這是換位子引起的問題。有一次，老師想讓每位同學都有同鄰而坐的機會且要在換最少次數內達成這個目的？這引發了我們的深思。 在最完美的狀態是每一次換位子都使每位同學與上次相鄰而坐的同學不再相鄰，且在最少次數下達成目的。由於面的討論複雜且一直無汰突破，只好先考慮線型排列的換位。問題是這樣的： 設從 1 到 x 個自然數原先排列為 1 , 2 , 3 , 4 ，……， n - 1 , n , n 十 1 ， …… ， x ，今將這 x 個自然數重新排列得 P1 ， P2， …… , Pn-1， Pn， Pn+1， …… ， Px，但任二相鄰數不得連號，（即滿足 Pi ± l ≠ Pi+1 ， l ≦ i ≦ x - l ) ，這樣的換法有多少種？

五年級上學期數學課，我們學習到因數，倍數，質數等觀念，老師為了讓我們有較清楚的觀念，找了一些數學遊戲讓我們玩，其中有一個遊戲「徵稅」難度最高，也最不具規律性，全班都被困住了。這個遊戲一直放在我們心上，從五年級的寒假開始，我們決定投入較大的心思去挑戰它。經過一年多的苦戰，到現在已快是六年級下學期了，我們總算研究出一些結果。

本篇作品主要研究在兩個人或多個人在n場對戰中(例如賽馬)，其中一個人的實力處於劣勢，而處於劣勢的那個人，得到勝利的策略方法數有多少種。 如「田忌賽馬」原文中，田忌和齊王各有三匹馬，我們的目的在於找出一個演算的方法，可以求出當田忌和齊王各有n 匹馬時，田忌的致勝策略數。為了解決問題，我們利用排容原理先處理「超算方法數」及「修正係數」兩部分，最後才得到獲勝策略總數。又主要問題點在「超算方法數」，我們發現關於超算方法數的一種遞迴關係，並由此得到一般式的結論，且透過了數學歸納法證明之。除了解決原先問題外，我們更推廣此問題至其他條件或規則，例如雙方條件一樣、差 等級、限定條件或多方對戰等，並得到一些結果。

我們學習過正方體、長方體與圓柱體的展開圖作法以後，覺得非常有趣。當我們練習到課本第十五頁，求各形體的表面積這一單元時，使我們聯想到:( 一)這些複雜的形體是不是可以做成展開圖？(二) 這些形體表面積的算法除了老師教我們的方法以外有沒有更簡易的算法？於是我們在老師的輔導下開始研討。

在正n邊形的n個頂點各放一面鏡子，並將其中一個鏡面順時針轉動90°/n，將雷射光線沿該點切線方向射向此鏡面，使光線在正n邊形各頂點的鏡面間反射，本文主要在探討光線在各鏡面間反射路徑之規律性與其應用，研究分為兩大部分：一、將雷射光線射向一順時針調整角度θ=90°/n的鏡面且其餘鏡面皆不轉動之情形下，探討雷射光線的反射路徑之規律性及尋找正多邊形邊數與反射數間的關聯性。二、在正n邊形的n個鏡面中，每個鏡面可依順時針或逆時針旋轉一個角度θ=90°/n或是不轉動。此部分我們只針對n為偶數的情況去探討，我們採用數學上函數的對應方式取代了物理上反射原理的路徑操作，由數學的模式去探討鏡面調整的規則，擬訂出適當的策略調整鏡面的轉動，並找出最大反射數。

我們平常就喜歡在一起玩數學遊戲。有一天，老師給了我們三個用鮮奶空盒做成的盒子，分別可裝 10 、 7 、 3 份水，盒子上沒有任何刻度，叫我們將大盒裝滿水，只能利用這三個盒子，把大盒的 10 份水平均分成兩半，(不可以用斜對角倒，也不可以用大約佔算的)。我們幾個人居然試了半小時才倒成功，不過卻因此引發了我們的興趣，有沒有比較好的方法可以較快倒成功？如果是其他的體積組合，如（ 10 , 6 . 4 ) , ( 12 , 8 , 3 ）等，又如何呢？

本篇研究主題為 ”若有x個數分別為A2、(A+D)2、(A+2D)2…、[A+(x-1)D]2，x∈□，A,D∈□ ，今將這些數分為 y 組，y∈□，使每組皆有x/y個數，且每組數之和都相等，試問應該如何分組？ ” 的問題，我們以ㄧ個有系統的方式推導出一種分組的方法。除此之外，我們還將此問題推廣至” 若有x個數分別為AP、(A+D)P、(A+2D)P…、[A+(x-1)D]P，x, P∈□，A,D∈□ ，今將這些數分為 y 組，y∈□，使每組皆有x/y個數，且每組數之和都相等，試問應該如何分組？ ”的問題，很幸運地，我們也成功的歸納出一套有系統的分組方法來解決這類問題。

方程式根的解釋用在科學、工程及經濟學上是非常廣泛的，例如在解微分方程，解動態系統輸出的方程式或成本利潤的分析等，都要利用到方程式的根，這些都是數學最基本的利用。目前中學的數學教學，對於方程式根的解都是就已知的方程式，利用數學方伕或公式來解，但實際上方程式的係數並不是已知，必須由讀者按問題的需要自己去找尋，當方程式得到以後，才可用基本的方法，或由計算機來解其根。這夾所要考慮到的是，當讀者尋找方程式，因所利用測量儀器精確與否，便使方程式和實際上方程式的係數有所差別；例如測量儀器是一根尺，而所要量的長度是方程式中的一個係數，若尺的刻度不精密，誤差就大，尺的刻度精密誤差就小，但總是會有誤差存在，道是一個最簡單的例子，也就是中學的數學及物理教科書上為什麼會有「有效數字」的介紹。因此，在實際的情況下方程式的係數是不確定的；換言之，方程式中的係數只是知道在一個範圍內，而不知其真正之值。