數學科

文獻上，要尋找任意多邊形的內接母子相似圖形，尚未有好的辦法可解決此問題，本研究藉由多邊形的旋轉與伸縮觀念產生相似形的定理，發展出「內接母子相似作圖」的好方法，即利用本研究命名的「旋心」，透過旋轉可輕易得到過邊上一點、形內一點作出內接母子相似圖形。並研究出「旋心」的相關性質，利用此相關性質，我們得到特殊四邊形，何者圖形必無內接母子相似？何者圖形在什麼條件下，才會有內接母子相似？

我們發現 l+ 2+…+n=n(n+l)/2這個公式可用下列這種積木堆積方式證明：我們先將其式子看成如下的積木排列數：如〔 圖(一)〕 這時，我們將另一塊形狀大小完全相同的積木組合，與圖(一)疊合如圖(二)。 ∴很明頭地，疊合成的積木組合為一矩形，積木數 2S=n(n+l) ∴S=n(n+1)/2 即 l+2+…+n＝n(n+l)/2

五方連塊組成的『變化圖形』共有十二組。每個圖形的角數=邊數=頂點數。圖中每出現一個『L 』形缺口則邊數+2，圖中每出現一個『凹 』形缺口則邊數要+4。 五方連塊12組圖形中，『線對稱圖形』有I、C、T、V、X和W；非線對稱圖形有L、y、P、Z、N和F。『點對稱圖形』有I、X和Z三組；非點對稱圖形有L、y、P、C、T、V、N、F和W。 五方連塊的12組圖形中， P 有10個單位長，其他圖形則則有12個單位長。面積相同而形狀不同的圖形，簡稱為『等積異形』。 12組圖形每次挪動一塊太陽鏡片後可變成另組圖形，其可變成的圖形組數共有2組、4組、8組、9組和10組五種。 五方連塊圖形的『接龍』與各圖形的可變性有關，利用各圖形之間的相關性進行順時鐘、逆時鐘都通順的迴圈。 一個完整的的『老鼠洞』要用8個單位圍邊框。但受限於五方連塊圖形之限制，還得考慮五方連塊十二組不同的圖形變化。實地操作後，可以排出第13個洞的老鼠洞喔。

C.A.I是目前教育發展的趨勢，有感於國內高中數學教育軟體設計的缺乏，故製作此課程，希望能引發各界對C.A.I的熱忱，讓C.A.I在國內蓬勃發展。

我們很喜歡做報紙上有關數學的益智題目。不過，答案大多亂猜的。有一次，我們看到一個題目如下方，心想：除了胡亂猜之外難道沒有其他的方法？是不是可以像課本上的題目一樣，把答案計算出來？從最簡單的 2 個正方形開始吧！不過我們的能力有限，只研討到 3 層正方形為止。

利用硬幣、骰子、撲克牌、電算器等，經由實驗、操作及推論，驗證了簡單的機率原則，並且求出簡單的規律性，進而利用這些規律求解出撲克牌梭哈遊戲中，同花大順、四梅、葫蘆的組合數及出現機率，最後，激起我們研究動機的題目----「中樂透頭獎的機率是多少？」

有一天．我最喜歡的卡通節目“北海小英雄”所開播的故事是有一位江湖客和水手們玩抓寶遊戲，結果水手們輸光了身上的錢。小威看了，心裹很不服氣，他想了整個晚上，突然大叫一聲說：「有了！」第二天，他終於贏了江湖客。看完了卡通，我心裹一直不明白“小威調底用什麼方法嬴了江湖客呢？於是到學校和幾位同學研究．大家也有相同的疑問，引起我們研究的興趣！老師聽了就指導我們進行下列的研究。

看起來相當不起眼的六角拼圖，不知為何會在教室引起騷動，原只是想挑戰拼組的那份成就感，沒想到定心去探索竟別有洞天。六角拼圖在經過數字化後，其秘密就明朗多了，原本單純的拼圖，經過數字對應轉化後，又可生成更多組數列拼圖。為了縮短拼組時間及判斷時的手感，我們想出了創意的快速拼組輔助道具～長條數列棒來替代六角模式，搭配尋得的一些規律，能有效縮短試誤次數，在很短的時間即可判斷出有解、有幾組解或無解，同時從很多線索的歸納整理中，我們也發現了單組解與多組解拼圖轉換之關鍵。爾後又突發奇想的思考規則改變之可行性與實用性，深入探討同時符合兩種規則之有效拼圖組的設計規律，最後衍生出”雙拼六角板”以及”六角棋”的益智遊戲，做為可推廣的數學益智教具，深具趣味性與挑戰性，真是令人雀躍。

「為什麼容器大都是圓形的？」去年我們在研究「三角數與四角數的探討」時，其中在操作罐頭、鼓、汽油桶的堆排實驗時，因為所使用的器材都是圓柱體的，我們心中就有個疑問：為什麼這些東西都要做成圓形的呢？後來在一次的郊外遠足中，發現同學們帶來的飲料容器，大大小小的，不管是塑膠的、鐵皮的或玻璃裝的，大都是圓形的，我們更感覺到奇怪了，為什麼這些東西不做成四方形呢？上課中同學們把它提出來討論，老師說：「這問題很有趣，也很有意義，我們可以進一步蒐集資料，加以研究探討。」於是我們就運用去年的經驗，繼續研究這個問題了。

我們從硬幣直線翻轉(原為柱體翻轉)做研究，根據遊戲規則(見p.1)，得出對於s枚硬幣經過一次大翻轉的位置變換關係：(1)當x為偶數，則f(x)=1/2*x (2)當x為奇數，則 f(x)=1/2*[(2s+1)-X] 其中：x為原位置，f(x)為新位置。接著，利用上述的變換關係，發展出我們的創意解法---「鏈」(見p.7)，並研究出鏈的相關性質，利用其中的性質，解出直線翻轉的完美歸位通式：2l≡±1(mod 2s+1) ，其中l為主鏈長度，並從通式中再延伸出更多性質。最後，我們將直線翻轉研究結果擴展到平面翻轉(見p.14)，並發現平面翻轉完美歸位與兩方程式有關，即lny-lmx=0，lny-lmx=1，其中ln，lm分別表示行、列的主鏈長度。進一步，利用相關性質導出平面翻轉第一次完美歸位之通式。