數學科

資訊爆炸時代，資料的流通迅速方便，但安全性也跟著降低，從前以實體文書往來信件時，還能夠在信封上加上彌封，但是電腦網路世界要如何加上這道彌封呢？這也是目前各國重視的資訊安全的部份，強化電腦資料的保存方法，就是加上密碼，這到密碼就是我們所說的彌封，在網路中有了這道彌封，即使資料不慎被竊取，只要解密金鑰不被破解，那重要的資訊便不會洩漏，所以我們便以加密的方法應用為主題來進行探討。

在“科學教育月刊第212期（1998.9）”裡有一道題目“一則幾何問題”，在文章的最後作者建議讀者可進一步利用動態幾何軟體 Geometer Sketchpad （GSP） 來處理、探索這有趣的幾何題目。當我們看到筆者如此的建議，便詢問老師這套軟體，並央求老師指導我們。起初我們只是認為這套軟體好玩，可以讓幾何圖形移動，讓以前只能存在心中的轉動、移動或疊合之類的幾何變換都然能真實地呈現在我們眼前。但當我們再利用GSP深入此問題時，我們竟發現了一些出乎我們預料卻蘊含規則的結果。於是我們就再請教老師，並做了此份探討與研究。 \r 我們做此份研究事先並沒有預設目標。憑著好奇心，在亂中發現、尋找規律。也多虧有此套軟體（GSP）的實際操作，讓我們的發現以致於猜測都可以得到初步的檢驗，而終究才有結論。總而言之，這份研究可說是在好奇、探索與驚呼中走過。\r

本專題完整的探討了「王位繼承人」的問題。透過大量觀察、分析、統整與邏輯歸納法則，我們得出一個十分簡潔明白的結論，即任意N 個王子，在報X 留Y（X，Y 任意指定）的王位繼承規則下，應該站在哪個位置才能成為王位繼承人。在我們的研究中，針對「王位繼承人」的位置預測，將所有狀況歸納成2 大系統，4種條件，推導出L 值公式4 項，S 值公式2 項，這個結論涵蓋了所有不同N，X，Y 值下的各種情況，並且所得公式簡單易懂，能得到這樣的研究結果，實在令人興奮。

我們一直認為生活中到處充滿著數學的知識，在課堂上我們探討過人體的黃金比例、地圖上的座標與比例尺、校園面積的估測、大自然中的圓、市場上斤兩的換算、環島旅行的時間路程計畫．．．等等，在圓柱圓錐單元，珍珠奶茶的杯子被提及，引發大家熱烈的討論，因此計畫研究，希望延續課內教材，對圓錐台做進一步的探究。在整個實驗研究過程中，我們發現杯子（圓錐台狀）的側面展開圖是由同心圓過圓心截取的環狀片所組成的，且隨著截取同心圓角度的不同，杯子的斜度也會有所不同。在探索圓錐台的體積時，我們也能利用到六下課程中的【比例概念】將圓錐台的體積給推算出來，且與實測的值相去無幾，是令我們感到興奮的。當我們再深入應用在伸縮杯上時，更發現了層與層之間的交接處也是一門學問，當同心圓越大，截取的同心圓角度要愈小，所形成的伸縮杯就會越完美，同時我們也運用了一點技巧讓我們所製作的伸縮更具有藝術美觀的價值哦?

本研究內容為：討論黑、白相間的棋盤方格，經一條直線分割後，取大塊區域的黑色與白色面積，如何尋求最佳分割線與最大值？過程中，我們利用平行移動法以及等面積法，成功的找出的最佳分割線與最大值的通式。再應用2x2、3x3的結果與方法，推導出2xm、3xm 相關分割，進一步推廣到nxm的相關結論。

一開始我們想解出九九乘法表中，放置一個正方形，使這個正方形四個頂點的位置的數加起來，和會是 140 的框框。解題的過程中，我們嘗試了許多方法，利用學校的數學課程所學習到對稱、因數分解的基本觀念，除了找出規律外，更發現九九乘法表的奧妙與許多有趣的玩法。

本文將一道組合問題可能的方法數製成正方形表格，以「巴斯卡正方形」命名。將此正方形內的組合數同餘若干自然數後，觀察及歸納其結果。 同餘後不同的餘數配予不同顏色，產生一些特別的圖形，例如：「教大中庭系列」及「棋盤格系列」。我們研究了這些圖形的規律性以及對各個餘數的個數進行計數。 我們利用Lucas’s Theorem及(1+x)n 展開的係數搭配乘法原理來做計數的工具，並且研發了一個算式用於計算任意組合數被質數的次方同餘後的結果。

如果你對數學有興趣的話，你一定知道什麼是完美，什麼是奧妙。一個數學問題，你能解央了它，它即是完美；若你不能解決，它即是奧妙。數與數之間存在著許多性質，而由數組成的式，同樣亦具有完美的結構。我對於式的討論，便是在每一個式子附以一特定的坐標，用它來討論彼此之間的結構，並像解析幾何一般，建立坐標系，求其幾何意義，這一切都是表明式子與式子之間，必然存在某些共通的結構，和其可以互相推求的性質。

驚奇：一副牌經過特殊的洗牌方式─逆序之後交疊洗牌一次，可以洗出四條不管花色的「青龍」，研究到最後，我們發明了「類鴿原理」：存在ｎ個區間，每個區間必須「剛剛好」ｍ個物件，當「第ｎ區間」最上面的一個物件，進入「第１區間」時，「第１區間」最上面的一個物件，勢必會被推至「第２區間」；而「第２區間」也因為「多了一個物件」，勢必將原本「第２區間」最上面的一個物件，推至「第３區間」；使得原本「第３區間」最上面的一個物件，推至「第４區間」；…，依此類推「第ｎ區間」，使得「第ｎ區間」補足ｍ個物件。

威索夫（ wy thoff ）遊戲是一個兩人輪流取兩堆火柴的遊戲，遊戲規則每人取火柴時，需依下列三種取法之一： (I)從第一堆任取若干支火柴；(II)從第二堆任取若干支火柴；(III)從兩堆中各取相同數目的火柴，能取最後一支火柴者獲勝。我們研究威索夫遊戲時，發現遊戲的致勝關鍵在於黃金分割比值（ G ）及其平方（ G2 ）若干倍數後的整數部份所構成的兩個數列，此乃因這兩個數列存在的奇妙關係─互補關係。我們由黃金分割比值及其平方兩數所構成的數列以及一些關於互補關係的性質，找出另外兩數所構成的兩個數列也具有互補關係，並歸納得到凡兩數構成具有互補關係的數列，此兩數必備的條件。我們將具有互補關係的數列推廣也改變威索夫遊戲，在所有具有互補關係的數列中找出致勝關鍵數列。我們更廣泛地繼續討論任意兩個具有互補關係的數列，找出它們之間的關係，並以此關係舉出一個有趣的應用。