數學科

開學不久，莊美蘭從家裡帶來了一張上面畫有的圖及六個大小不同的圓形紙盤玩具，到學校來玩，看她玩得很有趣，就向她借來玩。這時自然老師從窗外走過，看到我在玩，就停下來看了一會兒，並指點我應該怎麼玩比較好，並且說：「河內寶塔是很好的益智遊戲，要多用腦筋思考。」哇！原來這遊戲還有一個這麼神奇的名稱，我應該深入的研究一番，說不定能找出什慶取寶的方怯呢？就和莊美蘭、陳紋招在老師的指導下，做了一連串的研究。當我們對河內寶塔有了深一層的認識後，發現「河內寶塔」和童玩「九連環」在某些方面有相似的地方，於是再把九連環也探究了一番，皇天不負苦心人，終於我們得到了一些寶藏。

從有關黑洞數字的兩個有趣問題開始引起我們的研究興趣，進而自創互補數差法則，繪製出自然數大爆炸圖譜，發現可以用因數分析法預測和檢驗圖譜中的數圈系的類型及大小。我們也從數圈系觀察到數圈內的數字存在著等倍數列的關係，於是創造出 K--N 法則，繪製出 K--N 大爆炸圖譜，並在繪製過程中發現橡皮筋現象。最後我們分析 1--N~4--N 大爆炸圖譜，得到許多從來沒有人發現自然數黑洞現象的奇異結果。

本文所探討的是一種有趣的排序遊戲。在我們發現其中的數學規律性後，並利用遊戲技巧定義出｢跳島戰術｣，換句話說，當移動過程符合跳島戰術，將可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2時，奇數個字母為(N2+3N-8)/2次；偶數個字母為N(N+1)/2 次。此外，嘗試以數據推導出解題公式(p.11)後，再找出移動步驟之規律證明(p.9~p.12)，希望獲得公式的正確性，最後更反證法(p.17~p.25)，試圖以足夠的數據證明公式的正確性。反證法發現，當違反｢跳島戰術｣的任何移動方式與技巧，皆無法獲得更少的步驟數，因此更可推論證明出遊戲公式之正確性，獲得破解本排序遊戲的最佳策略。

半年多前，我在一本有關機率的書上看到如下的題目：某女與男友相約，在下午五時至六時之間，在公園門口見面，先到的人應等候二十分鐘，求此二人在門口相遇的機率。當時我就想：如果相約的人有三個、四個或更多的話，這個機率要如何求呢？於是就著手開始研究，得到結果之後，只覺得高興，並沒有想到居然有機會把它寫出來。

利用GSP(動態幾何繪圖軟體)協助探討正n邊形對角線相交所圍出圖形的性質與邊長關係，並利用正n邊形對角線與邊長的比值來探討正n邊形內接正m邊形其邊長關係，並找出其規律。

在高中數學第四冊，講到圓錐曲線時，老師曾介紹用紙摺法摺出拋物線、橢圓及雙曲線之近似圖形，深感其妙趣之餘，卻不知所得之摺痕所為成的圖形為何會近似圓錐曲線？經老師指導之其嚴密證明須用到微分幾何之定理，並拿數學傳播季刊(65年5月創刊號)中關於紙摺法的某校科展作品讓我參考，但我不滿意其結果，經過多方嘗試後，我想利用高中學生所學的數學知識對此問題再加以討論。

Sicherman Dice 就是一對點數配置與正常骰子(6 面正立方體，點數為1到6) 不同的骰子，它所拋擲出的每一種不同點數和(2,3,4...,12) 的機率恰好與一對正常的骰子相同。這種骰子是美國的Col. George Sicherman 所發現的。 Sicherman 更進一步指出：在不使用Sicherman Dice的情形下，不可能找到一組大於或等於三顆的非正常骰子，它們拋擲出的每一種不同點數和的機率恰好與一組同數量的正常骰子相同。本研究的目標在於1. 尋求計算「Sicherman Dice的組合和正常的骰子有相同的出現機率」的方法2. 證明Sicherman 結論的真偽及是否適用於其他正多面體(4 面/ 8 面/12 面/ 20面) 的標準骰子3. Sicherman Dice (Crazy Dice)的延伸探討(1) 不同面數骰子的組合，是否可以找到面數組合相同，但點數配置不同的 Crazy Dice( 如4 面與6 面的標準骰子組合，找到4 面與6 面的Crazy Dice)(2) 多個面數相同或不同骰子的組合，是否可以找到面數、個數及點數配置皆不同的Crazy Dice ( 如3 個4 面標準骰子組合，找到2 個8 面的Crazy Dice)同時我們也和Col. George Sicherman取得聯繫，討論當年他發現Sicherman Dice的經過及其結論的限制條件，作為本研究未來發展的參考。

「外觀數列(The Look and Say sequence)」為依照外觀產生下一列的數列，第一列為「1」，第二列則描述第一列「1 個1」而為「11」，第三列「21」，第四列「1211」，依此類推。本研究針對外觀數列的各項數學性質作研究探討，並由此推導出外觀數列的一般式，即給定第n列就可知道該列的內容。

1.去年我們研究”新型七巧板”得全國科學展覽第二名，對數學的研究增加信心，而更有興趣。2.學到圓的時候，老師常交代有趣的作業，如：收集圓的器物、測量圓周、尋找圓的面徑和圓心，再用直徑和圓周做實際的比較，有許多不同的數字出現，然後老師才告訴我們圓周率的近似值是 3.1416。3 .作圓面積的習題時，把圓切成八塊、十六塊、三十二塊的△形，湊合起來像似“平行四邊形”再想到面積的求法，都可以了解。4.圓的面積經大家討論有好多種，其中蘇幸如同學說‘圓面積用直徑 × 直徑 × 0.785 是不是可以？“老師說”你們想想看，要有道理才可以”於是我們決定研究有關圓的問題。

這次的研究，是由文藝復興時期的一個藝術作品所延伸出來的，只要在底層擺放三瓶酒瓶，並且其中兩瓶緊貼兩端，則依序放入十三瓶酒後，將會使得最頂層的三瓶酒一樣高。首先，我們先試著討論出擺放13瓶酒會造成等高的正確性，並且利用他的規律性，討論出向上推疊的基本型擺放的規律。接著將基本型旋轉90度後，可以延伸討論出底層為若干瓶的推廣型之規律性。最後再結合基本型與推廣型，發展出最終型的規律變化。最後總結我們找出的規律性，將它推導出各型的公式，統整後歸納於結論中。