數學科

在這個研究，我們成功的使用數學方法，解決下列的題目： 紅綠藍三種球各若干個排成第一列，但從第二列起，球的顏色由其左上和右上決定。若左上右上不同色，則此球為第三種顏色；若左上右上同色，則此球同色。問n是多少時，可以由第一列直接預測最後一列球的顏色？如何判斷？ 我們不只發現一般式，同時透過研究的過程，發現奇偶性、不變量、反運算的數學現象。並設計了2層結構的基本單元，提出討論。 我們的創新之一是推廣原題目─從平面到立體，嘗試著利用六層正四面體的模式，來解釋題目在三維空間的應用。

獨目棋盤的定義：在m×n的方格棋盤最右上角方格中先放置一個黑色棋子，其餘方格皆為空格，有如白眼球中的黑色瞳孔，故稱之。 獨目棋盤的棋子放置規則：最右上角方格中先放置一個黑色棋子，之後每次可以在剩餘空格中放入一個白色棋子，並且同時改變相鄰方格中棋子的顏色，即黑改白，白改黑，若是空格就無變化。 本文證明了什麼樣的獨目棋盤在放滿棋子後，會讓方格內的棋子都變成白色棋子，並且找出可以令人依循的放棋原則，以及對所有棋盤設計一種通用放法，最後算出一些棋盤的所有放法。此外，我們改變黑棋的初始位置與初始黑棋的數目（可為0），試著探討與原棋盤的不同之處。

因為讀數論的同餘方程時，看到許多一元二次同餘方程的解法，又在不定方程中遇到ax2 + by2 = k 這樣的題目，使我開始思考這個問題。

四角拼圖是由九張一樣大小的正方形卡片所組成的拼圖，每張正方形的四邊有不同圖案的半邊， 可與其他卡片的另半邊接成一張完整的圖片， 最後拼出3 ×3 的拼圖。卡片上的圖片種類可重複，四張半邊的圖案排列方式也不盡相同，故一副拼圖可能有一種以上解。我們設計了以下三大類拼圖：一、 3 × 3 的拼圖有兩種圖案， 每張卡片含二種圖案的同半邊。二、 3 × 3 的拼圖有三種圖案， 每張卡片含三種圖案的同半邊。三、 3 × 3 的拼圖有四種圖案， 每張卡片含四種圖案的同半邊。在此研究中，由調整卡片中的圖片多寡和其排列的方式，探討這些因素對拼圖解的影響（ 多寡、特性）。同時也從原始的拼圖方式， 研發更有條理與完整性的拼圖方法。

在上角和全等時，我們就想用三角板來畫角，但是市面上買到的三角板，只能畫出15°、30°、45°、60°、75°、90°等15的倍數的角而已，於是我們便想是否可以自己製作一套三角板，而把所有的角都能畫出來，於是我們便著手做一套三角板。

何謂無限解？若n位正整數B ，滿足xm xp mod 10n，則稱B 是xm＝xp的n位數解。例:2494＝3844124001、2492＝62001，所以249為x4＝x2的一個三位數解。當n→∞時，則稱B 是xm＝xp的一個無限位數解，簡稱為無限解。本研究主要在探討方程式x2＝x、x3＝x、x4＝x、、、、xm＝x、xm＝xp無限解的規律性及各方程式無限解的個數，並加以證明。幸運地，我們利用任意數次方後其個位數每四個循環一次的特性，藉由整數論定理的推導，並佐以Mathematica軟體輔助計算，得到以下令人振奮的結論！在Xm＝Xp的無限解中：(1)若m－p＋1為4k-2或4k(即m－p＋1為偶數)k N，則其必僅有兩個無限解。(2)若m－p＋1為4k-1，k N，則其必僅有七個無限解。(3)若m－p＋1為4k+1，k N，則其必僅有十三個無限解。

連線比賽是由甲拿藍色筆，乙拿紅色筆，甲先乙後輪流在凸n邊形上的頂點連一線段，如比賽單色三角形，先連出單色三角形者為勝。我們的研究首先求出n之最小值為6，接下來找出被指定不同圖形的雙方皆使用最優勢畫法且互相封閉時，具有必勝策略者，得到以下結果︰甲指定的圖形 乙指定的圖形 雙方皆使用最優勢畫法且互相封閉時，具有必勝策略者一個藍色三角形 一個紅色三角形 甲一個藍色四邊形 一個紅色四邊形 甲一個藍色四邊形 二個紅色三角形 甲二個藍色三角形 一個紅色四邊形 乙三個藍色三角形 二個紅色四邊形 乙二個藍色四邊形 三個紅色三角形 甲一個藍色五邊形 一個紅色五邊形 甲並發現畫n條線段能產生最多的單色n邊形之潛在線數的規律性，同時歸納出必勝策略的方向。

開慶生會，老師拿出一塊正方形的大蛋糕，和大家分享，可是當時全班分成五組，要像分，蛋糕上的奶油分不公平呢：只好像從軸點分，可是，正方形只有四個邊，怎麼分成五塊呢？壽星們只好先切八個等分，再增增減減的，雖然分成了，不過，很不科學。一定有簡易的分法吧！我們決定找找看。

二上數學課本綜合應用三（第 70 頁），有一練習題， l 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 九個整數中，那三個整數加起來會等於 15 ，你能寫出幾種？ 我是用 1 + 9 + 5 = 15 、 6 + 8 十 l = 15 …… 等多種不同的加法，可是卻發現和同學們的寫法不太一樣，我們都覺得很奇怪，就請問老師，經過老師的詳細說明，大家才知道，原來這一題的答案是有很多種不同的寫怯，不是單一固定的。我們對這些像魔術般富有變化的數字遊戲，都很感興趣。因此，在同學們的渴望求知、老師的鼓勵，又配合本校校刊一數學遊戲的有獎徵答，大家都很熱烈的參與討論，於是就請老師指導我們做有趣的魔術九方格數字研究。