數學科

物理課做水波槽實驗時，重疊的波紋引起我們極大的興趣。於是老師介紹我們看一篇( The Physics Teacher)雜誌中有關Moire' Pattern 的文章。Moire' Pattern 的特徵是當有寬度的條紋彼此重疊時，會出現一些新的圓形，我們對於這些富於變化，又具有規則性的圖形，感到興奮不已，就開始研究了。

有一次，政江參加香港保良局奧林匹亞第三屆數學競賽比賽前，在高師大進行數學訓練，左教授發給我們一張數學試卷，其中有一題很有趣，內容是說，在一個的正方形棋盤儘可能打最少的「 × 」，使其找不到四個空格，以空格當頂點，可連成一個正方形： 後來，政江和同學討論，我們都覺得這個題目很有挑戰性，我們想；加大棋盤或改變棋盤形狀，是不是能找到規律性？於是在老師的指導下完成下面的研究。

費氏數列中每一項除以任意正整數後所得的餘數數列具有許多有趣的性質，例如：所有餘數數列均有週期性及每個週期循環列皆是由0均勻分割，即數列在固定間隔某幾項後可被正整數整除，由此性質就可進一步計算週期長度。 本作品中我們嘗試將費氏數列中的餘數數列性質推廣到一般高階正整係數齊次線性遞迴數列(內文簡稱高階線性遞迴數列)的情形。我們發現除了所有餘數數列均為(前)週期數列外，每個週期循環列中的均勻分割的情形變化出二種：由數個0均勻分割(含某項後均為0)、數個不全為0均勻分割(含某項後皆為不為0的常數)，進一步則探討上述二種中的區分週期循環列之條件。最後由餘數數列性質探討出其數列的因倍數定理。

我們發現 l+ 2+…+n=n(n+l)/2這個公式可用下列這種積木堆積方式證明：我們先將其式子看成如下的積木排列數：如〔 圖(一)〕 這時，我們將另一塊形狀大小完全相同的積木組合，與圖(一)疊合如圖(二)。 ∴很明頭地，疊合成的積木組合為一矩形，積木數 2S=n(n+l) ∴S=n(n+1)/2 即 l+2+…+n＝n(n+l)/2

我們先利用最基本的樹狀圖，可推導出許多奇妙的關係與規律，也知道了尤拉分割公式與三管的問題有極大的關聯性，使我們得到了三管的公式，但由於三管和四管的公式無法相通，因此我們將樹狀圖先簡化成數對形式，再轉成網狀圖，最後調整為階梯圖，不僅讓三管與四管有了關聯性，也讓我們猜測出五管以上可能為超立體的圖形，讓我們完整的結束了這個研究。

五方連塊組成的『變化圖形』共有十二組。每個圖形的角數=邊數=頂點數。圖中每出現一個『L 』形缺口則邊數+2，圖中每出現一個『凹 』形缺口則邊數要+4。 五方連塊12組圖形中，『線對稱圖形』有I、C、T、V、X和W；非線對稱圖形有L、y、P、Z、N和F。『點對稱圖形』有I、X和Z三組；非點對稱圖形有L、y、P、C、T、V、N、F和W。 五方連塊的12組圖形中， P 有10個單位長，其他圖形則則有12個單位長。面積相同而形狀不同的圖形，簡稱為『等積異形』。 12組圖形每次挪動一塊太陽鏡片後可變成另組圖形，其可變成的圖形組數共有2組、4組、8組、9組和10組五種。 五方連塊圖形的『接龍』與各圖形的可變性有關，利用各圖形之間的相關性進行順時鐘、逆時鐘都通順的迴圈。 一個完整的的『老鼠洞』要用8個單位圍邊框。但受限於五方連塊圖形之限制，還得考慮五方連塊十二組不同的圖形變化。實地操作後，可以排出第13個洞的老鼠洞喔。

歡樂的慶生會裡，我們在切蛋糕的過程中，發現生活情境中也有數學呢！而且發現一個有趣的問題：我們利用在五六年級南一版第十冊與十一冊裡，以前學過的等值分數、最簡分數、擴分、約分、通分等方法，從最少空格數四格到十格逐一討論，剛開始是用擴分的方式，列出所有值 的三位數分數，再組合剩下的數字，剛開始很費時卻很詳細地列出答案，後來，發現用「分數組合分解」的方式，能很快地找出答案，是令我們意想不到的事，此外，我們也找到被加數是其它分數的解答，甚至也探討空格不同的類型。未來，希望能研究高深的數學理論來證明我們研究的結果，並用電腦程式來解決數學的問題。

有一天，上數學時，老師找了一個遊戲給我們玩，用 1 到 12 的撲克牌排成一個圓圈，相鄰兩張紙牌的差只能是 2 或 3 或 4 ，找出最多差是 4 的有幾組，這個遊戲相當具有挑戰性，而且有很大的發展空間，這又使我想到 86 年 3 月 28 日繼淡水捷運通車後，所有電聯車的發車時間與班次多寡，與我們所要研究的主題，有密切的關連性，在邏輯推論上，可以相互應用，現在就讓我們用不同的撲克牌張數與差數，來研究這個主題，並期待將來可以應用在捷運發車或飛機起降間隔次數上。

若Mn×n（s）表示在n×n 的正方形棋盤中，棋子總數為s；Vn×n×n（a1，a2，a3，…..，an ）表示在n×n×n 的正方體棋盤中，每層個數為a1，a2，a3，…..，an，且s=a1+a2+a3+…+an。本研究即在Mn×n（s）和Vn×n×n（a1，a2，a3，…..，an）中探討若要排成每行、列或高的棋子個數均為奇數時s 的變化情形、解答分析並找出其排列方法，最後才推廣到長方形 Mm×n（s）、長方體Vn×n×k（a1，a2，a3，…..，ak）。並以上面研究結果為根據設計遊戲。

本研究的內容關於：在一個三維的立方格子點(請見名詞定義)，在其中連接格線，使得從每一面透視，行與列都被填滿格線，我們稱為錯視全滿。 我們想要找到達成錯視全滿的方法、方法數與旋轉下的相異方法數…… 對所有 n 立方格子點，我們得出以下的結果： (一)達成錯視全滿至少需 3n 條格線，且必有 3n 格線達成的情況。 (二)收集 n 錯視點集合中所有點的骨架，必達成錯視全滿。稱為錯視解。 (三)用 Burnside 定理製作程式，計算「旋轉下相異錯視解數」。 (四)使用 Burnside，計算「旋轉下相異錯視解數」的一般式、遞迴式。