數學科

從校外教學及學校、家庭生活環境所常見的地磚、建築物內外牆的馬賽克，正看為排列整齊的「正方格」 ，及「砌方格」等兩種形式，正方格裡頭斜眼一看則有「鼎方格」第三種形式，而正方格與鼎方格又可層層外切一個正方形 、，如何應用公式計算，很值得我們研究與探討。 四年級上過的數學第八冊－毫米與三角形，以及五年級下冊縮圖方格紙的應用，同學們在平面紙上「亂點鴛鴦譜」，隨意將兩點聯成一條直線，三條直線連成一個三角形的遊戲中，看誰畫的三角形最多，了解點、線、面彼此之間的關係。進一步探索鼎方格「連體嬰分割」公式和「亂點鴛鴦譜」的公式有何相關之處？體會「發現與創新」公式的奧秘和興趣！啟迪潛能、培養敏銳觀察與判斷、推理的能力。

一、Ｍn×n (s)：在ｎ×ｎ正方形棋盤中,排列s顆棋子在方格內,每一方格最多只能排1子,棋子的配置須滿足兩個條件:(一)無任意4子可形成矩形框的4個頂點(此矩形框需與棋盤邊平行)(二)在無棋子的方格中,無法再加入棋子二、Ｖn×n×n(a1,……,an):在n×n×n的正方體棋盤中,每層的棋子個數分別為a1,……,an,S=a1+…+an,棋子的配置須滿足兩個條件:(一)無任意8子可形成長方體的8個頂點(此長方體邊需與立體棋盤邊平行)(二)在無棋子的方格中無法在加入棋子本研究在Ｍn×n (s)與Ｖn×n×n(a1,……,an),,S=a1+…+an中探討s的最小值、最大值及變化情形，並分析其配置方法。之後推廣至長方形Ｍn×n(s)及長方體Ｖn×m×k(a1,……,ak) ,S=a1+…+ak。最後根據研究結果設計一個「避開矩形框棋」，並分析出致勝的策略。

本次的研究主題是由河內塔遊戲延伸而成的，我們在不增加河內塔的柱數(維持3柱)，而增加原始擺盤子的塔數，由河內塔的單塔移動、雙塔的雙塔互換，到三塔的三塔輪換，探討不同塔數的最佳移動模式與最少移動次數間的規律，並推導出一般式。我們的研究是將實際搬盤遊戲過程階段化與模式化，將移動次數表格化，由表格的次數找出規律的算式，再套用等比級數公式、乘法分配律與數的合成與分解，去求出搬盤遊戲的一般式。

現在政府正積極推動基層建設，其中一件重要項目便是建設鄉村的連絡道連絡道路網。在不考慮人文、地質的條件下，以數學的觀點來看，當然希望連絡道路網之全長為最小，而使工程費為最省。此在交叉路口建立人行地下道，或在部市內建築高架橋連絡網、地下水道等均希望連絡網的全長為最小。這些問題引發我們研究本文的動機--在一平面上，給定若干個定點，如何設計一連絡網，連接這些點而使速絡網之全長為最小。有關這問題，實驗課本第三冊、第五章中曾經提到，到三定點距離和之最小值的求法與結論。但我們發現課本所做的結論，無法適用所有的情況，而有待修正。修正的方法與結論，及如何利用這結論將三個定點推廣到一般的任意幾個點是我們要研討的問題。

壹. 本作品主旨在於利用將 1/n 化為循環小數後所得之循環節位數來作質數的判斷,並將n 分解成標準分解式。因質因數2,3,5 易於判斷,故本文所提的自然數 n 排除2,3,5 的倍數。 貳. 一. 1/n 化為循環小數後所得之循環節位數以表之,稱為『n 的循環數』。二.(K個1)能被n整除之最小正整數K即為,本作品以Excel 程式來求 K。 ?. 一. 若不為整數,則確定n 不是質數。二. 若 =1 或2,則確定n 為質數。三. 若 為大於2 的整數,本作品無法立即確定其是否為質數。 肆. 若經第?點處理,為一.或三.之狀況,可先將分解,再檢查小於或等於 的質數中,所有循環數為的因數者是否整除n ,即可判斷n 為質數或順利找到其質因數將之分解成標準分解式。

在國一時，楊維哲教授出了一張中區數理資優生數學競試題，其中有一題─給一個三角形 ABC，(甲)假定P是線段上點，求作一直線，經過P點且平分這三角形。(乙)假定P是延長線上的一點，考慮同樣的問題。記得當時僅能作出假設P是中點，就能二等分△ABC，其餘均無法解答。至目前學了幾何，所學漸多，乃聯合同學有心突破此題。

由在五邊形上跳舞這個看似公平的遊戲中，找尋其不公平性，與背後的數學意義，並找出其必勝策略，再由原始遊戲推廣至1~n搶m，找出必勝法則。直覺上，只要想遍整個可能發生的進退，便可走出必勝的一步﹝當其存在時﹞，即是不公平的所在。就此，我們可將其適當轉換成數學之語言符號，進而以數學歸納法證明，必勝法則之存在性。但根據不同的n，或說是某些特殊的n，該法則可能退化較為簡單﹝規律﹞之形式。

本文以幾何的方式研究過定點直線與曲線所圍區域面積的極值，研究的問題如下: 給定P點及曲線C，所有過P點的直線中，試問哪一條能和曲線C圍出最小/最大的面積呢? 經過數學軟體實驗後，我發現有一種直線似乎擁有這個性質，並稱這樣的直線為等分截線，其特性是: 等分截線L0僅交曲線C於兩點M, N，且 = 。因此我猜測等分截線能和曲線C圍出最小的面積，並發現有效區域面積隨直線的旋轉(以P點為中心)呈現規則地變化。本研究主要的結果如下: 1.圓錐曲線滿足這個性質 2.延伸推廣至所有凸曲線都滿足這個性質(無論曲線平滑與否) 3.當給定P點，提出簡易判斷曲線C與P點間是否具有這個性質的條件 4.針對有範圍限制的曲線，提出圍出最大或最小區域面積直線之做法。本文內容力求簡單、扼要但不失嚴謹性，希望呈現出數學簡單但深刻的美。

國中二年級數學教材中有幾何作圖題。有次上課時，一學生發問「老師! 我畢業後不再升學，只要學算術加減乘除會了就可以做生意為何學幾何、代數」當時全斑大部份同學附議，我心想難怪他們數學學不好，便告訴他們，數學並不限於書本上的演算、證明，在日常生活中到處可以找到，隨時都要利用到數學數，只要我們細心觀察、耐心求證，我們所接觸到的環境中都有幾何圖形，隨後我就撕一等寬紙條打一「單結」告訴他們這是正五邊形，他們都覺詫異，我們就一起證明，在這求證過程中，發現每位學生興趣濃厚，因此我聯想到他們小學的勞作課摺紙工，將正在上的童子軍課，只要提起他們學幾何作圖的興趣就不難收到教學上的預期效果。

納稅是人民應盡的義務，政府有了稅收才能為國家做更多的建設，增進我們的生活品質，也可以給我們很多社會福利，讓我們國家越來越進步，人民的生活越來越便利，越來越幸福。「稅法變變變」是一個十分有趣的遊戲，在這物價飛漲的時代，每個人都想要「稅」少繳一點，「薪水」能夠多一點，藉由「稅法變變變」我們發現每一個數字間的因數與倍數有巧妙的關係，透過遊戲，試著找出其規律性，目前的研究做到1-25連續與非連續數字，其中結尾數字20以下與結尾數字21以上的拿法與實際所得皆有所差異，我們推測若繼續探究25以上的數字，應該可以發現某些數字性質的異同。藉由抽稅的遊戲除了讓我們瞭解人民納稅的重要，也可以讓我們對因數、倍數、與質數有更透徹的瞭解。