數學科

我們想要解決在ABCD順序的組件中，利用前二組件互換，以及後推一個組件的這兩種操作方法，完成所有排列組件，並從中研究最少次數以及規律。研究中，我們從簡化原題目的3個組件作為起始，研究了4個、5個組件的自動化智慧機器人~組件排列次序探討。我們利用編號、EXCEL試算表等工具以及方法，找出3個組件的所有排列需要2個操作步驟、4個組件的所有排列需要6個操作步驟、5個組件的所有排列需要11個操作步驟。我們還發現【t】操作以及【r】操作會有不同的特性，其中多次的【r】操作會出現循環重複。利用此性質來做分組，發現組與組之間的各種性質。結果若能運用在實際的組件操作上，也許對於機器人的效能會有所提升！

當我們在數學第七冊第十三單元中，學到面積的意義與計算，老師給我們利用方格紙的疊合．來比較等周長的長方形面積，結果發現；一樣的周長，所圍成的長方形中，以正方形的面積為最大。這時我們興起了疑問：為什麼會形成這樣的結果呢？它們的面積有什慶關係？於是我們請教老師，展開了我們的研習活動，並從中發現了有趣的數。

「非對稱性螺旋槳定理」是一個很有趣的定理，並且有好幾個相類似的推廣性質。我們 試著自己提出這些性質的證明，並且嘗試作一些推廣的探討。

本研究根據「同心魔方陣」遊戲改編，結合骨牌重新賦予新玩法與意義。骨牌有28張共56個數字，當我們進行填數時，發現許多驚奇有趣： 1. 窮盡骨牌能圍成圖形，4×4骨牌同心圓是最小面積（需使用8張骨牌），最大面積7×7骨牌同心圓（需使用24張骨牌）。 2. 骨牌同心圓內外圓總和有特定比例關係，此可由（n × 格子數＝一條外圓總和數值 × 外圓總和條數）得知，（內圓和）÷（內圓邊長）＝n。 3. 骨牌同心圓有最佳填數策略。

本研究起於網路教學網站（NLVM的Tessellations），在七個兩兩交集的圈內填入指定的14個數字，使每個圈內的三個數字和均相等，我們稱之為數字邏輯圈。從基本的四~七圈我們一併探究其中奧秘，得知當數組呈現等差數列時，圈數和介在【3n+[(5k-3)/2]xd～3n+[(7k-3)/2]xd】間，且有規律的以公差為間隔出現，且排出的數組及排出的組數前後均具對稱性，更可運用此公式自由設定圈數和，求出可行的數組；或給定內外圈的數組，經雙向脈絡圖輕鬆解題。 以原數組為基模，可經由平移或轉化為正負數、等差數列、小數及分數的過程，形成更多的數組，其組數及對應的位置均相同，可謂變化萬千；再搭配不同的提示位置，將解題的難易度分級，利用各類題本×提示個數×提示位置×提示盤轉動之加乘效果呈現出眾多的題目製成數字邏輯推理盤，以為此研究之具體成果。

我們經常利用笛卡兒和費馬提出的坐標法解決各種幾何問題，或由平面鏡的光學性質處理最短路徑問題。但我們希望暫時擱置傳統的幾何證明方法，改由力學的觀點出發，將兩質點系統的重（質）心關係與槓桿平衡的概念推展成為一種有效的方法，藉由調整系統中各個質點的位置來導出各質點分布平面三角形的幾何性質。目前我們已能解釋：三角形的三中線交於一點M(重心)、三角形的三內角平分線交於一點M(內心)、三線共點(西瓦定理)、三點共線(孟氏定理)、黃金分割、……等幾何定理。對於空間中的四面體，我們也同樣利用兩質點系統的重（質）心關係與槓桿平衡的概念導出了十幾個類似於三角形的西瓦定理、孟氏定理那樣的性質，暫且將之稱為凸四面體小定理（1）?（10）。

這個研究起源於一個平分圓的問題：平面上有2n+1個點，任三點不共線、任四點不共圓(這個情況下的點稱為正常位置上的點)，任取三點可決定一圓，若圓內外都各有n-1個點，則此圓為一個平分圓。在[1]論文The Number of Halving Circles中，Federico Ardila教授證明了平分圓的個數為一定值n2。以此為基礎，我們探討了平分圓分割平面的區塊數、交點數、圓弧段數，發現雖然在正常位置的條件下這些個數會不定，但只要再多一項限制──若任三個平分圓共點，其所共的點必為原來2n+1個點中的一個(我們稱滿足這樣條件的點在「絕對正常位置」上)，這些個數均為定值。以下為本研究的結果：一、平面上任意2n+1個絕對正常位置上的點構成的平分圓，所分割的區塊數(N[2n+1])、交點數(N﹛2n+1﹜)、圓弧段數(N(2n+1))均為定值

三角形有一個多邊形缺角時，重心會產生偏移，如何切割截角，使得截角後圖形的重心回到原三角形的重心。這樣的截角稱為不變心截角。本研究將三角形的缺角分成六類，並成功找出不變心截角法則，完成此六類的不變心截角。 我們並探討不變心等積切割問題，就是當三角形有一個多邊形的缺角時，在另外兩個對應位置截去兩個與缺角等積截角的作圖方法。我們先完成正三角的不變心等積截角。再以正三角形為媒介，透過平行線之間的面積轉移，完成底：高為2：√3的三角形之不變心等積截角。以此成功的例子為基礎，我們找出並證明任意三角形不變心等積截角的方法，並成功完成缺角為任意多邊形的不變心等積切割。

週六的團體活動時問，老師會帶領班上同學玩一些益智的科學遊戲，讓我們動動腦。其中「繆比烏絲帶」最令班上同學感到訝異與著迷。有一天，老師帶我們到植物園的科學教育館參觀時，竟然又看到超大型的「繆比烏絲帶」模型，只可惜底下的說明圖並未進一步介紹剪開後的神奇變化，更激發了我們的興趣與好奇，因此，在老師的帶領下，我們運用系統化的方法，按部就班的仔細分析、探討，並記錄其結果，最後終於找出紙帶扭轉次數與剪開後的結果之間的關係了。並意外發現，封閉曲線交叉所產生的交叉點數與其所圍出的區域數之間的關係了。

我們看看一個多項式 f(x)=X2-2x-2。首先以 ... -3，-2，-1,O,1,2,3… 等整數依次代入得一數列：…，13 , 6 , 1，-2 ，-3 ，-2 ,l…一再以此數列中相鄰兩項之差（後減前）得一新數列：… -7，-5，-3，-1,1,3 ……。到這，我們可看出此新數列成一等差數列，且公差為 2 。（見下表）經多次試驗別的多項式均有※之結果。因此我們便產生了一個疑問：對於∀f(x)εR(x)，領導係數＝ an deg( f(x) ) = n,( n ε N ) ，其第 n 數列必成等差數列嗎？若是，其公差必等於an(n!)嗎?