數學科

紙摺圖形中完整的數學理論，尚無人提出。本文是作者為解釋圖形的全貌，而研究出解圖方程式的理論基礎。文中的一項特點，即嘗試引用比較淺顯直觀的方援，來解稈所繪圖形及其方程式的求法，藉以讓高中程度的學生，得以理解解題中描述的要領。而尤其往意的是，其間並引入三種理論，以輔助解題的思維過程。紙摺圖形與一般紙摺花鳥生物等美勞工藝同具有高度的趣味性，而其圖形優美處直可與一般製圖工其所繪者相媲美。本文中將詳細斂述出紙摺圖形歸納的結果，及解圖形方程式的幾種方法。

是因在課堂上某位同學向數學老師請教有關這類題目之求法，而老師是以一般分析方法解題。於足我們就互相研究出以統一化之整數圖解法。原題：棋盤形之街道（如下圖）今由 S 走到 T 之捷徑中所走路線恰平分這區域之走法共有幾種？解法：等於求滿足 x1+x2+x3+x4=10且0≦x1≦x2≦x3≦x4≦5之整數解 ，今列老師課堂上之分析如下圖，故得12種

本文所探討的是一種有趣的排序遊戲。在我們發現其中的數學規律性後，並利用遊戲技巧定義出｢跳島戰術｣，換句話說，當移動過程符合跳島戰術，將可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2時，奇數個字母為(N2+3N-8)/2次；偶數個字母為N(N+1)/2 次。此外，嘗試以數據推導出解題公式(p.11)後，再找出移動步驟之規律證明(p.9~p.12)，希望獲得公式的正確性，最後更反證法(p.17~p.25)，試圖以足夠的數據證明公式的正確性。反證法發現，當違反｢跳島戰術｣的任何移動方式與技巧，皆無法獲得更少的步驟數，因此更可推論證明出遊戲公式之正確性，獲得破解本排序遊戲的最佳策略。

半年多前，我在一本有關機率的書上看到如下的題目：某女與男友相約，在下午五時至六時之間，在公園門口見面，先到的人應等候二十分鐘，求此二人在門口相遇的機率。當時我就想：如果相約的人有三個、四個或更多的話，這個機率要如何求呢？於是就著手開始研究，得到結果之後，只覺得高興，並沒有想到居然有機會把它寫出來。

同餘方程的理論，原本十分複雜，舉凡判別一個方程式是否有解；當有解時會有幾個解？該如何求解？這些問題至今仍難有終南捷徑，問其困難之所自，固是數論之對象，僅限於整數上面卻也因而限制了討論的層面，即限制了使用符號的靈動性，更影響了思維的便利，常令人如霧中看花，難以清晰。有感於此，自州政論之對象固是整數，但探討過程卻未必限於整數之上，我們何妨引進分數做為討論的媒介，使整個討論過程，得以簡化和明朗，這個手段猶如下跳棋，綠色棋子雖不能停在紅色國裏，卻仍可能經過紅色國一樣。是：跳出整數模子的窠臼，將是海濶天空。引進分數符號，同餘方程的理論，有望花開朵朵。

解釋平行四邊形面積時，常垂直切下一角補在另一邊形成長方形來說明，如圖： 引起我們興趣的是它的切補手法，可以不增減材料而改變形狀。於是我們以四邊形為起點，開蛤了對圖形分割重組的研究。

所謂約瑟夫問題，就是有 n 個自然數排成一環狀，從頭開始，殺 1(個數)留 1(個數)，求最後留下的數會是多少？該問題在台灣的全國中小學科學展覽出現多次（如表二）。而資訊界演算法大師 Donlad E. Knuth 在其著作 The Art of Programing，CONCRETE MATHEMATICS（具體數學），針對該數列作詳細的說明；但是，不論是歷屆科學展覽或是大師著作，對於該問題，都只是談及殺 1 留β或是殺α留 1。筆者本研究中利用獨創α分類、n 及 k 分類、F 函數、b 函數及循環節，將約瑟夫問題探討範圍提升至殺α(個數)留β(個數)，求倒數第 k 個留下的數是多少？

開學不久，莊美蘭從家裡帶來了一張上面畫有的圖及六個大小不同的圓形紙盤玩具，到學校來玩，看她玩得很有趣，就向她借來玩。這時自然老師從窗外走過，看到我在玩，就停下來看了一會兒，並指點我應該怎麼玩比較好，並且說：「河內寶塔是很好的益智遊戲，要多用腦筋思考。」哇！原來這遊戲還有一個這麼神奇的名稱，我應該深入的研究一番，說不定能找出什慶取寶的方怯呢？就和莊美蘭、陳紋招在老師的指導下，做了一連串的研究。當我們對河內寶塔有了深一層的認識後，發現「河內寶塔」和童玩「九連環」在某些方面有相似的地方，於是再把九連環也探究了一番，皇天不負苦心人，終於我們得到了一些寶藏。

利用GSP(動態幾何繪圖軟體)協助探討正n邊形對角線相交所圍出圖形的性質與邊長關係，並利用正n邊形對角線與邊長的比值來探討正n邊形內接正m邊形其邊長關係，並找出其規律。