數學科

「查日期，翻月曆，遜！什麼都不必查，直接告訴你，酷！」我們不是神童，也沒有超強的記憶力，但如果你想知道今年任何一天是星期幾，我們可以馬上回答你。我們以歸納西元2008年的月份、日期和星期之間的規律性為出發點，幫助我們用最有效率的方式，簡單記憶及快速推算西元2008年的任何一天為星期幾，再推演至其它年份，並藉由深入研究「曆法的演進史」以及「回歸年與太陽曆閏平年」之間的關係，找出未來置閏規則的最佳建議方案，以此為基礎，將閏平年規則適用範圍延申至超過一萬年，推算出萬年曆公式及以做出真正適用一萬年的萬年曆轉盤、我們目前在網路上及市面上，都尚為找到可以用超過西元2400年的程式或轉盤，所以我們的萬年曆研究深具參考價值。

上數學課時，我們正津津有味的研討「角和全等」這個單元，黃同學忽然站起來：「我知道全等三角形」，就從書包掏出一副七巧板，指給大家看，果然有二組全等三角形，鄭同學靈機一動說：「奇怪！自然課本中的七巧板，只有一組全等三角形，這兩種七巧板不同」。於是我們利用每週五的團體活動時問，請老師輔導我們探討七巧板的奧妙。

平日我們研究幾何，大都限於平面上，而我們日常所接觸的，卻與立體有密切關係，因此著手研究平面與空間之關係；比如一個三角形，在平面上存有多樣性質，而一個三角體，在空間上是否亦存有某些特性呢？又平面幾何上有許多定理，在空間上，是否存有呢？

C.A.I是目前教育發展的趨勢，有感於國內高中數學教育軟體設計的缺乏，故製作此課程，希望能引發各界對C.A.I的熱忱，讓C.A.I在國內蓬勃發展。

從國中的幾何出發，利用角平分線的比例性質，發展出子直角三角形的理論，並利用此理論，加以延伸與推廣，發展出海倫家族邊長的比例解。

有一天，上數學課的時候，老師發給我們一張圖如圖(一)，讓我們欣賞，並且說了一個有趣的故事。有一天活潑的小明，從家裹走到學他走 3號道路，因為沿途可以看到很多有趣的事物。例如他走到池塘邊，可看到水裏的魚兒游來游去；再往前走到公園例如他走到可欣賞美好的風景。然後經過冰淇淋店，可看到各式各樣的冰淇淋廣告，最後才走到學校。可是當小明走進校門時，忽然想起忘記帶直尺和細繩，所以就想走近路回家，現在圖上標有三條道路1.、2.、3.，你們想一想，他應該走哪一條道路回家，才是最近的？有些同學說走1.號道路，有些說走 2. 號道路，更有些同學說走3.號道路最近。後來老師指導我們，把準備好的直尺和細繩拿出來實際測量，結果大家異口同聲說：「走 2. 號道路最近的。」老師笑著說：「你們很聰明，大家都答對了。所以大家要知道：把每一個地方看做一點，那麼，兩點之間的距離是直線段最短。」這時，我忽然想起一個問題說：「老師，從我家到學校不是直線段道路，要經過幾個十字路口．轉幾個彎如圖二，那麼，我該怎麼走才是最近的路？

本文一開始以直線數奇偶性來探討「在平面上給定n條直線，任三條線不共點，任兩條線不平行，讓沿著任何一條直線上的n-1個交點，都剛好出現1,2,3,....,n-1 各一次」，求解的存在性。研究結果顯示直線數是偶數時有解，而直線數是奇數時無解。接著用圖論中「點著色」及「邊著色」的觀點來思考同一問題，突顯出該問題背後的數學結構。最後進一步探討「將直線替換成圓」，「有m條直線平行，任三條不共點」以及「有p條直線共點，任兩條不平行」的情況。其中最後一部分「有p條直線共點，任兩條不平行」的情況，從超圖(Hypergraph)和關聯矩陣(Incident Matrix)的觀點，得到一些有趣的結論。

從基測的一個題目開始，過三角形頂點作出周長等分線，發現三條過頂點的周長等分線交於一點。再把指定通過的點 P，換成三角形邊上任意一點，畫出過 P 點的周長等分線，在眾多周長等分線中，我們發現了一條特殊的周長等分線，其他的周長等分線，中點皆落在此特殊周長等分線上，在文中，我們稱之為基本等周線。後來我們將 P 點改為任意指定的一點，作出過 P 點的周長等分線。我們找到了一個類似三角形的曲線區域，在文中稱為包絡區，當P 點在包絡區內部可繪出三條周長等分線，在這個區域的外部，只能作出一條周長等分線。

「硬幣問題」是指：給一些不同幣值的硬幣(幣值是整數，且它們的最大公因數必須是1)，每種幣值的使用數量不限。已知只要夠大的數目，任意金額都可利用它們組成(註1)，也就是並非所有金額都能被給定的幣值組成，問：這些無法組成的金額中，最大值是多少？ 這個最大值稱Frobenius number，本研究簡稱為「F數」。 歷屆國展國小數學組只有一篇探討了「兩幣值的硬幣問題」，用數學的話來說，就是探討2變數的F數；我不但將該作品推廣到三變數，比起原作有新進展的是：證明特殊通式，發現3變數的F數包含偶數，補充原作未討論的性質，探討F數和變數互質與否，最後，還重證了Schur定理的結論之一。

偶然在中國時報的科學專欄中，看到一個有趣的數學問題，名為「數學方塊」，題目是: 在一個正方形的四角寫上任意四個正整數，鄰角數值差的絕對值寫在共同邊上的中點，將此四邊中點連接再畫一個正方形，重複這個程序，最後有一個方塊的四個中點數數為零，如圖(一)，為了方便，我們將上述計算程序稱為"運算"。 圖一 任意四個整為9，5 ，7，2 這個“運算”規則簡單，只要懂算術的學齡兒童都會，但其中蘊含的一些觀念和定理卻很奧妙，值得深入推敲，今我們想要探討下列幾個目的： (一)設計四個整數（正、負皆可）能重覆“運算”之電腦繪圖程式，操作實驗，驗證最後一個方塊的中點數是否都為零。 (二)證明四個整數經“運算”後必得四個整數皆為零。 (三)設計 23、 24、 25 個整數能重複“運算”之電腦列表程式，操作實驗，驗證最後一列的所有整數是否都會是零？ (四)用數學理論證明2n個整數經此“運算”，最後亦可得全是零。