數學科

上數學課時，老師教我們“拍七”的遊戲（數到帶有 7 的數目，如 17 、 27 等，只有拍掌，數到是 7 的倍數如 14 、 21 等要摸耳朵或點頭）每次輪到我，不是數錯，就是動作錯，有些同學，也跟我一樣，於是我找了幾個同學一起討論研究，發現 7 的倍數時，我們最容易弄錯，那要怎樣識別 7 的倍數呢？

抽芽遊戲是由兩人在紙上的點輪流連線，最後一個連線的人就勝利了，我們的研究首先尋找抽芽遊戲的規則，跳脫求勝的策略，將步數與塊數的最大與最小範圍找出來；接下來改變抽芽遊戲的玩法，研究連線數與方法，同時將玩法推展為四面體的遊戲，尋找遊戲的規律。

本作品是以自製新骨牌─「菱形骨牌」進行數字花遊戲（一個小正六邊行數字和）的探討。所研究的問題為：一、新骨牌新遊戲的定義二、菱型骨牌「數字花遊戲」的探討１、二～十九朵花底板設計的探討２、二～十九朵花數字和遊戲的探討３、十九朵花數字和極限值的探討三、數字花遊戲之變形推廣將二十八張菱形骨牌全用上的不同圖形：中空大菱型（十四朵花）、大心型（19 朵花）、阿尼型和四小心型。我們找出不同數字花的最大值及最小值，並提供玩家一系列不同圖形的有效解題法。

因為讀數論的同餘方程時，看到許多一元二次同餘方程的解法，又在不定方程中遇到ax2 + by2 = k 這樣的題目，使我開始思考這個問題。

一、4×4骨牌同心圓 1. 下圖一則成功的4×4骨牌同心圓示例：（1） 內圓（紅色部分）每行每列總和皆相同都為3。（2） 外圓（含紅色部分）每行每列總和皆相同都為9。（3） 設計源自於骨牌魔方陣的變形，本遊戲不探討對角線的總和。 2. 本研究發現：（1） 4×4同心圓之內圓總和≠外圓總和。（2） 4×4同心圓的內圓總和範圍介於1≦內圓和α≦11。（3） 當4≦內圓和α≦8時，其外圓總和β的最小值與最大值有其固定的範圍：α＋1≦β≦α＋11。（4） 當內圓和不在4≦α≦8的範圍內，其外圓最大值逐漸從兩頭遞減；外圓最小值逐漸從兩頭遞增。（5） 4×4骨牌同心圓的排列方式有七大類共32種。因不同骨牌排列的變化，會產生更多4×4骨牌同心圓的拼組可能。 二、5×5骨牌同心圓 1. 下圖一則成功的4×4骨牌同心圓示例：（1） 3×3內圓（紅色部分）每行每列總和皆相同都為12。（2） 5×5外圓（含紅色部分）每行每列總和皆相同都為17。（3） 設計源自於骨牌魔方陣的變形，本遊戲不探討對角線的總和。 2. 本研究發現：（1） 5×5同心圓的內圓總和≠外圓總和。（2） 5×5同心圓的內圓總和範圍介於4≦內圓和α≦12。（3） 當7≦內圓和α≦9時，其外圓總和β的最小值與最大值有其固定的範圍：α＋1≦β≦α＋11。（4） 當內圓和不在7≦α≦9的範圍內，其外圓最大值逐漸從兩頭遞減；外圓最小值逐漸從兩頭遞增。

一、『馬步解』定義：向右二格、再向上一格稱為『馬步2』，推廣至向右n 格、再向上一\r 格稱為『馬步n』。\r 二、先逐一嘗試n×n 方陣中馬步解成立與不成立之各種情形，並整理列表。\r 三、利用嘗試結果研究出馬步解的例外規則。\r 四、根據鑲嵌解概念推得『環面解』，再進一步推得『甜甜?解』。\r 五、利用馬步解的特性，得到兩個重要性質：\r （一）『加法對應性質』。 （二）『乘法對應性質』。\r 六、利用『遞降法』，算出乘法對應。\r 七、根據『費馬平方和定理』，推得4m+1 型質數階方陣加法對應重覆之運算。\r 八、利用『削邊法』得到偶方陣的類馬步解，完成所有具有馬步規律解的尋找。\r 九、以往對於n 后問題的研究著重於解題邏輯思考，或是比較程式演算法的優劣。本研究\r 則是針對相同斜率規律格子點的解，探討其規則以及推廣。更重要的是對於經典的『八\r 皇后問題』的解，也可利用甜甜?解的概念加以精簡。

本研究要求對超立方體中，每個頂點開槍以獵捕兔子，每經過一輪後，兔子可以留在原處，或跳動到相鄰的位置，每輪槍數均相同。如此，每輪開幾槍?總共開槍幾輪才能獵到兔子? 本研究先以正多面體和足球探討。經由研究足球的經驗，利用組合數和文字字串解決任意維度超立方體開槍點數量的問題。尤其是，文字字串從建構、組合觀點，提出不同角度的研究。 對於超立方體的輪數問題。發現0維度每輪至少1槍，需要1輪。1維度每輪至少2槍，需要1輪。3維度需要4輪，可以依序用4槍、5槍、5槍和4槍。4維度每輪均使用8槍，需6輪。

在這個研究，我們成功的使用數學方法，解決下列的題目： 紅綠藍三種球各若干個排成第一列，但從第二列起，球的顏色由其左上和右上決定。若左上右上不同色，則此球為第三種顏色；若左上右上同色，則此球同色。問n是多少時，可以由第一列直接預測最後一列球的顏色？如何判斷？ 我們不只發現一般式，同時透過研究的過程，發現奇偶性、不變量、反運算的數學現象。並設計了2層結構的基本單元，提出討論。 我們的創新之一是推廣原題目─從平面到立體，嘗試著利用六層正四面體的模式，來解釋題目在三維空間的應用。

何謂無限解？若n位正整數B ，滿足xm xp mod 10n，則稱B 是xm＝xp的n位數解。例:2494＝3844124001、2492＝62001，所以249為x4＝x2的一個三位數解。當n→∞時，則稱B 是xm＝xp的一個無限位數解，簡稱為無限解。本研究主要在探討方程式x2＝x、x3＝x、x4＝x、、、、xm＝x、xm＝xp無限解的規律性及各方程式無限解的個數，並加以證明。幸運地，我們利用任意數次方後其個位數每四個循環一次的特性，藉由整數論定理的推導，並佐以Mathematica軟體輔助計算，得到以下令人振奮的結論！在Xm＝Xp的無限解中：(1)若m－p＋1為4k-2或4k(即m－p＋1為偶數)k N，則其必僅有兩個無限解。(2)若m－p＋1為4k-1，k N，則其必僅有七個無限解。(3)若m－p＋1為4k+1，k N，則其必僅有十三個無限解。

「嗨！阿慧，你想不想玩一種流傳五千年的民俗遊戲呢？」，姐姐又在打啞謎，賣關子了。「到底是什麼遊戲，快告訴我吧」，「那就是 『 造房子 』 遊戲，玩過沒有？」 「聽是聽過，剛聽你說過，玩倒沒有玩過，到底是怎麼玩，快告訴我嘛！」，「別急！別急！你先聽下列這首詩 『 四四方方一間房，多走一步作獎賞，有輸有贏無平局，出奇制勝靠獨創。 』 以上就是造房子的遊戲規則，你自己去體會吧！」 看起來，蠻簡單的，每人輪流畫一線，排成一個正方形，就算得到一間房子，還要再畫一線，運氣好的話，說不定還可連得幾間房子呢！最後算算誰的房子多，誰就是贏家。 規則簡單，不過玩起來，學問可大著的呢！如果你是先手，應該如何去佈局？若是後手，又要如何去對付呢？這些都值得我們去探討。