數學科

有一天，上數學時，老師找了一個遊戲給我們玩，用 1 到 12 的撲克牌排成一個圓圈，相鄰兩張紙牌的差只能是 2 或 3 或 4 ，找出最多差是 4 的有幾組，這個遊戲相當具有挑戰性，而且有很大的發展空間，這又使我想到 86 年 3 月 28 日繼淡水捷運通車後，所有電聯車的發車時間與班次多寡，與我們所要研究的主題，有密切的關連性，在邏輯推論上，可以相互應用，現在就讓我們用不同的撲克牌張數與差數，來研究這個主題，並期待將來可以應用在捷運發車或飛機起降間隔次數上。

有一天，上數學課的時候，老師發給我們一張圖如圖(一)，讓我們欣賞，並且說了一個有趣的故事。有一天活潑的小明，從家裹走到學他走 3號道路，因為沿途可以看到很多有趣的事物。例如他走到池塘邊，可看到水裏的魚兒游來游去；再往前走到公園例如他走到可欣賞美好的風景。然後經過冰淇淋店，可看到各式各樣的冰淇淋廣告，最後才走到學校。可是當小明走進校門時，忽然想起忘記帶直尺和細繩，所以就想走近路回家，現在圖上標有三條道路1.、2.、3.，你們想一想，他應該走哪一條道路回家，才是最近的？有些同學說走1.號道路，有些說走 2. 號道路，更有些同學說走3.號道路最近。後來老師指導我們，把準備好的直尺和細繩拿出來實際測量，結果大家異口同聲說：「走 2. 號道路最近的。」老師笑著說：「你們很聰明，大家都答對了。所以大家要知道：把每一個地方看做一點，那麼，兩點之間的距離是直線段最短。」這時，我忽然想起一個問題說：「老師，從我家到學校不是直線段道路，要經過幾個十字路口．轉幾個彎如圖二，那麼，我該怎麼走才是最近的路？

我討論六種不同圖形的分割與重組方法，發現以下的結果： 一、 正三角形與正方形的規則為等分量的平方。 二、 等腰直角三角形的規則為公比=2的等比數列。 三、 A類、B類三角形的分割規律為費氏數列，正五邊形的分割規律為盧卡斯數列。 四、 以p表示A類三角形的腰，q表示A類三角形的底邊，A類、B類三角形的腰或底邊之分割(p,q)值為費氏數列的相鄰兩項，且其排列規則也會符合費氏數列的產生規則 五、 以bn為正五邊形Cm的個數，則分割、重組的關係式為：bn?Cm=Cm-(n-1)+Cm+(n-1)，n≧2 。 六、 以an為正五邊形Cm的個數，則分割、重組的關係式為：an?Cm=Cm-(n-1)+…+Cm+(n-1)，n≧2。 七、 以任意數α為正五邊形Cm的個數，可將α分解成an及bm的和，再利用五、六的結論進行…分割、重組，不過重組的方式並不是唯一的。 八、 任給αA+βB ，當α/β介於0.5到1.618之間，可以檢查α/β介於哪兩個連續的Cn之A、B兩類三角形的數量比值，並利用解聯立方程式的方法解出αA+βB=pCn-1+qCn。

二年級下學期見識到五個正多面體，是如此的完美，我們想知道還有那些類似的多面體?

「硬幣問題」是指：給一些不同幣值的硬幣(幣值是整數，且它們的最大公因數必須是1)，每種幣值的使用數量不限。已知只要夠大的數目，任意金額都可利用它們組成(註1)，也就是並非所有金額都能被給定的幣值組成，問：這些無法組成的金額中，最大值是多少？ 這個最大值稱Frobenius number，本研究簡稱為「F數」。 歷屆國展國小數學組只有一篇探討了「兩幣值的硬幣問題」，用數學的話來說，就是探討2變數的F數；我不但將該作品推廣到三變數，比起原作有新進展的是：證明特殊通式，發現3變數的F數包含偶數，補充原作未討論的性質，探討F數和變數互質與否，最後，還重證了Schur定理的結論之一。

從基測的一個題目開始，過三角形頂點作出周長等分線，發現三條過頂點的周長等分線交於一點。再把指定通過的點 P，換成三角形邊上任意一點，畫出過 P 點的周長等分線，在眾多周長等分線中，我們發現了一條特殊的周長等分線，其他的周長等分線，中點皆落在此特殊周長等分線上，在文中，我們稱之為基本等周線。後來我們將 P 點改為任意指定的一點，作出過 P 點的周長等分線。我們找到了一個類似三角形的曲線區域，在文中稱為包絡區，當P 點在包絡區內部可繪出三條周長等分線，在這個區域的外部，只能作出一條周長等分線。

觀看掃地機器人的運作後，發現其效能不彰，促使我們欲瞭解並模擬其可能的最佳行進路線。本作品將掃地機改成圓盤，假定其以彈性碰撞運動方式行走於矩形區域內，並利用對稱路徑的方式推導出圓盤在不同形狀的區域以不同角度及位置出發的覆蓋面積公式，藉此探討其行進路徑及覆蓋面積；此外，我們為避免路徑重疊而推導出對出發斜率的限制。最後，我們分析數據以瞭解實際運作的情形，從數據中發現，面積覆蓋率和出發角度並沒有絕對關係，而是與碰撞次數關係密切，這樣的結果令人有些出乎意料，卻進一步讓我們瞭解真正影響面積覆蓋率的因子。然而，我們知道面積覆蓋率與運作效能不可兼得，於是我們對這部分做了探討，試圖找出令人滿意的行進路線。

歡樂的慶生會裡，我們在切蛋糕的過程中，發現生活情境中也有數學呢！而且發現一個有趣的問題：我們利用在五六年級南一版第十冊與十一冊裡，以前學過的等值分數、最簡分數、擴分、約分、通分等方法，從最少空格數四格到十格逐一討論，剛開始是用擴分的方式，列出所有值 的三位數分數，再組合剩下的數字，剛開始很費時卻很詳細地列出答案，後來，發現用「分數組合分解」的方式，能很快地找出答案，是令我們意想不到的事，此外，我們也找到被加數是其它分數的解答，甚至也探討空格不同的類型。未來，希望能研究高深的數學理論來證明我們研究的結果，並用電腦程式來解決數學的問題。

平日我們研究幾何，大都限於平面上，而我們日常所接觸的，卻與立體有密切關係，因此著手研究平面與空間之關係；比如一個三角形，在平面上存有多樣性質，而一個三角體，在空間上是否亦存有某些特性呢？又平面幾何上有許多定理，在空間上，是否存有呢？

寒假前，郭老師要我負責今年科學展覽作品的製作，我因為找不到題材，便去請教陳老師。陳老師說：「你在上課中提到的鏢形面積算法，解釋新穎特殊，這種觀念就是很好的題材。你如果餾巴它加以歸納整理，做有系統的實驗研究，除了能加深了解外，更可以帶動同學們，從課本內容發現問題，蔚成實驗研究的風氣。得到老師誠懇詳細的指導啊鼓勵，於是決定把解鏢形面積時的移形換位觀念提供給喜愛數學的同學參考，並共同切磋。