數學科

一線段可以平分，即這線的中點；一角可以平分，即這角的平分線，這都是基本作圖。我們隨即想到一個三邊形、四邊形、五邊形，甚至可推廣到 n多邊形也應可以平分，也就是作一直線，把面積二等分。以下就是我們粗淺的討論過程。

線性計劃在數學中是一支新起的部門，它主要的基礎是受193年J.von Ncumann與W.Lcntief 之經濟理論影響，而於1940年為F.L.Hitihcoch與 L.Kantorovitch 等人所建立，而今日在工程學上與經濟學上都廣泛的應用。所謂線性計劃乃在求定義於有界多面凸集合之線性函數；f( x1)C1X1+C2X2＋……＋CnXn＋d 之極大值與極小值的問題。本文主要將高中數學程度所提及之二維空間中線性計劃的理論推廣到 n 維空間。

有一三角形ABC，一點M在三角形邊AC上，一圓以BM為直徑，交AB、AC分別於P、Q，找出圓經P、Q作切線之交點R，當M在AC上做變動時動點R之軌跡為何？首先從特殊三角形的軌跡問題開始著手。再將原問題延伸，使原本的軌跡再對另一動點進行掃略，如使三角形頂點B於一平行邊AC的直線上、任意給定的直線上、過A及C之圓上(不含以AC為直徑的圓)等三種情形移動並利用幾何軟體「顯示軌跡」功能觀察其掃略圖形邊界，並試假設其為何種特殊圖形，並嘗試證明猜測的結論。最後嘗試研究此種特殊圖形的特殊性質並推廣之。

「點積」這個名詞，是為了稱呼上的方便，由作者自定的名詞。顧名思義也就是：「集點求積」的意思。在求算一例圖形的積( 包括：線長、面積、體積) 時，「點積法」與過去的求積方法有很大的不同，它只計算圖形裏的「等距點（即方格點）有多少，就可求得其積。

在高二學習複數時，我們由棣美佛定理： nεN(cosθ +isinθ ) n= cos nθ + isin nθ )導出 cos n θ與 sin n θ可用 cos θ及sinθ 之多項式表示。我們發覺他們的細數頗有規律，值得研討，因此就開始研究tan nθ與sin nθ+cos nθ展開式中，其係數間關係。

本文發展出一套內鏡射圖形的尺規作圖法，由此作圖法操作中發現奇數邊多邊形的內鏡射圖形是唯一的，而偶數邊多邊形卻有無限多個。本文主要探討多層次內鏡射圖形的存在條件，依條件給定的各組內角，必可操作到指定的層數，當給定的各內角愈接近正多邊形的角度時，可操作到的層數愈多。

國中數學第五冊第五章最後一節中，談及有關四邊形的外接圓及內切圓部分(P133 ~137)，提出兩個定理：1.四邊形中，若一組對角互補，則四邊形有一外接圓。2.四邊形中，若它的兩組對邊長的和相等，則四邊形有一內切圓。並推得以下結論：(l) 內角不是直角的菱形，有一內切圓，而沒有外接圓。 (2)長與寬不相等的矩形，有一外接圓，而沒有內切圓。 (3)正方形有一外接圓，也有一內切圓。由此我們引發了一個問題： 『 是否唯有正方形才同時擁有內切圓及外接圓？ 』 它的答案似乎是肯定的，為了證實起見，我們一起去請教老師，老師覺得這問題很有意義，因而鼓勵並指導我們著手探討。

兩個互相垂直的簡諧運動所構成的圖形即為Lissajous曲線，可寫成{x=p1cos(α1t+c1) y=p2cos(α2t+c2) 的形式，而當且僅當頻率比α1/α2為有理數時，圖形會形成一個封閉曲線，且會有重合與不重合兩種情況，將兩種情況分開討論，對於任意給定的頻率和相位差，我們求出了Lissajous曲線的二重點(double point，指曲線與其本身相交的點且曲線在該點的兩條切線斜率是相異的)參數值及其個數公式以及判別其重合與否的充要條件，也對Lissajous曲線的連續性質做了一些研究，包括切線斜率、反曲點個數等。並將Lissajous曲線拓展到三維的情況，發現大部分的情況下圖形是沒有二重點的封閉曲線，也得到了在固定頻率比的情況下，二維Lissajous曲線相位差的改變即為三維Lissajous曲線在空間中旋轉的投影這一有趣結果。