數學科

本研究要求對超立方體中，每個頂點開槍以獵捕兔子，每經過一輪後，兔子可以留在原處，或跳動到相鄰的位置，每輪槍數均相同。如此，每輪開幾槍?總共開槍幾輪才能獵到兔子? 本研究先以正多面體和足球探討。經由研究足球的經驗，利用組合數和文字字串解決任意維度超立方體開槍點數量的問題。尤其是，文字字串從建構、組合觀點，提出不同角度的研究。 對於超立方體的輪數問題。發現0維度每輪至少1槍，需要1輪。1維度每輪至少2槍，需要1輪。3維度需要4輪，可以依序用4槍、5槍、5槍和4槍。4維度每輪均使用8槍，需6輪。

在這個研究，我們成功的使用數學方法，解決下列的題目： 紅綠藍三種球各若干個排成第一列，但從第二列起，球的顏色由其左上和右上決定。若左上右上不同色，則此球為第三種顏色；若左上右上同色，則此球同色。問n是多少時，可以由第一列直接預測最後一列球的顏色？如何判斷？ 我們不只發現一般式，同時透過研究的過程，發現奇偶性、不變量、反運算的數學現象。並設計了2層結構的基本單元，提出討論。 我們的創新之一是推廣原題目─從平面到立體，嘗試著利用六層正四面體的模式，來解釋題目在三維空間的應用。

因為讀數論的同餘方程時，看到許多一元二次同餘方程的解法，又在不定方程中遇到ax2 + by2 = k 這樣的題目，使我開始思考這個問題。

何謂無限解？若n位正整數B ，滿足xm xp mod 10n，則稱B 是xm＝xp的n位數解。例:2494＝3844124001、2492＝62001，所以249為x4＝x2的一個三位數解。當n→∞時，則稱B 是xm＝xp的一個無限位數解，簡稱為無限解。本研究主要在探討方程式x2＝x、x3＝x、x4＝x、、、、xm＝x、xm＝xp無限解的規律性及各方程式無限解的個數，並加以證明。幸運地，我們利用任意數次方後其個位數每四個循環一次的特性，藉由整數論定理的推導，並佐以Mathematica軟體輔助計算，得到以下令人振奮的結論！在Xm＝Xp的無限解中：(1)若m－p＋1為4k-2或4k(即m－p＋1為偶數)k N，則其必僅有兩個無限解。(2)若m－p＋1為4k-1，k N，則其必僅有七個無限解。(3)若m－p＋1為4k+1，k N，則其必僅有十三個無限解。

在上角和全等時，我們就想用三角板來畫角，但是市面上買到的三角板，只能畫出15°、30°、45°、60°、75°、90°等15的倍數的角而已，於是我們便想是否可以自己製作一套三角板，而把所有的角都能畫出來，於是我們便著手做一套三角板。

在數學課堂中，老師拋出一道甄試的口試題目，那是一道有關蟲類繁殖過程中，探討子代存在的位置及其規律性的題目。我們除了解決原題目外，並改變其維度、形狀來探索其狀況。首先，我們藉由電腦程式來驗證手算的正確性，再用數學算式證明，而在推導的過程中，竟發現其解與 、「一路領先」、 數列、 數列、 數列、 和 有著密切的關係！

獨目棋盤的定義：在m×n的方格棋盤最右上角方格中先放置一個黑色棋子，其餘方格皆為空格，有如白眼球中的黑色瞳孔，故稱之。 獨目棋盤的棋子放置規則：最右上角方格中先放置一個黑色棋子，之後每次可以在剩餘空格中放入一個白色棋子，並且同時改變相鄰方格中棋子的顏色，即黑改白，白改黑，若是空格就無變化。 本文證明了什麼樣的獨目棋盤在放滿棋子後，會讓方格內的棋子都變成白色棋子，並且找出可以令人依循的放棋原則，以及對所有棋盤設計一種通用放法，最後算出一些棋盤的所有放法。此外，我們改變黑棋的初始位置與初始黑棋的數目（可為0），試著探討與原棋盤的不同之處。

連線比賽是由甲拿藍色筆，乙拿紅色筆，甲先乙後輪流在凸n邊形上的頂點連一線段，如比賽單色三角形，先連出單色三角形者為勝。我們的研究首先求出n之最小值為6，接下來找出被指定不同圖形的雙方皆使用最優勢畫法且互相封閉時，具有必勝策略者，得到以下結果︰甲指定的圖形 乙指定的圖形 雙方皆使用最優勢畫法且互相封閉時，具有必勝策略者一個藍色三角形 一個紅色三角形 甲一個藍色四邊形 一個紅色四邊形 甲一個藍色四邊形 二個紅色三角形 甲二個藍色三角形 一個紅色四邊形 乙三個藍色三角形 二個紅色四邊形 乙二個藍色四邊形 三個紅色三角形 甲一個藍色五邊形 一個紅色五邊形 甲並發現畫n條線段能產生最多的單色n邊形之潛在線數的規律性，同時歸納出必勝策略的方向。

智慧方塊是一個常見益智拼圖遊戲(如【圖一】)，如果經過旋轉或翻轉之後，其解視為相同，我們可以使用一套系統的方法儘可能找出它的解，其方法依序是： 一、 尋找單邊組合：其可能性共有449種可能(《附錄一、單邊組合一覽表》)。 二、 決定第?邊：將第?邊的圖形分成兩大類：(一)方塊I在邊上、(二)方塊I在內部。 三、 完成四接邊：利用Microsoft Excel電子試算表，透過「頭尾接邊」與「方格坐標化」的方法，判別四接邊的可能性。 四、 填入內部圖形：再利用Excel電子試算表，透過「方格數字化」的原理，幫我們判別「有可能」將剩餘方塊填入的情況，之後再以人工方式檢查解的可能性。以下是我們找到解的情況： 一、 由於我們決定的第?邊具有方向性，可能的重複解只有22個，我們需將之扣除。 二、 相同的四接邊，部份有第二個解，但不曾出現有第三解的情況。 三、 扣除重複解並算入第二解之後，我們一共找到390個解。 四、 在390個解中，方塊I在邊上的有380個(佔97.6%)，方塊I在內部的只有10個(佔2.4%)。

「嗨！阿慧，你想不想玩一種流傳五千年的民俗遊戲呢？」，姐姐又在打啞謎，賣關子了。「到底是什麼遊戲，快告訴我吧」，「那就是 『 造房子 』 遊戲，玩過沒有？」 「聽是聽過，剛聽你說過，玩倒沒有玩過，到底是怎麼玩，快告訴我嘛！」，「別急！別急！你先聽下列這首詩 『 四四方方一間房，多走一步作獎賞，有輸有贏無平局，出奇制勝靠獨創。 』 以上就是造房子的遊戲規則，你自己去體會吧！」 看起來，蠻簡單的，每人輪流畫一線，排成一個正方形，就算得到一間房子，還要再畫一線，運氣好的話，說不定還可連得幾間房子呢！最後算算誰的房子多，誰就是贏家。 規則簡單，不過玩起來，學問可大著的呢！如果你是先手，應該如何去佈局？若是後手，又要如何去對付呢？這些都值得我們去探討。