數學科

一、4×4骨牌同心圓 1. 下圖一則成功的4×4骨牌同心圓示例：（1） 內圓（紅色部分）每行每列總和皆相同都為3。（2） 外圓（含紅色部分）每行每列總和皆相同都為9。（3） 設計源自於骨牌魔方陣的變形，本遊戲不探討對角線的總和。 2. 本研究發現：（1） 4×4同心圓之內圓總和≠外圓總和。（2） 4×4同心圓的內圓總和範圍介於1≦內圓和α≦11。（3） 當4≦內圓和α≦8時，其外圓總和β的最小值與最大值有其固定的範圍：α＋1≦β≦α＋11。（4） 當內圓和不在4≦α≦8的範圍內，其外圓最大值逐漸從兩頭遞減；外圓最小值逐漸從兩頭遞增。（5） 4×4骨牌同心圓的排列方式有七大類共32種。因不同骨牌排列的變化，會產生更多4×4骨牌同心圓的拼組可能。 二、5×5骨牌同心圓 1. 下圖一則成功的4×4骨牌同心圓示例：（1） 3×3內圓（紅色部分）每行每列總和皆相同都為12。（2） 5×5外圓（含紅色部分）每行每列總和皆相同都為17。（3） 設計源自於骨牌魔方陣的變形，本遊戲不探討對角線的總和。 2. 本研究發現：（1） 5×5同心圓的內圓總和≠外圓總和。（2） 5×5同心圓的內圓總和範圍介於4≦內圓和α≦12。（3） 當7≦內圓和α≦9時，其外圓總和β的最小值與最大值有其固定的範圍：α＋1≦β≦α＋11。（4） 當內圓和不在7≦α≦9的範圍內，其外圓最大值逐漸從兩頭遞減；外圓最小值逐漸從兩頭遞增。

二上數學課本綜合應用三（第 70 頁），有一練習題， l 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 九個整數中，那三個整數加起來會等於 15 ，你能寫出幾種？ 我是用 1 + 9 + 5 = 15 、 6 + 8 十 l = 15 …… 等多種不同的加法，可是卻發現和同學們的寫法不太一樣，我們都覺得很奇怪，就請問老師，經過老師的詳細說明，大家才知道，原來這一題的答案是有很多種不同的寫怯，不是單一固定的。我們對這些像魔術般富有變化的數字遊戲，都很感興趣。因此，在同學們的渴望求知、老師的鼓勵，又配合本校校刊一數學遊戲的有獎徵答，大家都很熱烈的參與討論，於是就請老師指導我們做有趣的魔術九方格數字研究。

一、『馬步解』定義：向右二格、再向上一格稱為『馬步2』，推廣至向右n 格、再向上一\r 格稱為『馬步n』。\r 二、先逐一嘗試n×n 方陣中馬步解成立與不成立之各種情形，並整理列表。\r 三、利用嘗試結果研究出馬步解的例外規則。\r 四、根據鑲嵌解概念推得『環面解』，再進一步推得『甜甜?解』。\r 五、利用馬步解的特性，得到兩個重要性質：\r （一）『加法對應性質』。 （二）『乘法對應性質』。\r 六、利用『遞降法』，算出乘法對應。\r 七、根據『費馬平方和定理』，推得4m+1 型質數階方陣加法對應重覆之運算。\r 八、利用『削邊法』得到偶方陣的類馬步解，完成所有具有馬步規律解的尋找。\r 九、以往對於n 后問題的研究著重於解題邏輯思考，或是比較程式演算法的優劣。本研究\r 則是針對相同斜率規律格子點的解，探討其規則以及推廣。更重要的是對於經典的『八\r 皇后問題』的解，也可利用甜甜?解的概念加以精簡。

上數學課時，老師教我們“拍七”的遊戲（數到帶有 7 的數目，如 17 、 27 等，只有拍掌，數到是 7 的倍數如 14 、 21 等要摸耳朵或點頭）每次輪到我，不是數錯，就是動作錯，有些同學，也跟我一樣，於是我找了幾個同學一起討論研究，發現 7 的倍數時，我們最容易弄錯，那要怎樣識別 7 的倍數呢？

抽芽遊戲是由兩人在紙上的點輪流連線，最後一個連線的人就勝利了，我們的研究首先尋找抽芽遊戲的規則，跳脫求勝的策略，將步數與塊數的最大與最小範圍找出來；接下來改變抽芽遊戲的玩法，研究連線數與方法，同時將玩法推展為四面體的遊戲，尋找遊戲的規律。

四角拼圖是由九張一樣大小的正方形卡片所組成的拼圖，每張正方形的四邊有不同圖案的半邊， 可與其他卡片的另半邊接成一張完整的圖片， 最後拼出3 ×3 的拼圖。卡片上的圖片種類可重複，四張半邊的圖案排列方式也不盡相同，故一副拼圖可能有一種以上解。我們設計了以下三大類拼圖：一、 3 × 3 的拼圖有兩種圖案， 每張卡片含二種圖案的同半邊。二、 3 × 3 的拼圖有三種圖案， 每張卡片含三種圖案的同半邊。三、 3 × 3 的拼圖有四種圖案， 每張卡片含四種圖案的同半邊。在此研究中，由調整卡片中的圖片多寡和其排列的方式，探討這些因素對拼圖解的影響（ 多寡、特性）。同時也從原始的拼圖方式， 研發更有條理與完整性的拼圖方法。

本屆數學參展作品中，高中組及國中組作品頗具水準。國小組作品題材本不易尋找，但本屆亦有多件高小組作品頗具巧思，初小組作品只有五件，略微少些。 國中組及高中組有多件作品能適當地利用電腦協助計算或展示其成果。複雜的幾何圖形在電腦中可呈現其動態變化，增進了解。由此顯見參展學生電腦運用的能力熟練，為一可喜現象。 一般而言，本屆參展作品的文字較以往流暢，參賽學生的表達能力亦多半很好，充滿信心，應對得宜，可看出其發展潛力，令人欣慰。

本作品是以自製新骨牌─「菱形骨牌」進行數字花遊戲（一個小正六邊行數字和）的探討。所研究的問題為：一、新骨牌新遊戲的定義二、菱型骨牌「數字花遊戲」的探討１、二～十九朵花底板設計的探討２、二～十九朵花數字和遊戲的探討３、十九朵花數字和極限值的探討三、數字花遊戲之變形推廣將二十八張菱形骨牌全用上的不同圖形：中空大菱型（十四朵花）、大心型（19 朵花）、阿尼型和四小心型。我們找出不同數字花的最大值及最小值，並提供玩家一系列不同圖形的有效解題法。

開慶生會，老師拿出一塊正方形的大蛋糕，和大家分享，可是當時全班分成五組，要像分，蛋糕上的奶油分不公平呢：只好像從軸點分，可是，正方形只有四個邊，怎麼分成五塊呢？壽星們只好先切八個等分，再增增減減的，雖然分成了，不過，很不科學。一定有簡易的分法吧！我們決定找找看。