五連塊（Pentominoes）是由五個正方形以邊邊相連組合而成的圖形，和數學中的幾何學、組合學及圖論等有密切的關係(孫文先，民84)。在這次「用全部的12 片五連塊不重疊地拼出一個正立方體的表面」的研究探索中，結果發現有相當多種不同的解。技巧是先將較麻煩的五連塊如X 型和U 型等組合，消除轉角使其成為較平整的圖形；而把較容易和其它五連塊拼合的P 型留到後面收尾，以這樣的做法再配合空間中的相對凹凸互補，我們一共完成了6 個不同的正立方體。再試著拆解已拼成的一個正立方體，用平移、旋轉等方式即可得更多的平面解。我們發現這個五連塊的問題真是個十分迷人、有趣的幾何世界！

上學期，學校召開了數學科教學研究會時，當時有位老師提出在第一冊課本，第 24 頁中，討論到農曆沒有決定大小月的規則，以及每三年就多加一個閏月，但每十九年加七個閏月，其推算的方法很複雜，既然是沒有規則！那天文台所定出的農曆又是憑藉些什麼來制定的呢？基於此種好奇心的驅使，我們就憑著地球公轉一次及月球繞地球一適所需的時間，加上連分數的運用，所推出來的數字，竟與課木所提的數字 (三年一閏，十九年七閏）不謀而合，所以就想不利用連分數來驗證農曆萬年曆，以下即是我們的研究過程及數據，供大家參考。

歡樂的慶生會裡，我們在切蛋糕的過程中，發現生活情境中也有數學呢！而且發現一個有趣的問題：我們利用在五六年級南一版第十冊與十一冊裡，以前學過的等值分數、最簡分數、擴分、約分、通分等方法，從最少空格數四格到十格逐一討論，剛開始是用擴分的方式，列出所有值 的三位數分數，再組合剩下的數字，剛開始很費時卻很詳細地列出答案，後來，發現用「分數組合分解」的方式，能很快地找出答案，是令我們意想不到的事，此外，我們也找到被加數是其它分數的解答，甚至也探討空格不同的類型。未來，希望能研究高深的數學理論來證明我們研究的結果，並用電腦程式來解決數學的問題。

在上學期高二數學第三冊中提到球面幾何性質與圓周的幾何性質可以類比， 如圓幕定理與球幕定理、過圓或球外一點求切線段長的公式等， 之前也學過空間的圖形如四面體(三角錐)、球等； 因此我們想： 三角錐的幾何性質與三角形的幾何性質應該也可以類比才對。讀了老師提供的波利亞(G.Polya )著的《數學與猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning )一書，裡面說道：在平面上， 至少要三條直線才能圍成有限的圖形－－三角形； 而在空間中， 至少要四個平面才能圍成有限的區域－－三角錐。就兩者以數目最少的簡單分界為元素所圍成這一點來說， 三角形與平面的關係同三角錐與空間的關係是一樣的。使我們更加確定自己的推論，由此展開了漫長的研究路程。

「嗨！阿慧，你想不想玩一種流傳五千年的民俗遊戲呢？」，姐姐又在打啞謎，賣關子了。「到底是什麼遊戲，快告訴我吧」，「那就是 『 造房子 』 遊戲，玩過沒有？」 「聽是聽過，剛聽你說過，玩倒沒有玩過，到底是怎麼玩，快告訴我嘛！」，「別急！別急！你先聽下列這首詩 『 四四方方一間房，多走一步作獎賞，有輸有贏無平局，出奇制勝靠獨創。 』 以上就是造房子的遊戲規則，你自己去體會吧！」 看起來，蠻簡單的，每人輪流畫一線，排成一個正方形，就算得到一間房子，還要再畫一線，運氣好的話，說不定還可連得幾間房子呢！最後算算誰的房子多，誰就是贏家。 規則簡單，不過玩起來，學問可大著的呢！如果你是先手，應該如何去佈局？若是後手，又要如何去對付呢？這些都值得我們去探討。

在這個研究，我們成功的使用數學方法，解決下列的題目： 紅綠藍三種球各若干個排成第一列，但從第二列起，球的顏色由其左上和右上決定。若左上右上不同色，則此球為第三種顏色；若左上右上同色，則此球同色。問n是多少時，可以由第一列直接預測最後一列球的顏色？如何判斷？ 我們不只發現一般式，同時透過研究的過程，發現奇偶性、不變量、反運算的數學現象。並設計了2層結構的基本單元，提出討論。 我們的創新之一是推廣原題目─從平面到立體，嘗試著利用六層正四面體的模式，來解釋題目在三維空間的應用。

有一次，政江參加香港保良局奧林匹亞第三屆數學競賽比賽前，在高師大進行數學訓練，左教授發給我們一張數學試卷，其中有一題很有趣，內容是說，在一個的正方形棋盤儘可能打最少的「 × 」，使其找不到四個空格，以空格當頂點，可連成一個正方形： 後來，政江和同學討論，我們都覺得這個題目很有挑戰性，我們想；加大棋盤或改變棋盤形狀，是不是能找到規律性？於是在老師的指導下完成下面的研究。

由在五邊形上跳舞這個看似公平的遊戲中，找尋其不公平性，與背後的數學意義，並找出其必勝策略，再由原始遊戲推廣至1~n搶m，找出必勝法則。直覺上，只要想遍整個可能發生的進退，便可走出必勝的一步﹝當其存在時﹞，即是不公平的所在。就此，我們可將其適當轉換成數學之語言符號，進而以數學歸納法證明，必勝法則之存在性。但根據不同的n，或說是某些特殊的n，該法則可能退化較為簡單﹝規律﹞之形式。

上數學課時，老師教我們“拍七”的遊戲（數到帶有 7 的數目，如 17 、 27 等，只有拍掌，數到是 7 的倍數如 14 、 21 等要摸耳朵或點頭）每次輪到我，不是數錯，就是動作錯，有些同學，也跟我一樣，於是我找了幾個同學一起討論研究，發現 7 的倍數時，我們最容易弄錯，那要怎樣識別 7 的倍數呢？