數學科

在國一時，楊維哲教授出了一張中區數理資優生數學競試題，其中有一題─給一個三角形 ABC，(甲)假定P是線段上點，求作一直線，經過P點且平分這三角形。(乙)假定P是延長線上的一點，考慮同樣的問題。記得當時僅能作出假設P是中點，就能二等分△ABC，其餘均無法解答。至目前學了幾何，所學漸多，乃聯合同學有心突破此題。

現在政府正積極推動基層建設，其中一件重要項目便是建設鄉村的連絡道連絡道路網。在不考慮人文、地質的條件下，以數學的觀點來看，當然希望連絡道路網之全長為最小，而使工程費為最省。此在交叉路口建立人行地下道，或在部市內建築高架橋連絡網、地下水道等均希望連絡網的全長為最小。這些問題引發我們研究本文的動機--在一平面上，給定若干個定點，如何設計一連絡網，連接這些點而使速絡網之全長為最小。有關這問題，實驗課本第三冊、第五章中曾經提到，到三定點距離和之最小值的求法與結論。但我們發現課本所做的結論，無法適用所有的情況，而有待修正。修正的方法與結論，及如何利用這結論將三個定點推廣到一般的任意幾個點是我們要研討的問題。

如果你對數學有興趣的話，你一定知道什麼是完美，什麼是奧妙。一個數學問題，你能解央了它，它即是完美；若你不能解決，它即是奧妙。數與數之間存在著許多性質，而由數組成的式，同樣亦具有完美的結構。我對於式的討論，便是在每一個式子附以一特定的坐標，用它來討論彼此之間的結構，並像解析幾何一般，建立坐標系，求其幾何意義，這一切都是表明式子與式子之間，必然存在某些共通的結構，和其可以互相推求的性質。

本研究內容為：討論黑、白相間的棋盤方格，經一條直線分割後，取大塊區域的黑色與白色面積，如何尋求最佳分割線與最大值？過程中，我們利用平行移動法以及等面積法，成功的找出的最佳分割線與最大值的通式。再應用2x2、3x3的結果與方法，推導出2xm、3xm 相關分割，進一步推廣到nxm的相關結論。

資訊爆炸時代，資料的流通迅速方便，但安全性也跟著降低，從前以實體文書往來信件時，還能夠在信封上加上彌封，但是電腦網路世界要如何加上這道彌封呢？這也是目前各國重視的資訊安全的部份，強化電腦資料的保存方法，就是加上密碼，這到密碼就是我們所說的彌封，在網路中有了這道彌封，即使資料不慎被竊取，只要解密金鑰不被破解，那重要的資訊便不會洩漏，所以我們便以加密的方法應用為主題來進行探討。

一、『馬步解』定義：向右二格、再向上一格稱為『馬步2』，推廣至向右n 格、再向上一\r 格稱為『馬步n』。\r 二、先逐一嘗試n×n 方陣中馬步解成立與不成立之各種情形，並整理列表。\r 三、利用嘗試結果研究出馬步解的例外規則。\r 四、根據鑲嵌解概念推得『環面解』，再進一步推得『甜甜?解』。\r 五、利用馬步解的特性，得到兩個重要性質：\r （一）『加法對應性質』。 （二）『乘法對應性質』。\r 六、利用『遞降法』，算出乘法對應。\r 七、根據『費馬平方和定理』，推得4m+1 型質數階方陣加法對應重覆之運算。\r 八、利用『削邊法』得到偶方陣的類馬步解，完成所有具有馬步規律解的尋找。\r 九、以往對於n 后問題的研究著重於解題邏輯思考，或是比較程式演算法的優劣。本研究\r 則是針對相同斜率規律格子點的解，探討其規則以及推廣。更重要的是對於經典的『八\r 皇后問題』的解，也可利用甜甜?解的概念加以精簡。

一、4×4骨牌同心圓 1. 下圖一則成功的4×4骨牌同心圓示例：（1） 內圓（紅色部分）每行每列總和皆相同都為3。（2） 外圓（含紅色部分）每行每列總和皆相同都為9。（3） 設計源自於骨牌魔方陣的變形，本遊戲不探討對角線的總和。 2. 本研究發現：（1） 4×4同心圓之內圓總和≠外圓總和。（2） 4×4同心圓的內圓總和範圍介於1≦內圓和α≦11。（3） 當4≦內圓和α≦8時，其外圓總和β的最小值與最大值有其固定的範圍：α＋1≦β≦α＋11。（4） 當內圓和不在4≦α≦8的範圍內，其外圓最大值逐漸從兩頭遞減；外圓最小值逐漸從兩頭遞增。（5） 4×4骨牌同心圓的排列方式有七大類共32種。因不同骨牌排列的變化，會產生更多4×4骨牌同心圓的拼組可能。 二、5×5骨牌同心圓 1. 下圖一則成功的4×4骨牌同心圓示例：（1） 3×3內圓（紅色部分）每行每列總和皆相同都為12。（2） 5×5外圓（含紅色部分）每行每列總和皆相同都為17。（3） 設計源自於骨牌魔方陣的變形，本遊戲不探討對角線的總和。 2. 本研究發現：（1） 5×5同心圓的內圓總和≠外圓總和。（2） 5×5同心圓的內圓總和範圍介於4≦內圓和α≦12。（3） 當7≦內圓和α≦9時，其外圓總和β的最小值與最大值有其固定的範圍：α＋1≦β≦α＋11。（4） 當內圓和不在7≦α≦9的範圍內，其外圓最大值逐漸從兩頭遞減；外圓最小值逐漸從兩頭遞增。

一開始我們想解出九九乘法表中，放置一個正方形，使這個正方形四個頂點的位置的數加起來，和會是 140 的框框。解題的過程中，我們嘗試了許多方法，利用學校的數學課程所學習到對稱、因數分解的基本觀念，除了找出規律外，更發現九九乘法表的奧妙與許多有趣的玩法。

抽芽遊戲是由兩人在紙上的點輪流連線，最後一個連線的人就勝利了，我們的研究首先尋找抽芽遊戲的規則，跳脫求勝的策略，將步數與塊數的最大與最小範圍找出來；接下來改變抽芽遊戲的玩法，研究連線數與方法，同時將玩法推展為四面體的遊戲，尋找遊戲的規律。

驚奇：一副牌經過特殊的洗牌方式─逆序之後交疊洗牌一次，可以洗出四條不管花色的「青龍」，研究到最後，我們發明了「類鴿原理」：存在ｎ個區間，每個區間必須「剛剛好」ｍ個物件，當「第ｎ區間」最上面的一個物件，進入「第１區間」時，「第１區間」最上面的一個物件，勢必會被推至「第２區間」；而「第２區間」也因為「多了一個物件」，勢必將原本「第２區間」最上面的一個物件，推至「第３區間」；使得原本「第３區間」最上面的一個物件，推至「第４區間」；…，依此類推「第ｎ區間」，使得「第ｎ區間」補足ｍ個物件。