由積性函數特性馬上可證得尤拉公式(B)=B(1-1/91)•(1-1/92)•(1-1/93)…(1-1/9n) 現在，我們想把尤拉公式推廣，若 A 表另一正整數令（ A , B ）表示：不大於 A 且與 B 互質的正整數個數我們想由積性函數的觀點切入，探討下列等式成立的條件 (A1,B)=A(1-1/91)•(1-1/92)……(1-1/9n)

1.依照新頒國民學校課程標準明示，國民小學數學第四冊（第二學年下學期）數學教材單元及細目，關於乘法（佔960 分鐘）的數學2.據專家倡導兒童的學習由遊戲生活進入、容易引起興趣，了解獲得深刻的印象。

自古以來，幾何法求圓周率，由於太執著於把圓或角度做等分，都會面臨開根號與無理數的問題。本文第一階段，改以不對稱切割來避開無理數。先定義有理數r和角度θ的映射函數T，發展出另類分割圓周的簡易方法，讓圓的外切與內接多邊形邊長都呈現為≤1之最簡正有理數，並計算初步之 值。第二階段，則藉由外切與內接多邊形對圓面積的逼近探討，來導出一個大幅提高 值精確度的加權校正公式。第三階段，更是結合前兩階段之理論，進一步推演出計算簡易的 值逼近定理：π=4xΣr(k,t)/3(2+1/1+r2(k,t))與更嚴謹的π值夾擊定理：4xΣ(3r(k,n)/3+r2(k,n))

我們研究的是一個有段歷史的題目：「柏金斯太太的被單」。其定義為：如何將邊長為正整數的正方形切割成「最少個數」（最小階）的小正方形；而且這些小正方形的邊長也是正整數，相同邊長的小正方形可以重複，但小正方形的邊長的最大公因數需為1。我們歸納出，重複利用「簡單二倍法」及「重疊二倍法」，可以每次加兩階或是加三階的方式增加，反覆構作可以切割邊長120以內的正方形，都不超過19階。

在「葛老爹數學推理遊戲叢書」中發現，蜜蜂們下棋的棋盤很特別，棋盤中每個格子的形狀像極了蜂巢的六邊形，我們就稱它為「蜂巢棋盤」。針對葛老爹的遊戲玩法，我們發現只要知道蜂巢棋盤的層數，就可以很快算出正六邊形個數總和；知道城堡數(棋子)，可以很快算出擺法總數。我們又發現其擺法總數與排列組合的計算結果不謀而合。因為我們喜歡下棋，於是就嘗試著發明出一種可以兩人對抗的蜂巢棋遊戲，並從各種棋步的紀錄裡，找出立於不敗之地的秘訣。同學無意間在正六邊形中加上Y 字，使得平面的蜂巢棋盤成了擬似立方體的圖形，這個新發現，激起我們再探討「階梯三角立方體」圖形，最後找到了立方體個數總和可由階差級數求和的方法中得到快速的計算式子。

一、三角形內接最大長方形面積是三角形面積的一半，且長方形的底是其所在三角型底邊長的一半。 二、三角形內接最大正方形 (一)銳角三角形的三個內接正方形中，與三角型較小邊共邊的較大。 (二)直角三角形只能畫出二個內接正方形，且與兩股共邊的較大。 (三)鈍角三角形只有一個內接正方形，既與最大邊共邊的內接正方形。 三、三角形最大內接正方形邊長公式為 四、單位正三角形最大內接正方形的邊長等於單位正方形最大內接正三角形的面積。(這裡單位所指的是各邊長長度為１)。

大概每個人都玩過，至少看過或聽過智慧盤這種遊戲，也許你甚至有過「絞盡腦汁，苦思不得其解」的經驗。這種遊戲是舶來品，據說在十九世紀時，歐洲商店的老闆曾經明令規定，不許店員在上班時玩智慧盤，因為這些店員太沉迷於智慧盤遊戲，而疏忽了他們的工作。由此可見，這種遊戲是很吸引人的。這種遊戲是十五個數字方塊排列在一個方形盤子裹，這些方塊上分別寫 1 至 15 等整數，除了十五個方塊外，還空下一個方格，這個方格是讓我們移動盤中的方塊之用的。所謂智慧盤遊戲，就是先將盤面上的數字任意放置，然後設法移動這些方塊，使得盤面上的數字變成下面這種標準形式：如果智慧盤上的一個排列α，可以經由有限次的移動而變成標準形式，則這個排列 α 有解；否則稱之為無解。我們如何判定盤面上的排列是否有解？如果盤面上的排列有解，有沒有一個永遠行得通的方法來解？

從一個競賽題給的數列{d2(n)}出發，在四十九屆的科展已證明該題。本屆由數列{d2(n)}折線圖形發現該數列的遞迴並引用降階發展出更簡潔的通項表達式。 設n=(ak-1ak-2ak-3…ai…a2a1a0)，d2(1)=1；當n≧2則 d2(n)=1+Σ|aw-aw-1| 本研究的主要成果在於對該數列{d2(n)}做了一般化的探索：奇偶性、重新|討論區間極值存在唯一性及數列{d2(n)}在正整數中的分布。 同時，對原數列{d2(n)}推廣，定義出廣義的數列{dp(n)}，觀察數列{dp(n)}折線圖，引用gp(n,1)結構發現廣義的數列{dp(n)}遞迴：dp(n+sxpk)=dp(n)+hp(j,s)。其中，1≦j≦p，1≦s≦p-1 ，(j-1)×pk-1≦n≦jpk-1。 本研究也利用不等式發現hp(j,s)範圍：0≦hp(j,s)≦p(p-1)/2+1 。 最後，對於數列{ }的各種性質都推廣到一般化的結果。在網站「整數數列線上大全」的資料庫中，沒有我定義的廣義數列(截至2010年6月05日為止)，因此，這個作品可說是目前在推廣該競賽題數列方面，最新的研究。

72 年大學聯考歡學試題，有底下這個題目：設 O＜0＜π/2試求 3/cos+2/sin0之最小值。事後有很多人（包括大學教授）認為這個題目應該用微分來解，但三角 函數的微分在高中階段並未講授，故用微分解這個問題，實崔是超出高中生的能力範圍，因此激起我們對這個問題研究的興趣，希望能想出一個較完美的解法，並能推到一般的結論。

(一)槓桿的原理在一般社會裏，使用的範圍頗廣，因此在國民小學自然科早就採用為重要教材之一、唯因缺乏適當的教具無法使教學效果提高到理想地步，作者鑒及此，乃利用課餘設計這種簡易教具。 (二)自從民國五十七年，課程標準修訂頒佈之後新數學鑽進了教育的領域，世人對於數與數、數與量、量與量之間的相互關係之探討，相當重視，作者想藉此教具以具體的操作，讓兒童充分理解，兩量之間的關係進而獲得正比，反比的概念。(三)數學科一向不受兒童歡迎。一般認為是個枯燥乏味，傷透腦筋的一門學科作者願以漁翁獻曝的態度作此嘗試，如能在數學科教學時間內看到學生的笑容進而使學生喜愛數學即幸甚矣！