本研究要求對超立方體中，每個頂點開槍以獵捕兔子，每經過一輪後，兔子可以留在原處，或跳動到相鄰的位置，每輪槍數均相同。如此，每輪開幾槍?總共開槍幾輪才能獵到兔子? 本研究先以正多面體和足球探討。經由研究足球的經驗，利用組合數和文字字串解決任意維度超立方體開槍點數量的問題。尤其是，文字字串從建構、組合觀點，提出不同角度的研究。 對於超立方體的輪數問題。發現0維度每輪至少1槍，需要1輪。1維度每輪至少2槍，需要1輪。3維度需要4輪，可以依序用4槍、5槍、5槍和4槍。4維度每輪均使用8槍，需6輪。

我討論六種不同圖形的分割與重組方法，發現以下的結果： 一、 正三角形與正方形的規則為等分量的平方。 二、 等腰直角三角形的規則為公比=2的等比數列。 三、 A類、B類三角形的分割規律為費氏數列，正五邊形的分割規律為盧卡斯數列。 四、 以p表示A類三角形的腰，q表示A類三角形的底邊，A類、B類三角形的腰或底邊之分割(p,q)值為費氏數列的相鄰兩項，且其排列規則也會符合費氏數列的產生規則 五、 以bn為正五邊形Cm的個數，則分割、重組的關係式為：bn?Cm=Cm-(n-1)+Cm+(n-1)，n≧2 。 六、 以an為正五邊形Cm的個數，則分割、重組的關係式為：an?Cm=Cm-(n-1)+…+Cm+(n-1)，n≧2。 七、 以任意數α為正五邊形Cm的個數，可將α分解成an及bm的和，再利用五、六的結論進行…分割、重組，不過重組的方式並不是唯一的。 八、 任給αA+βB ，當α/β介於0.5到1.618之間，可以檢查α/β介於哪兩個連續的Cn之A、B兩類三角形的數量比值，並利用解聯立方程式的方法解出αA+βB=pCn-1+qCn。

※本文所探討的是關於有趣的移位遊戲 (本文問題一，共討論三種情形)：偶數個硬幣依序交錯排成一直線，設有反面硬幣數n 個(ex.正、反、正、反→反、反、正、正)，最少移動次數 n(n+1) /2次；偶數個硬幣數非交錯(ex. 正、正、反、反→反、反、正、正)，最少移動次數n2次；與奇數個硬幣數非交錯排列(ex. 正、正、反→反、正、正)，最少移動次數n(n+1)次。 (本文問題二，共討論五種情形)：利用技巧定義出｢跳島攻法｣，當移動過程符合跳島攻法，可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2 時，奇數個字母為 N2 + 3N − 8/2 次；偶數個字母為 N(N +1)/2 次。 以上雙主題研究皆以數學歸納法證明公式正確性，希望藉此推廣到一般移位遊戲，謝謝！

本文將一道組合問題可能的方法數製成正方形表格，以「巴斯卡正方形」命名。將此正方形內的組合數同餘若干自然數後，觀察及歸納其結果。 同餘後不同的餘數配予不同顏色，產生一些特別的圖形，例如：「教大中庭系列」及「棋盤格系列」。我們研究了這些圖形的規律性以及對各個餘數的個數進行計數。 我們利用Lucas’s Theorem及(1+x)n 展開的係數搭配乘法原理來做計數的工具，並且研發了一個算式用於計算任意組合數被質數的次方同餘後的結果。

數獨，是一種有趣的推理遊戲，能讓我們排遣時間之外，也能活化我們的頭腦；這遊戲的玩法很多，網路上衍伸出多種變形數獨，研究開始我們就坊間目前流行的數獨原型來做探討；一般數獨的玩法基本上就是利用眼睛觀察，將每一個空格不符合的數字一一刪除，留下空格可能可以填寫的數字，再進行第二階段的推理，而第一階段的觀察、推理、刪除如果出錯，會造成第二階段推理的困難。而我們的研究團隊也找出在幾年前有人曾提出利用質數與值因數分解的方法來過濾可能性，所以我們這次就針對之前方法進行探討與改良，找出更加便捷的流程來輔助推理數獨。

一開始我們想解出九九乘法表中，放置一個正方形，使這個正方形四個頂點的位置的數加起來，和會是 140 的框框。解題的過程中，我們嘗試了許多方法，利用學校的數學課程所學習到對稱、因數分解的基本觀念，除了找出規律外，更發現九九乘法表的奧妙與許多有趣的玩法。

在“科學教育月刊第212期（1998.9）”裡有一道題目“一則幾何問題”，在文章的最後作者建議讀者可進一步利用動態幾何軟體 Geometer Sketchpad （GSP） 來處理、探索這有趣的幾何題目。當我們看到筆者如此的建議，便詢問老師這套軟體，並央求老師指導我們。起初我們只是認為這套軟體好玩，可以讓幾何圖形移動，讓以前只能存在心中的轉動、移動或疊合之類的幾何變換都然能真實地呈現在我們眼前。但當我們再利用GSP深入此問題時，我們竟發現了一些出乎我們預料卻蘊含規則的結果。於是我們就再請教老師，並做了此份探討與研究。 \r 我們做此份研究事先並沒有預設目標。憑著好奇心，在亂中發現、尋找規律。也多虧有此套軟體（GSP）的實際操作，讓我們的發現以致於猜測都可以得到初步的檢驗，而終究才有結論。總而言之，這份研究可說是在好奇、探索與驚呼中走過。\r

首先定義：對任意自然數k，(x k)=x(x-1)(x-2)...(x-k+1)/k!。並證明對任意的多項式f(x)，若它對所有整數m取整數值f(m)，則f(x)=A0+A1(x 1)+A2(x 2)+...+An(x n)，其中A0, A1, A2,..., An都是特定的整數值。接著證明：若f(x)=xk，則xk=A1(x 1)+A2(x 2)+...+Am(x m)+...+Ak(x k) ，其中Am=Σ(-1)j(m m-j)(m-j)k ，m=1,2,...,k。在此公式中依次取x=1,2,3,...,n，得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=A1(n+1 2)+A2(n+1 3)+...+Am(n+1 m+1)+...+Ak(n+1 k+1)為n的k+1次多項式。 且Am=Σ(-1)j(m m-j)=∆mf(0) ，其中∆mf(0)，表示f(x)的第m次差分在x=0的值。若將其化成多項式的形式，可得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=1/(k+1)Σ(k+1 i)Pink+1-i，Pi=Bi(i≠1)，P1=B1+1。或 Sk(n)=1/(k+1)Σ(k+1 i)Bi(n+1)k+1-i，其中 為伯努利數列，滿足遞迴式：Σ(k+1 i)Bi=0且B0=1。進一步將Bi的下標改成上標，可得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=1/(k+1)[(n+1+B)k+1-Bk+1]，滿足(1+B)k+1-Bk+1=0，但必須將每個Bi視為相對獨立的數。

n 維空間的超立方體Qn其頂點為n 維空間中的點，每一位坐標均為0 或1，兩個點若只有一位坐標不同代表有邊相連。對於一個圖G，取一個點集，使得這一堆點，以及所有與這些點有邊相鄰的點的聯集，恰好為整個圖，就稱它為圖G的控制集。點數最少的控制集其點數定為圖G的(最小)控制數，記為γ(G)。我們證明γ(Q1)=1，γ(Q2)=γ(Q3)=2，γ(Q4)=4， γ(Q5)=7，γ(Q6)=12 ， 30≦γ(Q8)≦32，當n=2p-1，γ(Qn)=2n-p。