本研究旨在探討「任意給定n球，存在多少個公切球？」。起初，在二維平面上找出圓錐曲線性質作圖法和圓錐曲線方程式作圖法；接著利用旋轉的概念將平面上的雙曲線以貫軸所在直線為旋轉軸旋轉，得到三維空間的雙曲面，即公切球球心所在軌跡圖形，以之推算平面上三截圓雙曲線的標準式，再進一步推導三球雙曲面的標準式，並解出其交線方程式，證明一般情況下相異三球存在無限個公切球。另外，我們找出了構成n球公切球最佳解(非無限多個的最多情形)的充分條件──n等球球心構成最多組環形，並利用畢氏定理計算公切球半徑，可推得n球公切球的個數，如下表。最後，我們以極限的觀點來觀察n球公切球的存在情形，再次驗證三球和四球中公切球的存在狀況。

解釋平行四邊形面積時，常垂直切下一角補在另一邊形成長方形來說明，如圖： 引起我們興趣的是它的切補手法，可以不增減材料而改變形狀。於是我們以四邊形為起點，開蛤了對圖形分割重組的研究。

我們一直認為生活中到處充滿著數學的知識，在課堂上我們探討過人體的黃金比例、地圖上的座標與比例尺、校園面積的估測、大自然中的圓、市場上斤兩的換算、環島旅行的時間路程計畫．．．等等，在圓柱圓錐單元，珍珠奶茶的杯子被提及，引發大家熱烈的討論，因此計畫研究，希望延續課內教材，對圓錐台做進一步的探究。在整個實驗研究過程中，我們發現杯子（圓錐台狀）的側面展開圖是由同心圓過圓心截取的環狀片所組成的，且隨著截取同心圓角度的不同，杯子的斜度也會有所不同。在探索圓錐台的體積時，我們也能利用到六下課程中的【比例概念】將圓錐台的體積給推算出來，且與實測的值相去無幾，是令我們感到興奮的。當我們再深入應用在伸縮杯上時，更發現了層與層之間的交接處也是一門學問，當同心圓越大，截取的同心圓角度要愈小，所形成的伸縮杯就會越完美，同時我們也運用了一點技巧讓我們所製作的伸縮更具有藝術美觀的價值哦?

這個遊戲是個層層堆疊的數列，代表了一種有趣的乘法結果記錄：某一層的數列是將上一層的每一碼乘以2的乘積，依序排列起來。我們要求的是在第幾層時數列的長度會超過1000位？ 我們還研究了乘數是3、4、5、…、10的情形。 本作品使用的方法為直觀觀察、樹狀圖和有向圖，去找到遞迴式。很遺憾，一直乘以7沒有找到一般式。然而，我們可以利用有向圖求得：給定某次運算後，知道其數字分佈後，透過「矩陣運算」得到下次運算後的長度。

「點積」這個名詞，是為了稱呼上的方便，由作者自定的名詞。顧名思義也就是：「集點求積」的意思。在求算一例圖形的積( 包括：線長、面積、體積) 時，「點積法」與過去的求積方法有很大的不同，它只計算圖形裏的「等距點（即方格點）有多少，就可求得其積。

在100個硬幣內，任取若干個，若能將硬幣分成至少2堆以上，且每堆的數量依少而多成為公差2的等差數列，則稱為1種分法。能以最少硬幣排出最多種分法者為優勝。先排出1~100的數中，計算每一個數的分法，再歸納出任一個整數有多少種分法的計算方式，發現與其因數個數相關。若一個數有n個因數，則有(n+1)/2-1(當n為奇數)或n/2-1(當n為偶數)種分法。從中將同樣多種分法的數歸為一類，並找出其中最小的整數，這些數就是我們獲勝的關鍵。計算出1~100種方法的最小整數，發現可由k種方法的最小整數推論出2k+1種方法的最小整數。而這之中有一些例外的情況，探討之後也整理出兩大類不同型態的原因。

一、我們先以正立方體上、下底面各取一對角線(而上底面投影至下底面之兩對角線不平行)，在這兩對角線上各取一動點，在兩動點連線段上取一中點，證明正立方體此中點的軌跡圖形並求得面積。 1.利用國中所學之幾何證明方法求證軌跡圖形並由高中數學第二冊第二章三角函數所學求圖形邊長及面積。 2.另以高中數學第三冊第一章向量幾何、第二章建立空間座標系及第一冊第一章直線方程式、第三章不等式以座標幾何再次求證。 二、再探討五角柱體、六角柱體、八角柱體(各角柱體之上、下底面互相平行且均為正多邊形)的情況，進而推廣兩動點連線的分點軌跡並加以製表。 三、同理推論十角柱體及十二角柱體可能情形。

國中課本第五冊第 141 頁 5-4 練習第六題，我國民間相傳有下列五邊形的近似作法”九五頂五九，八五分兩邊”經過幾次的畫法，均發現並非真正五邊形，其誤差雖極小，仍困擾著我們的求知欲，因而請教於老師。

七十三年十一月二十四日，國語日報刊登了一篇：「古代人怎樣量金字塔的高度」的文章，內容是：數學之父一一臺利斯到埃及去旅遊時發明了不必用任何精密的測量儀器量金字塔高度的正確方法。我覺得很有趣，就約了幾位同學照著這稱方法去量學校的一些建築物，發現了許多問題，我們去請教老師，在老師的指導下，做了下面的研討。

圓柱積木中，12片積木有九億多種排列，故其看似簡單實則複雜，其中隱含許多數字的規律。我們先將問題簡化成找出可以完成前四片積木堆疊的排列，實作後發現積木洞數之間的四個規則，利用規則一?四篩選掉大部分不可行的組合，找出積木洞數符合規則者有324種組合；接著在進行堆疊的過程中，找到積木形狀和洞數的關聯性，即規則五?七，利用規則五?七篩選後剩下228種組合。最後一一堆疊，找到212種可行的堆疊組合，並發現其他16種組合都是因為複雜的形狀關聯性或受限於積木3C的位置而無法完成堆疊。現在我們將12片積木放在4×3的棋盤上，便可將立體積木，先在平面上輕易的用規則一?七檢驗調整後，再快速的完成堆疊。