數學科

我們一直認為生活中到處充滿著數學的知識，在課堂上我們探討過人體的黃金比例、地圖上的座標與比例尺、校園面積的估測、大自然中的圓、市場上斤兩的換算、環島旅行的時間路程計畫．．．等等，在圓柱圓錐單元，珍珠奶茶的杯子被提及，引發大家熱烈的討論，因此計畫研究，希望延續課內教材，對圓錐台做進一步的探究。在整個實驗研究過程中，我們發現杯子（圓錐台狀）的側面展開圖是由同心圓過圓心截取的環狀片所組成的，且隨著截取同心圓角度的不同，杯子的斜度也會有所不同。在探索圓錐台的體積時，我們也能利用到六下課程中的【比例概念】將圓錐台的體積給推算出來，且與實測的值相去無幾，是令我們感到興奮的。當我們再深入應用在伸縮杯上時，更發現了層與層之間的交接處也是一門學問，當同心圓越大，截取的同心圓角度要愈小，所形成的伸縮杯就會越完美，同時我們也運用了一點技巧讓我們所製作的伸縮更具有藝術美觀的價值哦?

本文將一道組合問題可能的方法數製成正方形表格，以「巴斯卡正方形」命名。將此正方形內的組合數同餘若干自然數後，觀察及歸納其結果。 同餘後不同的餘數配予不同顏色，產生一些特別的圖形，例如：「教大中庭系列」及「棋盤格系列」。我們研究了這些圖形的規律性以及對各個餘數的個數進行計數。 我們利用Lucas’s Theorem及(1+x)n 展開的係數搭配乘法原理來做計數的工具，並且研發了一個算式用於計算任意組合數被質數的次方同餘後的結果。

由在五邊形上跳舞這個看似公平的遊戲中，找尋其不公平性，與背後的數學意義，並找出其必勝策略，再由原始遊戲推廣至1~n搶m，找出必勝法則。直覺上，只要想遍整個可能發生的進退，便可走出必勝的一步﹝當其存在時﹞，即是不公平的所在。就此，我們可將其適當轉換成數學之語言符號，進而以數學歸納法證明，必勝法則之存在性。但根據不同的n，或說是某些特殊的n，該法則可能退化較為簡單﹝規律﹞之形式。

二上數學課本綜合應用三（第 70 頁），有一練習題， l 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 九個整數中，那三個整數加起來會等於 15 ，你能寫出幾種？ 我是用 1 + 9 + 5 = 15 、 6 + 8 十 l = 15 …… 等多種不同的加法，可是卻發現和同學們的寫法不太一樣，我們都覺得很奇怪，就請問老師，經過老師的詳細說明，大家才知道，原來這一題的答案是有很多種不同的寫怯，不是單一固定的。我們對這些像魔術般富有變化的數字遊戲，都很感興趣。因此，在同學們的渴望求知、老師的鼓勵，又配合本校校刊一數學遊戲的有獎徵答，大家都很熱烈的參與討論，於是就請老師指導我們做有趣的魔術九方格數字研究。

資訊爆炸時代，資料的流通迅速方便，但安全性也跟著降低，從前以實體文書往來信件時，還能夠在信封上加上彌封，但是電腦網路世界要如何加上這道彌封呢？這也是目前各國重視的資訊安全的部份，強化電腦資料的保存方法，就是加上密碼，這到密碼就是我們所說的彌封，在網路中有了這道彌封，即使資料不慎被竊取，只要解密金鑰不被破解，那重要的資訊便不會洩漏，所以我們便以加密的方法應用為主題來進行探討。

在上角和全等時，我們就想用三角板來畫角，但是市面上買到的三角板，只能畫出15°、30°、45°、60°、75°、90°等15的倍數的角而已，於是我們便想是否可以自己製作一套三角板，而把所有的角都能畫出來，於是我們便著手做一套三角板。

本文以幾何的方式研究過定點直線與曲線所圍區域面積的極值，研究的問題如下: 給定P點及曲線C，所有過P點的直線中，試問哪一條能和曲線C圍出最小/最大的面積呢? 經過數學軟體實驗後，我發現有一種直線似乎擁有這個性質，並稱這樣的直線為等分截線，其特性是: 等分截線L0僅交曲線C於兩點M, N，且 = 。因此我猜測等分截線能和曲線C圍出最小的面積，並發現有效區域面積隨直線的旋轉(以P點為中心)呈現規則地變化。本研究主要的結果如下: 1.圓錐曲線滿足這個性質 2.延伸推廣至所有凸曲線都滿足這個性質(無論曲線平滑與否) 3.當給定P點，提出簡易判斷曲線C與P點間是否具有這個性質的條件 4.針對有範圍限制的曲線，提出圍出最大或最小區域面積直線之做法。本文內容力求簡單、扼要但不失嚴謹性，希望呈現出數學簡單但深刻的美。

在“科學教育月刊第212期（1998.9）”裡有一道題目“一則幾何問題”，在文章的最後作者建議讀者可進一步利用動態幾何軟體 Geometer Sketchpad （GSP） 來處理、探索這有趣的幾何題目。當我們看到筆者如此的建議，便詢問老師這套軟體，並央求老師指導我們。起初我們只是認為這套軟體好玩，可以讓幾何圖形移動，讓以前只能存在心中的轉動、移動或疊合之類的幾何變換都然能真實地呈現在我們眼前。但當我們再利用GSP深入此問題時，我們竟發現了一些出乎我們預料卻蘊含規則的結果。於是我們就再請教老師，並做了此份探討與研究。 \r 我們做此份研究事先並沒有預設目標。憑著好奇心，在亂中發現、尋找規律。也多虧有此套軟體（GSP）的實際操作，讓我們的發現以致於猜測都可以得到初步的檢驗，而終究才有結論。總而言之，這份研究可說是在好奇、探索與驚呼中走過。\r

國中二年級數學教材中有幾何作圖題。有次上課時，一學生發問「老師! 我畢業後不再升學，只要學算術加減乘除會了就可以做生意為何學幾何、代數」當時全斑大部份同學附議，我心想難怪他們數學學不好，便告訴他們，數學並不限於書本上的演算、證明，在日常生活中到處可以找到，隨時都要利用到數學數，只要我們細心觀察、耐心求證，我們所接觸到的環境中都有幾何圖形，隨後我就撕一等寬紙條打一「單結」告訴他們這是正五邊形，他們都覺詫異，我們就一起證明，在這求證過程中，發現每位學生興趣濃厚，因此我聯想到他們小學的勞作課摺紙工，將正在上的童子軍課，只要提起他們學幾何作圖的興趣就不難收到教學上的預期效果。

開慶生會，老師拿出一塊正方形的大蛋糕，和大家分享，可是當時全班分成五組，要像分，蛋糕上的奶油分不公平呢：只好像從軸點分，可是，正方形只有四個邊，怎麼分成五塊呢？壽星們只好先切八個等分，再增增減減的，雖然分成了，不過，很不科學。一定有簡易的分法吧！我們決定找找看。