數學科

有5對男女舞者穿著5種不同顏色的舞衣(男舞者舞衣顏色各異，女舞者舞衣亦然)，圍成內、外兩圈跳舞。每當他們跳完一小節後，內圈的舞者會以順時針方向移動一個位置來交換舞伴，現在如果女生排在內圈(如圖一)，那麼外圈的男生該怎麼排，才能使得排定跳舞位置時，以及每次交換舞伴後，恰好都只有1對男女舞者穿著同顏色的舞衣。我們探討3對、5對、7對、……15對男女舞者的跳舞位置，觀察這些位置的排法，找到一種有規律的排列方式，將它稱為間隔排法，間隔排法中的間隔數以n表示，後來利用間隔排法排出m對男女舞者的跳舞位置，並說明間隔排法的適用性，最後歸納得到：當(m、n)=1且(m、n-1)=1時，就可利用間隔排法排出符合條件的跳舞位置。

五連塊（Pentominoes）是由五個正方形以邊邊相連組合而成的圖形，和數學中的幾何學、組合學及圖論等有密切的關係(孫文先，民84)。在這次「用全部的12 片五連塊不重疊地拼出一個正立方體的表面」的研究探索中，結果發現有相當多種不同的解。技巧是先將較麻煩的五連塊如X 型和U 型等組合，消除轉角使其成為較平整的圖形；而把較容易和其它五連塊拼合的P 型留到後面收尾，以這樣的做法再配合空間中的相對凹凸互補，我們一共完成了6 個不同的正立方體。再試著拆解已拼成的一個正立方體，用平移、旋轉等方式即可得更多的平面解。我們發現這個五連塊的問題真是個十分迷人、有趣的幾何世界！

在學校中閱讀趣味數學書籍時，對於其中幻方（魔術方陣）特殊的性質，感到十分有興趣，於是便做了以下的研究。

使用樸克牌來進行尋牌遊戲，是很多人知道的方式，我們透過實際分析，加上結合運用輔助牌及進位制的方法，對尋牌遊戲中的發牌疊合造成的牌子位置變化關係，做一完整分析，並在了解其規律後，進一步探究其相關原理的推衍與應用，讓這尋牌活動有更多的方法可行。

我利用動圓和定圓來探討轉動所行經面積估算與指標角度的變化。採用圓形板，以相同半徑的動圓去轉動一個或多個定圓，從動圓行經的軌跡估算面積；接著將定圓排成直線形、三角形數、正方形數，利用動圓轉動上述圖形，估算動圓的指標角在轉動後的角度改變。結果發現，在面積的估算上，圖形雖複雜，但經過操作整理後，可以得到精確的估算值，並發現規律性。在估算指標角，以同樣大小的動圓去轉直線狀、三角形數、正方形數的定圓，指標角度有一定的變化，當定圓數量增加時，有規律性。動圓和定圓的半徑成比率時（如 1:2、1:3、…），指標角也具有規律性。我使用的道具雖簡單，卻可以導出有趣又有規律的推論。本研究仍有許多工作，可留待以後再來進行。

物理課做水波槽實驗時，重疊的波紋引起我們極大的興趣。於是老師介紹我們看一篇( The Physics Teacher)雜誌中有關Moire' Pattern 的文章。Moire' Pattern 的特徵是當有寬度的條紋彼此重疊時，會出現一些新的圓形，我們對於這些富於變化，又具有規則性的圖形，感到興奮不已，就開始研究了。

路邊停車時，總需要三番兩次的調移車身，過程些許費時，因此，嘗試推算一次順利進出車格之軌跡。我們以開出停車格之軌跡做探討，軌跡建立之後再依循所建軌跡供車輛倒車行駛。為了能順利一次路邊停車，我們設定方向盤轉動量最大，讓前輪達到最大轉向角θ（一般車輛是35度），以取得最小迴轉半徑R，利用車輛基本性質，包括：車前懸a、前後輪軸距b、車後懸c及車寬d，推導計算最小迴轉半徑R，所代出之公式經模擬實驗，其誤差率均小於5％，值得引為後續研究之用。於路邊停車軌跡部分，先探討車輛出車格之軌跡，包括：左轉、直行及右轉軌跡，三個軌跡的反向連續軌跡，即為路邊停車時倒車的應行進軌跡。於倒車入庫軌跡部份，則包含直行及右轉軌跡兩部份。最後，對於誤差修正之探討，我們提出所謂前輪轉動受「軸承」控制之計算觀念，將車輪轉動中心砌合實際狀況轉移，於給定承軸及輪胎外側圓心之距時，將有更精密之數據展現。

上藝術人文課時，老師要全班用紙摺出平面的星星來佈置教室。剛開始，不用量角器，利用向上摺和向下摺的方法，在長條紙上的摺線摺出不同的多角星。然後發現只要在長條紙上用 180 度來平分等分的角，就能摺出多角星。在操作中我們從多邊形的外角及轉角的關係，讓我們想到利用轉角，也可以摺出不同的多角星。後來發現在長條紙上從向上摺與向下摺的次數方法中，利用課本解題方法找到規律性。更可貴的是從摺法中，發現長條紙上的等分平分，讓我們發現竟然與數學的二進位是相同的，那是令我感到非常驚訝的事，也讓我們覺得「數學」是無處不在的隱藏在日常生活中。同學們！大家趕快一起來翻轉「多角星星」吧！您就可以發現它的趣味性與神祕性。

本文一開始以直線數奇偶性來探討「在平面上給定n條直線，任三條線不共點，任兩條線不平行，讓沿著任何一條直線上的n-1個交點，都剛好出現1,2,3,....,n-1 各一次」，求解的存在性。研究結果顯示直線數是偶數時有解，而直線數是奇數時無解。接著用圖論中「點著色」及「邊著色」的觀點來思考同一問題，突顯出該問題背後的數學結構。最後進一步探討「將直線替換成圓」，「有m條直線平行，任三條不共點」以及「有p條直線共點，任兩條不平行」的情況。其中最後一部分「有p條直線共點，任兩條不平行」的情況，從超圖(Hypergraph)和關聯矩陣(Incident Matrix)的觀點，得到一些有趣的結論。

這件作品是經歷兩年的努力所得，第一年我們著重在多種柱形、多面體及化學中的鏈狀圖形之 Wiener 數計算，第二年我們將原有的圖形再做增廣，並發展 Johnson 多面體和蜘蛛網圖形，總共有八大類，約 80 多個圖形的 Wiener 數計算。而計算方法：則多以「步數法」及「遞迴法」來計算，中間並常以數學歸納法證明。