數學科

有一次與同學玩套繩遊戲，奇怪的是為什麼我總是套不中？當時，我的確找不出是什麼原因。但是為了要找出個解釋的理由，卻激發了我去想這個問題的興趣。

為謀促進中小學科學教育的發展，國內自民國四十九年舉辦首屆中小學科學展覽，其實施成效如何，向為各界所關注。本研究之日的即係以台北、新竹、台中區第十六、十七、十八屆高中組科學展覽，作為研究對象，來探討上述地區內學校參展的普遍性與持續性，及深入性，並分析不同類型的學校在參展情形的差異。研究結果顯示：(1)台北區第 十七、十八屆之間，第十七屆台北、台中區，參展學校的百分比達到顯著的差異。其餘，皆未達顯著差異。(2) 第十六屆台北區，第十七屆台北、新竹兩區內學校作品的平均件數多於三地區連續三屆參展學校作品的平均數。(3) 同一學校參展作品件數，在年度的區分下，其相關係數大都達顯著水準。(4) 第十六、十七屆，台中一台北區，就生物科的參展踴躍情形而言，有顯著的差異。(5) 台中區就生物，物理、數學等三科的參展之持續性”較符合理想。(6) 台中區第十六、十七屆，及十七、十八屆之間，五種學科參展踴躍順序的情形達到顯著的水準。(7 )就得獎方面來說，各地區內的學校在年度的區分下，大多有顯著的相關。(8) 公立高中一私立高職，公立高中一私立高中 ·公立高中一公立高職”公立高職一私立高職，在參展情形方面，皆達到顯著的差異。(9) 台中區內的學校參展件數分散度較大，得獎件數亦復如此，其餘二區，較不明顯。綜合以上結果，筆者建議：(1) 科展在普遍性及持續性，深入性方面的實施成效，必須予以提高，(2) 重視與科展有關的資料，並據以擬訂新的發展計劃。(3) 加強中學科學教師進修，除了在縱方向的進修之外，尚須包括橫方向的進修，亦即必須重視科際統合知識的培養。(4) 對於參展作者，應利用時機建立其背景資料，以尋找隱含在成果背後的因素。(5) 職業學校應能利用學科的特性與學生的特長，施予正常的科學訓練。(6) 本文著重於找出各地區之間科展表現的差異現象，對於影響科展確定的因素，未能作進一步之分析，尚待關心科學教育工作者，惠予匡正。

令a,b,c，表 △ABC三邊的長，△表△ABC 之面積，若 a , b , c ． △ 皆為整數”則 △ ABC 稱為整數三角形，此 a , b , c 三數稱為Heronic triples · 當( a , b , c )=l 時，稱為 Primitive Heronic triPles ，如 3 , 4 , 5 （ △ ＝ 6 ) , 5 , 5 , 6 （ △ ＝ 12 ）皆是，大家所熟知的畢氏三數賞為 Heronic trlPles 的特例。由畢氏三數所形成之畢氏三角形即是有一角為直角的整數三角形（參考資料 l ,Vol.8 No.3 ( 1975 / 76 ) ）。般近 Mathenatlcal spectrum 發表了幾篇文章．皆是討論 Heronian triangles 最近發表的 John strange， ( Volumn 10,No.l ( 1977 / 78 ))曾提出一個待解決的問題 :「Given a natural numbern determine every Heroulan triangle whose area is n」筆者利用 I . B . M 計算機計算出 729 組整數三角形的數據（參考附表一） · 發覺每一個整數三角形的面積皆為 6 的倍數。

自古以來，幾何法求圓周率，由於太執著於把圓或角度做等分，都會面臨開根號與無理數的問題。本文第一階段，改以不對稱切割來避開無理數。先定義有理數r和角度θ的映射函數T，發展出另類分割圓周的簡易方法，讓圓的外切與內接多邊形邊長都呈現為≤1之最簡正有理數，並計算初步之 值。第二階段，則藉由外切與內接多邊形對圓面積的逼近探討，來導出一個大幅提高 值精確度的加權校正公式。第三階段，更是結合前兩階段之理論，進一步推演出計算簡易的 值逼近定理：π=4xΣr(k,t)/3(2+1/1+r2(k,t))與更嚴謹的π值夾擊定理：4xΣ(3r(k,n)/3+r2(k,n))

本文利用重排 (permutation) 、圈 (cycle) 及階數 (order) 等工具來探討102學年度國中基本學力測驗之中一個有關洗牌次數的問題。在研究過程中，我們定義了記錄撲克牌之排列的符號、洗牌操作σn1n2的重牌符號、重排的圈形式及洗牌次數ord(σ)，並探討其相關性質。

現在有許多求平方根的方法，有精準而麻煩的，如：《十分逼近法》、《直式開方法》。也有簡單而不準的如：《內插法》、《圖解法》。經過我們的研究討論，得到一平方根近似值的最新解法──二分逼近法。此法可以綜合以上的優點，除去以上的缺點，並將它推廣成為一個有用的方法。

我們研究的是一個有段歷史的題目：「柏金斯太太的被單」。其定義為：如何將邊長為正整數的正方形切割成「最少個數」（最小階）的小正方形；而且這些小正方形的邊長也是正整數，相同邊長的小正方形可以重複，但小正方形的邊長的最大公因數需為1。我們歸納出，重複利用「簡單二倍法」及「重疊二倍法」，可以每次加兩階或是加三階的方式增加，反覆構作可以切割邊長120以內的正方形，都不超過19階。

為了破解同學的市售魔術紙牌?可猜出心中所想的數字，我們展開了魔術紙牌遊戲數理探討之旅。研究結果與發現：一、紙牌的原理：心中數為該數字所出現之各紙牌的第一個數字之和。二、紙牌的數字分佈：數字出現次數剛好是巴斯卡三角數字，且可由C(n,r)來算出。三、製作三、四、……十進位的「傳統式」及「改良式」兩種紙牌。推翻科學研習月刊中指出：紙牌只適用於二進位數，不適用於其他進位法。四、探究紙牌與另一道具「索引卡」之相關。五、製作各種進位之索引卡。六、製作出「非進位加法式」紙牌。

喬治.波利亞(George Polya)所善「數學研究法」( Mathematics and Plausible Reasoning)給我很多的啟示與靈感。書中引數學家高斯(Gauss)的話說：「數論中有料想不到的好運氣，藉歸納法挖掘到最優美的新真理。」