逛夜市時看到有人在射飛鏢，我們突然想到，如果飛鏢射中每個點的機率都相等，那我們是不是可以由射中圓的機率，及外圍的面積來推知圓周率呢？我們先後進行射飛鏢及擲黑豆的實驗發現，實驗過程都不夠隨機而宣告失敗。於是我們以解析幾何的方式將實驗的樣本空間座標化，然後用EXCEL 試算表的亂數製造隨機點，並判斷隨機點的落點。 我們共製造了109個亂數數對，由所得數據分析π的近似值為3.141607304。 我們並進一步實驗發現當短軸的長度固定時，橢圓的面積與長軸的長度成正比。進而推得橢圓面積為 1/4 ×長軸×短軸×π 透過實驗我們也發現，邊長為2r 的正立方體最大圓柱、球體、圓錐體積比為3:2:1。並進一步推得半徑為r 的球體體積為 4/3 r3π 此外，我們思索幾個可以再深入探討的主題： 1. 三角函數Sinθ 的近似值。 2. 對數表的製作。 3. 無理數逼近速度及準確性的探討。

本研究對於過梯形對角線交點平行於上底的平行線，以雙光源的方式探討此平行線與上\r 下底所構成的比例線段的關係，並藉由過對角線交點，作平行線的方法，重複構造梯形，以\r 探討這些平行線所構成的比例線段的關係。並進一步探討正多邊形縮放的比例線段間的關\r 係，以及多邊形縮放的比例線段間的關係。\r 本研究發現：\r 一、 對於梯形ABCD，AD//BC，AD＜BC，由雙光源所構造的比例線段關係式為：\r 1/a1+n-2/a2=1/a3+1/a4+1/a5+1/a6+......+1/an-1+2/an\r (AD 為a1，BC 為a2，AD 與BC 之間的平行線為a3、a4、a5、a6、a7、a8…an)\r 二、 將外層正n 邊形，藉由光源法(光源置於其外接圓圓心)將其縮小為內層相似正n 邊形，\r 再用雙光源方式將其放大為中層相似正n 邊形，此三個相似正n 邊形的周長(S 大、S 中、\r S 小)所構成的比例關係式為：\r S中/S大+S中/S小=2(定值) （S 代表周長）\r 三、將外層n 邊形，藉由光源法(光源置於圖形內部)將其縮小為內層相似n 邊形，再用雙光源\r 方式將其放大為中層相似n 邊形，此三個相似n 邊形的對應邊所構成的比例線段關係式\r 為：\r b1/a1+b1/c1+b2/a2+b2/c2+b3/a3+b3/c3+...+bn/an+bn/cn=2*n

在浩瀚的海洋當中有一個神秘的百慕達三角洲，那麼在數學幾何當中是否也有神秘的三角形呢？ 在課堂上，數學老師提到拿破崙不只是軍事家而且也算是數學家，他在數學史上留了一個以自己為名的三角形定理，名為拿破崙三角形定理。當看到此圖形〈圖一〉，幾何當中有如此神秘的圖形，因而興起了對此圖形深入研究的慾望，也是讓我們自己對數學有更深入的了解。雖然它是簡單的幾個三角形與線段所組成的圖形，卻是個富含許多創意與深思的幾何圖形，讓我們不由自主的陷入其中。

我們一開始從雪花繁複又有規律的圖形得到靈感，並尋找了一些水結晶成冰、霜的圖片，發現其形狀雖然複雜，但皆同時具有「相似」及「無限規律」的特性。因此便以這兩者為方向，找尋符合此特色的圖形進行討論及研究。其中我們將它們分為兩個單元：（一）不斷向外/內延伸的內切/外接圖形；（二）相似形重覆以規則方式相疊的碎形。我們的研究方式是先以較簡單的內切/外接圖形為基礎，再針對一些參考資料上較常見的基本碎形圖案（如三角形相疊成為星形...等）進行演算。有了上述的經驗後，便可以開始對碎形的形狀等特性進行變化，進而製造出我們有特色的碎形，並探討其圖形間奇妙的關聯性。

今天上自然課，老師要我們作科展，我回家後就開始找題目來做，因為可以做的時間不多。我忽然想到參觀前年本校校內科展時，一個有趣的問題，裡面的內容大約鎚這樣的： 有一位落魄的王子在別國做錯事，那裡的國王要殺掉他，就為他出了一個難題，要王子和另外八個死刑犯站在一起，讓一位公主來數，從第一個開始，數到七，就殺死那個人，一直數，數到就殺，但如果最後剩下王子沒死，王子就可以回國。最後公主用智慧救了王子回國了。 當時我覺得他們解決這問題，如果犯人的人數隨便改，或改成不是七個一數呢？我記得他們每次都要從新算，而且要算很久，因此我認為他們並沒有研究出這類問題的一些關係，所以我就決定用這個題目來做這次科展的問題。

在高二學習複數時，我們由棣美佛定理： nεN(cosθ +isinθ ) n= cos nθ + isin nθ )導出 cos n θ與 sin n θ可用 cos θ及sinθ 之多項式表示。我們發覺他們的細數頗有規律，值得研討，因此就開始研究tan nθ與sin nθ+cos nθ展開式中，其係數間關係。

上勞作課時，我的口好渴。忽然靈機一動，就用圖畫紙做個紙杯。根據平常的印象”茶杯的杯口大，杯底小，在平面上的圖形類似梯形。”於是，在紙上畫一個梯形，然後沿線剪下來，再把它接合起來。結果，做出來的紙杯，左瞧右瞧，都不順眼，再用剪刀慢慢修剪，使它像個杯子。可是心中又有個疑問：到底要做一個杯子，應該畫成怎樣的圖形才好呢？最後，只好把剛做好的杯子展開。啊！並不是一個梯形 ....。

一般初微的教科書中都有介紹方程式實數根的逼近法，然而複數根則未見提及，而且書上所提出的收斂條件也不完備，因此引發了研究的興趣，希望藉此研究擴充已知的方法，使其能夠解決一般根逼近的問題。

想要運用已學會的＜等差數列級數和＞公式和所知，來破解一個神秘數列（階差數列）是我很感興趣的挑戰。在這探索中，我意外地發現了一個階差數列的計算與推演的創意思考方法──我暫時把它命名為＜大小三角形排列＞思考法！這方法具有視覺與圖形一目瞭然的特性，使我們可以僅僅利用到簡單的四則運算，配合上大小三角形排列計算，就可破解各類的神秘階差數列求和之問題！甚至，不必用到我們國中生所看不懂的'Σ'符號，就可破解一切難題！ 用這大小三角形排列思考法，我進一步推導完成了＜階差數列求和的公式＞－也許我正在發明一個很重要的數學公式哦！這公式會使神秘又困難的階差數列求和的計算，變得簡單。請大家來一起看看我的創意思考過程，和這可愛的公式吧！