數學科

(一)槓桿的原理在一般社會裏，使用的範圍頗廣，因此在國民小學自然科早就採用為重要教材之一、唯因缺乏適當的教具無法使教學效果提高到理想地步，作者鑒及此，乃利用課餘設計這種簡易教具。 (二)自從民國五十七年，課程標準修訂頒佈之後新數學鑽進了教育的領域，世人對於數與數、數與量、量與量之間的相互關係之探討，相當重視，作者想藉此教具以具體的操作，讓兒童充分理解，兩量之間的關係進而獲得正比，反比的概念。(三)數學科一向不受兒童歡迎。一般認為是個枯燥乏味，傷透腦筋的一門學科作者願以漁翁獻曝的態度作此嘗試，如能在數學科教學時間內看到學生的笑容進而使學生喜愛數學即幸甚矣！

數學本身乃是屬於抽象的東西，教兒童時非有實物或圖形來說明小可。尤其是關於「圖形的認識與計算」更是如此。故教師每於教此單元時為收集教具資料或臨時繪圖於黑板上，這樣不但浪費時間也甚為不便。為方便教學及加強學生之印象，利用兒童喜愛各種色彩及玩積木之心理而研究設計此積木，常教具不但美觀大方，要當玩具也共為理想。因市面所售之各式積木其功能除堆積排列成房屋外、車子或動物園外，缺乏圖案之造形和色彩之變化，以益智來說吏缺少數字之比較和認識。而此積木除兼有他種積木之優點外更循此多種用途而研究設計之。

二色移位遊戲問題曾經多次被拿來做研究（24 屆初小全國第三名~有趣的移位遊戲、34 屆高小全國第二名~毛毛蟲變蝴蝶、1996 年我國參加加拿大國際科展~走走跳跳、39屆高中全國第二名~乾坤大挪移、41 屆國中全國第二名~解開難題的奧秘等），本研究首次將二色移位遊戲推展到三色的研究，會選定這樣的主題是看到『葛老爹的推理遊戲2』，書中提到三色移位遊戲的難題所引起，而我們的數學課本中也正學到線對稱以及兩數量的變化關係等單元，我們的研究結果發現移位遊戲的最低步數解答中，對換在進行中移動和跳動具有線對稱關係，輪換的移動和跳動次數分配也具有線對稱關係。而棋子數和移動最少步數之間的關係是極為複雜的。而這個關係的發現是經歷了約九個月的時間慢慢發展的，下表是我們發展的時間流程簡表：

在「葛老爹數學推理遊戲叢書」中發現，蜜蜂們下棋的棋盤很特別，棋盤中每個格子的形狀像極了蜂巢的六邊形，我們就稱它為「蜂巢棋盤」。針對葛老爹的遊戲玩法，我們發現只要知道蜂巢棋盤的層數，就可以很快算出正六邊形個數總和；知道城堡數(棋子)，可以很快算出擺法總數。我們又發現其擺法總數與排列組合的計算結果不謀而合。因為我們喜歡下棋，於是就嘗試著發明出一種可以兩人對抗的蜂巢棋遊戲，並從各種棋步的紀錄裡，找出立於不敗之地的秘訣。同學無意間在正六邊形中加上Y 字，使得平面的蜂巢棋盤成了擬似立方體的圖形，這個新發現，激起我們再探討「階梯三角立方體」圖形，最後找到了立方體個數總和可由階差級數求和的方法中得到快速的計算式子。

從海盜藏寶的情境出發，主要探討旋轉角度和平均點之間的關係。藉由增加旋轉中心個數，改變旋轉角度或旋轉次數等變項，來探討固定點的存在性與平均點的軌跡變化。於研究過程中發現：操控旋轉角度的正負值及倍率，能讓動點與平均點間的移動軌跡有繞圈、橢圓、內(外)次擺線及相似圖形等豐富有趣的現象變化，並成功證明之。於改變旋轉次數的過程中，發現旋轉後的點連成之向量具有不變性，同時藉由n次旋轉可化為一次旋轉的論點，證明出固定點符合數學上不動點的定義。綜合各項研究結果將其推廣應用，提出多種更適用於現代海盜的藏寶秘技。

以任意△三邊為直徑的半圓，依相同圓心角所畫出來的三切線相交所成的△必與原△相似，不論這些半圓同時向外畫或同時向內畫或內外混雜著畫，所作出來的△一定都與原△相似。對任一直角△，若兩股的半圓往外畫，斜邊的半圓向內畫，取圓心角為30°時，所作出來的切線△與原△的邊長比值恆為 ? ，本文掌握它的逆向作圖法，因此對任一直角△，若按此法連續作n 次，即可得2n 倍的相似△，反之可得(? )n 倍的相似△。 外拿破崙△與內拿破崙△ 的面積差恆與原△的面積相等，這是一個著名的拿破崙△性質，本文發現了一個同樣有趣的性質：在同圓心角的條件下，向外與向內切線△的對應邊長和，恆為圓心角是0°時的邊長的兩倍。

大概每個人都玩過，至少看過或聽過智慧盤這種遊戲，也許你甚至有過「絞盡腦汁，苦思不得其解」的經驗。這種遊戲是舶來品，據說在十九世紀時，歐洲商店的老闆曾經明令規定，不許店員在上班時玩智慧盤，因為這些店員太沉迷於智慧盤遊戲，而疏忽了他們的工作。由此可見，這種遊戲是很吸引人的。這種遊戲是十五個數字方塊排列在一個方形盤子裹，這些方塊上分別寫 1 至 15 等整數，除了十五個方塊外，還空下一個方格，這個方格是讓我們移動盤中的方塊之用的。所謂智慧盤遊戲，就是先將盤面上的數字任意放置，然後設法移動這些方塊，使得盤面上的數字變成下面這種標準形式：如果智慧盤上的一個排列α，可以經由有限次的移動而變成標準形式，則這個排列 α 有解；否則稱之為無解。我們如何判定盤面上的排列是否有解？如果盤面上的排列有解，有沒有一個永遠行得通的方法來解？

清華大學數研所林聰源教授在“數學導論”課程中，提出了關於四位數的一個有趣的性質：將任一四位數（數字不完全相同）的四個數字所排成的“最大數”減去“最小數，連續做下去，最後必得6174 ，例如四位數 2692 ，先 9622 一 2269 = 7353，再 7533-3357=4176，再 7641-1467 = 6174，而止於此。這種“現象”的確迷人，經予以探討其現象，幾經挫折，終得其秘。

我們知道，平面上任意一個三角形若要找出具有最小周長的內接三角形，條件是此三角形為一銳角三角形。說明如下：設有一△ ABC ，利用光的反射定律─入射角等於反射角，將 △ ABC 的內接 △ DEF 之周長 ED + EF + DF 改為 ED + DF'+ F'E'=EE〞 ，因 ED + EF + DF = EE〞成一線段，故確為最小周長(因在 △ ABC 內作另一內接 △ ，其周長張成一折線)。圖中：α＋β＋ γ = △ DEF 外角和之半二，α＝ -(β＋ γ) ＝∠A ，若∠A≧90°，則∠BDF ＋∠CDE = 2 ∠A ≧ 180°，故只有在銳角三角形中才具有最小周長 △ DEF 。而此時過 F 作AB之垂線因∠EFA =∠BFD ，故平分∠ EFD 而與AC、BC交於 C 即 △ DEF 之旁心，所以CF為 △ ABC 在AB上的高，同理AD、BE亦是。故我們知道最小周長 △ 即為垂足三角形。（以上出自參考資料）然而，為了將在三直線上各取一點連成最小周長三角形的情形推廣到空問中，上述平面的性質無法繼續沿用，所以有必要發展另一套方法來處理這個尋找最小周長三角形的問題。

高一課本(上)第一章專門討論有關整數的問題，對於小數的部份則沒有詳細的介紹，因為小數不僅在各種數學演算及日常生話中都常出現，而且它又包含了十進位制、加法律、減法律、除法律、乘法律、極限等的概念，含蓋範圍很廣，所以引發了我們研究、探討的興趣。