數學科

從有關黑洞數字的兩個有趣問題開始引起我們的研究興趣，進而自創互補數差法則，繪製出自然數大爆炸圖譜，發現可以用因數分析法預測和檢驗圖譜中的數圈系的類型及大小。我們也從數圈系觀察到數圈內的數字存在著等倍數列的關係，於是創造出 K--N 法則，繪製出 K--N 大爆炸圖譜，並在繪製過程中發現橡皮筋現象。最後我們分析 1--N~4--N 大爆炸圖譜，得到許多從來沒有人發現自然數黑洞現象的奇異結果。

「外觀數列(The Look and Say sequence)」為依照外觀產生下一列的數列，第一列為「1」，第二列則描述第一列「1 個1」而為「11」，第三列「21」，第四列「1211」，依此類推。本研究針對外觀數列的各項數學性質作研究探討，並由此推導出外觀數列的一般式，即給定第n列就可知道該列的內容。

在高中數學第四冊，講到圓錐曲線時，老師曾介紹用紙摺法摺出拋物線、橢圓及雙曲線之近似圖形，深感其妙趣之餘，卻不知所得之摺痕所為成的圖形為何會近似圓錐曲線？經老師指導之其嚴密證明須用到微分幾何之定理，並拿數學傳播季刊(65年5月創刊號)中關於紙摺法的某校科展作品讓我參考，但我不滿意其結果，經過多方嘗試後，我想利用高中學生所學的數學知識對此問題再加以討論。

1.去年我們研究”新型七巧板”得全國科學展覽第二名，對數學的研究增加信心，而更有興趣。2.學到圓的時候，老師常交代有趣的作業，如：收集圓的器物、測量圓周、尋找圓的面徑和圓心，再用直徑和圓周做實際的比較，有許多不同的數字出現，然後老師才告訴我們圓周率的近似值是 3.1416。3 .作圓面積的習題時，把圓切成八塊、十六塊、三十二塊的△形，湊合起來像似“平行四邊形”再想到面積的求法，都可以了解。4.圓的面積經大家討論有好多種，其中蘇幸如同學說‘圓面積用直徑 × 直徑 × 0.785 是不是可以？“老師說”你們想想看，要有道理才可以”於是我們決定研究有關圓的問題。

這次的研究，是由文藝復興時期的一個藝術作品所延伸出來的，只要在底層擺放三瓶酒瓶，並且其中兩瓶緊貼兩端，則依序放入十三瓶酒後，將會使得最頂層的三瓶酒一樣高。首先，我們先試著討論出擺放13瓶酒會造成等高的正確性，並且利用他的規律性，討論出向上推疊的基本型擺放的規律。接著將基本型旋轉90度後，可以延伸討論出底層為若干瓶的推廣型之規律性。最後再結合基本型與推廣型，發展出最終型的規律變化。最後總結我們找出的規律性，將它推導出各型的公式，統整後歸納於結論中。

數獨，是一種有趣的推理遊戲，能讓我們排遣時間之外，也能活化我們的頭腦；這遊戲的玩法很多，網路上衍伸出多種變形數獨，研究開始我們就坊間目前流行的數獨原型來做探討；一般數獨的玩法基本上就是利用眼睛觀察，將每一個空格不符合的數字一一刪除，留下空格可能可以填寫的數字，再進行第二階段的推理，而第一階段的觀察、推理、刪除如果出錯，會造成第二階段推理的困難。而我們的研究團隊也找出在幾年前有人曾提出利用質數與值因數分解的方法來過濾可能性，所以我們這次就針對之前方法進行探討與改良，找出更加便捷的流程來輔助推理數獨。

數學，是一門有趣的學科，我們實在很想做些數學題目，可是常常不知要做什麼，也不知該如何去做，老師了解我們的困難，也知道我們對數學有興趣，所以常講一些有趣的數學故事給我們聽，或找一些有趣的數學題目讓我們想想做做。最近，老師又出了一道數學題目讓我們當遊戲玩，按照它的規則玩下去，越玩越覺得有趣，幾個人還把玩出來的結果互相拿來比對，再請老師指導。經過長期的推算整理，加上老師的指導，就滙成了這一份成果。這遊戲的作法是這樣：「任何大於零的整數，如果是偶數，就把它除以 2 ，如果是奇數就乘以 3 再加 l ，然後把所乘的結果，繼續用以上的方法做運算，最後一定會達到 l 。」老師說，這個數學遊戲，裏面包含一個數學難題，是由原籍波蘭的著名美國數學家烏則教授（ Stanislaw Ulam ）提出的，這題目讓小學生來試做都會明白，可是到現在數學家們還不明白為什麼會有這樣的結果，找不到一個理論上的證明。雖然，老師知道我們的數學知識不多，目的不在期望由我們來做出好的解釋，但是，因為得到老師的鼓勵，我們也就敢來對大數學家的猜想作檢驗了。如此，我們就興致勃勃地往下做了。

Sicherman Dice 就是一對點數配置與正常骰子(6 面正立方體，點數為1到6) 不同的骰子，它所拋擲出的每一種不同點數和(2,3,4...,12) 的機率恰好與一對正常的骰子相同。這種骰子是美國的Col. George Sicherman 所發現的。 Sicherman 更進一步指出：在不使用Sicherman Dice的情形下，不可能找到一組大於或等於三顆的非正常骰子，它們拋擲出的每一種不同點數和的機率恰好與一組同數量的正常骰子相同。本研究的目標在於1. 尋求計算「Sicherman Dice的組合和正常的骰子有相同的出現機率」的方法2. 證明Sicherman 結論的真偽及是否適用於其他正多面體(4 面/ 8 面/12 面/ 20面) 的標準骰子3. Sicherman Dice (Crazy Dice)的延伸探討(1) 不同面數骰子的組合，是否可以找到面數組合相同，但點數配置不同的 Crazy Dice( 如4 面與6 面的標準骰子組合，找到4 面與6 面的Crazy Dice)(2) 多個面數相同或不同骰子的組合，是否可以找到面數、個數及點數配置皆不同的Crazy Dice ( 如3 個4 面標準骰子組合，找到2 個8 面的Crazy Dice)同時我們也和Col. George Sicherman取得聯繫，討論當年他發現Sicherman Dice的經過及其結論的限制條件，作為本研究未來發展的參考。

本研究是從數學講義上的一個考題出發，恰巧擴展了前年全國科展最佳教材獎「正多邊形母子面積比」，他們只研究正多邊形且每邊切割的比例相同，我們採取截然不同的研究方法，而且更進一步探索任意多邊形每邊切割的比例任意不同時，其子母面積比值的發展。而隨著邊數的增加，所得圖形儼然一個鳥巢狀，故名「巢狀切割」。我們從三角形做起，經歷四、六、八邊形，一直到五邊形、七邊形，並藉助GSP繪圖軟體幫忙檢驗，最後得到了通用於任意邊數且任意比例切割的子母面積比值公式，並設計Microsoft Excel運算表，只要輸入邊數與比例，可立即算出子母面積的比值！

有一天，在數學資源教室的團體課中，老師提出了一個研究主題:「數字謎面]。老師問我們一個題目「1+1=( )」，這個算式中的( )應填入什麼數呢?當我們回答完後，老師請我們把它翻譯成英文，並寫成直式，如下圖： 老師接著又說：「請看著你寫成的英文算式，讓每一個英文字母分別代表0、1、2....9中的一個數字，使上面的英文算式成為一個新的「數字謎面」的問題。在這個問題中，不同的英文字母不可使用同一個數字，同時0不可以在最高位。也就是說，對這個問題而言，因為英文字母T或O都在最高位，所以T、O所代表的數字都不可以是0，但是N、E V只要分別代表0、1、2....9中的一個數字就可以了。」 當我們決定好了T、O、N、E和W分別各代表0、1、2....9中的一個數字後，最後還需要再檢查一下這個"三位數"加"三位數"等於"三位數"的問題是否合理?如果合理，我們才可以算是解題成功。 我們小組討論很久以後，發現這個「數字謎面」的問題一共有16種不同的解法，我們覺得很有趣。我們是否也可以自行設計一些新的「數字謎面」問題，來進行研究呢?在老師的鼓勵與支持之下，我們進行了本研究。