數學科

偶然在中國時報的科學專欄中，看到一個有趣的數學問題，名為「數學方塊」，題目是: 在一個正方形的四角寫上任意四個正整數，鄰角數值差的絕對值寫在共同邊上的中點，將此四邊中點連接再畫一個正方形，重複這個程序，最後有一個方塊的四個中點數數為零，如圖(一)，為了方便，我們將上述計算程序稱為"運算"。 圖一 任意四個整為9，5 ，7，2 這個“運算”規則簡單，只要懂算術的學齡兒童都會，但其中蘊含的一些觀念和定理卻很奧妙，值得深入推敲，今我們想要探討下列幾個目的： (一)設計四個整數（正、負皆可）能重覆“運算”之電腦繪圖程式，操作實驗，驗證最後一個方塊的中點數是否都為零。 (二)證明四個整數經“運算”後必得四個整數皆為零。 (三)設計 23、 24、 25 個整數能重複“運算”之電腦列表程式，操作實驗，驗證最後一列的所有整數是否都會是零？ (四)用數學理論證明2n個整數經此“運算”，最後亦可得全是零。

我利用動圓和定圓來探討轉動所行經面積估算與指標角度的變化。採用圓形板，以相同半徑的動圓去轉動一個或多個定圓，從動圓行經的軌跡估算面積；接著將定圓排成直線形、三角形數、正方形數，利用動圓轉動上述圖形，估算動圓的指標角在轉動後的角度改變。結果發現，在面積的估算上，圖形雖複雜，但經過操作整理後，可以得到精確的估算值，並發現規律性。在估算指標角，以同樣大小的動圓去轉直線狀、三角形數、正方形數的定圓，指標角度有一定的變化，當定圓數量增加時，有規律性。動圓和定圓的半徑成比率時（如 1:2、1:3、…），指標角也具有規律性。我使用的道具雖簡單，卻可以導出有趣又有規律的推論。本研究仍有許多工作，可留待以後再來進行。

五連塊（Pentominoes）是由五個正方形以邊邊相連組合而成的圖形，和數學中的幾何學、組合學及圖論等有密切的關係(孫文先，民84)。在這次「用全部的12 片五連塊不重疊地拼出一個正立方體的表面」的研究探索中，結果發現有相當多種不同的解。技巧是先將較麻煩的五連塊如X 型和U 型等組合，消除轉角使其成為較平整的圖形；而把較容易和其它五連塊拼合的P 型留到後面收尾，以這樣的做法再配合空間中的相對凹凸互補，我們一共完成了6 個不同的正立方體。再試著拆解已拼成的一個正立方體，用平移、旋轉等方式即可得更多的平面解。我們發現這個五連塊的問題真是個十分迷人、有趣的幾何世界！

路邊停車時，總需要三番兩次的調移車身，過程些許費時，因此，嘗試推算一次順利進出車格之軌跡。我們以開出停車格之軌跡做探討，軌跡建立之後再依循所建軌跡供車輛倒車行駛。為了能順利一次路邊停車，我們設定方向盤轉動量最大，讓前輪達到最大轉向角θ（一般車輛是35度），以取得最小迴轉半徑R，利用車輛基本性質，包括：車前懸a、前後輪軸距b、車後懸c及車寬d，推導計算最小迴轉半徑R，所代出之公式經模擬實驗，其誤差率均小於5％，值得引為後續研究之用。於路邊停車軌跡部分，先探討車輛出車格之軌跡，包括：左轉、直行及右轉軌跡，三個軌跡的反向連續軌跡，即為路邊停車時倒車的應行進軌跡。於倒車入庫軌跡部份，則包含直行及右轉軌跡兩部份。最後，對於誤差修正之探討，我們提出所謂前輪轉動受「軸承」控制之計算觀念，將車輪轉動中心砌合實際狀況轉移，於給定承軸及輪胎外側圓心之距時，將有更精密之數據展現。

在學校中閱讀趣味數學書籍時，對於其中幻方（魔術方陣）特殊的性質，感到十分有興趣，於是便做了以下的研究。

看起來相當不起眼的六角拼圖，不知為何會在教室引起騷動，原只是想挑戰拼組的那份成就感，沒想到定心去探索竟別有洞天。六角拼圖在經過數字化後，其秘密就明朗多了，原本單純的拼圖，經過數字對應轉化後，又可生成更多組數列拼圖。為了縮短拼組時間及判斷時的手感，我們想出了創意的快速拼組輔助道具～長條數列棒來替代六角模式，搭配尋得的一些規律，能有效縮短試誤次數，在很短的時間即可判斷出有解、有幾組解或無解，同時從很多線索的歸納整理中，我們也發現了單組解與多組解拼圖轉換之關鍵。爾後又突發奇想的思考規則改變之可行性與實用性，深入探討同時符合兩種規則之有效拼圖組的設計規律，最後衍生出”雙拼六角板”以及”六角棋”的益智遊戲，做為可推廣的數學益智教具，深具趣味性與挑戰性，真是令人雀躍。

在中國數學雜誌八卷二期（ Chinese Journal of Mathematics volum 8, Number2 , Jun 1980）有篇朱建正、黃振芳所作”三角形的剪裁” ( "On Trimming A Triangle " ）。內容是要證明以下的猜側：定義：剪裁給定一個三角形，固定其兩頂點，而將另一頂點沿三角形的邊向某一固定頂點移動，而得出一較小的三角形，這樣的程序稱為一個剪裁。下一個剪裁則從此較小的三角形出發。 Goodman 的猜測：由 △ ABC經有限多次剪裁成之 △ A'B'C'，必可由 7 次以下之剪裁使 A 變到 A', B 變到B',C 變到 C'。實際上，朱、黃所證，僅是沒有“記號”的情形，至於有記號 的情形，卻從略不提。我試於後文提出一反例，說明朱、黃的解法何以無法解決有記號的情形。藉著電子計算機之助，我對此猜測的所有情形作了驗證，證實往考慮記號的情形下此一猜測為真。根據朱教授表示，原問題係他於 1978 年赴英參加數學會議時，一數學家 Coodman 所提出。

在本文中主要考慮θi=tan-11/i ,i∈N這些特殊角之間的關係。本文前段主要分別利用相似三角形性質與正切函數和角公式求解一個較大角 θk 拆解為數個角的關係式(使用遞迴關係、迭代式、基本對稱式表示)。後段則延伸探討、驗證其相關有趣的結果、應用等，例如 : π/4=tan-1⁡1/1=∑i=0∞θF(2i+1) ，其中 Fi 為費氏數列的第 i 項、Machin formula、3π/4=∑i=1∞tan-12/i2 。在本文中，我們利用了弳度取代度度量來描述角度並且使用複數、極式、遞迴數列、矩陣、行列式…等數學工具與GSP、excel、python程式等軟體工具，來實作、觀察、整理、歸納、推論與驗證我們的研究。

這件作品是經歷兩年的努力所得，第一年我們著重在多種柱形、多面體及化學中的鏈狀圖形之 Wiener 數計算，第二年我們將原有的圖形再做增廣，並發展 Johnson 多面體和蜘蛛網圖形，總共有八大類，約 80 多個圖形的 Wiener 數計算。而計算方法：則多以「步數法」及「遞迴法」來計算，中間並常以數學歸納法證明。

有一天．我最喜歡的卡通節目“北海小英雄”所開播的故事是有一位江湖客和水手們玩抓寶遊戲，結果水手們輸光了身上的錢。小威看了，心裹很不服氣，他想了整個晚上，突然大叫一聲說：「有了！」第二天，他終於贏了江湖客。看完了卡通，我心裹一直不明白“小威調底用什麼方法嬴了江湖客呢？於是到學校和幾位同學研究．大家也有相同的疑問，引起我們研究的興趣！老師聽了就指導我們進行下列的研究。