數學科

在“數學傳播”第 18 卷 3 期（ 55 一 65 頁） 『 三角形的內切橢圓 』 一文中，我們探討了三角形的內切橢圓的一些有趣性質，也留下了一些當時未能解抉的有趣問題，我們想嘗試找出那些問題的答案。

上數學課時，我們正津津有味的研討「角和全等」這個單元，黃同學忽然站起來：「我知道全等三角形」，就從書包掏出一副七巧板，指給大家看，果然有二組全等三角形，鄭同學靈機一動說：「奇怪！自然課本中的七巧板，只有一組全等三角形，這兩種七巧板不同」。於是我們利用每週五的團體活動時問，請老師輔導我們探討七巧板的奧妙。

「嗨！阿慧，你想不想玩一種流傳五千年的民俗遊戲呢？」，姐姐又在打啞謎，賣關子了。「到底是什麼遊戲，快告訴我吧」，「那就是 『 造房子 』 遊戲，玩過沒有？」 「聽是聽過，剛聽你說過，玩倒沒有玩過，到底是怎麼玩，快告訴我嘛！」，「別急！別急！你先聽下列這首詩 『 四四方方一間房，多走一步作獎賞，有輸有贏無平局，出奇制勝靠獨創。 』 以上就是造房子的遊戲規則，你自己去體會吧！」 看起來，蠻簡單的，每人輪流畫一線，排成一個正方形，就算得到一間房子，還要再畫一線，運氣好的話，說不定還可連得幾間房子呢！最後算算誰的房子多，誰就是贏家。 規則簡單，不過玩起來，學問可大著的呢！如果你是先手，應該如何去佈局？若是後手，又要如何去對付呢？這些都值得我們去探討。

本研究探討象鼻蟲製作捲葉前在葉面上戳洞行為與圓柱狀捲葉關係。研究過程中測量葉面上孔洞記號的連接距離，發現可呈現許多相似等腰三角形，將所畫出的三角形組合成七邊形後，再利用三角函數及餘弦定理來驗證孔洞與捲葉間數學的規律。探討全等性質的等腰三角形及相似等腰三角形面積關係，並以手作摺紙及GSP軟體繪製圖形觀察。結果可以得知： (一)在一面積相等的正七邊形中，全等三角形合併時（內部為中心點）與相似等腰三角形合併時（內部為任意點）的面積公式為a/2(h1+h2+...hn)=n*a/4(cosθ/2)2*sin2π/n ，則可知兩者面積相等。 (二)我們利用餘弦定理進行演算，結果發現等腰三角形頂角約為 ，底角約為 ，與正七邊形內角相近，所以可得知捲葉搖籃內部約為正七邊形，而有接近圓的模式，符合捲葉搖籃的外觀形態。

若Mn×n（s）表示在n×n 的正方形棋盤中，棋子總數為s；Vn×n×n（a1，a2，a3，…..，an ）表示在n×n×n 的正方體棋盤中，每層個數為a1，a2，a3，…..，an，且s=a1+a2+a3+…+an。本研究即在Mn×n（s）和Vn×n×n（a1，a2，a3，…..，an）中探討若要排成每行、列或高的棋子個數均為奇數時s 的變化情形、解答分析並找出其排列方法，最後才推廣到長方形 Mm×n（s）、長方體Vn×n×k（a1，a2，a3，…..，ak）。並以上面研究結果為根據設計遊戲。

我們都知道圓有一個性質：假如用兩條平行線夾住它，則無論從那一個方向來夾（見圖 l )，其兩線間的距離恒為一個常數（即圓的直徑），這個性質是不是圓所獨有的性質呢？換句話說，假如一個圖形具有這種性質，它是否必然是一圓呢？在課堂裡，老師偶然提到了所謂的”諾雷三角形”(見圖 2 ) ；這個“三角形，解答了上面的問題。諾雷三角形是分別以正三角形之三頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，由這三段圓弧所構成之圖形。因為無論從那個方向來夾這個三角形，兩平行線間的距離都相等（即邊長 d )，因此上面這個問題的答案是否定的。除此之外，上面兩個圓形，假如它們的寬度（見註）相同的話，周長必相等（簡單的計算可以求出兩者的周長均為 d，當 a = d 時)這引起了我們的興趣，我們想要知道的是：除了上述兩種圖形外，是否還有其他這種等寬（見註）的圖形？假若有，那麼在寬度相同的條件下，它們的周長是否都相等呢？這就是本文所要研究的問題。註：寬度是指二平行線，從任一方向夾住一圖形，若其距離恆為一常數，我們稱此圖形為等寬圖形，此常數為其寬度，如圖 l之圓為等寬圖形，寬度為 a ，如圖 2 之諾雷三角形為等寬圖形，寬度為 d。

有一次，政江參加香港保良局奧林匹亞第三屆數學競賽比賽前，在高師大進行數學訓練，左教授發給我們一張數學試卷，其中有一題很有趣，內容是說，在一個的正方形棋盤儘可能打最少的「 × 」，使其找不到四個空格，以空格當頂點，可連成一個正方形： 後來，政江和同學討論，我們都覺得這個題目很有挑戰性，我們想；加大棋盤或改變棋盤形狀，是不是能找到規律性？於是在老師的指導下完成下面的研究。

我們先利用最基本的樹狀圖，可推導出許多奇妙的關係與規律，也知道了尤拉分割公式與三管的問題有極大的關聯性，使我們得到了三管的公式，但由於三管和四管的公式無法相通，因此我們將樹狀圖先簡化成數對形式，再轉成網狀圖，最後調整為階梯圖，不僅讓三管與四管有了關聯性，也讓我們猜測出五管以上可能為超立體的圖形，讓我們完整的結束了這個研究。

「查日期，翻月曆，遜！什麼都不必查，直接告訴你，酷！」我們不是神童，也沒有超強的記憶力，但如果你想知道今年任何一天是星期幾，我們可以馬上回答你。我們以歸納西元2008年的月份、日期和星期之間的規律性為出發點，幫助我們用最有效率的方式，簡單記憶及快速推算西元2008年的任何一天為星期幾，再推演至其它年份，並藉由深入研究「曆法的演進史」以及「回歸年與太陽曆閏平年」之間的關係，找出未來置閏規則的最佳建議方案，以此為基礎，將閏平年規則適用範圍延申至超過一萬年，推算出萬年曆公式及以做出真正適用一萬年的萬年曆轉盤、我們目前在網路上及市面上，都尚為找到可以用超過西元2400年的程式或轉盤，所以我們的萬年曆研究深具參考價值。

從國中的幾何出發，利用角平分線的比例性質，發展出子直角三角形的理論，並利用此理論，加以延伸與推廣，發展出海倫家族邊長的比例解。