數學科

柏拉圖時代就被發現的五個正多面體，一直吸引著人們的好奇心。它們經常出現在國小的教科書以及一般補充教材上，不過通常都是利用它們來介紹尤拉公式，對於另一個令人感到興趣的問題 ─“展開圖”的介紹卻不是很詳盡。在我們的研究中，對於正六面體與正八面體，我們找出了一組簡單、易記的模式，來判斷某個平面圖是否為正六面體或正八面體的展開圖，同時我們也找出了一個利用基本模式，就能產生所有正六面體與正八面體的展開圖的方法。

上勞作課時，我的口好渴。忽然靈機一動，就用圖畫紙做個紙杯。根據平常的印象”茶杯的杯口大，杯底小，在平面上的圖形類似梯形。”於是，在紙上畫一個梯形，然後沿線剪下來，再把它接合起來。結果，做出來的紙杯，左瞧右瞧，都不順眼，再用剪刀慢慢修剪，使它像個杯子。可是心中又有個疑問：到底要做一個杯子，應該畫成怎樣的圖形才好呢？最後，只好把剛做好的杯子展開。啊！並不是一個梯形 ....。

我們一開始從雪花繁複又有規律的圖形得到靈感，並尋找了一些水結晶成冰、霜的圖片，發現其形狀雖然複雜，但皆同時具有「相似」及「無限規律」的特性。因此便以這兩者為方向，找尋符合此特色的圖形進行討論及研究。其中我們將它們分為兩個單元：（一）不斷向外/內延伸的內切/外接圖形；（二）相似形重覆以規則方式相疊的碎形。我們的研究方式是先以較簡單的內切/外接圖形為基礎，再針對一些參考資料上較常見的基本碎形圖案（如三角形相疊成為星形...等）進行演算。有了上述的經驗後，便可以開始對碎形的形狀等特性進行變化，進而製造出我們有特色的碎形，並探討其圖形間奇妙的關聯性。

線性計劃在數學中是一支新起的部門，它主要的基礎是受193年J.von Ncumann與W.Lcntief 之經濟理論影響，而於1940年為F.L.Hitihcoch與 L.Kantorovitch 等人所建立，而今日在工程學上與經濟學上都廣泛的應用。所謂線性計劃乃在求定義於有界多面凸集合之線性函數；f( x1)C1X1+C2X2＋……＋CnXn＋d 之極大值與極小值的問題。本文主要將高中數學程度所提及之二維空間中線性計劃的理論推廣到 n 維空間。

一天，上數學課時，老師提出了一個問題：「鈍角三角形，能切割成銳角三角形嗎？」乍看之下，這題目似乎很簡單。班上大將X答道：「這還不容易！」然後很神氣地走上臺去，畫了約十分鐘，臉色逐漸發白，仍解不出來！在班上大將紛紛戰死沙場後，老師微笑道：「這問題不像你們想像的那麼容易，要好好思考，才能解出來。回去好好想吧！想到了寫成報告交出來，加平時分數。」 課後，老師還告訴我們，這題目她已給了三屆學長做過，都沒有人做出完整的解，老師鼓勵我們動動頭腦仔細思考，想出解來，讓大家分享。 敗在一個三角形下，實在心有不甘，於是，我們決定要解開這道題目！

本文發展出一套內鏡射圖形的尺規作圖法，由此作圖法操作中發現奇數邊多邊形的內鏡射圖形是唯一的，而偶數邊多邊形卻有無限多個。本文主要探討多層次內鏡射圖形的存在條件，依條件給定的各組內角，必可操作到指定的層數，當給定的各內角愈接近正多邊形的角度時，可操作到的層數愈多。

縱觀同餘方程理論的發展，雖已有十分輝煌的成就，但二次剩餘卻還僅止於有無解的判別，而沒有良好的求解方法，有之，僅是以嘗試法，逐一代入求解（如李恭晴先生著整數論第 61、61 頁解 X =21mod 37 )，或以逐步捨棄法，去其不可能數，待數目較小，計算不太麻煩時，直接代入試驗得之（如數論導引第 48 頁，解 X=73 mod 127 ) ，這些方法在理論上，雖非站不住腳，但其不夠完美乃人盡皆知，尤其是數字一大，困難更是接踵而來；至於一次同餘式，目前更有多種形式的解法，那些理論雖稱完備，但其演算過程，都不夠單純明快，更由於不能一氣呵成，所以，也很難避免不必要的失誤，有鑑於此，而研究一次同餘式的連分解法，及中國餘數定理研究，以及二次剩餘的二次非剩餘解法和平方試驗法，這些方法及名稱，均為作者自己假設，希望能彌補時下理論之不足，並願以此新的嘗試，為您帶來一段思考的愉快時光。

國中數學第五冊第五章最後一節中，談及有關四邊形的外接圓及內切圓部分(P133 ~137)，提出兩個定理：1.四邊形中，若一組對角互補，則四邊形有一外接圓。2.四邊形中，若它的兩組對邊長的和相等，則四邊形有一內切圓。並推得以下結論：(l) 內角不是直角的菱形，有一內切圓，而沒有外接圓。 (2)長與寬不相等的矩形，有一外接圓，而沒有內切圓。 (3)正方形有一外接圓，也有一內切圓。由此我們引發了一個問題： 『 是否唯有正方形才同時擁有內切圓及外接圓？ 』 它的答案似乎是肯定的，為了證實起見，我們一起去請教老師，老師覺得這問題很有意義，因而鼓勵並指導我們著手探討。

想要運用已學會的＜等差數列級數和＞公式和所知，來破解一個神秘數列（階差數列）是我很感興趣的挑戰。在這探索中，我意外地發現了一個階差數列的計算與推演的創意思考方法──我暫時把它命名為＜大小三角形排列＞思考法！這方法具有視覺與圖形一目瞭然的特性，使我們可以僅僅利用到簡單的四則運算，配合上大小三角形排列計算，就可破解各類的神秘階差數列求和之問題！甚至，不必用到我們國中生所看不懂的'Σ'符號，就可破解一切難題！ 用這大小三角形排列思考法，我進一步推導完成了＜階差數列求和的公式＞－也許我正在發明一個很重要的數學公式哦！這公式會使神秘又困難的階差數列求和的計算，變得簡單。請大家來一起看看我的創意思考過程，和這可愛的公式吧！