數學科

「點積」這個名詞，是為了稱呼上的方便，由作者自定的名詞。顧名思義也就是：「集點求積」的意思。在求算一例圖形的積( 包括：線長、面積、體積) 時，「點積法」與過去的求積方法有很大的不同，它只計算圖形裏的「等距點（即方格點）有多少，就可求得其積。

一般初微的教科書中都有介紹方程式實數根的逼近法，然而複數根則未見提及，而且書上所提出的收斂條件也不完備，因此引發了研究的興趣，希望藉此研究擴充已知的方法，使其能夠解決一般根逼近的問題。

上勞作課時，我的口好渴。忽然靈機一動，就用圖畫紙做個紙杯。根據平常的印象”茶杯的杯口大，杯底小，在平面上的圖形類似梯形。”於是，在紙上畫一個梯形，然後沿線剪下來，再把它接合起來。結果，做出來的紙杯，左瞧右瞧，都不順眼，再用剪刀慢慢修剪，使它像個杯子。可是心中又有個疑問：到底要做一個杯子，應該畫成怎樣的圖形才好呢？最後，只好把剛做好的杯子展開。啊！並不是一個梯形 ....。

本次科展作品由三角邊形的魔方陣出發，設定規則如下；在 n 階三角形魔方陣中填入給定數字，使其三個 1n ? 階三角形數字和相等。我們得出如何從 n 階魔方陣推至(n+1)階魔方陣，與給定任意一個 n 階魔方陣，如何填出一組解的方法。遵循著三角形魔方陣的填法，我們可將其推廣在平面任意 m 邊形及正四面體上。前者，我們得到給定任意 n 階 m 邊形填出一組解的方法。後者，則是可由 n 階立體魔方陣推至(n+1)階立體魔方陣；當給定偶數階立體魔方陣時，可利用自創的圓形圖進行求解，文末亦討論了具有特殊性質點的個數。

縱觀同餘方程理論的發展，雖已有十分輝煌的成就，但二次剩餘卻還僅止於有無解的判別，而沒有良好的求解方法，有之，僅是以嘗試法，逐一代入求解（如李恭晴先生著整數論第 61、61 頁解 X =21mod 37 )，或以逐步捨棄法，去其不可能數，待數目較小，計算不太麻煩時，直接代入試驗得之（如數論導引第 48 頁，解 X=73 mod 127 ) ，這些方法在理論上，雖非站不住腳，但其不夠完美乃人盡皆知，尤其是數字一大，困難更是接踵而來；至於一次同餘式，目前更有多種形式的解法，那些理論雖稱完備，但其演算過程，都不夠單純明快，更由於不能一氣呵成，所以，也很難避免不必要的失誤，有鑑於此，而研究一次同餘式的連分解法，及中國餘數定理研究，以及二次剩餘的二次非剩餘解法和平方試驗法，這些方法及名稱，均為作者自己假設，希望能彌補時下理論之不足，並願以此新的嘗試，為您帶來一段思考的愉快時光。

一天，上數學課時，老師提出了一個問題：「鈍角三角形，能切割成銳角三角形嗎？」乍看之下，這題目似乎很簡單。班上大將X答道：「這還不容易！」然後很神氣地走上臺去，畫了約十分鐘，臉色逐漸發白，仍解不出來！在班上大將紛紛戰死沙場後，老師微笑道：「這問題不像你們想像的那麼容易，要好好思考，才能解出來。回去好好想吧！想到了寫成報告交出來，加平時分數。」 課後，老師還告訴我們，這題目她已給了三屆學長做過，都沒有人做出完整的解，老師鼓勵我們動動頭腦仔細思考，想出解來，讓大家分享。 敗在一個三角形下，實在心有不甘，於是，我們決定要解開這道題目！

有一三角形ABC，一點M在三角形邊AC上，一圓以BM為直徑，交AB、AC分別於P、Q，找出圓經P、Q作切線之交點R，當M在AC上做變動時動點R之軌跡為何？首先從特殊三角形的軌跡問題開始著手。再將原問題延伸，使原本的軌跡再對另一動點進行掃略，如使三角形頂點B於一平行邊AC的直線上、任意給定的直線上、過A及C之圓上(不含以AC為直徑的圓)等三種情形移動並利用幾何軟體「顯示軌跡」功能觀察其掃略圖形邊界，並試假設其為何種特殊圖形，並嘗試證明猜測的結論。最後嘗試研究此種特殊圖形的特殊性質並推廣之。

從遊玩Dots and Boxes中3×3的遊戲設定中發現必勝法，藉此推廣其方法至大小2×n的的狀況下，尋找其中的相關規律。

在高中數學第三冊中我們剛了解圓與球的性質，再加上國中常接觸到許多正多邊形其內切圓及外接圓的問題。這令我們聯想到：是否所有多面體都有內切球與外接球？若有，它們間的關係又是什麼？恰巧，化學老師在課堂上提到了由六十個碳原子構成的C-60 模型，而我們發現，以數學的角度來看，“C-60 ” 是由數個正五邊形與正六邊形所構成的立體圖形。在我們與數學老師討論後得知這種由十二個正五邊形與二十個正六邊形所構成的立體圖形就是所謂的”巴克球”，且從數學刊物上看到”巴克球為最接近球體的多面體”。這引發了我們的興趣，因此我們決定就這方面的問題展開討論。

線性計劃在數學中是一支新起的部門，它主要的基礎是受193年J.von Ncumann與W.Lcntief 之經濟理論影響，而於1940年為F.L.Hitihcoch與 L.Kantorovitch 等人所建立，而今日在工程學上與經濟學上都廣泛的應用。所謂線性計劃乃在求定義於有界多面凸集合之線性函數；f( x1)C1X1+C2X2＋……＋CnXn＋d 之極大值與極小值的問題。本文主要將高中數學程度所提及之二維空間中線性計劃的理論推廣到 n 維空間。