數學科

本文之目的在於討論「連續投擲一枚硬幣n次，出現正面，反面累積次數的分佈情況」。

將二維(2k×2k－1) 殘缺棋盤的完全覆蓋性質，推廣至三維( 2k×2k×2k－1)殘缺方塊，再推廣至四維(2k×2k×2k×2k－1)殘缺數對集合及n維( 2k×2k×…×2k－1)殘缺數對集合。

七十三年十一月二十四日，國語日報刊登了一篇：「古代人怎樣量金字塔的高度」的文章，內容是：數學之父一一臺利斯到埃及去旅遊時發明了不必用任何精密的測量儀器量金字塔高度的正確方法。我覺得很有趣，就約了幾位同學照著這稱方法去量學校的一些建築物，發現了許多問題，我們去請教老師，在老師的指導下，做了下面的研討。

我們檢討數學課本十一冊，練習十五，第四題：「圓池一個，直徑 10 公尺，在池的外圍築寬l 公尺的路，算出路的面積是多少？」時，大家都願用大圓面積減去小圓面積的算法： 62 × 3.14 -52× 3.14= 34.54 或(62-52)X 3.14來做。這時我問老師：「是不是可以用(10+1)× 3.14=34.54 來做？」不等老師的回答，王同學搶先說：「老師，我認為這樣做只是一種巧合，因為我用別的數字試過了，結果答案不同，況且也無法解釋它的理由！」老師聽了，告訴我們：「凡事在沒有得到充份理由來解釋以前，不要冒然就下斷語。這個問題既能造成巧合，必定有它的道理在。」於是我們幾個喜歡數學的同學，便聚在一起研究到底能不能用(10+1)X3.14= 34.54，這種方式來做？又怎麼來解釋它的道理呢？

是因在課堂上某位同學向數學老師請教有關這類題目之求法，而老師是以一般分析方法解題。於足我們就互相研究出以統一化之整數圖解法。原題：棋盤形之街道（如下圖）今由 S 走到 T 之捷徑中所走路線恰平分這區域之走法共有幾種？解法：等於求滿足 x1+x2+x3+x4=10且0≦x1≦x2≦x3≦x4≦5之整數解 ，今列老師課堂上之分析如下圖，故得12種

首先定義：對任意自然數k，(x k)=x(x-1)(x-2)...(x-k+1)/k!。並證明對任意的多項式f(x)，若它對所有整數m取整數值f(m)，則f(x)=A0+A1(x 1)+A2(x 2)+...+An(x n)，其中A0, A1, A2,..., An都是特定的整數值。接著證明：若f(x)=xk，則xk=A1(x 1)+A2(x 2)+...+Am(x m)+...+Ak(x k) ，其中Am=Σ(-1)j(m m-j)(m-j)k ，m=1,2,...,k。在此公式中依次取x=1,2,3,...,n，得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=A1(n+1 2)+A2(n+1 3)+...+Am(n+1 m+1)+...+Ak(n+1 k+1)為n的k+1次多項式。 且Am=Σ(-1)j(m m-j)=∆mf(0) ，其中∆mf(0)，表示f(x)的第m次差分在x=0的值。若將其化成多項式的形式，可得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=1/(k+1)Σ(k+1 i)Pink+1-i，Pi=Bi(i≠1)，P1=B1+1。或 Sk(n)=1/(k+1)Σ(k+1 i)Bi(n+1)k+1-i，其中 為伯努利數列，滿足遞迴式：Σ(k+1 i)Bi=0且B0=1。進一步將Bi的下標改成上標，可得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=1/(k+1)[(n+1+B)k+1-Bk+1]，滿足(1+B)k+1-Bk+1=0，但必須將每個Bi視為相對獨立的數。

同餘方程的理論，原本十分複雜，舉凡判別一個方程式是否有解；當有解時會有幾個解？該如何求解？這些問題至今仍難有終南捷徑，問其困難之所自，固是數論之對象，僅限於整數上面卻也因而限制了討論的層面，即限制了使用符號的靈動性，更影響了思維的便利，常令人如霧中看花，難以清晰。有感於此，自州政論之對象固是整數，但探討過程卻未必限於整數之上，我們何妨引進分數做為討論的媒介，使整個討論過程，得以簡化和明朗，這個手段猶如下跳棋，綠色棋子雖不能停在紅色國裏，卻仍可能經過紅色國一樣。是：跳出整數模子的窠臼，將是海濶天空。引進分數符號，同餘方程的理論，有望花開朵朵。

所謂約瑟夫問題，就是有 n 個自然數排成一環狀，從頭開始，殺 1(個數)留 1(個數)，求最後留下的數會是多少？該問題在台灣的全國中小學科學展覽出現多次（如表二）。而資訊界演算法大師 Donlad E. Knuth 在其著作 The Art of Programing，CONCRETE MATHEMATICS（具體數學），針對該數列作詳細的說明；但是，不論是歷屆科學展覽或是大師著作，對於該問題，都只是談及殺 1 留β或是殺α留 1。筆者本研究中利用獨創α分類、n 及 k 分類、F 函數、b 函數及循環節，將約瑟夫問題探討範圍提升至殺α(個數)留β(個數)，求倒數第 k 個留下的數是多少？

解釋平行四邊形面積時，常垂直切下一角補在另一邊形成長方形來說明，如圖： 引起我們興趣的是它的切補手法，可以不增減材料而改變形狀。於是我們以四邊形為起點，開蛤了對圖形分割重組的研究。