現在有五粒黑棋子及五粒白棋子一共十粒棋子，將它們放入一塊有十一個洞的木板上，五黑子置於其中 一個的五個洞中，五白子放在另一側的五個洞裡。我們想要將黑子及自子的位置互換但只能將棋子移到相鄰的洞或跳過一個棋子到另一個洞中。我能交換成功嗎？

“黑盒子 ”─魔術拼盤的組成為： (一)每邊皆為 8 公分的正方形底盤。 (二)內有八塊形狀各不相同，但各塊面積皆相等（都是 8 平方公分）的“小拼塊”。 而其遊戲規則為： (一)任選一塊“小拼塊”將其一邊固定於拼盤之左上角。 (二)憑著自己的判斷力，將剩下的其他“小拼塊”排入盤內，使其恰好能將拼盤完全排滿。 “小拼塊 ” 的面積、形狀、塊數和魔術拼盤的完成，有什麼關係？我們能不能找出“魔術拼盤 ”的秘密，自己來發明變化更多、更好玩的魔術拼盤呢？

國立自然科學博物館，是我們假日常去的地方。科學中心四樓右方「位相學」展示臺有九套鐵環和繩索的設置，每一套都令我們百思莫解，於是邀集六位志同道合的好友，了解中高年級破解情形。我們設計問卷，實施調查，統計結果後發現：九套都不會解的比率高達41%，所有同學都沒有發現規則性，但有82%以上的同學有研究興趣。因此我們立下決心。聯手研究破解及恢復方法，進而探討「位相學」。

有一天．我最喜歡的卡通節目“北海小英雄”所開播的故事是有一位江湖客和水手們玩抓寶遊戲，結果水手們輸光了身上的錢。小威看了，心裹很不服氣，他想了整個晚上，突然大叫一聲說：「有了！」第二天，他終於贏了江湖客。看完了卡通，我心裹一直不明白“小威調底用什麼方法嬴了江湖客呢？於是到學校和幾位同學研究．大家也有相同的疑問，引起我們研究的興趣！老師聽了就指導我們進行下列的研究。

此研究為探討圓錐曲線與弦的關係，主要分為兩大主題，一為探討在平面上一點與圓錐曲線所成之任一弦，其中點軌跡及按任一固定比例下所成之軌跡圖形與方程式；另一主題為研究圓錐曲線所有平行弦之中點軌跡及按任一固定比例下所成之軌跡圖形與方程式。經過研究有些軌跡方程式非常複雜，我們透過 GSP 與 Cabri Geometry II Plus等兩套幾何繪圖軟體協助觀察。最後得知主題一以弦中點繪出的圖形具有不變性，而按固定比例下所成的圖形看似蚶線(點在圓內)， 經過研究發現是不一樣的曲線(類蚶線)， 其他這類圖形似乎和擺線有一定的關係；主題二以弦中點所得的圖形為圓錐曲線之軸，而按固定比例下構成的圖形一樣具有不變性。