數學科

二年級下學期見識到五個正多面體，是如此的完美，我們想知道還有那些類似的多面體?

費氏數列中每一項除以任意正整數後所得的餘數數列具有許多有趣的性質，例如：所有餘數數列均有週期性及每個週期循環列皆是由0均勻分割，即數列在固定間隔某幾項後可被正整數整除，由此性質就可進一步計算週期長度。 本作品中我們嘗試將費氏數列中的餘數數列性質推廣到一般高階正整係數齊次線性遞迴數列(內文簡稱高階線性遞迴數列)的情形。我們發現除了所有餘數數列均為(前)週期數列外，每個週期循環列中的均勻分割的情形變化出二種：由數個0均勻分割(含某項後均為0)、數個不全為0均勻分割(含某項後皆為不為0的常數)，進一步則探討上述二種中的區分週期循環列之條件。最後由餘數數列性質探討出其數列的因倍數定理。

「硬幣問題」是指：給一些不同幣值的硬幣(幣值是整數，且它們的最大公因數必須是1)，每種幣值的使用數量不限。已知只要夠大的數目，任意金額都可利用它們組成(註1)，也就是並非所有金額都能被給定的幣值組成，問：這些無法組成的金額中，最大值是多少？ 這個最大值稱Frobenius number，本研究簡稱為「F數」。 歷屆國展國小數學組只有一篇探討了「兩幣值的硬幣問題」，用數學的話來說，就是探討2變數的F數；我不但將該作品推廣到三變數，比起原作有新進展的是：證明特殊通式，發現3變數的F數包含偶數，補充原作未討論的性質，探討F數和變數互質與否，最後，還重證了Schur定理的結論之一。

C.A.I是目前教育發展的趨勢，有感於國內高中數學教育軟體設計的缺乏，故製作此課程，希望能引發各界對C.A.I的熱忱，讓C.A.I在國內蓬勃發展。

平日我們研究幾何，大都限於平面上，而我們日常所接觸的，卻與立體有密切關係，因此著手研究平面與空間之關係；比如一個三角形，在平面上存有多樣性質，而一個三角體，在空間上是否亦存有某些特性呢？又平面幾何上有許多定理，在空間上，是否存有呢？

文獻上，要尋找任意多邊形的內接母子相似圖形，尚未有好的辦法可解決此問題，本研究藉由多邊形的旋轉與伸縮觀念產生相似形的定理，發展出「內接母子相似作圖」的好方法，即利用本研究命名的「旋心」，透過旋轉可輕易得到過邊上一點、形內一點作出內接母子相似圖形。並研究出「旋心」的相關性質，利用此相關性質，我們得到特殊四邊形，何者圖形必無內接母子相似？何者圖形在什麼條件下，才會有內接母子相似？

本文一開始以直線數奇偶性來探討「在平面上給定n條直線，任三條線不共點，任兩條線不平行，讓沿著任何一條直線上的n-1個交點，都剛好出現1,2,3,....,n-1 各一次」，求解的存在性。研究結果顯示直線數是偶數時有解，而直線數是奇數時無解。接著用圖論中「點著色」及「邊著色」的觀點來思考同一問題，突顯出該問題背後的數學結構。最後進一步探討「將直線替換成圓」，「有m條直線平行，任三條不共點」以及「有p條直線共點，任兩條不平行」的情況。其中最後一部分「有p條直線共點，任兩條不平行」的情況，從超圖(Hypergraph)和關聯矩陣(Incident Matrix)的觀點，得到一些有趣的結論。

我們從硬幣直線翻轉(原為柱體翻轉)做研究，根據遊戲規則(見p.1)，得出對於s枚硬幣經過一次大翻轉的位置變換關係：(1)當x為偶數，則f(x)=1/2*x (2)當x為奇數，則 f(x)=1/2*[(2s+1)-X] 其中：x為原位置，f(x)為新位置。接著，利用上述的變換關係，發展出我們的創意解法---「鏈」(見p.7)，並研究出鏈的相關性質，利用其中的性質，解出直線翻轉的完美歸位通式：2l≡±1(mod 2s+1) ，其中l為主鏈長度，並從通式中再延伸出更多性質。最後，我們將直線翻轉研究結果擴展到平面翻轉(見p.14)，並發現平面翻轉完美歸位與兩方程式有關，即lny-lmx=0，lny-lmx=1，其中ln，lm分別表示行、列的主鏈長度。進一步，利用相關性質導出平面翻轉第一次完美歸位之通式。

我們很喜歡做報紙上有關數學的益智題目。不過，答案大多亂猜的。有一次，我們看到一個題目如下方，心想：除了胡亂猜之外難道沒有其他的方法？是不是可以像課本上的題目一樣，把答案計算出來？從最簡單的 2 個正方形開始吧！不過我們的能力有限，只研討到 3 層正方形為止。

寒假前，郭老師要我負責今年科學展覽作品的製作，我因為找不到題材，便去請教陳老師。陳老師說：「你在上課中提到的鏢形面積算法，解釋新穎特殊，這種觀念就是很好的題材。你如果餾巴它加以歸納整理，做有系統的實驗研究，除了能加深了解外，更可以帶動同學們，從課本內容發現問題，蔚成實驗研究的風氣。得到老師誠懇詳細的指導啊鼓勵，於是決定把解鏢形面積時的移形換位觀念提供給喜愛數學的同學參考，並共同切磋。