物理課做水波槽實驗時，重疊的波紋引起我們極大的興趣。於是老師介紹我們看一篇( The Physics Teacher)雜誌中有關Moire' Pattern 的文章。Moire' Pattern 的特徵是當有寬度的條紋彼此重疊時，會出現一些新的圓形，我們對於這些富於變化，又具有規則性的圖形，感到興奮不已，就開始研究了。

本文一開始以直線數奇偶性來探討「在平面上給定n條直線，任三條線不共點，任兩條線不平行，讓沿著任何一條直線上的n-1個交點，都剛好出現1,2,3,....,n-1 各一次」，求解的存在性。研究結果顯示直線數是偶數時有解，而直線數是奇數時無解。接著用圖論中「點著色」及「邊著色」的觀點來思考同一問題，突顯出該問題背後的數學結構。最後進一步探討「將直線替換成圓」，「有m條直線平行，任三條不共點」以及「有p條直線共點，任兩條不平行」的情況。其中最後一部分「有p條直線共點，任兩條不平行」的情況，從超圖(Hypergraph)和關聯矩陣(Incident Matrix)的觀點，得到一些有趣的結論。

如果你對數學有興趣的話，你一定知道什麼是完美，什麼是奧妙。一個數學問題，你能解央了它，它即是完美；若你不能解決，它即是奧妙。數與數之間存在著許多性質，而由數組成的式，同樣亦具有完美的結構。我對於式的討論，便是在每一個式子附以一特定的坐標，用它來討論彼此之間的結構，並像解析幾何一般，建立坐標系，求其幾何意義，這一切都是表明式子與式子之間，必然存在某些共通的結構，和其可以互相推求的性質。

在本文中主要考慮θi=tan-11/i ,i∈N這些特殊角之間的關係。本文前段主要分別利用相似三角形性質與正切函數和角公式求解一個較大角 θk 拆解為數個角的關係式(使用遞迴關係、迭代式、基本對稱式表示)。後段則延伸探討、驗證其相關有趣的結果、應用等，例如 : π/4=tan-1⁡1/1=∑i=0∞θF(2i+1) ，其中 Fi 為費氏數列的第 i 項、Machin formula、3π/4=∑i=1∞tan-12/i2 。在本文中，我們利用了弳度取代度度量來描述角度並且使用複數、極式、遞迴數列、矩陣、行列式…等數學工具與GSP、excel、python程式等軟體工具，來實作、觀察、整理、歸納、推論與驗證我們的研究。

智慧方塊是一個常見益智拼圖遊戲(如【圖一】)，如果經過旋轉或翻轉之後，其解視為相同，我們可以使用一套系統的方法儘可能找出它的解，其方法依序是： 一、 尋找單邊組合：其可能性共有449種可能(《附錄一、單邊組合一覽表》)。 二、 決定第?邊：將第?邊的圖形分成兩大類：(一)方塊I在邊上、(二)方塊I在內部。 三、 完成四接邊：利用Microsoft Excel電子試算表，透過「頭尾接邊」與「方格坐標化」的方法，判別四接邊的可能性。 四、 填入內部圖形：再利用Excel電子試算表，透過「方格數字化」的原理，幫我們判別「有可能」將剩餘方塊填入的情況，之後再以人工方式檢查解的可能性。以下是我們找到解的情況： 一、 由於我們決定的第?邊具有方向性，可能的重複解只有22個，我們需將之扣除。 二、 相同的四接邊，部份有第二個解，但不曾出現有第三解的情況。 三、 扣除重複解並算入第二解之後，我們一共找到390個解。 四、 在390個解中，方塊I在邊上的有380個(佔97.6%)，方塊I在內部的只有10個(佔2.4%)。

正如大家所知：「鴿子棋」又稱「對頂棋」，是一種規則簡單，清晰易懂的遊戲，其玩法複雜且富挑戰性，便想要將其致勝的方法完全找出，可是過程中在網路上發現名為鴿子棋的遊戲可以直接在線上與電腦比賽，由此可見其致勝的方法一定被研究出來了，於是想到改變遊戲規則－最多走3 步來研究，發現找到的一些致勝點在鴿子棋規則下是不適用的，且在網站中並未發現有類似的遊戲，也就是說這算是新的遊戲。經歸納後發現：設「a1,a2 ,a3 ,…,an」為一組棋盤m×n 的間隔，若a1, a2 , a3 ,…,an 中有大於3 的數字，先將其減去4 的倍數，得到新數據「b1, b2 , b3 ,…,br」，其中1≦b1, b2 , b3 ,…,br≦3，而當r為偶數時，若「間隔」可拆成x組棋盤8x2的致勝點，則「a1,a2 ,a3 ,…,an」為一組mxn棋盤的致勝點；當r為奇數時，若若「間隔」可拆成1組棋盤8x3及y組棋盤8x2的致勝點，則「a1,a2 ,a3 ,…,an」為一組棋盤mxn的致勝點。另外，我們也歸納出快速檢驗致勝點的方法：若有一組間隔，其\r 中有數字大於或等於4，則先將該數字減去4 的倍數後，而能將該組數據拆成若干組「1,1」、「2,2」、「3,3」或「1,2,3」的組合，而沒有剩下任何數字時，則此數據即為致勝\r 點。還有，在整個研究中我們也探討其致勝的規律、原因及致勝移子的技巧等相關性質；雙方棋子在「布局」及「對弈」的過程式相當複雜及有趣的，若能利用本研究結果，不但方法容易、步驟簡便、且不易出錯，更能達到省時間與高效率!使我們充分體會「從遊戲中學數學」的樂趣。

看起來相當不起眼的六角拼圖，不知為何會在教室引起騷動，原只是想挑戰拼組的那份成就感，沒想到定心去探索竟別有洞天。六角拼圖在經過數字化後，其秘密就明朗多了，原本單純的拼圖，經過數字對應轉化後，又可生成更多組數列拼圖。為了縮短拼組時間及判斷時的手感，我們想出了創意的快速拼組輔助道具～長條數列棒來替代六角模式，搭配尋得的一些規律，能有效縮短試誤次數，在很短的時間即可判斷出有解、有幾組解或無解，同時從很多線索的歸納整理中，我們也發現了單組解與多組解拼圖轉換之關鍵。爾後又突發奇想的思考規則改變之可行性與實用性，深入探討同時符合兩種規則之有效拼圖組的設計規律，最後衍生出”雙拼六角板”以及”六角棋”的益智遊戲，做為可推廣的數學益智教具，深具趣味性與挑戰性，真是令人雀躍。

此研究為探討圓錐曲線與弦的關係，主要分為兩大主題，一為探討在平面上一點與圓錐曲線所成之任一弦，其中點軌跡及按任一固定比例下所成之軌跡圖形與方程式；另一主題為研究圓錐曲線所有平行弦之中點軌跡及按任一固定比例下所成之軌跡圖形與方程式。經過研究有些軌跡方程式非常複雜，我們透過 GSP 與 Cabri Geometry II Plus等兩套幾何繪圖軟體協助觀察。最後得知主題一以弦中點繪出的圖形具有不變性，而按固定比例下所成的圖形看似蚶線(點在圓內)， 經過研究發現是不一樣的曲線(類蚶線)， 其他這類圖形似乎和擺線有一定的關係；主題二以弦中點所得的圖形為圓錐曲線之軸，而按固定比例下構成的圖形一樣具有不變性。

我們很喜歡做報紙上有關數學的益智題目。不過，答案大多亂猜的。有一次，我們看到一個題目如下方，心想：除了胡亂猜之外難道沒有其他的方法？是不是可以像課本上的題目一樣，把答案計算出來？從最簡單的 2 個正方形開始吧！不過我們的能力有限，只研討到 3 層正方形為止。

平日我們研究幾何，大都限於平面上，而我們日常所接觸的，卻與立體有密切關係，因此著手研究平面與空間之關係；比如一個三角形，在平面上存有多樣性質，而一個三角體，在空間上是否亦存有某些特性呢？又平面幾何上有許多定理，在空間上，是否存有呢？