數學科

本專題完整的探討了「王位繼承人」的問題。透過大量觀察、分析、統整與邏輯歸納法則，我們得出一個十分簡潔明白的結論，即任意N 個王子，在報X 留Y（X，Y 任意指定）的王位繼承規則下，應該站在哪個位置才能成為王位繼承人。在我們的研究中，針對「王位繼承人」的位置預測，將所有狀況歸納成2 大系統，4種條件，推導出L 值公式4 項，S 值公式2 項，這個結論涵蓋了所有不同N，X，Y 值下的各種情況，並且所得公式簡單易懂，能得到這樣的研究結果，實在令人興奮。

納稅是人民應盡的義務，政府有了稅收才能為國家做更多的建設，增進我們的生活品質，也可以給我們很多社會福利，讓我們國家越來越進步，人民的生活越來越便利，越來越幸福。「稅法變變變」是一個十分有趣的遊戲，在這物價飛漲的時代，每個人都想要「稅」少繳一點，「薪水」能夠多一點，藉由「稅法變變變」我們發現每一個數字間的因數與倍數有巧妙的關係，透過遊戲，試著找出其規律性，目前的研究做到1-25連續與非連續數字，其中結尾數字20以下與結尾數字21以上的拿法與實際所得皆有所差異，我們推測若繼續探究25以上的數字，應該可以發現某些數字性質的異同。藉由抽稅的遊戲除了讓我們瞭解人民納稅的重要，也可以讓我們對因數、倍數、與質數有更透徹的瞭解。

本研究內容為：討論黑、白相間的棋盤方格，經一條直線分割後，取大塊區域的黑色與白色面積，如何尋求最佳分割線與最大值？過程中，我們利用平行移動法以及等面積法，成功的找出的最佳分割線與最大值的通式。再應用2x2、3x3的結果與方法，推導出2xm、3xm 相關分割，進一步推廣到nxm的相關結論。

四角拼圖是由九張一樣大小的正方形卡片所組成的拼圖，每張正方形的四邊有不同圖案的半邊， 可與其他卡片的另半邊接成一張完整的圖片， 最後拼出3 ×3 的拼圖。卡片上的圖片種類可重複，四張半邊的圖案排列方式也不盡相同，故一副拼圖可能有一種以上解。我們設計了以下三大類拼圖：一、 3 × 3 的拼圖有兩種圖案， 每張卡片含二種圖案的同半邊。二、 3 × 3 的拼圖有三種圖案， 每張卡片含三種圖案的同半邊。三、 3 × 3 的拼圖有四種圖案， 每張卡片含四種圖案的同半邊。在此研究中，由調整卡片中的圖片多寡和其排列的方式，探討這些因素對拼圖解的影響（ 多寡、特性）。同時也從原始的拼圖方式， 研發更有條理與完整性的拼圖方法。

威索夫（ wy thoff ）遊戲是一個兩人輪流取兩堆火柴的遊戲，遊戲規則每人取火柴時，需依下列三種取法之一： (I)從第一堆任取若干支火柴；(II)從第二堆任取若干支火柴；(III)從兩堆中各取相同數目的火柴，能取最後一支火柴者獲勝。我們研究威索夫遊戲時，發現遊戲的致勝關鍵在於黃金分割比值（ G ）及其平方（ G2 ）若干倍數後的整數部份所構成的兩個數列，此乃因這兩個數列存在的奇妙關係─互補關係。我們由黃金分割比值及其平方兩數所構成的數列以及一些關於互補關係的性質，找出另外兩數所構成的兩個數列也具有互補關係，並歸納得到凡兩數構成具有互補關係的數列，此兩數必備的條件。我們將具有互補關係的數列推廣也改變威索夫遊戲，在所有具有互補關係的數列中找出致勝關鍵數列。我們更廣泛地繼續討論任意兩個具有互補關係的數列，找出它們之間的關係，並以此關係舉出一個有趣的應用。

一開始我們想解出九九乘法表中，放置一個正方形，使這個正方形四個頂點的位置的數加起來，和會是 140 的框框。解題的過程中，我們嘗試了許多方法，利用學校的數學課程所學習到對稱、因數分解的基本觀念，除了找出規律外，更發現九九乘法表的奧妙與許多有趣的玩法。

本屆數學參展作品中，高中組及國中組作品頗具水準。國小組作品題材本不易尋找，但本屆亦有多件高小組作品頗具巧思，初小組作品只有五件，略微少些。 國中組及高中組有多件作品能適當地利用電腦協助計算或展示其成果。複雜的幾何圖形在電腦中可呈現其動態變化，增進了解。由此顯見參展學生電腦運用的能力熟練，為一可喜現象。 一般而言，本屆參展作品的文字較以往流暢，參賽學生的表達能力亦多半很好，充滿信心，應對得宜，可看出其發展潛力，令人欣慰。

如果你對數學有興趣的話，你一定知道什麼是完美，什麼是奧妙。一個數學問題，你能解央了它，它即是完美；若你不能解決，它即是奧妙。數與數之間存在著許多性質，而由數組成的式，同樣亦具有完美的結構。我對於式的討論，便是在每一個式子附以一特定的坐標，用它來討論彼此之間的結構，並像解析幾何一般，建立坐標系，求其幾何意義，這一切都是表明式子與式子之間，必然存在某些共通的結構，和其可以互相推求的性質。

驚奇：一副牌經過特殊的洗牌方式─逆序之後交疊洗牌一次，可以洗出四條不管花色的「青龍」，研究到最後，我們發明了「類鴿原理」：存在ｎ個區間，每個區間必須「剛剛好」ｍ個物件，當「第ｎ區間」最上面的一個物件，進入「第１區間」時，「第１區間」最上面的一個物件，勢必會被推至「第２區間」；而「第２區間」也因為「多了一個物件」，勢必將原本「第２區間」最上面的一個物件，推至「第３區間」；使得原本「第３區間」最上面的一個物件，推至「第４區間」；…，依此類推「第ｎ區間」，使得「第ｎ區間」補足ｍ個物件。