N 個人圍成圓圈並編號，由第一個人開始，先留一人再淘汰一人，以此類推，此乃約瑟夫問題。而由第一個人開始，先淘汰α 人再留β 人以此類推，以求倒數第K 個人的是汰留問題。解決α=1、β=1 與任意的γ、N 即是我們的第一步。找到任意的α、γ、N 及β=1是我們的第二步，轉成進位法以找出演算法是我們比較大的突破，也推出了演算法的通式。雖一般任意α、β、γ、N 尚未完全的解決，但在一些特殊的情況下，如α=β 我們也得到了結果。我們在約瑟夫問題與汰留問題之間找到了關係式，並加以討論與研究。

依據學習理論，興趣乃學習之動力，如果學生數學科學習興趣低落，必然影響其數學成就，因果循環，日積月累，數學科低成就者當然與日俱增。然而因小學生是否有此現象，尚未有系統之研究。根據 Show 與 Mclucn 二氏（ 1960 ）的研究指出：低成就現象在小學低年級即已開始，隨年齡增加而漸趨顯著”又據Goldberg 氏（ 1959 ）的研究以為初中階段更為明顯；高中階段形成的數量又較前增加。根據以上研究結果可推知國中高中生數學成就低落原因，很可能自國小起已種下。若對國小學生數學科學習興趣之現況加以探討，究竟有那些因素影響其數學科學習興趣，將結果與國中高中生對照比較，以探討其影響之關鍵所在，進一步研究如何掌振這些因素，此透過科學的，有效的方法，從事學習指導，使學生自國小起便培養其數學濃厚的學習興趣，以奠定良好之基礎，俾便將來進國中乃至高中，對數學科仍能興趣盎然地學習，而完全消除害怕厭惡學習之心理障礙，已達到提高數學能力，培養科學人才之目的。

現在政府正積極推動基層建設，其中一件重要項目便是建設鄉村的連絡道連絡道路網。在不考慮人文、地質的條件下，以數學的觀點來看，當然希望連絡道路網之全長為最小，而使工程費為最省。此在交叉路口建立人行地下道，或在部市內建築高架橋連絡網、地下水道等均希望連絡網的全長為最小。這些問題引發我們研究本文的動機--在一平面上，給定若干個定點，如何設計一連絡網，連接這些點而使速絡網之全長為最小。有關這問題，實驗課本第三冊、第五章中曾經提到，到三定點距離和之最小值的求法與結論。但我們發現課本所做的結論，無法適用所有的情況，而有待修正。修正的方法與結論，及如何利用這結論將三個定點推廣到一般的任意幾個點是我們要研討的問題。

去年在數學競試講習的某次課堂上，老師提出一個“用骨牌鋪砌”的益智問題，引起不小的迴響。這個問題乍看之下不甚起眼；然而實地動手去作，才發覺並非想像的那麼簡單。 而這分報告，將呈現我們思考的過程與研究的成果，尚祈不吝賜教。

從有關黑洞數字的兩個有趣問題開始引起我們的研究興趣，進而自創互補數差法則，繪製出自然數大爆炸圖譜，發現可以用因數分析法預測和檢驗圖譜中的數圈系的類型及大小。我們也從數圈系觀察到數圈內的數字存在著等倍數列的關係，於是創造出 K--N 法則，繪製出 K--N 大爆炸圖譜，並在繪製過程中發現橡皮筋現象。最後我們分析 1--N~4--N 大爆炸圖譜，得到許多從來沒有人發現自然數黑洞現象的奇異結果。

本作品首先探討流浪狗於正ｍ邊形中，設定一些假設條件後，以尋找已知數值之間相關性的方式，看能否找出ｎ天後其移動的機率通式，並且證明，然後套入台東市區分割圖中，則當狗符合假設之條件時，便可輕易求出ｎ天後某點的狗數期望值或某狗的移動到某點的機率，還有尋找不同方法（如高三上第四章矩陣）套用以化簡計算，最後推廣至很多狗很多天及複雜地圖的情形，並嘗試實際測試結果是否相符。

半年多前，我在一本有關機率的書上看到如下的題目：某女與男友相約，在下午五時至六時之間，在公園門口見面，先到的人應等候二十分鐘，求此二人在門口相遇的機率。當時我就想：如果相約的人有三個、四個或更多的話，這個機率要如何求呢？於是就著手開始研究，得到結果之後，只覺得高興，並沒有想到居然有機會把它寫出來。

開學不久，莊美蘭從家裡帶來了一張上面畫有的圖及六個大小不同的圓形紙盤玩具，到學校來玩，看她玩得很有趣，就向她借來玩。這時自然老師從窗外走過，看到我在玩，就停下來看了一會兒，並指點我應該怎麼玩比較好，並且說：「河內寶塔是很好的益智遊戲，要多用腦筋思考。」哇！原來這遊戲還有一個這麼神奇的名稱，我應該深入的研究一番，說不定能找出什慶取寶的方怯呢？就和莊美蘭、陳紋招在老師的指導下，做了一連串的研究。當我們對河內寶塔有了深一層的認識後，發現「河內寶塔」和童玩「九連環」在某些方面有相似的地方，於是再把九連環也探究了一番，皇天不負苦心人，終於我們得到了一些寶藏。

威索夫（ wy thoff ）遊戲是一個兩人輪流取兩堆火柴的遊戲，遊戲規則每人取火柴時，需依下列三種取法之一： (I)從第一堆任取若干支火柴；(II)從第二堆任取若干支火柴；(III)從兩堆中各取相同數目的火柴，能取最後一支火柴者獲勝。我們研究威索夫遊戲時，發現遊戲的致勝關鍵在於黃金分割比值（ G ）及其平方（ G2 ）若干倍數後的整數部份所構成的兩個數列，此乃因這兩個數列存在的奇妙關係─互補關係。我們由黃金分割比值及其平方兩數所構成的數列以及一些關於互補關係的性質，找出另外兩數所構成的兩個數列也具有互補關係，並歸納得到凡兩數構成具有互補關係的數列，此兩數必備的條件。我們將具有互補關係的數列推廣也改變威索夫遊戲，在所有具有互補關係的數列中找出致勝關鍵數列。我們更廣泛地繼續討論任意兩個具有互補關係的數列，找出它們之間的關係，並以此關係舉出一個有趣的應用。

在高中數學第四冊，講到圓錐曲線時，老師曾介紹用紙摺法摺出拋物線、橢圓及雙曲線之近似圖形，深感其妙趣之餘，卻不知所得之摺痕所為成的圖形為何會近似圓錐曲線？經老師指導之其嚴密證明須用到微分幾何之定理，並拿數學傳播季刊(65年5月創刊號)中關於紙摺法的某校科展作品讓我參考，但我不滿意其結果，經過多方嘗試後，我想利用高中學生所學的數學知識對此問題再加以討論。