數學科

2008 年環球數學競賽秋季賽有一道題目如下所示：在無窮數列{a(n)}，a(0)=0，若n 的最大奇因數除以4 餘數為1，則a(n)=a(n-1)+1，若n 的最大奇因數除以4 餘數為3，則a(n)=a(n-1)-1。此數列的首幾項為：0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。(a) 證明在此數列中，1 將出現無窮多次(b) 證明在此數列中，每一個正整數將出現無窮多次。因a（2k-1-1）=1。數列{a(n)}定義2k-1≦n≦2k-1 為第k 區間。網路上有第k 區間a(n)=k 的存在性證明。本研究特色在於二進位法找出a(n)表示法，證明第k 區間a(n)=k 唯一性。為了延伸研究，定義數列{dp(n)}，討論質數p 為情況下，猜測數列{dp(n)}第k區間極值、比較出現次數分佈對稱性、數列{d2(n)}降階關係。為了定義統一，本研究從前言起，以數列{d2(n)}代替競賽題目提到的數列{a(n)}。

從校外教學及學校、家庭生活環境所常見的地磚、建築物內外牆的馬賽克，正看為排列整齊的「正方格」 ，及「砌方格」等兩種形式，正方格裡頭斜眼一看則有「鼎方格」第三種形式，而正方格與鼎方格又可層層外切一個正方形 、，如何應用公式計算，很值得我們研究與探討。 四年級上過的數學第八冊－毫米與三角形，以及五年級下冊縮圖方格紙的應用，同學們在平面紙上「亂點鴛鴦譜」，隨意將兩點聯成一條直線，三條直線連成一個三角形的遊戲中，看誰畫的三角形最多，了解點、線、面彼此之間的關係。進一步探索鼎方格「連體嬰分割」公式和「亂點鴛鴦譜」的公式有何相關之處？體會「發現與創新」公式的奧秘和興趣！啟迪潛能、培養敏銳觀察與判斷、推理的能力。

國小時就常和同學一起玩數學小遊戲，相當喜歡這種「想想看」的感覺。高一時考環球城市盃數學競賽，題目中有一題令我百思不解，後來和同學提起這個遊戲，發現大家對這題也都沒什麼好辦法，經過幾天討論之後，終於把題目解決了！不過我卻又發覺這個遊戲在加以變化之後，又可以有不同的玩法與解法！恰好當時我們也學到「排列組合」這一章，其中樹狀圖的概念和我當時的解法可說大同小異。當下我們就決定要繼續挑戰這個既繁且雜令人又愛又恨的遊戲。

上學期，學校召開了數學科教學研究會時，當時有位老師提出在第一冊課本，第 24 頁中，討論到農曆沒有決定大小月的規則，以及每三年就多加一個閏月，但每十九年加七個閏月，其推算的方法很複雜，既然是沒有規則！那天文台所定出的農曆又是憑藉些什麼來制定的呢？基於此種好奇心的驅使，我們就憑著地球公轉一次及月球繞地球一適所需的時間，加上連分數的運用，所推出來的數字，竟與課木所提的數字 (三年一閏，十九年七閏）不謀而合，所以就想不利用連分數來驗證農曆萬年曆，以下即是我們的研究過程及數據，供大家參考。

在國一時，楊維哲教授出了一張中區數理資優生數學競試題，其中有一題─給一個三角形 ABC，(甲)假定P是線段上點，求作一直線，經過P點且平分這三角形。(乙)假定P是延長線上的一點，考慮同樣的問題。記得當時僅能作出假設P是中點，就能二等分△ABC，其餘均無法解答。至目前學了幾何，所學漸多，乃聯合同學有心突破此題。

在三角錐中有很多性質，這可以由數學書藉中找到在此不再陳述。現在僅就我們研究所得結果，定義出「容錐」在此不「容心」與「心線」，再把此心線與極著名之歐拉(Euler) 線作一比較，並研究其在四角錐五角錐以至 n 角錐中是否成立。

一、Ｍn×n (s)：在ｎ×ｎ正方形棋盤中,排列s顆棋子在方格內,每一方格最多只能排1子,棋子的配置須滿足兩個條件:(一)無任意4子可形成矩形框的4個頂點(此矩形框需與棋盤邊平行)(二)在無棋子的方格中,無法再加入棋子二、Ｖn×n×n(a1,……,an):在n×n×n的正方體棋盤中,每層的棋子個數分別為a1,……,an,S=a1+…+an,棋子的配置須滿足兩個條件:(一)無任意8子可形成長方體的8個頂點(此長方體邊需與立體棋盤邊平行)(二)在無棋子的方格中無法在加入棋子本研究在Ｍn×n (s)與Ｖn×n×n(a1,……,an),,S=a1+…+an中探討s的最小值、最大值及變化情形，並分析其配置方法。之後推廣至長方形Ｍn×n(s)及長方體Ｖn×m×k(a1,……,ak) ,S=a1+…+ak。最後根據研究結果設計一個「避開矩形框棋」，並分析出致勝的策略。

壹. 本作品主旨在於利用將 1/n 化為循環小數後所得之循環節位數來作質數的判斷,並將n 分解成標準分解式。因質因數2,3,5 易於判斷,故本文所提的自然數 n 排除2,3,5 的倍數。 貳. 一. 1/n 化為循環小數後所得之循環節位數以表之,稱為『n 的循環數』。二.(K個1)能被n整除之最小正整數K即為,本作品以Excel 程式來求 K。 ?. 一. 若不為整數,則確定n 不是質數。二. 若 =1 或2,則確定n 為質數。三. 若 為大於2 的整數,本作品無法立即確定其是否為質數。 肆. 若經第?點處理,為一.或三.之狀況,可先將分解,再檢查小於或等於 的質數中,所有循環數為的因數者是否整除n ,即可判斷n 為質數或順利找到其質因數將之分解成標準分解式。

現在政府正積極推動基層建設，其中一件重要項目便是建設鄉村的連絡道連絡道路網。在不考慮人文、地質的條件下，以數學的觀點來看，當然希望連絡道路網之全長為最小，而使工程費為最省。此在交叉路口建立人行地下道，或在部市內建築高架橋連絡網、地下水道等均希望連絡網的全長為最小。這些問題引發我們研究本文的動機--在一平面上，給定若干個定點，如何設計一連絡網，連接這些點而使速絡網之全長為最小。有關這問題，實驗課本第三冊、第五章中曾經提到，到三定點距離和之最小值的求法與結論。但我們發現課本所做的結論，無法適用所有的情況，而有待修正。修正的方法與結論，及如何利用這結論將三個定點推廣到一般的任意幾個點是我們要研討的問題。

本次的研究主題是由河內塔遊戲延伸而成的，我們在不增加河內塔的柱數(維持3柱)，而增加原始擺盤子的塔數，由河內塔的單塔移動、雙塔的雙塔互換，到三塔的三塔輪換，探討不同塔數的最佳移動模式與最少移動次數間的規律，並推導出一般式。我們的研究是將實際搬盤遊戲過程階段化與模式化，將移動次數表格化，由表格的次數找出規律的算式，再套用等比級數公式、乘法分配律與數的合成與分解，去求出搬盤遊戲的一般式。