數學科

身邊常見美麗的串珠作品，但卻未見有關串珠的數學研究。我們進行二年時間來探討串珠。結論如下：研究一：相同大小的珠珠，以「點→線→面」的方式操作，若以某顆珠為中心點，周圍角度和是360°的有：四邊形＋四邊形、六邊形＋三角形，這二種串法可以形成平面。研究二：五邊形組合的「二十面十二面體」(稱為五邊形球體)只要增加四邊形或六邊形就可以擴充。而且使用六邊形較節省珠數，這也是串珠中最常見的作法。研究三：增加六邊形擴大球體時，五邊形維持12 面，六邊形以5 的倍數增加。而且串珠作品只要進行名詞轉換，也符合尤拉公式：珠珠數(稜邊數) ＋２ ＝ 三角形連接處(頂點數) ＋ 面數。研究四：沙發或盒子轉角處的串法，以畢氏定理檢驗證實為直角。

自從孩提時代開始，我們就開始學數學，而所需要學習的內容，也從簡單之加減乘除到現在的方程式、極限、數論等。但在學習過程中，我們發覺到，學習數學越學越抽象，越學越不知道它到底有什麼用。長久的累積下來，使我們內心裡渴望著，期望在學習數學當中，能知道它的實際用途，而不是一味的在解老師們所交待下來的一些一知半解的問題而已”有鑑於此，我們就結合了兩三個好友，專門在日常生活當中，所容易接觸到的一些問題，想辦法用數學觀念來加以解釋，甚至從中尋找出規則或新的現象來。最後我們發覺像我們常常碰到的如「兩人繞圓周賽跑，分針與時針運轉、分針與時針追趕、彈簧之振動.......等，其實都可以用三角函數的觀念來家以解釋。因為這是一個集思廣益的工作，因此我們無法像一班人寫書一樣，作一個很有系統的理論推演，我們只能約略的提出具有代表性的9個問題，然後以這九個問題為中心，勾畫出我們今天所要講的主題

多面體的展開圖是將三次元的多面體，沿著稜線切開張展在二次元的平面圖形。展開圖形成「網狀多角形」，此多角形外圍的邊，就是回覆製作立體模型時的「銜接邊 」。

(一)由兩個問題談起：問題一：有一自然數，被 3 除之餘 2 ，被 5 除之餘 3 ，被 7 除之餘 2 , 則滿足條件之嬝小自然數為何？問題二：有一多項函數其次數至多為 3 ，而其圖形含有下列四點， (-1 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 ，-2 ) , ( 2 , 2 ) ，則此多項函數為何？

我們平常就喜歡在一起玩數學遊戲。有一天，老師給了我們三個用鮮奶空盒做成的盒子，分別可裝 10 、 7 、 3 份水，盒子上沒有任何刻度，叫我們將大盒裝滿水，只能利用這三個盒子，把大盒的 10 份水平均分成兩半，(不可以用斜對角倒，也不可以用大約佔算的)。我們幾個人居然試了半小時才倒成功，不過卻因此引發了我們的興趣，有沒有比較好的方法可以較快倒成功？如果是其他的體積組合，如（ 10 , 6 . 4 ) , ( 12 , 8 , 3 ）等，又如何呢？

五年級上學期數學課，我們學習到因數，倍數，質數等觀念，老師為了讓我們有較清楚的觀念，找了一些數學遊戲讓我們玩，其中有一個遊戲「徵稅」難度最高，也最不具規律性，全班都被困住了。這個遊戲一直放在我們心上，從五年級的寒假開始，我們決定投入較大的心思去挑戰它。經過一年多的苦戰，到現在已快是六年級下學期了，我們總算研究出一些結果。

我們學習過正方體、長方體與圓柱體的展開圖作法以後，覺得非常有趣。當我們練習到課本第十五頁，求各形體的表面積這一單元時，使我們聯想到:( 一)這些複雜的形體是不是可以做成展開圖？(二) 這些形體表面積的算法除了老師教我們的方法以外有沒有更簡易的算法？於是我們在老師的輔導下開始研討。

本篇研究主題為 ”若有x個數分別為A2、(A+D)2、(A+2D)2…、[A+(x-1)D]2，x∈□，A,D∈□ ，今將這些數分為 y 組，y∈□，使每組皆有x/y個數，且每組數之和都相等，試問應該如何分組？ ” 的問題，我們以ㄧ個有系統的方式推導出一種分組的方法。除此之外，我們還將此問題推廣至” 若有x個數分別為AP、(A+D)P、(A+2D)P…、[A+(x-1)D]P，x, P∈□，A,D∈□ ，今將這些數分為 y 組，y∈□，使每組皆有x/y個數，且每組數之和都相等，試問應該如何分組？ ”的問題，很幸運地，我們也成功的歸納出一套有系統的分組方法來解決這類問題。

此研究著重於機器瓢蟲在不同的操控變因下所走出之路徑是否存在著某些性質。對於轉向次數k→∞且轉向角θ為任意角時，我們計算各收斂點P於坐標平面上恰形成圓C：(x- 1/(1-r2)2+y2=(r/(1-r2))2。將瓢蟲的轉向點P1、P2連線，圓心C與收斂點P連線，則P1P2與CP之交點S的軌跡形成長軸長為圓C半徑(r/(1-r2))的橢圓，且此橢圓的焦點為P1(1, 0)與C(1/(1-r2), 0) 。各轉向點Pn(n∈□)位於一個方程式為R=mrθ-π/α，m=OP=√1/(1-2rcosα+r2)定角為cot-1(㏑r/α)之等角螺線上；同時繪出轉向次數k在不同值時，瓢蟲行進終點之軌跡，以驗證當k愈來愈大時，各終點形成的軌跡會趨近於一個圓。當k=2時，圖形為蚶線並證明其經平移後之極坐標方程式為 R=r+2r2cosθ。最後我們展示行進公比r→1- ，r=1，r→1+時所呈現的終點軌跡，並對此軌跡所呈現出的意象與自然界連結，而其實質關聯性則有待未來研究。