數學科

本年度的數學作品基本上相當令人滿意，比起上一屆的作品，除初小組稍嫌不足外，其餘皆有過之。尤其是高中組及國中組更有很好的表現。值得一提的是今年有些較偏遠地區的學校也有很好的表現。至於高小組一些優異的作品，更是參加過好幾次的科展，而且每一次都有很好的表現。 初小組參加之件數一直都較短缺，主要是題材不易，我們覺得如果除了生活上所接觸到的題目外，亦可取自一些期刊之資料，例如今年之優勝作品即為一例。 國中組之最優作品可嘐說是一枝獨秀，表現突出，使人有煥然一新的感覺。 高中組的優秀作品，不但考慮的層面廣而且深，更展現出作者的功力，而且其結果亦具學術價值及創新性。

本研究根據「同心魔方陣」遊戲改編，結合骨牌重新賦予新玩法與意義。骨牌有28張共56個數字，當我們進行填數時，發現許多驚奇有趣： 1. 窮盡骨牌能圍成圖形，4×4骨牌同心圓是最小面積（需使用8張骨牌），最大面積7×7骨牌同心圓（需使用24張骨牌）。 2. 骨牌同心圓內外圓總和有特定比例關係，此可由（n × 格子數＝一條外圓總和數值 × 外圓總和條數）得知，（內圓和）÷（內圓邊長）＝n。 3. 骨牌同心圓有最佳填數策略。

這個研究起源於一個平分圓的問題：平面上有2n+1個點，任三點不共線、任四點不共圓(這個情況下的點稱為正常位置上的點)，任取三點可決定一圓，若圓內外都各有n-1個點，則此圓為一個平分圓。在[1]論文The Number of Halving Circles中，Federico Ardila教授證明了平分圓的個數為一定值n2。以此為基礎，我們探討了平分圓分割平面的區塊數、交點數、圓弧段數，發現雖然在正常位置的條件下這些個數會不定，但只要再多一項限制──若任三個平分圓共點，其所共的點必為原來2n+1個點中的一個(我們稱滿足這樣條件的點在「絕對正常位置」上)，這些個數均為定值。以下為本研究的結果：一、平面上任意2n+1個絕對正常位置上的點構成的平分圓，所分割的區塊數(N[2n+1])、交點數(N﹛2n+1﹜)、圓弧段數(N(2n+1))均為定值

星期六晚上和姊姊倆逛士林夜市，在人山人海中，忽然聽到那邊的人群裏，爆出好大一聲：「我中大獎了！」我們精神一振，心想有大獎，我也去瞧瞧！迫不急待的鑽進人叢中一看，原來是滾彈珠遊戲。看到每個檯子部有 13 個洞，而每個人在檯子中也都進了好多珠子。可是有一個人卻喪氣的說：=又是一塊泡泡糖！」喔!原來進7、8、9 個洞都只能得到泡泡糖，由珠子若進9 個洞以上，或是7個洞口下 · 獎品就越來越好。這時我也興緻勃勃的想要一顯身手，試試看。心想這還不簡單嗎？於是對姊姊說：「看我的！」趕啊趕，一盤又一盤。結果玩了四次得了四塊泡泡糖，好洩氣！也好疑問。明明大獎那麼多，為什麼我得不到呢？這個問題使我整夜想不通。和同學討論也沒有結果。最後我們決定共同去請教老師，一起探討這奇怪又有趣的問題。

從圓柱積木中取5～11片積木也能堆疊，起初參考陳鼎文和王俞臻（民98）篩選12片積木洞數組合的規則，找到篩選5～11片積木洞數組合的規則；但是積木數或總洞數改變時都要重新篩選，且檢驗積木洞數組合能不能堆疊時需花很多時間試驗積木的形狀。後來發現第k片積木堆疊時置放的木棒數 的規則，用這個規則從5片積木4根木棒的篩選資料，能以積木數不變而木棒數加1、積木數和木棒數同時加1、積木數加1而木棒數不變等方法陸續推演出5～12片積木堆疊可能的 組合；在Excel中用 的規則和圓柱積木的洞數能篩選掉大部分不可堆疊的 組合。最後用自行設計的堆疊工具可同時完成積木形狀的挑選與積木的排列，改進了以積木洞數規則篩選的缺點。

我們看看一個多項式 f(x)=X2-2x-2。首先以 ... -3，-2，-1,O,1,2,3… 等整數依次代入得一數列：…，13 , 6 , 1，-2 ，-3 ，-2 ,l…一再以此數列中相鄰兩項之差（後減前）得一新數列：… -7，-5，-3，-1,1,3 ……。到這，我們可看出此新數列成一等差數列，且公差為 2 。（見下表）經多次試驗別的多項式均有※之結果。因此我們便產生了一個疑問：對於∀f(x)εR(x)，領導係數＝ an deg( f(x) ) = n,( n ε N ) ，其第 n 數列必成等差數列嗎？若是，其公差必等於an(n!)嗎?

我們經常利用笛卡兒和費馬提出的坐標法解決各種幾何問題，或由平面鏡的光學性質處理最短路徑問題。但我們希望暫時擱置傳統的幾何證明方法，改由力學的觀點出發，將兩質點系統的重（質）心關係與槓桿平衡的概念推展成為一種有效的方法，藉由調整系統中各個質點的位置來導出各質點分布平面三角形的幾何性質。目前我們已能解釋：三角形的三中線交於一點M(重心)、三角形的三內角平分線交於一點M(內心)、三線共點(西瓦定理)、三點共線(孟氏定理)、黃金分割、……等幾何定理。對於空間中的四面體，我們也同樣利用兩質點系統的重（質）心關係與槓桿平衡的概念導出了十幾個類似於三角形的西瓦定理、孟氏定理那樣的性質，暫且將之稱為凸四面體小定理（1）?（10）。

我們住的地方附近寺廟共有十五處之多，每天經過那裹總看到廟宇香火繚繞，善男信女又是燒香膜拜，又是口中念念有詞彎腰「卜杯」。記得台灣省主席謝東閔先生曾經要我們破除迷信，雖然我們也看過「迷信害人知多少」這本書，但是，目前多數人還是執迷不悟，每遇到家裹大小事總愛在神的面前「卜杯」禱告以求神的指示，然後按照所謂神的旨意去做，有的人做事順利，他說是神很靈杯很準，做得不順利，還自圓其說的為神辯解說是自己不小心啦！或劫數作祟運氣不佳啦！一點都不敢埋怨神的不是，「到底用杯箋占卜可靠嗎？」大家都有興趣想追求它的究竟，請教老師，老師要我們做調查實驗研究，於是我們幾個人利用春節期間相約到附近寺廟去參觀，想得到一個比較滿意而合乎科學的結論。

週六的團體活動時問，老師會帶領班上同學玩一些益智的科學遊戲，讓我們動動腦。其中「繆比烏絲帶」最令班上同學感到訝異與著迷。有一天，老師帶我們到植物園的科學教育館參觀時，竟然又看到超大型的「繆比烏絲帶」模型，只可惜底下的說明圖並未進一步介紹剪開後的神奇變化，更激發了我們的興趣與好奇，因此，在老師的帶領下，我們運用系統化的方法，按部就班的仔細分析、探討，並記錄其結果，最後終於找出紙帶扭轉次數與剪開後的結果之間的關係了。並意外發現，封閉曲線交叉所產生的交叉點數與其所圍出的區域數之間的關係了。

第八次的「我來挑戰」是這樣一個數學題：「小明的媽媽宣布：『考試滿分第一次給獎金 10 元，以後每增加一次，獎金是前一次的二倍。」小明在上學期一共得到十次滿分，他總共得到多少獎金？」我交出答案紙後，覺得用一次一次連加的方法，次數一多，不但麻煩，而且容易出錯。如果能找出簡使的貿法，可適用於不同的獎金倍數和次數，那該多好！我把這們想法和同學討論，他們也認為這是個好主意，就去請教老師，要怎樣做才能找出這例公式？老帥說我們能進行自我的再挑戰，真是太好了。這類問題在數學上是等比級數求總和的方法，就指導我們進行下列的研究。