數學科

以七巧板組合中最基本的單位三角形，拼成其它不同單位的圖形；再利用這些不同單位的圖形，討論是否能拼出其他七巧板。從找出的七巧板裡面選出一種，我們稱「其它式」，比較「中國式」、「日本式」、「其它式」能排出的圖形數量多寡。

我們都知道圓有一個性質：假如用兩條平行線夾住它，則無論從那一個方向來夾（見圖 l )，其兩線間的距離恒為一個常數（即圓的直徑），這個性質是不是圓所獨有的性質呢？換句話說，假如一個圖形具有這種性質，它是否必然是一圓呢？在課堂裡，老師偶然提到了所謂的”諾雷三角形”(見圖 2 ) ；這個“三角形，解答了上面的問題。諾雷三角形是分別以正三角形之三頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，由這三段圓弧所構成之圖形。因為無論從那個方向來夾這個三角形，兩平行線間的距離都相等（即邊長 d )，因此上面這個問題的答案是否定的。除此之外，上面兩個圓形，假如它們的寬度（見註）相同的話，周長必相等（簡單的計算可以求出兩者的周長均為 d，當 a = d 時)這引起了我們的興趣，我們想要知道的是：除了上述兩種圖形外，是否還有其他這種等寬（見註）的圖形？假若有，那麼在寬度相同的條件下，它們的周長是否都相等呢？這就是本文所要研究的問題。註：寬度是指二平行線，從任一方向夾住一圖形，若其距離恆為一常數，我們稱此圖形為等寬圖形，此常數為其寬度，如圖 l之圓為等寬圖形，寬度為 a ，如圖 2 之諾雷三角形為等寬圖形，寬度為 d。

本研究探討象鼻蟲製作捲葉前在葉面上戳洞行為與圓柱狀捲葉關係。研究過程中測量葉面上孔洞記號的連接距離，發現可呈現許多相似等腰三角形，將所畫出的三角形組合成七邊形後，再利用三角函數及餘弦定理來驗證孔洞與捲葉間數學的規律。探討全等性質的等腰三角形及相似等腰三角形面積關係，並以手作摺紙及GSP軟體繪製圖形觀察。結果可以得知： (一)在一面積相等的正七邊形中，全等三角形合併時（內部為中心點）與相似等腰三角形合併時（內部為任意點）的面積公式為a/2(h1+h2+...hn)=n*a/4(cosθ/2)2*sin2π/n ，則可知兩者面積相等。 (二)我們利用餘弦定理進行演算，結果發現等腰三角形頂角約為 ，底角約為 ，與正七邊形內角相近，所以可得知捲葉搖籃內部約為正七邊形，而有接近圓的模式，符合捲葉搖籃的外觀形態。

在“數學傳播”第 18 卷 3 期（ 55 一 65 頁） 『 三角形的內切橢圓 』 一文中，我們探討了三角形的內切橢圓的一些有趣性質，也留下了一些當時未能解抉的有趣問題，我們想嘗試找出那些問題的答案。

有一次，政江參加香港保良局奧林匹亞第三屆數學競賽比賽前，在高師大進行數學訓練，左教授發給我們一張數學試卷，其中有一題很有趣，內容是說，在一個的正方形棋盤儘可能打最少的「 × 」，使其找不到四個空格，以空格當頂點，可連成一個正方形： 後來，政江和同學討論，我們都覺得這個題目很有挑戰性，我們想；加大棋盤或改變棋盤形狀，是不是能找到規律性？於是在老師的指導下完成下面的研究。

我討論六種不同圖形的分割與重組方法，發現以下的結果： 一、 正三角形與正方形的規則為等分量的平方。 二、 等腰直角三角形的規則為公比=2的等比數列。 三、 A類、B類三角形的分割規律為費氏數列，正五邊形的分割規律為盧卡斯數列。 四、 以p表示A類三角形的腰，q表示A類三角形的底邊，A類、B類三角形的腰或底邊之分割(p,q)值為費氏數列的相鄰兩項，且其排列規則也會符合費氏數列的產生規則 五、 以bn為正五邊形Cm的個數，則分割、重組的關係式為：bn?Cm=Cm-(n-1)+Cm+(n-1)，n≧2 。 六、 以an為正五邊形Cm的個數，則分割、重組的關係式為：an?Cm=Cm-(n-1)+…+Cm+(n-1)，n≧2。 七、 以任意數α為正五邊形Cm的個數，可將α分解成an及bm的和，再利用五、六的結論進行…分割、重組，不過重組的方式並不是唯一的。 八、 任給αA+βB ，當α/β介於0.5到1.618之間，可以檢查α/β介於哪兩個連續的Cn之A、B兩類三角形的數量比值，並利用解聯立方程式的方法解出αA+βB=pCn-1+qCn。

觀看掃地機器人的運作後，發現其效能不彰，促使我們欲瞭解並模擬其可能的最佳行進路線。本作品將掃地機改成圓盤，假定其以彈性碰撞運動方式行走於矩形區域內，並利用對稱路徑的方式推導出圓盤在不同形狀的區域以不同角度及位置出發的覆蓋面積公式，藉此探討其行進路徑及覆蓋面積；此外，我們為避免路徑重疊而推導出對出發斜率的限制。最後，我們分析數據以瞭解實際運作的情形，從數據中發現，面積覆蓋率和出發角度並沒有絕對關係，而是與碰撞次數關係密切，這樣的結果令人有些出乎意料，卻進一步讓我們瞭解真正影響面積覆蓋率的因子。然而，我們知道面積覆蓋率與運作效能不可兼得，於是我們對這部分做了探討，試圖找出令人滿意的行進路線。

我們先利用最基本的樹狀圖，可推導出許多奇妙的關係與規律，也知道了尤拉分割公式與三管的問題有極大的關聯性，使我們得到了三管的公式，但由於三管和四管的公式無法相通，因此我們將樹狀圖先簡化成數對形式，再轉成網狀圖，最後調整為階梯圖，不僅讓三管與四管有了關聯性，也讓我們猜測出五管以上可能為超立體的圖形，讓我們完整的結束了這個研究。

上數學課時，我們正津津有味的研討「角和全等」這個單元，黃同學忽然站起來：「我知道全等三角形」，就從書包掏出一副七巧板，指給大家看，果然有二組全等三角形，鄭同學靈機一動說：「奇怪！自然課本中的七巧板，只有一組全等三角形，這兩種七巧板不同」。於是我們利用每週五的團體活動時問，請老師輔導我們探討七巧板的奧妙。

若Mn×n（s）表示在n×n 的正方形棋盤中，棋子總數為s；Vn×n×n（a1，a2，a3，…..，an ）表示在n×n×n 的正方體棋盤中，每層個數為a1，a2，a3，…..，an，且s=a1+a2+a3+…+an。本研究即在Mn×n（s）和Vn×n×n（a1，a2，a3，…..，an）中探討若要排成每行、列或高的棋子個數均為奇數時s 的變化情形、解答分析並找出其排列方法，最後才推廣到長方形 Mm×n（s）、長方體Vn×n×k（a1，a2，a3，…..，ak）。並以上面研究結果為根據設計遊戲。