數學科

由積性函數特性馬上可證得尤拉公式(B)=B(1-1/91)•(1-1/92)•(1-1/93)…(1-1/9n) 現在，我們想把尤拉公式推廣，若 A 表另一正整數令（ A , B ）表示：不大於 A 且與 B 互質的正整數個數我們想由積性函數的觀點切入，探討下列等式成立的條件 (A1,B)=A(1-1/91)•(1-1/92)……(1-1/9n)

「分水問題」原自於古代的一個數學問題：有個農夫到油行要買2 袋4 升的麻油，但是油行只有3 升、5 升兩種容量的量杯，沒有其他的測量工具，油行老闆如何利用這兩種容量的容器倒出農夫所要的2 袋4 升麻油呢？這個原本是個生活中現實的問題，現在已經演變成一個數學益智遊戲的問題，不只小學的數學課本曾經出現類似的問題，甚至於連電影都曾經拿它當作劇情（終極警探3）。我們將分水問題中的每一次倒水步驟用座標的方式來記錄，再將它用圖形來標記，進而探討它的規律，讓「分水問題」變的簡單而有趣。

自古以來，幾何法求圓周率，由於太執著於把圓或角度做等分，都會面臨開根號與無理數的問題。本文第一階段，改以不對稱切割來避開無理數。先定義有理數r和角度θ的映射函數T，發展出另類分割圓周的簡易方法，讓圓的外切與內接多邊形邊長都呈現為≤1之最簡正有理數，並計算初步之 值。第二階段，則藉由外切與內接多邊形對圓面積的逼近探討，來導出一個大幅提高 值精確度的加權校正公式。第三階段，更是結合前兩階段之理論，進一步推演出計算簡易的 值逼近定理：π=4xΣr(k,t)/3(2+1/1+r2(k,t))與更嚴謹的π值夾擊定理：4xΣ(3r(k,n)/3+r2(k,n))

72 年大學聯考歡學試題，有底下這個題目：設 O＜0＜π/2試求 3/cos+2/sin0之最小值。事後有很多人（包括大學教授）認為這個題目應該用微分來解，但三角 函數的微分在高中階段並未講授，故用微分解這個問題，實崔是超出高中生的能力範圍，因此激起我們對這個問題研究的興趣，希望能想出一個較完美的解法，並能推到一般的結論。

本篇作品主要研究在兩個人或多個人在n場對戰中(例如賽馬)，其中一個人的實力處於劣勢，而處於劣勢的那個人，得到勝利的策略方法數有多少種。 如「田忌賽馬」原文中，田忌和齊王各有三匹馬，我們的目的在於找出一個演算的方法，可以求出當田忌和齊王各有n 匹馬時，田忌的致勝策略數。為了解決問題，我們利用排容原理先處理「超算方法數」及「修正係數」兩部分，最後才得到獲勝策略總數。又主要問題點在「超算方法數」，我們發現關於超算方法數的一種遞迴關係，並由此得到一般式的結論，且透過了數學歸納法證明之。除了解決原先問題外，我們更推廣此問題至其他條件或規則，例如雙方條件一樣、差 等級、限定條件或多方對戰等，並得到一些結果。

為謀促進中小學科學教育的發展，國內自民國四十九年舉辦首屆中小學科學展覽，其實施成效如何，向為各界所關注。本研究之日的即係以台北、新竹、台中區第十六、十七、十八屆高中組科學展覽，作為研究對象，來探討上述地區內學校參展的普遍性與持續性，及深入性，並分析不同類型的學校在參展情形的差異。研究結果顯示：(1)台北區第 十七、十八屆之間，第十七屆台北、台中區，參展學校的百分比達到顯著的差異。其餘，皆未達顯著差異。(2) 第十六屆台北區，第十七屆台北、新竹兩區內學校作品的平均件數多於三地區連續三屆參展學校作品的平均數。(3) 同一學校參展作品件數，在年度的區分下，其相關係數大都達顯著水準。(4) 第十六、十七屆，台中一台北區，就生物科的參展踴躍情形而言，有顯著的差異。(5) 台中區就生物，物理、數學等三科的參展之持續性”較符合理想。(6) 台中區第十六、十七屆，及十七、十八屆之間，五種學科參展踴躍順序的情形達到顯著的水準。(7 )就得獎方面來說，各地區內的學校在年度的區分下，大多有顯著的相關。(8) 公立高中一私立高職，公立高中一私立高中 ·公立高中一公立高職”公立高職一私立高職，在參展情形方面，皆達到顯著的差異。(9) 台中區內的學校參展件數分散度較大，得獎件數亦復如此，其餘二區，較不明顯。綜合以上結果，筆者建議：(1) 科展在普遍性及持續性，深入性方面的實施成效，必須予以提高，(2) 重視與科展有關的資料，並據以擬訂新的發展計劃。(3) 加強中學科學教師進修，除了在縱方向的進修之外，尚須包括橫方向的進修，亦即必須重視科際統合知識的培養。(4) 對於參展作者，應利用時機建立其背景資料，以尋找隱含在成果背後的因素。(5) 職業學校應能利用學科的特性與學生的特長，施予正常的科學訓練。(6) 本文著重於找出各地區之間科展表現的差異現象，對於影響科展確定的因素，未能作進一步之分析，尚待關心科學教育工作者，惠予匡正。

現在有許多求平方根的方法，有精準而麻煩的，如：《十分逼近法》、《直式開方法》。也有簡單而不準的如：《內插法》、《圖解法》。經過我們的研究討論，得到一平方根近似值的最新解法──二分逼近法。此法可以綜合以上的優點，除去以上的缺點，並將它推廣成為一個有用的方法。

有一次與同學玩套繩遊戲，奇怪的是為什麼我總是套不中？當時，我的確找不出是什麼原因。但是為了要找出個解釋的理由，卻激發了我去想這個問題的興趣。

為了破解同學的市售魔術紙牌?可猜出心中所想的數字，我們展開了魔術紙牌遊戲數理探討之旅。研究結果與發現：一、紙牌的原理：心中數為該數字所出現之各紙牌的第一個數字之和。二、紙牌的數字分佈：數字出現次數剛好是巴斯卡三角數字，且可由C(n,r)來算出。三、製作三、四、……十進位的「傳統式」及「改良式」兩種紙牌。推翻科學研習月刊中指出：紙牌只適用於二進位數，不適用於其他進位法。四、探究紙牌與另一道具「索引卡」之相關。五、製作各種進位之索引卡。六、製作出「非進位加法式」紙牌。