數學科

本作品主要在推廣費氏數列，得到新的遞迴數列。費氏數列的來源之一是「兔子對生長問題」，該問題涉及4項條件：「成長期」、「懷孕期」、「下一代數量」、「壽命」。在歷屆科展中，我們是最先推廣原問題4項條件的研究小組，並得到更一般化的新數列。我們除了透過「整數數列線上大全」檢索、也在自己有限的能力下儘量搜尋各種文獻，還沒有我們發現的一般化數列。雖然我們得到新的結果，不過卻只使用了簡單的方法：畫圖、計數、直觀觀察，而且還試著保證數列規律成立，使作品更嚴謹。最後我們加入「狼」的條件，狼會吃掉兔子對。關於兔子對數量的規律得到一個猜想，可供人們繼續研究下去。

上美術課時，老師令同學們用色紙剪成方塊；排列成地磚的圖案，其中五花八門各有千秋，而我們這一組特有新發現，就是在方形紙面上由左下角用一個紅色方塊貼起，一直向右上角延伸；成為 ┐字形。層層併疊，奇怪，每一層的數字都是奇數，於是引發了我們研究的興趣。

我們就單純的數學方法研究向日葵原基排列的規則列出以下的研究目的:一、費氏數列與原基緊密排列之關係 二、螺旋結構的產生、方向與螺線數目的關係三、向日葵雙螺旋結構的特性兩原基相切的關係式 p2＝1－2×(cosmφ＋1)/(amφ＋1/amφ＋2)初始原基標示為A0，設Am 為後續第m個產生的原基，與A0 相切，切點為T， 則p2＝1－2×(cosmφ＋1)/(amφ＋1/amφ＋2)《以餘弦得證》費氏數列與原基相切之關係如下：(一)若生成螺線方程式為r＝aθ, 0＜a＜1，則必存在n嘁，使得Q(a)＝Pa(Fn)。(三)原基相切會讓向日葵形成螺旋結構，而且螺線的數目必為費氏數列的某一項Fn。若n 為奇數，則螺旋方向為逆時針；若n 為偶數，則為順時針。(四)原基緊密的排列形成雙螺旋結構，使向日葵花頭最密實。

我們從小玩過許多圖形的遊戲，因為變化很多，所以感到濃厚的興趣。

重心的等積性質引發我們對等周分割的興趣，本研究的周心定義為與△ABC同平面上，使得OA+OB+AB=OB+OC+BC=OC+OA+CA的O點。我們透過分類技巧與圓冪性質成功找出任意三角形周心的作圖方式、周心存在與否及位置的判別式，並找出與周心息息相關的環圓。我們並成功透過環圓，逆向推導找出另一種周心的作圖方式。

上學期數學上到數理本第三冊第三章三角函數時，我對附錄之三角函數值表產生了疑問？當然此表來源老師討說由某些我們未學到的公式導出，但此表內是真值或近似值如何以我們現有的數學程度判別。當然有些可無置疑的如 cos60o=0.5000為真值 cos30o=√ 3/2≒ 0.8660 為近似值，而若是非特別角如表上查出 cos21.3o=0.9317 到底是否真值，我問過老師，他曾提示我，研究一些角度的值是否為有理數，說不定可解決問題，於是花了幾個月的時間，斷斷續續的研究，最後得到幾個有用的結論，而解決上述之問題，在導出結論的過程中我利用到了一些第一、二冊所學的東西，如小數、有理、無理數、多項式、因數、倍數的概念、性質及三角公式、特別角、數學歸納法、輾轉相除法、一次因式檢驗法反證法（有理根之判別）等，使我對數學的連貫性、整體性、綜合應用性有了更進一步的了解。

一、三角形內接最大長方形面積是三角形面積的一半，且長方形的底是其所在三角型底邊長的一半。 二、三角形內接最大正方形 (一)銳角三角形的三個內接正方形中，與三角型較小邊共邊的較大。 (二)直角三角形只能畫出二個內接正方形，且與兩股共邊的較大。 (三)鈍角三角形只有一個內接正方形，既與最大邊共邊的內接正方形。 三、三角形最大內接正方形邊長公式為 四、單位正三角形最大內接正方形的邊長等於單位正方形最大內接正三角形的面積。(這裡單位所指的是各邊長長度為１)。

在平面上取一∆ABC及一點P，連接PA、PB、PC形成△BPC、△CPA和△APB，同時作△BCP、△ACP和△ABP的內心、外心、重心或垂心，得D、E、F三點，當∆DEF存在時討論：一、P和△DEF有何關係？二、△ABC和△DEF有何關係？三、若對新三角形重複上述的「步驟」，一連串新形成的三角形有何性質？在整個研究的流程中，我們一開始藉操作數學軟體的方法，將每一個對應的情況找出來並加以證明，接著更進一步觀察圖形中豐富的幾何性質，使我們除了心的對應關係之外，又看到了更深更廣泛的關係，我們也使用三角函數來幫助我們精確地算出其邊、角、面積關係。當我們討論完四心的情況之後，接著我們更嘗試作出兩點推廣:(1)疊代討論極限(2)內部點推廣到平面上的任一點，這些都使得我們的題目更加多元

我們原本只是要研究「吹牛」這個遊戲，希望藉此了解每一個數字出現的機率，到底20顆骰子要喊到幾顆以內才是絕對安全的範圍，又何時「抓」可以十拿九穩的捉到對手吹牛，進而提高我們的獲勝機會，於是我們開始分析規則。 一開始我們先了解遊戲規則，並實際進行活動，以便接下來的分析。首先針對通用點「一點」的設計進行分析，發現此一設計使遊戲更多變、更好玩的，而且「一點」出現的多寡對遊戲的難度相對的提高了；此外，在遊戲中可能出現幾個「一點」進行分析，在分析個過程中，發現了一些規律性，這些規律性除了基本的排列組合外，其中竟然隱藏著一個有趣的數字三角形---「巴斯卡三角形」，這是我們始料未及的。 剛開始我們運用計算機協助計算，配合「巴斯卡三角形」進行機率的分析，為了讓分析更容易，我們進一步運用Excel軟體來比較機率出現的高低，最後發現其實運用骰子（ 1/ 6 ）的機率，再配合別人喊的數字與顆數作為依據，即可進行歸納出最基本又容易的判斷了。

在接觸了巧智拼球後，我們想利用「按照同樣的轉法轉幾次後會回到原本的位置」的規律找出和網路上破解法完全不同的公式。為了能夠更快速找出公式，採取了「簡化」策略，從2個盤子與3個盤子開始研究。之後我們發現了從編號1-1開始可以透過「轉法一、二和轉盤子」到達所有的情況。而且轉法一、二所產生的環型圖案與規律就有如巧智拼球上綻放的花朵令人著迷。接下來在電腦的幫助下，我們使用矩陣運算了解了轉法相加的規律，並且透過了位置交換列出所有的狀況，繼而發現可以用4朵花覆蓋全部的3個盤子編號。最後根據我們的研究發現，我們找到了將所有情況回復原位的方法。