此研究探討正多面體(柏拉圖立體)再進行截角(truncation)和截半(rectified)的情況下，觀察其所形成的截角截半後的圖形變化，即其中一種阿基米德多面體的生成方式，並利用Geogebra電腦軟體模擬繪製，藉此來協助我們觀察並計算截角截半後的圖形周長及表面積，並分析其前後圖形比例之關係。

本研究中所提到的「真心」即為三角百科中的Kimberling center 𝑋174，Wabash center 為三角百科中的Kimberling center 𝑋364。我們從Wabash center 的作圖法，延伸出真心的概念，並定義了真心三角形。在本研究中，我們對於真心三角形、旁邊三角形、旁心三角形及其內切圓、外接圓進行研究，發現這些三角形有相似關係，其各心間則存在共點、共線、共圓等性質。同時我們也找出了真心的barycentric coordinates，並以此作為基礎，提出真心之幾何作圖法。

本研究探討特定四面體中費馬點之存在條件與其坐標表示式。本研究以邊長為2 之正四面體為例，利用幾何對稱與空間向量運算，證明其費馬點唯一，並求得其座標為[1,√3/3,√6/6]。進一步探討具特定對稱性之四面體，底面為任意三角形ABC，且使ΔABC與ΔABD全等，設 ̅EF為 ̅CD與 ̅AB中點連線，探討費馬點落在線段 ̅EF上之情形。透過空間幾何分析，推得若特定四面體的費馬點落在 ̅EF上，則c1=0.5b1。進而，當費馬點p落在 ̅EF上時，其費馬點P(p1,p2,p3)坐標表示式如下： p1=0.5b1，p2=0.5b1/(b1+√2(c22-c2d2))*(c2+d2)，p3=0.5b1d3/b1+√2(c22-c2d2) 此外，利用費馬點唯一性及平面四邊形費馬點性質，說明此點亦為四邊形IJAB之費馬 點，研究成果將平面幾何中費馬點概念成功推廣至特定四面體，並提出當不滿足此條件時，費馬點坐標的一般化推廣仍有待後續探究。

巴什博弈是一種減法賽局，規則為：玩家輪流從總數（P）中減去數值（M），最後使得P=0。我們針對3種不同的遊戲規則進行研究，發現「M的條件限制會改變關鍵數字和必勝樣態」，其獲勝策略如下： 1.若M=1~K，關鍵數字為K+1。當P=N(K+1)時，後手保持P=N(K+1)樣態，必勝；當P=N(K+1)+X時，先手先拿取X，然後轉換身分為後手，保持P=N(K+1)樣態，必勝。 2.若M=1~𝑃/2，關鍵數字為2、5、11、23、47…。當P=6×2n-2-1時，後手「保持P=6×2n-2-1樣態」必勝。反之，先手應拿取P+1-6×2n-2，然後保持P=6×2X-1樣態。 3.若M為質數，則關鍵數字為4。當P除以4的餘數為0時，後手「保持P=N×4樣態」必勝。當P除以4的餘數不為0時，先手利用「同餘互補」的模式，先拿走5或2或3，然後持續保持P=N×4樣態必勝。

Langford數列為一種特殊的排列，本研究旨在探討改變Langford數列的不同參數，進而探討數列的必要條件以及是否存在結構規律，我透過奇偶性以及位移法兩種方法，得到數列各種情況下的存在條件。研究分為五階段:第一階段不改變數列條件；第二階段改變每數出現次數，以上述兩種方法分析其影響；第三階段改變數列最小數，計算並討論何種情況下存在數列；第四階段為整合以上三階段，使數列同時存在三種參數；第五階段為將數列以特定方式進行簡化，並且尋找其規律。

本研究主要在探討𝑀×𝑀及𝑀×𝑁的矩形中，將中心點一筆畫連接後的最少及最多的轉折次數。在最少轉折次數的部分，我們使用直橫線數量法探討直線與橫線的數量，並找出與轉折次數之間的關聯，最後利用反證法進行證明；在最多轉折次數的部分，我們根據𝑀𝑀與𝑁𝑁奇偶數的不同進行分類討論，一開始先利用外圍擴充法找出圖形畫法，最後利用直橫線數量法完成證明。

本研究源自2023 IMO Shortlist C1，探討在 m×n 棋盤中以2×2子格進行特定硬幣翻轉，目標為全盤朝上。我們首先證明僅當 m或n為3的倍數時操作才可行，並將規則推廣至任意 k×k 子格，得出需滿足3(k−1)整除m或n的條件。進一步研究斜排與階梯形翻轉，發現僅特定形式的m與n可行，對於更一般的k與盤面結構，目前僅能歸納推論，缺乏嚴謹證明。本研究驗證不同棋盤與翻轉規則的可行性，並提供多種構造解，未來將拓展至高維棋盤與最小操作次數等議題。

本研究的概念來自於110學年度學測數學的選填題，我們先固定原題的部分變因，探討單一方向並改變單一旋轉角度對圖形特性的影響，並試著求出角數、路徑長、面積等通式；接著嘗試多增加一個旋轉角度形成不同旋轉角度組合和不同方向的旋轉角度組合對圖形特性的影響；最後還試著改變移動距離，找出兩種移動距離組合在旋轉一圈內形成封閉圖形的特性。我們發現一圈內相同旋轉角度組合依規則分割和填補，會形成面積有固定比例的正多邊形；一圈內不論順、逆時針旋轉角度組合，周長和面積公式皆相同；兩圈以上的順、逆時針旋轉角度組合皆會產生多種類型，需要針對各類型分開考慮。

進行這個研究，是在正比關係直線圖中探究相異斜線之間的三角形面積。首先，透過因數與倍數來建構橫軸與縱軸的關係，以數字排列來模擬延伸的直線圖，依其行進方位獲取斜率。接著在正比關係直線圖中探討不同斜線的座標位置 ，以計算斜線末端的間隔距離，確認三角形底邊長度，最後 以斜率建立公式－計算相異兩直線所劃分的三角形面積。

本研究以圓內接多邊形為主題，探討其幾何結構中的尤拉線特性，重點分析原三角形與頂垂三角形之間的幾何關係，以及原三角形與六邊形尤拉線的關係。