數學科

(一)由兩個問題談起：問題一：有一自然數，被 3 除之餘 2 ，被 5 除之餘 3 ，被 7 除之餘 2 , 則滿足條件之嬝小自然數為何？問題二：有一多項函數其次數至多為 3 ，而其圖形含有下列四點， (-1 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 ，-2 ) , ( 2 , 2 ) ，則此多項函數為何？

這是換位子引起的問題。有一次，老師想讓每位同學都有同鄰而坐的機會且要在換最少次數內達成這個目的？這引發了我們的深思。 在最完美的狀態是每一次換位子都使每位同學與上次相鄰而坐的同學不再相鄰，且在最少次數下達成目的。由於面的討論複雜且一直無汰突破，只好先考慮線型排列的換位。問題是這樣的： 設從 1 到 x 個自然數原先排列為 1 , 2 , 3 , 4 ，……， n - 1 , n , n 十 1 ， …… ， x ，今將這 x 個自然數重新排列得 P1 ， P2， …… , Pn-1， Pn， Pn+1， …… ， Px，但任二相鄰數不得連號，（即滿足 Pi ± l ≠ Pi+1 ， l ≦ i ≦ x - l ) ，這樣的換法有多少種？

先從正方格板著手，再延伸至長方格板，探討如何從其中找出繁複的「斜」正方形的總數。在尋找中，我們利用統計表的規則性變化，歸納發現存在一個規律性，進而找到一個算出「斜」正方形總數的公式。在老師的引導之下，我們學會了平方和，然後將公式簡化，終於找到了一個最簡的公式1/12（2N-M）×（M-1）×M×（M＋1）。我們也可以從長方格板邊長的「差」快速算出長方格板或正方格中（N－M＝0）的「斜」正方形總數。

我們學習過正方體、長方體與圓柱體的展開圖作法以後，覺得非常有趣。當我們練習到課本第十五頁，求各形體的表面積這一單元時，使我們聯想到:( 一)這些複雜的形體是不是可以做成展開圖？(二) 這些形體表面積的算法除了老師教我們的方法以外有沒有更簡易的算法？於是我們在老師的輔導下開始研討。

身邊常見美麗的串珠作品，但卻未見有關串珠的數學研究。我們進行二年時間來探討串珠。結論如下：研究一：相同大小的珠珠，以「點→線→面」的方式操作，若以某顆珠為中心點，周圍角度和是360°的有：四邊形＋四邊形、六邊形＋三角形，這二種串法可以形成平面。研究二：五邊形組合的「二十面十二面體」(稱為五邊形球體)只要增加四邊形或六邊形就可以擴充。而且使用六邊形較節省珠數，這也是串珠中最常見的作法。研究三：增加六邊形擴大球體時，五邊形維持12 面，六邊形以5 的倍數增加。而且串珠作品只要進行名詞轉換，也符合尤拉公式：珠珠數(稜邊數) ＋２ ＝ 三角形連接處(頂點數) ＋ 面數。研究四：沙發或盒子轉角處的串法，以畢氏定理檢驗證實為直角。

多面體的展開圖是將三次元的多面體，沿著稜線切開張展在二次元的平面圖形。展開圖形成「網狀多角形」，此多角形外圍的邊，就是回覆製作立體模型時的「銜接邊 」。

本篇研究主題為 ”若有x個數分別為A2、(A+D)2、(A+2D)2…、[A+(x-1)D]2，x∈□，A,D∈□ ，今將這些數分為 y 組，y∈□，使每組皆有x/y個數，且每組數之和都相等，試問應該如何分組？ ” 的問題，我們以ㄧ個有系統的方式推導出一種分組的方法。除此之外，我們還將此問題推廣至” 若有x個數分別為AP、(A+D)P、(A+2D)P…、[A+(x-1)D]P，x, P∈□，A,D∈□ ，今將這些數分為 y 組，y∈□，使每組皆有x/y個數，且每組數之和都相等，試問應該如何分組？ ”的問題，很幸運地，我們也成功的歸納出一套有系統的分組方法來解決這類問題。

此研究著重於機器瓢蟲在不同的操控變因下所走出之路徑是否存在著某些性質。對於轉向次數k→∞且轉向角θ為任意角時，我們計算各收斂點P於坐標平面上恰形成圓C：(x- 1/(1-r2)2+y2=(r/(1-r2))2。將瓢蟲的轉向點P1、P2連線，圓心C與收斂點P連線，則P1P2與CP之交點S的軌跡形成長軸長為圓C半徑(r/(1-r2))的橢圓，且此橢圓的焦點為P1(1, 0)與C(1/(1-r2), 0) 。各轉向點Pn(n∈□)位於一個方程式為R=mrθ-π/α，m=OP=√1/(1-2rcosα+r2)定角為cot-1(㏑r/α)之等角螺線上；同時繪出轉向次數k在不同值時，瓢蟲行進終點之軌跡，以驗證當k愈來愈大時，各終點形成的軌跡會趨近於一個圓。當k=2時，圖形為蚶線並證明其經平移後之極坐標方程式為 R=r+2r2cosθ。最後我們展示行進公比r→1- ，r=1，r→1+時所呈現的終點軌跡，並對此軌跡所呈現出的意象與自然界連結，而其實質關聯性則有待未來研究。

http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Four.Dogs/four.dogs.html數學網站有以下此問題:「有四隻狗分別位於正方形的頂點上，在同一時間開始以同一速率依逆時針方向追向下一隻狗，求每隻狗所留下的軌跡形狀及此軌跡的長度。」當我認真尋思此問題時，發現這是個非常有趣複雜的數學謎題，可視不同的給定條件而變化多端，於是開始了這趟有趣的數學之旅。

常我們學得排列組合，在課本上常看到許多類似的問題，算多少個點，多少條直線或多少個三角形的問題，諸如在平面上兩點可決定一直線，三點最多可決定三直線，四點最多可決定六條直線……n 個點最多可決定nCn 條直線，這些有關的問題在課本或參考書上，可以說是俯拾皆是，在某一本有關組合排列的書中論及兩人畫線的遊戲，題目的意思是說：在平面上有六個點，任三點皆不共線，以兩色連結各點，先畫出同色三角形者為輸大家覺得好玩，從多次的嘗試中，我們歸納出似乎後畫的人較為有利，但又說不出什麼道理來，實在是知其然而不知其所以然，所以我們聚集幾個同學利用課餘的時間，從反覆不斷的試驗中，尋出其中存在的道理。