數學科

重心的等積性質引發我們對等周分割的興趣，本研究的周心定義為與△ABC同平面上，使得OA+OB+AB=OB+OC+BC=OC+OA+CA的O點。我們透過分類技巧與圓冪性質成功找出任意三角形周心的作圖方式、周心存在與否及位置的判別式，並找出與周心息息相關的環圓。我們並成功透過環圓，逆向推導找出另一種周心的作圖方式。

本作品主要在推廣費氏數列，得到新的遞迴數列。費氏數列的來源之一是「兔子對生長問題」，該問題涉及4項條件：「成長期」、「懷孕期」、「下一代數量」、「壽命」。在歷屆科展中，我們是最先推廣原問題4項條件的研究小組，並得到更一般化的新數列。我們除了透過「整數數列線上大全」檢索、也在自己有限的能力下儘量搜尋各種文獻，還沒有我們發現的一般化數列。雖然我們得到新的結果，不過卻只使用了簡單的方法：畫圖、計數、直觀觀察，而且還試著保證數列規律成立，使作品更嚴謹。最後我們加入「狼」的條件，狼會吃掉兔子對。關於兔子對數量的規律得到一個猜想，可供人們繼續研究下去。

我們從小玩過許多圖形的遊戲，因為變化很多，所以感到濃厚的興趣。

當我們在數學第七冊第十三單元中，學到面積的意義與計算，老師給我們利用方格紙的疊合．來比較等周長的長方形面積，結果發現；一樣的周長，所圍成的長方形中，以正方形的面積為最大。這時我們興起了疑問：為什麼會形成這樣的結果呢？它們的面積有什慶關係？於是我們請教老師，展開了我們的研習活動，並從中發現了有趣的數。

在平面上取一∆ABC及一點P，連接PA、PB、PC形成△BPC、△CPA和△APB，同時作△BCP、△ACP和△ABP的內心、外心、重心或垂心，得D、E、F三點，當∆DEF存在時討論：一、P和△DEF有何關係？二、△ABC和△DEF有何關係？三、若對新三角形重複上述的「步驟」，一連串新形成的三角形有何性質？在整個研究的流程中，我們一開始藉操作數學軟體的方法，將每一個對應的情況找出來並加以證明，接著更進一步觀察圖形中豐富的幾何性質，使我們除了心的對應關係之外，又看到了更深更廣泛的關係，我們也使用三角函數來幫助我們精確地算出其邊、角、面積關係。當我們討論完四心的情況之後，接著我們更嘗試作出兩點推廣:(1)疊代討論極限(2)內部點推廣到平面上的任一點，這些都使得我們的題目更加多元

我們想要解決在ABCD順序的組件中，利用前二組件互換，以及後推一個組件的這兩種操作方法，完成所有排列組件，並從中研究最少次數以及規律。研究中，我們從簡化原題目的3個組件作為起始，研究了4個、5個組件的自動化智慧機器人~組件排列次序探討。我們利用編號、EXCEL試算表等工具以及方法，找出3個組件的所有排列需要2個操作步驟、4個組件的所有排列需要6個操作步驟、5個組件的所有排列需要11個操作步驟。我們還發現【t】操作以及【r】操作會有不同的特性，其中多次的【r】操作會出現循環重複。利用此性質來做分組，發現組與組之間的各種性質。結果若能運用在實際的組件操作上，也許對於機器人的效能會有所提升！

上學期數學上到數理本第三冊第三章三角函數時，我對附錄之三角函數值表產生了疑問？當然此表來源老師討說由某些我們未學到的公式導出，但此表內是真值或近似值如何以我們現有的數學程度判別。當然有些可無置疑的如 cos60o=0.5000為真值 cos30o=√ 3/2≒ 0.8660 為近似值，而若是非特別角如表上查出 cos21.3o=0.9317 到底是否真值，我問過老師，他曾提示我，研究一些角度的值是否為有理數，說不定可解決問題，於是花了幾個月的時間，斷斷續續的研究，最後得到幾個有用的結論，而解決上述之問題，在導出結論的過程中我利用到了一些第一、二冊所學的東西，如小數、有理、無理數、多項式、因數、倍數的概念、性質及三角公式、特別角、數學歸納法、輾轉相除法、一次因式檢驗法反證法（有理根之判別）等，使我對數學的連貫性、整體性、綜合應用性有了更進一步的了解。

「非對稱性螺旋槳定理」是一個很有趣的定理，並且有好幾個相類似的推廣性質。我們 試著自己提出這些性質的證明，並且嘗試作一些推廣的探討。

本研究起於網路教學網站（NLVM的Tessellations），在七個兩兩交集的圈內填入指定的14個數字，使每個圈內的三個數字和均相等，我們稱之為數字邏輯圈。從基本的四~七圈我們一併探究其中奧秘，得知當數組呈現等差數列時，圈數和介在【3n+[(5k-3)/2]xd～3n+[(7k-3)/2]xd】間，且有規律的以公差為間隔出現，且排出的數組及排出的組數前後均具對稱性，更可運用此公式自由設定圈數和，求出可行的數組；或給定內外圈的數組，經雙向脈絡圖輕鬆解題。 以原數組為基模，可經由平移或轉化為正負數、等差數列、小數及分數的過程，形成更多的數組，其組數及對應的位置均相同，可謂變化萬千；再搭配不同的提示位置，將解題的難易度分級，利用各類題本×提示個數×提示位置×提示盤轉動之加乘效果呈現出眾多的題目製成數字邏輯推理盤，以為此研究之具體成果。

我們就單純的數學方法研究向日葵原基排列的規則列出以下的研究目的:一、費氏數列與原基緊密排列之關係 二、螺旋結構的產生、方向與螺線數目的關係三、向日葵雙螺旋結構的特性兩原基相切的關係式 p2＝1－2×(cosmφ＋1)/(amφ＋1/amφ＋2)初始原基標示為A0，設Am 為後續第m個產生的原基，與A0 相切，切點為T， 則p2＝1－2×(cosmφ＋1)/(amφ＋1/amφ＋2)《以餘弦得證》費氏數列與原基相切之關係如下：(一)若生成螺線方程式為r＝aθ, 0＜a＜1，則必存在n嘁，使得Q(a)＝Pa(Fn)。(三)原基相切會讓向日葵形成螺旋結構，而且螺線的數目必為費氏數列的某一項Fn。若n 為奇數，則螺旋方向為逆時針；若n 為偶數，則為順時針。(四)原基緊密的排列形成雙螺旋結構，使向日葵花頭最密實。