兩個互相垂直的簡諧運動所構成的圖形即為Lissajous曲線，可寫成{x=p1cos(α1t+c1) y=p2cos(α2t+c2) 的形式，而當且僅當頻率比α1/α2為有理數時，圖形會形成一個封閉曲線，且會有重合與不重合兩種情況，將兩種情況分開討論，對於任意給定的頻率和相位差，我們求出了Lissajous曲線的二重點(double point，指曲線與其本身相交的點且曲線在該點的兩條切線斜率是相異的)參數值及其個數公式以及判別其重合與否的充要條件，也對Lissajous曲線的連續性質做了一些研究，包括切線斜率、反曲點個數等。並將Lissajous曲線拓展到三維的情況，發現大部分的情況下圖形是沒有二重點的封閉曲線，也得到了在固定頻率比的情況下，二維Lissajous曲線相位差的改變即為三維Lissajous曲線在空間中旋轉的投影這一有趣結果。

本研究探討由正三角形所組成的正多面體及其展開圖的型式，多面體的其中幾面塗上顏色，在同樣由正三角形所組成的棋盤上翻滾，找出翻滾產生的規律，並自創新的滾積木遊戲。

利用生物的幾何性質，歸納出生物成長的特殊規律性與數學幾何的密切關係。再針對菊科類植物花盤內螺旋線數量的獨特性質，去探討並推論其順、逆螺旋線數和費氏數列( Fibonacci Sequence ) 以及盧卡斯數列 ( Lucas Sequence ) 的特殊相關性，及其形成此規律性的原因。並藉由Maple執行各種不同發散角所模擬的花苞生長情形，來解釋為何黃金角是造成花苞排列緊密的最佳發散角。

我們檢討數學課本十一冊，練習十五，第四題：「圓池一個，直徑 10 公尺，在池的外圍築寬l 公尺的路，算出路的面積是多少？」時，大家都願用大圓面積減去小圓面積的算法： 62 × 3.14 -52× 3.14= 34.54 或(62-52)X 3.14來做。這時我問老師：「是不是可以用(10+1)× 3.14=34.54 來做？」不等老師的回答，王同學搶先說：「老師，我認為這樣做只是一種巧合，因為我用別的數字試過了，結果答案不同，況且也無法解釋它的理由！」老師聽了，告訴我們：「凡事在沒有得到充份理由來解釋以前，不要冒然就下斷語。這個問題既能造成巧合，必定有它的道理在。」於是我們幾個喜歡數學的同學，便聚在一起研究到底能不能用(10+1)X3.14= 34.54，這種方式來做？又怎麼來解釋它的道理呢？

從國二開始，因為經常在實驗室裏做化學實驗，發現實驗室裡，有很多大小不同的只知容量，但無刻度之燒杯，有一次興致一來想利用這些大小不同的燒杯，來平分一個注滿液體的燒杯中溶液，於是激發了我們研究如何在量計工具不足的情況下來分裝液體。

國中數學第五冊第五章最後一節中，談及有關四邊形的外接圓及內切圓部分(P133 ~137)，提出兩個定理：1.四邊形中，若一組對角互補，則四邊形有一外接圓。2.四邊形中，若它的兩組對邊長的和相等，則四邊形有一內切圓。並推得以下結論：(l) 內角不是直角的菱形，有一內切圓，而沒有外接圓。 (2)長與寬不相等的矩形，有一外接圓，而沒有內切圓。 (3)正方形有一外接圓，也有一內切圓。由此我們引發了一個問題： 『 是否唯有正方形才同時擁有內切圓及外接圓？ 』 它的答案似乎是肯定的，為了證實起見，我們一起去請教老師，老師覺得這問題很有意義，因而鼓勵並指導我們著手探討。

第八次的「我來挑戰」是這樣一個數學題：「小明的媽媽宣布：『考試滿分第一次給獎金 10 元，以後每增加一次，獎金是前一次的二倍。」小明在上學期一共得到十次滿分，他總共得到多少獎金？」我交出答案紙後，覺得用一次一次連加的方法，次數一多，不但麻煩，而且容易出錯。如果能找出簡使的貿法，可適用於不同的獎金倍數和次數，那該多好！我把這們想法和同學討論，他們也認為這是個好主意，就去請教老師，要怎樣做才能找出這例公式？老帥說我們能進行自我的再挑戰，真是太好了。這類問題在數學上是等比級數求總和的方法，就指導我們進行下列的研究。

數學是一門啟發思考、開拓系統化知識的一門學科，自古以來，她就一直伴隨著人類？她的精神、內涵亦是隨著而漸入，但是很不幸的，傳達她的精神、內涵的機構 一類學教育，普遍地在各種「場合」上出了毛病，當然，這種毛病其有「漸進」與「以訛傳訛」的特性，我們姑且先不論這種「特性」的內容，我們今天所要談的是她的「源由」；作者基於對這種「源由」的需要感，產生尋求的動機，從教師們的教學情形，學生們對於教學與教材的反應情形，以及對學習者的心理狀態，作一粗淺的探討，我們很容易覺察到此脈粗淺的研究心得，只能供各位教師與教學工作者的一種參考，但「數學教育」的改進，正需要許多「參考」的研究心得來綴合諦造，作者擬以此種「行為」，來激發教師們對此類問題的普遍注意與研討；俾能達到互輔互助，以完戊改進數學教育工作的目標。

一線段可以平分，即這線的中點；一角可以平分，即這角的平分線，這都是基本作圖。我們隨即想到一個三邊形、四邊形、五邊形，甚至可推廣到 n多邊形也應可以平分，也就是作一直線，把面積二等分。以下就是我們粗淺的討論過程。

課堂上所學得的重心僅止於三角形，並未提及四邊以上的多邊形或是凹多邊形的重心。於是我們利用網路及圖書館查閱多邊形的重心相關資料，找到以前科展的兩篇作品，及數學辭典中相關的幾何學知識。在了解資料的內容並試著自己作圖尋找多邊形重心時，我們發現以往科展作品中有錯及某些問題未曾解決。於是我們利用了【面積交換性質】找到修正的方法後，便可用【槓桿原理】求得正確之重心。並且此方法可推廣到凹、凸N多邊形。之後，我們也發現凹四邊形的重心隨著圖形的不同而存在於形內、形外、邊線等不同位置，進一步的我們研究出判斷式。至於凹N（N≧5）邊形之重心位置，是否存在判斷式？我們仍在努力尋找中。