數學科

本文以幾何的方式研究過定點直線與曲線所圍區域面積的極值，研究的問題如下: 給定P點及曲線C，所有過P點的直線中，試問哪一條能和曲線C圍出最小/最大的面積呢? 經過數學軟體實驗後，我發現有一種直線似乎擁有這個性質，並稱這樣的直線為等分截線，其特性是: 等分截線L0僅交曲線C於兩點M, N，且 = 。因此我猜測等分截線能和曲線C圍出最小的面積，並發現有效區域面積隨直線的旋轉(以P點為中心)呈現規則地變化。本研究主要的結果如下: 1.圓錐曲線滿足這個性質 2.延伸推廣至所有凸曲線都滿足這個性質(無論曲線平滑與否) 3.當給定P點，提出簡易判斷曲線C與P點間是否具有這個性質的條件 4.針對有範圍限制的曲線，提出圍出最大或最小區域面積直線之做法。本文內容力求簡單、扼要但不失嚴謹性，希望呈現出數學簡單但深刻的美。

國中二年級數學教材中有幾何作圖題。有次上課時，一學生發問「老師! 我畢業後不再升學，只要學算術加減乘除會了就可以做生意為何學幾何、代數」當時全斑大部份同學附議，我心想難怪他們數學學不好，便告訴他們，數學並不限於書本上的演算、證明，在日常生活中到處可以找到，隨時都要利用到數學數，只要我們細心觀察、耐心求證，我們所接觸到的環境中都有幾何圖形，隨後我就撕一等寬紙條打一「單結」告訴他們這是正五邊形，他們都覺詫異，我們就一起證明，在這求證過程中，發現每位學生興趣濃厚，因此我聯想到他們小學的勞作課摺紙工，將正在上的童子軍課，只要提起他們學幾何作圖的興趣就不難收到教學上的預期效果。

一、Ｍn×n (s)：在ｎ×ｎ正方形棋盤中,排列s顆棋子在方格內,每一方格最多只能排1子,棋子的配置須滿足兩個條件:(一)無任意4子可形成矩形框的4個頂點(此矩形框需與棋盤邊平行)(二)在無棋子的方格中,無法再加入棋子二、Ｖn×n×n(a1,……,an):在n×n×n的正方體棋盤中,每層的棋子個數分別為a1,……,an,S=a1+…+an,棋子的配置須滿足兩個條件:(一)無任意8子可形成長方體的8個頂點(此長方體邊需與立體棋盤邊平行)(二)在無棋子的方格中無法在加入棋子本研究在Ｍn×n (s)與Ｖn×n×n(a1,……,an),,S=a1+…+an中探討s的最小值、最大值及變化情形，並分析其配置方法。之後推廣至長方形Ｍn×n(s)及長方體Ｖn×m×k(a1,……,ak) ,S=a1+…+ak。最後根據研究結果設計一個「避開矩形框棋」，並分析出致勝的策略。

納稅是人民應盡的義務，政府有了稅收才能為國家做更多的建設，增進我們的生活品質，也可以給我們很多社會福利，讓我們國家越來越進步，人民的生活越來越便利，越來越幸福。「稅法變變變」是一個十分有趣的遊戲，在這物價飛漲的時代，每個人都想要「稅」少繳一點，「薪水」能夠多一點，藉由「稅法變變變」我們發現每一個數字間的因數與倍數有巧妙的關係，透過遊戲，試著找出其規律性，目前的研究做到1-25連續與非連續數字，其中結尾數字20以下與結尾數字21以上的拿法與實際所得皆有所差異，我們推測若繼續探究25以上的數字，應該可以發現某些數字性質的異同。藉由抽稅的遊戲除了讓我們瞭解人民納稅的重要，也可以讓我們對因數、倍數、與質數有更透徹的瞭解。

2008 年環球數學競賽秋季賽有一道題目如下所示：在無窮數列{a(n)}，a(0)=0，若n 的最大奇因數除以4 餘數為1，則a(n)=a(n-1)+1，若n 的最大奇因數除以4 餘數為3，則a(n)=a(n-1)-1。此數列的首幾項為：0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。(a) 證明在此數列中，1 將出現無窮多次(b) 證明在此數列中，每一個正整數將出現無窮多次。因a（2k-1-1）=1。數列{a(n)}定義2k-1≦n≦2k-1 為第k 區間。網路上有第k 區間a(n)=k 的存在性證明。本研究特色在於二進位法找出a(n)表示法，證明第k 區間a(n)=k 唯一性。為了延伸研究，定義數列{dp(n)}，討論質數p 為情況下，猜測數列{dp(n)}第k區間極值、比較出現次數分佈對稱性、數列{d2(n)}降階關係。為了定義統一，本研究從前言起，以數列{d2(n)}代替競賽題目提到的數列{a(n)}。

從校外教學及學校、家庭生活環境所常見的地磚、建築物內外牆的馬賽克，正看為排列整齊的「正方格」 ，及「砌方格」等兩種形式，正方格裡頭斜眼一看則有「鼎方格」第三種形式，而正方格與鼎方格又可層層外切一個正方形 、，如何應用公式計算，很值得我們研究與探討。 四年級上過的數學第八冊－毫米與三角形，以及五年級下冊縮圖方格紙的應用，同學們在平面紙上「亂點鴛鴦譜」，隨意將兩點聯成一條直線，三條直線連成一個三角形的遊戲中，看誰畫的三角形最多，了解點、線、面彼此之間的關係。進一步探索鼎方格「連體嬰分割」公式和「亂點鴛鴦譜」的公式有何相關之處？體會「發現與創新」公式的奧秘和興趣！啟迪潛能、培養敏銳觀察與判斷、推理的能力。

壹. 本作品主旨在於利用將 1/n 化為循環小數後所得之循環節位數來作質數的判斷,並將n 分解成標準分解式。因質因數2,3,5 易於判斷,故本文所提的自然數 n 排除2,3,5 的倍數。 貳. 一. 1/n 化為循環小數後所得之循環節位數以表之,稱為『n 的循環數』。二.(K個1)能被n整除之最小正整數K即為,本作品以Excel 程式來求 K。 ?. 一. 若不為整數,則確定n 不是質數。二. 若 =1 或2,則確定n 為質數。三. 若 為大於2 的整數,本作品無法立即確定其是否為質數。 肆. 若經第?點處理,為一.或三.之狀況,可先將分解,再檢查小於或等於 的質數中,所有循環數為的因數者是否整除n ,即可判斷n 為質數或順利找到其質因數將之分解成標準分解式。

本專題完整的探討了「王位繼承人」的問題。透過大量觀察、分析、統整與邏輯歸納法則，我們得出一個十分簡潔明白的結論，即任意N 個王子，在報X 留Y（X，Y 任意指定）的王位繼承規則下，應該站在哪個位置才能成為王位繼承人。在我們的研究中，針對「王位繼承人」的位置預測，將所有狀況歸納成2 大系統，4種條件，推導出L 值公式4 項，S 值公式2 項，這個結論涵蓋了所有不同N，X，Y 值下的各種情況，並且所得公式簡單易懂，能得到這樣的研究結果，實在令人興奮。

在“科學教育月刊第212期（1998.9）”裡有一道題目“一則幾何問題”，在文章的最後作者建議讀者可進一步利用動態幾何軟體 Geometer Sketchpad （GSP） 來處理、探索這有趣的幾何題目。當我們看到筆者如此的建議，便詢問老師這套軟體，並央求老師指導我們。起初我們只是認為這套軟體好玩，可以讓幾何圖形移動，讓以前只能存在心中的轉動、移動或疊合之類的幾何變換都然能真實地呈現在我們眼前。但當我們再利用GSP深入此問題時，我們竟發現了一些出乎我們預料卻蘊含規則的結果。於是我們就再請教老師，並做了此份探討與研究。 \r 我們做此份研究事先並沒有預設目標。憑著好奇心，在亂中發現、尋找規律。也多虧有此套軟體（GSP）的實際操作，讓我們的發現以致於猜測都可以得到初步的檢驗，而終究才有結論。總而言之，這份研究可說是在好奇、探索與驚呼中走過。\r

由在五邊形上跳舞這個看似公平的遊戲中，找尋其不公平性，與背後的數學意義，並找出其必勝策略，再由原始遊戲推廣至1~n搶m，找出必勝法則。直覺上，只要想遍整個可能發生的進退，便可走出必勝的一步﹝當其存在時﹞，即是不公平的所在。就此，我們可將其適當轉換成數學之語言符號，進而以數學歸納法證明，必勝法則之存在性。但根據不同的n，或說是某些特殊的n，該法則可能退化較為簡單﹝規律﹞之形式。