數學科

我們都知道圓有一個性質：假如用兩條平行線夾住它，則無論從那一個方向來夾（見圖 l )，其兩線間的距離恒為一個常數（即圓的直徑），這個性質是不是圓所獨有的性質呢？換句話說，假如一個圖形具有這種性質，它是否必然是一圓呢？在課堂裡，老師偶然提到了所謂的”諾雷三角形”(見圖 2 ) ；這個“三角形，解答了上面的問題。諾雷三角形是分別以正三角形之三頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，由這三段圓弧所構成之圖形。因為無論從那個方向來夾這個三角形，兩平行線間的距離都相等（即邊長 d )，因此上面這個問題的答案是否定的。除此之外，上面兩個圓形，假如它們的寬度（見註）相同的話，周長必相等（簡單的計算可以求出兩者的周長均為 d，當 a = d 時)這引起了我們的興趣，我們想要知道的是：除了上述兩種圖形外，是否還有其他這種等寬（見註）的圖形？假若有，那麼在寬度相同的條件下，它們的周長是否都相等呢？這就是本文所要研究的問題。註：寬度是指二平行線，從任一方向夾住一圖形，若其距離恆為一常數，我們稱此圖形為等寬圖形，此常數為其寬度，如圖 l之圓為等寬圖形，寬度為 a ，如圖 2 之諾雷三角形為等寬圖形，寬度為 d。

本研究探討象鼻蟲製作捲葉前在葉面上戳洞行為與圓柱狀捲葉關係。研究過程中測量葉面上孔洞記號的連接距離，發現可呈現許多相似等腰三角形，將所畫出的三角形組合成七邊形後，再利用三角函數及餘弦定理來驗證孔洞與捲葉間數學的規律。探討全等性質的等腰三角形及相似等腰三角形面積關係，並以手作摺紙及GSP軟體繪製圖形觀察。結果可以得知： (一)在一面積相等的正七邊形中，全等三角形合併時（內部為中心點）與相似等腰三角形合併時（內部為任意點）的面積公式為a/2(h1+h2+...hn)=n*a/4(cosθ/2)2*sin2π/n ，則可知兩者面積相等。 (二)我們利用餘弦定理進行演算，結果發現等腰三角形頂角約為 ，底角約為 ，與正七邊形內角相近，所以可得知捲葉搖籃內部約為正七邊形，而有接近圓的模式，符合捲葉搖籃的外觀形態。

在數學課堂中，老師拋出一道甄試的口試題目，那是一道有關蟲類繁殖過程中，探討子代存在的位置及其規律性的題目。我們除了解決原題目外，並改變其維度、形狀來探索其狀況。首先，我們藉由電腦程式來驗證手算的正確性，再用數學算式證明，而在推導的過程中，竟發現其解與 、「一路領先」、 數列、 數列、 數列、 和 有著密切的關係！

連線比賽是由甲拿藍色筆，乙拿紅色筆，甲先乙後輪流在凸n邊形上的頂點連一線段，如比賽單色三角形，先連出單色三角形者為勝。我們的研究首先求出n之最小值為6，接下來找出被指定不同圖形的雙方皆使用最優勢畫法且互相封閉時，具有必勝策略者，得到以下結果︰甲指定的圖形 乙指定的圖形 雙方皆使用最優勢畫法且互相封閉時，具有必勝策略者一個藍色三角形 一個紅色三角形 甲一個藍色四邊形 一個紅色四邊形 甲一個藍色四邊形 二個紅色三角形 甲二個藍色三角形 一個紅色四邊形 乙三個藍色三角形 二個紅色四邊形 乙二個藍色四邊形 三個紅色三角形 甲一個藍色五邊形 一個紅色五邊形 甲並發現畫n條線段能產生最多的單色n邊形之潛在線數的規律性，同時歸納出必勝策略的方向。

我討論六種不同圖形的分割與重組方法，發現以下的結果： 一、 正三角形與正方形的規則為等分量的平方。 二、 等腰直角三角形的規則為公比=2的等比數列。 三、 A類、B類三角形的分割規律為費氏數列，正五邊形的分割規律為盧卡斯數列。 四、 以p表示A類三角形的腰，q表示A類三角形的底邊，A類、B類三角形的腰或底邊之分割(p,q)值為費氏數列的相鄰兩項，且其排列規則也會符合費氏數列的產生規則 五、 以bn為正五邊形Cm的個數，則分割、重組的關係式為：bn?Cm=Cm-(n-1)+Cm+(n-1)，n≧2 。 六、 以an為正五邊形Cm的個數，則分割、重組的關係式為：an?Cm=Cm-(n-1)+…+Cm+(n-1)，n≧2。 七、 以任意數α為正五邊形Cm的個數，可將α分解成an及bm的和，再利用五、六的結論進行…分割、重組，不過重組的方式並不是唯一的。 八、 任給αA+βB ，當α/β介於0.5到1.618之間，可以檢查α/β介於哪兩個連續的Cn之A、B兩類三角形的數量比值，並利用解聯立方程式的方法解出αA+βB=pCn-1+qCn。

獨目棋盤的定義：在m×n的方格棋盤最右上角方格中先放置一個黑色棋子，其餘方格皆為空格，有如白眼球中的黑色瞳孔，故稱之。 獨目棋盤的棋子放置規則：最右上角方格中先放置一個黑色棋子，之後每次可以在剩餘空格中放入一個白色棋子，並且同時改變相鄰方格中棋子的顏色，即黑改白，白改黑，若是空格就無變化。 本文證明了什麼樣的獨目棋盤在放滿棋子後，會讓方格內的棋子都變成白色棋子，並且找出可以令人依循的放棋原則，以及對所有棋盤設計一種通用放法，最後算出一些棋盤的所有放法。此外，我們改變黑棋的初始位置與初始黑棋的數目（可為0），試著探討與原棋盤的不同之處。

在“數學傳播”第 18 卷 3 期（ 55 一 65 頁） 『 三角形的內切橢圓 』 一文中，我們探討了三角形的內切橢圓的一些有趣性質，也留下了一些當時未能解抉的有趣問題，我們想嘗試找出那些問題的答案。

智慧方塊是一個常見益智拼圖遊戲(如【圖一】)，如果經過旋轉或翻轉之後，其解視為相同，我們可以使用一套系統的方法儘可能找出它的解，其方法依序是： 一、 尋找單邊組合：其可能性共有449種可能(《附錄一、單邊組合一覽表》)。 二、 決定第?邊：將第?邊的圖形分成兩大類：(一)方塊I在邊上、(二)方塊I在內部。 三、 完成四接邊：利用Microsoft Excel電子試算表，透過「頭尾接邊」與「方格坐標化」的方法，判別四接邊的可能性。 四、 填入內部圖形：再利用Excel電子試算表，透過「方格數字化」的原理，幫我們判別「有可能」將剩餘方塊填入的情況，之後再以人工方式檢查解的可能性。以下是我們找到解的情況： 一、 由於我們決定的第?邊具有方向性，可能的重複解只有22個，我們需將之扣除。 二、 相同的四接邊，部份有第二個解，但不曾出現有第三解的情況。 三、 扣除重複解並算入第二解之後，我們一共找到390個解。 四、 在390個解中，方塊I在邊上的有380個(佔97.6%)，方塊I在內部的只有10個(佔2.4%)。

觀看掃地機器人的運作後，發現其效能不彰，促使我們欲瞭解並模擬其可能的最佳行進路線。本作品將掃地機改成圓盤，假定其以彈性碰撞運動方式行走於矩形區域內，並利用對稱路徑的方式推導出圓盤在不同形狀的區域以不同角度及位置出發的覆蓋面積公式，藉此探討其行進路徑及覆蓋面積；此外，我們為避免路徑重疊而推導出對出發斜率的限制。最後，我們分析數據以瞭解實際運作的情形，從數據中發現，面積覆蓋率和出發角度並沒有絕對關係，而是與碰撞次數關係密切，這樣的結果令人有些出乎意料，卻進一步讓我們瞭解真正影響面積覆蓋率的因子。然而，我們知道面積覆蓋率與運作效能不可兼得，於是我們對這部分做了探討，試圖找出令人滿意的行進路線。

以七巧板組合中最基本的單位三角形，拼成其它不同單位的圖形；再利用這些不同單位的圖形，討論是否能拼出其他七巧板。從找出的七巧板裡面選出一種，我們稱「其它式」，比較「中國式」、「日本式」、「其它式」能排出的圖形數量多寡。