數學科

線段可以作為度量線上一切長度之基礎。平行四邊形可以作為度量平面上一切面積之基礎。平行六面體可以作為度量三度空間中一切體積之基礎。

愛美乃人之天性，當我們看到正24邊形的各邊與對角線所交織成的幾何圖形，其”外在美”深深吸引著我們，故進一步想探求其”內在美”。在高二唸完向量與複數後，我們利用兩者的幾何性質及三角公式，推想出正多邊形的中心與各邊間向量的關係，因而發現本文中的一些性質。

從一個競賽題給的數列{d2(n)}出發，在四十九屆的科展已證明該題。本屆由數列{d2(n)}折線圖形發現該數列的遞迴並引用降階發展出更簡潔的通項表達式。 設n=(ak-1ak-2ak-3…ai…a2a1a0)，d2(1)=1；當n≧2則 d2(n)=1+Σ|aw-aw-1| 本研究的主要成果在於對該數列{d2(n)}做了一般化的探索：奇偶性、重新|討論區間極值存在唯一性及數列{d2(n)}在正整數中的分布。 同時，對原數列{d2(n)}推廣，定義出廣義的數列{dp(n)}，觀察數列{dp(n)}折線圖，引用gp(n,1)結構發現廣義的數列{dp(n)}遞迴：dp(n+sxpk)=dp(n)+hp(j,s)。其中，1≦j≦p，1≦s≦p-1 ，(j-1)×pk-1≦n≦jpk-1。 本研究也利用不等式發現hp(j,s)範圍：0≦hp(j,s)≦p(p-1)/2+1 。 最後，對於數列{ }的各種性質都推廣到一般化的結果。在網站「整數數列線上大全」的資料庫中，沒有我定義的廣義數列(截至2010年6月05日為止)，因此，這個作品可說是目前在推廣該競賽題數列方面，最新的研究。

我們知道，平面上任意一個三角形若要找出具有最小周長的內接三角形，條件是此三角形為一銳角三角形。說明如下：設有一△ ABC ，利用光的反射定律─入射角等於反射角，將 △ ABC 的內接 △ DEF 之周長 ED + EF + DF 改為 ED + DF'+ F'E'=EE〞 ，因 ED + EF + DF = EE〞成一線段，故確為最小周長(因在 △ ABC 內作另一內接 △ ，其周長張成一折線)。圖中：α＋β＋ γ = △ DEF 外角和之半二，α＝ -(β＋ γ) ＝∠A ，若∠A≧90°，則∠BDF ＋∠CDE = 2 ∠A ≧ 180°，故只有在銳角三角形中才具有最小周長 △ DEF 。而此時過 F 作AB之垂線因∠EFA =∠BFD ，故平分∠ EFD 而與AC、BC交於 C 即 △ DEF 之旁心，所以CF為 △ ABC 在AB上的高，同理AD、BE亦是。故我們知道最小周長 △ 即為垂足三角形。（以上出自參考資料）然而，為了將在三直線上各取一點連成最小周長三角形的情形推廣到空問中，上述平面的性質無法繼續沿用，所以有必要發展另一套方法來處理這個尋找最小周長三角形的問題。

排列組合的題型有千千萬萬種，其中就屬一筆畫問題為最有趣的了！在學排列組合時，老師曾經提到一筆畫走法數的算法。我們看著這麼多種類的圖形，心中頓時產生了一股強烈的慾望想要去研究它。於是，我們就挑了一些圖形來算看看，有的像〈圖一〉：走法數須討論到各系統間的組合數──來回走法。 接著，我們便想到如果將圖形改成其他的連接方法又會如何呢？ 一開始，我們基於好奇的心態畫畫寫寫的作了一些圖形，沒想到幾個出乎意料的答案竟然引領我們走向更深入的研究。

本研究的規則：以尺規作圖的方式，作一直線L將凸n邊形的周長與面積同時平分。若直線L存在，則我們稱L為完美分割線。我們得到以下成果： 1. 對於具有內心的凸n邊形，其完美分割線必過其內心；不通過內心的直線必不是完美分割線。 2. 利用等周線移動產生的面積變化，我們簡單的證出：凸n邊形必存在完美分割線。 3. 利用研究出的[完美分割線畢氏作圖法]，可作出凸n邊形的所有完美分割線。 4. 對於非平行凸n邊形，當等周線通過頂點，必存在「順坡」與「逆波」移動兩者之一。利用此結果，我們創造出「最多順坡移動建構法」，證出：最多有 個「順坡移動」。進一步證明出：最多存在2n-3條完美分割線。

一年級時，在圖書館借閱一本科學叢書，其中介紹了"皮賽里爾聯節器"。當時感到好奇詫異，不知所以然地感到萬分困惑。而且書只介紹其現象及形狀，並沒有講解原理。現在已經學了些粗淺的幾何學及代數學，又在一次偶然機會中重新看到此書，因此激發了我們揭開它謎底的決心。

從一般人對「撲克牌遊戲」的看法來激發學習這個研習活動的興趣。

令a,b,c，表 △ABC三邊的長，△表△ABC 之面積，若 a , b , c ． △ 皆為整數”則 △ ABC 稱為整數三角形，此 a , b , c 三數稱為Heronic triples · 當( a , b , c )=l 時，稱為 Primitive Heronic triPles ，如 3 , 4 , 5 （ △ ＝ 6 ) , 5 , 5 , 6 （ △ ＝ 12 ）皆是，大家所熟知的畢氏三數賞為 Heronic trlPles 的特例。由畢氏三數所形成之畢氏三角形即是有一角為直角的整數三角形（參考資料 l ,Vol.8 No.3 ( 1975 / 76 ) ）。般近 Mathenatlcal spectrum 發表了幾篇文章．皆是討論 Heronian triangles 最近發表的 John strange， ( Volumn 10,No.l ( 1977 / 78 ))曾提出一個待解決的問題 :「Given a natural numbern determine every Heroulan triangle whose area is n」筆者利用 I . B . M 計算機計算出 729 組整數三角形的數據（參考附表一） · 發覺每一個整數三角形的面積皆為 6 的倍數。

過橋問題是近代討論的一個數學問題，最早出現在1981年的益智遊戲書(參考資料一)，它引起一些數學家的興趣，但他們的研究主要是2人同時過橋的部分，對於3人及多人同時過橋的研究，討論的比較少，故我希望從數學的角度入手，探討一次3人、4人過橋問題提出數學模式和最佳過橋方法。