數學科

有一天，媽媽買了一塊新的砧板，好奇的妹妹，拿著蘿蔔在上面切，切出許多不同的形狀，我覺得很好玩，試著拿起蘿蔔來切，也能切出許多不同的形體像圓形、橢圓形。到了學校我請教老師：「 一條蘿蔔到底能切出多少變化呢？」於是在老師的指導下，我們開始了有趣的切蘿蔔研究！

1.去年我們研究”新型七巧板”得全國科學展覽第二名，對數學的研究增加信心，而更有興趣。2.學到圓的時候，老師常交代有趣的作業，如：收集圓的器物、測量圓周、尋找圓的面徑和圓心，再用直徑和圓周做實際的比較，有許多不同的數字出現，然後老師才告訴我們圓周率的近似值是 3.1416。3 .作圓面積的習題時，把圓切成八塊、十六塊、三十二塊的△形，湊合起來像似“平行四邊形”再想到面積的求法，都可以了解。4.圓的面積經大家討論有好多種，其中蘇幸如同學說‘圓面積用直徑 × 直徑 × 0.785 是不是可以？“老師說”你們想想看，要有道理才可以”於是我們決定研究有關圓的問題。

「外觀數列(The Look and Say sequence)」為依照外觀產生下一列的數列，第一列為「1」，第二列則描述第一列「1 個1」而為「11」，第三列「21」，第四列「1211」，依此類推。本研究針對外觀數列的各項數學性質作研究探討，並由此推導出外觀數列的一般式，即給定第n列就可知道該列的內容。

在國中一年級下學期二元一次方程式常見到一道題目『一個二位數的十位數字與個位數字的和為15，若將這個數的十位數字與個位數字對調位置，則所得的新數比原數小9，請問原數為何？』。類似這樣的題型有許許多多，但是都探討到四位數之內，因此我們試著將其延伸到多位數，並試著能否找到一定值，並利用這些關係加以編碼，製作數組只有我們才能進行解碼的數字，利用它來傳遞我們之間的小秘密。 本文介紹關於二位數到八位數的證明過程和結果，我們發現只要依循數字之間的大小關係及既定的運算規則即能得一定值。利用這種關係可將轉換成文字，用來編碼及解碼。

利用GSP(動態幾何繪圖軟體)協助探討正n邊形對角線相交所圍出圖形的性質與邊長關係，並利用正n邊形對角線與邊長的比值來探討正n邊形內接正m邊形其邊長關係，並找出其規律。

數學，是一門有趣的學科，我們實在很想做些數學題目，可是常常不知要做什麼，也不知該如何去做，老師了解我們的困難，也知道我們對數學有興趣，所以常講一些有趣的數學故事給我們聽，或找一些有趣的數學題目讓我們想想做做。最近，老師又出了一道數學題目讓我們當遊戲玩，按照它的規則玩下去，越玩越覺得有趣，幾個人還把玩出來的結果互相拿來比對，再請老師指導。經過長期的推算整理，加上老師的指導，就滙成了這一份成果。這遊戲的作法是這樣：「任何大於零的整數，如果是偶數，就把它除以 2 ，如果是奇數就乘以 3 再加 l ，然後把所乘的結果，繼續用以上的方法做運算，最後一定會達到 l 。」老師說，這個數學遊戲，裏面包含一個數學難題，是由原籍波蘭的著名美國數學家烏則教授（ Stanislaw Ulam ）提出的，這題目讓小學生來試做都會明白，可是到現在數學家們還不明白為什麼會有這樣的結果，找不到一個理論上的證明。雖然，老師知道我們的數學知識不多，目的不在期望由我們來做出好的解釋，但是，因為得到老師的鼓勵，我們也就敢來對大數學家的猜想作檢驗了。如此，我們就興致勃勃地往下做了。

數獨，是一種有趣的推理遊戲，能讓我們排遣時間之外，也能活化我們的頭腦；這遊戲的玩法很多，網路上衍伸出多種變形數獨，研究開始我們就坊間目前流行的數獨原型來做探討；一般數獨的玩法基本上就是利用眼睛觀察，將每一個空格不符合的數字一一刪除，留下空格可能可以填寫的數字，再進行第二階段的推理，而第一階段的觀察、推理、刪除如果出錯，會造成第二階段推理的困難。而我們的研究團隊也找出在幾年前有人曾提出利用質數與值因數分解的方法來過濾可能性，所以我們這次就針對之前方法進行探討與改良，找出更加便捷的流程來輔助推理數獨。

有一天，在數學資源教室的團體課中，老師提出了一個研究主題:「數字謎面]。老師問我們一個題目「1+1=( )」，這個算式中的( )應填入什麼數呢?當我們回答完後，老師請我們把它翻譯成英文，並寫成直式，如下圖： 老師接著又說：「請看著你寫成的英文算式，讓每一個英文字母分別代表0、1、2....9中的一個數字，使上面的英文算式成為一個新的「數字謎面」的問題。在這個問題中，不同的英文字母不可使用同一個數字，同時0不可以在最高位。也就是說，對這個問題而言，因為英文字母T或O都在最高位，所以T、O所代表的數字都不可以是0，但是N、E V只要分別代表0、1、2....9中的一個數字就可以了。」 當我們決定好了T、O、N、E和W分別各代表0、1、2....9中的一個數字後，最後還需要再檢查一下這個"三位數"加"三位數"等於"三位數"的問題是否合理?如果合理，我們才可以算是解題成功。 我們小組討論很久以後，發現這個「數字謎面」的問題一共有16種不同的解法，我們覺得很有趣。我們是否也可以自行設計一些新的「數字謎面」問題，來進行研究呢?在老師的鼓勵與支持之下，我們進行了本研究。

在高中數學第四冊，講到圓錐曲線時，老師曾介紹用紙摺法摺出拋物線、橢圓及雙曲線之近似圖形，深感其妙趣之餘，卻不知所得之摺痕所為成的圖形為何會近似圓錐曲線？經老師指導之其嚴密證明須用到微分幾何之定理，並拿數學傳播季刊(65年5月創刊號)中關於紙摺法的某校科展作品讓我參考，但我不滿意其結果，經過多方嘗試後，我想利用高中學生所學的數學知識對此問題再加以討論。