數學科

本研究主要在探討單格至8 格圖形的因、倍數問題，過程是先找出5 至8 格的所有圖形，整理觀察，找出可拼成矩形的多方塊，即為最小公倍數方塊圖的因數多方塊，並歸納這些因數多方塊的特徵。

「點積」這個名詞，是為了稱呼上的方便，由作者自定的名詞。顧名思義也就是：「集點求積」的意思。在求算一例圖形的積( 包括：線長、面積、體積) 時，「點積法」與過去的求積方法有很大的不同，它只計算圖形裏的「等距點（即方格點）有多少，就可求得其積。

數學是一門啟發思考、開拓系統化知識的一門學科，自古以來，她就一直伴隨著人類？她的精神、內涵亦是隨著而漸入，但是很不幸的，傳達她的精神、內涵的機構 一類學教育，普遍地在各種「場合」上出了毛病，當然，這種毛病其有「漸進」與「以訛傳訛」的特性，我們姑且先不論這種「特性」的內容，我們今天所要談的是她的「源由」；作者基於對這種「源由」的需要感，產生尋求的動機，從教師們的教學情形，學生們對於教學與教材的反應情形，以及對學習者的心理狀態，作一粗淺的探討，我們很容易覺察到此脈粗淺的研究心得，只能供各位教師與教學工作者的一種參考，但「數學教育」的改進，正需要許多「參考」的研究心得來綴合諦造，作者擬以此種「行為」，來激發教師們對此類問題的普遍注意與研討；俾能達到互輔互助，以完戊改進數學教育工作的目標。

在浩瀚的海洋當中有一個神秘的百慕達三角洲，那麼在數學幾何當中是否也有神秘的三角形呢？ 在課堂上，數學老師提到拿破崙不只是軍事家而且也算是數學家，他在數學史上留了一個以自己為名的三角形定理，名為拿破崙三角形定理。當看到此圖形〈圖一〉，幾何當中有如此神秘的圖形，因而興起了對此圖形深入研究的慾望，也是讓我們自己對數學有更深入的了解。雖然它是簡單的幾個三角形與線段所組成的圖形，卻是個富含許多創意與深思的幾何圖形，讓我們不由自主的陷入其中。

本次作品主要研究三角形垂心、重心、外心、內心之相關軌跡變化，以及四心在不同情況時的排列組合。我們發現三角形頂點水平移動時，垂心的軌跡為一?物線圖形，重心為一水平直線，外心為一鉛直射線，內心則是一弧形。我們又觀察鉛直移動的情形，發現，內心為一弧線，另外三心則為鉛直線。之後把討論擴展到圓上，我們發現垂心的軌跡是此單位圓的對稱圖形，重心的軌跡是此單位圓內的圓，外心的軌跡即此圓的圓心，內心的軌跡即由兩個圓弧構成。接下來，在三角形中同時觀察四心，我們發現在等腰三角形時才會四心共線，且共線的次數會隨著底與高的比例變動。最後，我們在等腰三角形中發現：當等腰三角形底角的 值為1/4時，四心會等距排列。

今天上自然課，老師要我們作科展，我回家後就開始找題目來做，因為可以做的時間不多。我忽然想到參觀前年本校校內科展時，一個有趣的問題，裡面的內容大約鎚這樣的： 有一位落魄的王子在別國做錯事，那裡的國王要殺掉他，就為他出了一個難題，要王子和另外八個死刑犯站在一起，讓一位公主來數，從第一個開始，數到七，就殺死那個人，一直數，數到就殺，但如果最後剩下王子沒死，王子就可以回國。最後公主用智慧救了王子回國了。 當時我覺得他們解決這問題，如果犯人的人數隨便改，或改成不是七個一數呢？我記得他們每次都要從新算，而且要算很久，因此我認為他們並沒有研究出這類問題的一些關係，所以我就決定用這個題目來做這次科展的問題。

有一三角形ABC，一點M在三角形邊AC上，一圓以BM為直徑，交AB、AC分別於P、Q，找出圓經P、Q作切線之交點R，當M在AC上做變動時動點R之軌跡為何？首先從特殊三角形的軌跡問題開始著手。再將原問題延伸，使原本的軌跡再對另一動點進行掃略，如使三角形頂點B於一平行邊AC的直線上、任意給定的直線上、過A及C之圓上(不含以AC為直徑的圓)等三種情形移動並利用幾何軟體「顯示軌跡」功能觀察其掃略圖形邊界，並試假設其為何種特殊圖形，並嘗試證明猜測的結論。最後嘗試研究此種特殊圖形的特殊性質並推廣之。

本研究探討由正三角形所組成的正多面體及其展開圖的型式，多面體的其中幾面塗上顏色，在同樣由正三角形所組成的棋盤上翻滾，找出翻滾產生的規律，並自創新的滾積木遊戲。

一般初微的教科書中都有介紹方程式實數根的逼近法，然而複數根則未見提及，而且書上所提出的收斂條件也不完備，因此引發了研究的興趣，希望藉此研究擴充已知的方法，使其能夠解決一般根逼近的問題。

本研究探討一支刻度很少而長度為整數 Kcm 的節約尺，這支尺可以從 1cm、2cm、3cm、…，量到 Kcm，我們找出最大的 K，並且探討尺的間隔數和尺長的關係。我們發現有 N個間隔，一定會產生種間隔，尺長不會超過 cm。我們還找出了間隔組合總數的算法，當間隔數越多，間隔組合總數就越驚人，從幾十萬筆資料中，我們找出了 1~8個間隔的最佳解。當我們把這些間隔組合總數算法所形成的數列排在一起，發現這些數列竟然和巴斯卡三角形有關。