重心的等積性質引發我們對等周分割的興趣，本研究的周心定義為與△ABC同平面上，使得OA+OB+AB=OB+OC+BC=OC+OA+CA的O點。我們透過分類技巧與圓冪性質成功找出任意三角形周心的作圖方式、周心存在與否及位置的判別式，並找出與周心息息相關的環圓。我們並成功透過環圓，逆向推導找出另一種周心的作圖方式。

在接觸了巧智拼球後，我們想利用「按照同樣的轉法轉幾次後會回到原本的位置」的規律找出和網路上破解法完全不同的公式。為了能夠更快速找出公式，採取了「簡化」策略，從2個盤子與3個盤子開始研究。之後我們發現了從編號1-1開始可以透過「轉法一、二和轉盤子」到達所有的情況。而且轉法一、二所產生的環型圖案與規律就有如巧智拼球上綻放的花朵令人著迷。接下來在電腦的幫助下，我們使用矩陣運算了解了轉法相加的規律，並且透過了位置交換列出所有的狀況，繼而發現可以用4朵花覆蓋全部的3個盤子編號。最後根據我們的研究發現，我們找到了將所有情況回復原位的方法。

我們經常利用笛卡兒和費馬提出的坐標法解決各種幾何問題，或由平面鏡的光學性質處理最短路徑問題。但我們希望暫時擱置傳統的幾何證明方法，改由力學的觀點出發，將兩質點系統的重（質）心關係與槓桿平衡的概念推展成為一種有效的方法，藉由調整系統中各個質點的位置來導出各質點分布平面三角形的幾何性質。目前我們已能解釋：三角形的三中線交於一點M(重心)、三角形的三內角平分線交於一點M(內心)、三線共點(西瓦定理)、三點共線(孟氏定理)、黃金分割、……等幾何定理。對於空間中的四面體，我們也同樣利用兩質點系統的重（質）心關係與槓桿平衡的概念導出了十幾個類似於三角形的西瓦定理、孟氏定理那樣的性質，暫且將之稱為凸四面體小定理（1）?（10）。

本研究試圖從三個正三角形所產生Echois三角形的特性，推廣至任意多個正多邊形與相似多邊形所產生的Echois圖形的特性。我們利用電腦進行動態幾何實驗，發現Echois圖形與原圖形之間的關係，並進一步驗證，同時在圖形變換過程中，觀察圖形退化的一些有趣現象，從而對一個三角形的三頂點與其重心的關係，擴增到Echois圖形與其一群圖形之間的關係，對重心的概念產生更深一層的認識。

本研究探討的主題是：給定正整數n，是否存在1~n的重排數列，使得「相鄰兩項之和都是平方數」。對於滿足上述條件的數列，我們稱其為平方數列，我們探討哪些n使得1~n可排成平方數列。對於某類的正整數n，我們已找到構造平方數列的方法： 1.若正整數a, b, c及k=0, 1, 2, 4滿足a>b，a2+b2-k2=c2且(a2-k, b2-k)=1，則1~a2-1可排成平方數列。 2.若正整數a, b, c, α, β滿足a>c>b，b2+c2=α2，a2+c2=β2且(a2-b2, c2)=1，則1~a2-1可排成平方數列。再者，我們可以證明n=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、18、19、20、21、22、24時，1~n無法排成平方數列；藉由有效率的程式運算，我們得知n=15、16、17、23及n=25、26、...、144時，1~n可排成平方數列。若平方數列的首尾兩項相加也是完全平方數時，我們將其定義為平方項鍊。我們造出1~32的平方項鍊，進而可知 1~32排成平方數列的方法至少有32種。對於特定的n，我們可將1~n排成平方項鍊；而我們更證明出，n=32是可將1~n排成平方項鍊的最小正整數。

本研究是根據遊戲規則找出三色球的相關性質。利用此相關性質，分析所有情況的差異，討論是否有解，並找出最少的操作次數。我們先從基本的三色球開始研究，接著轉換成較為複雜的四色球，最後利用三、四色球之間的關連性分析出n色球的研究，完成之後，寫出研究的結論。

本研究根據「同心魔方陣」遊戲改編，結合骨牌重新賦予新玩法與意義。骨牌有28張共56個數字，當我們進行填數時，發現許多驚奇有趣： 1. 窮盡骨牌能圍成圖形，4×4骨牌同心圓是最小面積（需使用8張骨牌），最大面積7×7骨牌同心圓（需使用24張骨牌）。 2. 骨牌同心圓內外圓總和有特定比例關係，此可由（n × 格子數＝一條外圓總和數值 × 外圓總和條數）得知，（內圓和）÷（內圓邊長）＝n。 3. 骨牌同心圓有最佳填數策略。

我們原本只是要研究「吹牛」這個遊戲，希望藉此了解每一個數字出現的機率，到底20顆骰子要喊到幾顆以內才是絕對安全的範圍，又何時「抓」可以十拿九穩的捉到對手吹牛，進而提高我們的獲勝機會，於是我們開始分析規則。 一開始我們先了解遊戲規則，並實際進行活動，以便接下來的分析。首先針對通用點「一點」的設計進行分析，發現此一設計使遊戲更多變、更好玩的，而且「一點」出現的多寡對遊戲的難度相對的提高了；此外，在遊戲中可能出現幾個「一點」進行分析，在分析個過程中，發現了一些規律性，這些規律性除了基本的排列組合外，其中竟然隱藏著一個有趣的數字三角形---「巴斯卡三角形」，這是我們始料未及的。 剛開始我們運用計算機協助計算，配合「巴斯卡三角形」進行機率的分析，為了讓分析更容易，我們進一步運用Excel軟體來比較機率出現的高低，最後發現其實運用骰子（ 1/ 6 ）的機率，再配合別人喊的數字與顆數作為依據，即可進行歸納出最基本又容易的判斷了。

上美術課時，老師令同學們用色紙剪成方塊；排列成地磚的圖案，其中五花八門各有千秋，而我們這一組特有新發現，就是在方形紙面上由左下角用一個紅色方塊貼起，一直向右上角延伸；成為 ┐字形。層層併疊，奇怪，每一層的數字都是奇數，於是引發了我們研究的興趣。