我們發現 l+ 2+…+n=n(n+l)/2這個公式可用下列這種積木堆積方式證明：我們先將其式子看成如下的積木排列數：如〔 圖(一)〕 這時，我們將另一塊形狀大小完全相同的積木組合，與圖(一)疊合如圖(二)。 ∴很明頭地，疊合成的積木組合為一矩形，積木數 2S=n(n+l) ∴S=n(n+1)/2 即 l+2+…+n＝n(n+l)/2

四角拼圖是由九張一樣大小的正方形卡片所組成的拼圖，每張正方形的四邊有不同圖案的半邊， 可與其他卡片的另半邊接成一張完整的圖片， 最後拼出3 ×3 的拼圖。卡片上的圖片種類可重複，四張半邊的圖案排列方式也不盡相同，故一副拼圖可能有一種以上解。我們設計了以下三大類拼圖：一、 3 × 3 的拼圖有兩種圖案， 每張卡片含二種圖案的同半邊。二、 3 × 3 的拼圖有三種圖案， 每張卡片含三種圖案的同半邊。三、 3 × 3 的拼圖有四種圖案， 每張卡片含四種圖案的同半邊。在此研究中，由調整卡片中的圖片多寡和其排列的方式，探討這些因素對拼圖解的影響（ 多寡、特性）。同時也從原始的拼圖方式， 研發更有條理與完整性的拼圖方法。

本研究的內容關於：在一個三維的立方格子點(請見名詞定義)，在其中連接格線，使得從每一面透視，行與列都被填滿格線，我們稱為錯視全滿。 我們想要找到達成錯視全滿的方法、方法數與旋轉下的相異方法數…… 對所有 n 立方格子點，我們得出以下的結果： (一)達成錯視全滿至少需 3n 條格線，且必有 3n 格線達成的情況。 (二)收集 n 錯視點集合中所有點的骨架，必達成錯視全滿。稱為錯視解。 (三)用 Burnside 定理製作程式，計算「旋轉下相異錯視解數」。 (四)使用 Burnside，計算「旋轉下相異錯視解數」的一般式、遞迴式。

二上數學課本綜合應用三（第 70 頁），有一練習題， l 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 九個整數中，那三個整數加起來會等於 15 ，你能寫出幾種？ 我是用 1 + 9 + 5 = 15 、 6 + 8 十 l = 15 …… 等多種不同的加法，可是卻發現和同學們的寫法不太一樣，我們都覺得很奇怪，就請問老師，經過老師的詳細說明，大家才知道，原來這一題的答案是有很多種不同的寫怯，不是單一固定的。我們對這些像魔術般富有變化的數字遊戲，都很感興趣。因此，在同學們的渴望求知、老師的鼓勵，又配合本校校刊一數學遊戲的有獎徵答，大家都很熱烈的參與討論，於是就請老師指導我們做有趣的魔術九方格數字研究。

何謂無限解？若n位正整數B ，滿足xm xp mod 10n，則稱B 是xm＝xp的n位數解。例:2494＝3844124001、2492＝62001，所以249為x4＝x2的一個三位數解。當n→∞時，則稱B 是xm＝xp的一個無限位數解，簡稱為無限解。本研究主要在探討方程式x2＝x、x3＝x、x4＝x、、、、xm＝x、xm＝xp無限解的規律性及各方程式無限解的個數，並加以證明。幸運地，我們利用任意數次方後其個位數每四個循環一次的特性，藉由整數論定理的推導，並佐以Mathematica軟體輔助計算，得到以下令人振奮的結論！在Xm＝Xp的無限解中：(1)若m－p＋1為4k-2或4k(即m－p＋1為偶數)k N，則其必僅有兩個無限解。(2)若m－p＋1為4k-1，k N，則其必僅有七個無限解。(3)若m－p＋1為4k+1，k N，則其必僅有十三個無限解。

在“數學傳播”第 18 卷 3 期（ 55 一 65 頁） 『 三角形的內切橢圓 』 一文中，我們探討了三角形的內切橢圓的一些有趣性質，也留下了一些當時未能解抉的有趣問題，我們想嘗試找出那些問題的答案。

本專題完整的探討了「王位繼承人」的問題。透過大量觀察、分析、統整與邏輯歸納法則，我們得出一個十分簡潔明白的結論，即任意N 個王子，在報X 留Y（X，Y 任意指定）的王位繼承規則下，應該站在哪個位置才能成為王位繼承人。在我們的研究中，針對「王位繼承人」的位置預測，將所有狀況歸納成2 大系統，4種條件，推導出L 值公式4 項，S 值公式2 項，這個結論涵蓋了所有不同N，X，Y 值下的各種情況，並且所得公式簡單易懂，能得到這樣的研究結果，實在令人興奮。

從校外教學及學校、家庭生活環境所常見的地磚、建築物內外牆的馬賽克，正看為排列整齊的「正方格」 ，及「砌方格」等兩種形式，正方格裡頭斜眼一看則有「鼎方格」第三種形式，而正方格與鼎方格又可層層外切一個正方形 、，如何應用公式計算，很值得我們研究與探討。 四年級上過的數學第八冊－毫米與三角形，以及五年級下冊縮圖方格紙的應用，同學們在平面紙上「亂點鴛鴦譜」，隨意將兩點聯成一條直線，三條直線連成一個三角形的遊戲中，看誰畫的三角形最多，了解點、線、面彼此之間的關係。進一步探索鼎方格「連體嬰分割」公式和「亂點鴛鴦譜」的公式有何相關之處？體會「發現與創新」公式的奧秘和興趣！啟迪潛能、培養敏銳觀察與判斷、推理的能力。

在國一時，楊維哲教授出了一張中區數理資優生數學競試題，其中有一題─給一個三角形 ABC，(甲)假定P是線段上點，求作一直線，經過P點且平分這三角形。(乙)假定P是延長線上的一點，考慮同樣的問題。記得當時僅能作出假設P是中點，就能二等分△ABC，其餘均無法解答。至目前學了幾何，所學漸多，乃聯合同學有心突破此題。

一、Ｍn×n (s)：在ｎ×ｎ正方形棋盤中,排列s顆棋子在方格內,每一方格最多只能排1子,棋子的配置須滿足兩個條件:(一)無任意4子可形成矩形框的4個頂點(此矩形框需與棋盤邊平行)(二)在無棋子的方格中,無法再加入棋子二、Ｖn×n×n(a1,……,an):在n×n×n的正方體棋盤中,每層的棋子個數分別為a1,……,an,S=a1+…+an,棋子的配置須滿足兩個條件:(一)無任意8子可形成長方體的8個頂點(此長方體邊需與立體棋盤邊平行)(二)在無棋子的方格中無法在加入棋子本研究在Ｍn×n (s)與Ｖn×n×n(a1,……,an),,S=a1+…+an中探討s的最小值、最大值及變化情形，並分析其配置方法。之後推廣至長方形Ｍn×n(s)及長方體Ｖn×m×k(a1,……,ak) ,S=a1+…+ak。最後根據研究結果設計一個「避開矩形框棋」，並分析出致勝的策略。