數學科

世界上最美的比例－黃金比例為1.6180988…，像是希臘雅典的古廟、美術、雕塑、音樂……等等，生活上有許多實際的例子都應用了黃金比例，鸚鵡螺的殼形也是自然界黃金比例的實例之一。經由日常中實際觀察，發現每個蝸牛殼形大多都是螺旋狀－與鸚鵡螺形狀大致相符。然而日常生活中常見的蝸牛殼形是否就存在著黃金比例呢？經過運用畢氏定理、尺規作圖以及特奧多魯斯螺旋描繪出蝸牛殼的形狀、再用電腦製圖做更精細的確認之後，說明了蝸牛殼形中藏著黃金比例，證明「自然就是美」。

張鎮華教授在文章[4]中介紹威氏遊戲(Wythott’s Game)：文章中提到安全殘局所成的集合Sw為 {(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13),(9,15),(11,18),(12,20),(14,23),(16,26),…}。將這個集合中元素第一個座標的數所成的集合命名為A，而將第二個座標的數所成的集合命名為B，設其為A={a1, a2, a3,…}, B={b1, b2, b3, …}， 可以發現集合A和B滿足性質(1) A∪B=N ; 性質(2) A∩B=ψ；性質(3)數列是等差數列 ( bk- ak, k=1, 2, 3,…)。在這個研究計劃中，可以分成數學與遊戲兩部份：(一)數學部份：我們從不同的角度來介紹下列四個集合，並證明它們都相等。1.令{αs |集合S(αs )T(αs )= N?S(α)={[k(αs + s)] | k =1,2,3,…}滿足性質(1), (2), (3)}，其中S(αs)={[kαs ] | k =1,2,3,…},T(αs ) = N?S(α)={[k(αs + s)] | k =1,2,3,…}。2.{αs | ([kαs ] ?[(k ?1)αs ] = 2 k=1+ (s ?1)n + [nα]), s=1,2,3,…}。3.{αs | 1/αs +1/(αs + s) = 1, s = 1,2,3,...}。4.{(2- s+√S2+ 4) / 2 | s = 1,2,3,...}。(二)遊戲部份：研究變型(第二型)威氏遊戲和推廣的三排威氏遊戲，利用我們學會的方法來找及證明這兩個遊戲的所有有利位置。下列三個集合都相等，同時它們都和上面的集合有密切的關係5.{X | X ?1/ X = [X ]}。6.{Xs | Xs- 1/Xs= s, s= 1,2,3,...}。7.{(s+√s2+ 4) / 2 | s = 1,2,3,...}。

本作品對於2016年丘成桐中瘸數學獎作品（蛋破魂飛一個Google的雞蛋問題），給出完整解答。該問題尋找「最佳的最糟情況策略」，也就是將最大值最小化（min-max）的最佳策略。我們從特例出發：每d層樓檢測一次著手，證明出兩個定理（定理(壹)、(貳)）來解答在這種特殊情況下「最佳的最糟情況策略」的完整公式解。再將這種固定d層樓檢測一次的策略放寬，求得一個巧解Google原題的方法。我們的解法具一般性，定理(參)解答任意總樓層的「最佳的最糟情況策略」(原題限制100層樓)，而且刻畫「所有」的「最佳的最糟情況策略」，而不是只得到源解答所提供的其中一組解。本作品主要工具是高斯符號、算幾不等式、除法原理，佐以縝密分析手法，完全解答該問題。

有一天在書上看到了一個圖形（如圖一）書上提出了一個問題，究竟這個圖形共有多少個正方形（大小不同）？於是拿出筆來仔細的研究一番，發覺此圓形中每邊一格大的正方形有（如圖二）4 ×4=16 們；每邊兩格大的正方形（如圖三）有 3×3=9 個；每邊三格大的正方形（如圖四）有 2×2=4 個；每邊四格大的正方形（如圓一）有 l×l=l 個故此圖形中共有正方形4x4+3x3+2x2+1x1=4 2+3 2+2 2+1 2=30個此恰合1 2+2 2+3 2+4 2+......+n 2之形式，經請教老師的結果得知1 2+ 2 2+3 2+....+n 2 =1/6n(n+1) (2n+l)，因此若欲解決有如上式形式的問題最簡捷的方法是1.算看看每邊有幾格小正方格 2.若每邊有 2 個，則 n=2 ；每邊有 5 個 n=5...再將n個代入1/6n(n+1)(2n+1)很快即能求得答案”解決了上述問題腦中突然浮現了三個問題：(一)假如原圖是個長方形則究竟（如圖五、圖六）1/6n(n+1)(2n+1)是否管用？若不能用究竟又要如何才能很快的求得答案。；(二)如在每邊 n 個小格的正方形中閻挖掘小正方形(如圖七、八) 則在此圖中，究竟合有多少個實心正方形？（正方形面積完整）(三)如在每邊 n 們小格的正方形中問挖掘小正方形（如圖七、圖八)則若單以所劃正方形（空心）為準，究竟又有多少個呢？ 為解決心中疑竇遂邋了陳瑞靜來共同研究，皇天不負苦心人”終於解決了這三個問題，以下就是我們兩人的研究過程與結果”

科展的指導老師在高中發揮了極為重要的角色，他指導學生閱讀前幾屆的重要作品，提出是當的新問題，領導研究與討論，給予類似專家的常識性建議，有些甚至成為學生的共同研究者，我們看到優秀的高中科展作品中，有許多作品背後都有一個優秀的數學老師，以本屆為例如第一名第，第二名。 指導老師在小學更是作品之母。但是小學指導老師的定位，至今仍然非常模糊。在高中由於作品水準很高，教師不易越殂代庖，但是在國小，國中指導老師很容易不由自主的陷入教的陷阱，以至於許多人認為國小指導老師就是把材料成功地教給學生。其實這是極為錯誤的看法。例如初小組肥皂泡膜角度與經濟網絡的作品，我們注意四一Ｏ四到如果教師讓學生先實測各種泡膜的角度，在得出角度都是120度的經驗歸納結果。相信兒童對於自人界的現象的數學性會有更大的驚奇，如今教師先告訴學生120度的事實，再去檢查，這種「驚奇」的驚人浪費，令我們感到非常可惜。事實上，現在已經有少數小學老師已經覺察到，如果指導老師可以更早成立研究群，更有耐心，更願意傾聽兒童在做什麼，只要找出適當的問題，兒童一樣可以有探索研究的活動。只是這種活動還需要數學教育的學者做更進一步的研究已歸納其研究活動的特質，可?科展評審的參考。當然初小和高小的差異很大。至於適當的問題雖然難找，但也不是沒有。例如初小四一Ｏ一從數字方塊到數字八卦以及高小正多邊形分割成三角形的分割總數及類型都指出值得效法的新趨勢。 國中生正處於進入文字符號運作的尷尬期，加上國中各種測試卷的反覆練習繁多，剝奪兒童從事研究的時間，一向是科展最弱的一環。這也是本組第二名從缺的原因，其實國中組無強將，反而是指導老師可以大加發揮的地方。事實上，國中生透過科展活動也可以順利甄試昇學，由於名額較少限制，更應多鼓勵學生參與。 本屆和上屆來台的美國ISFF學生作品，都和代數數論有密切關係，事實上，高中生的極限觀念的發展，比代數抽象思考的方展慢。基於此點，建議高中指導老師可以給予學生初等數論以及初等待數數論的標準教科書研讀，增強其運作的層次，代數數論的應用很多，而且也很好，如本屆的問題是說如果「n」事一個個邊皆為有禮數的直角三角形的面積則有此解可以生出無線多個有理直角三角型面積都是n。 科展研究問題的開發一向是科展師生最頭痛的問題。有一本英國空中大學教授MASON所著的「大家來數學地想」可以大大的拓展研究的想像力，數學傳播季刊，Mathematical magazine,Mathematical monthly,Mathematical Gazette,Fibonacci Quarterly,國際或亞代奧林匹克試題,Putnam試題都是傳統方法已外找材料的地方國小可從國中高中取材,但切忌獎什麼微積分代數等名堂。 另外科展老師也必須善於累績資源，以及累積自己的經驗與聲望，以吸引校內的優秀學生參與科展，本屆初小組四一Ｏ依從數字方塊到數字八卦和高中組四四一四方塊數論就是源自同一問題，但兩者的方展缺是大異其趣。四一Ｏ一大做奇偶類型經運作後演化的樹型圖，但四四一四在初步地用符號說明演化後，既一舉跳過此一過程，進入決定性的証明。其中的對比有如GORDON等數學家在不變式的工作和Hilbert一舉用一個存在性定理暫時地結束此一時期的歷史事件。另外科展老師也必須善於累積資源，以及累積自己的經驗與聲望，以吸引校內的優秀學生參與科展。

(一)由兩個問題談起：問題一：有一自然數，被 3 除之餘 2 ，被 5 除之餘 3 ，被 7 除之餘 2 , 則滿足條件之嬝小自然數為何？問題二：有一多項函數其次數至多為 3 ，而其圖形含有下列四點， (-1 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 ，-2 ) , ( 2 , 2 ) ，則此多項函數為何？

http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Four.Dogs/four.dogs.html數學網站有以下此問題:「有四隻狗分別位於正方形的頂點上，在同一時間開始以同一速率依逆時針方向追向下一隻狗，求每隻狗所留下的軌跡形狀及此軌跡的長度。」當我認真尋思此問題時，發現這是個非常有趣複雜的數學謎題，可視不同的給定條件而變化多端，於是開始了這趟有趣的數學之旅。

在去年的科學園遊會上，有同學拿回乙份數學方面的問題，題目為「用 1 至 9 的數字，填入下圖的方格中，使田字的4個方格數字，加起來的和等於( 1 ) 16 ( 2 ) 20 ( 3 ) 24 。」 當試題落到我們學校去年科展數學研究小組的手上時，學兄學姊都異口同聲說：「啊！哈！只不過又一次“線 ─ 交點法”的應用而已。」因此，引起我們研究的興趣。由於他們的研究正如火如荼，就決定派一位學姊抽空指導我們，向這擂台挑戰。經驗豐富的學姊保證，一定會一樣讓我們找到所有的答案，並知道「為什麼 ? 」，而非僅有一種嘗試成功的短暫喜悅而已。總而言之，也是一趟令人著迷的數學之旅。

常我們學得排列組合，在課本上常看到許多類似的問題，算多少個點，多少條直線或多少個三角形的問題，諸如在平面上兩點可決定一直線，三點最多可決定三直線，四點最多可決定六條直線……n 個點最多可決定nCn 條直線，這些有關的問題在課本或參考書上，可以說是俯拾皆是，在某一本有關組合排列的書中論及兩人畫線的遊戲，題目的意思是說：在平面上有六個點，任三點皆不共線，以兩色連結各點，先畫出同色三角形者為輸大家覺得好玩，從多次的嘗試中，我們歸納出似乎後畫的人較為有利，但又說不出什麼道理來，實在是知其然而不知其所以然，所以我們聚集幾個同學利用課餘的時間，從反覆不斷的試驗中，尋出其中存在的道理。

身邊常見美麗的串珠作品，但卻未見有關串珠的數學研究。我們進行二年時間來探討串珠。結論如下：研究一：相同大小的珠珠，以「點→線→面」的方式操作，若以某顆珠為中心點，周圍角度和是360°的有：四邊形＋四邊形、六邊形＋三角形，這二種串法可以形成平面。研究二：五邊形組合的「二十面十二面體」(稱為五邊形球體)只要增加四邊形或六邊形就可以擴充。而且使用六邊形較節省珠數，這也是串珠中最常見的作法。研究三：增加六邊形擴大球體時，五邊形維持12 面，六邊形以5 的倍數增加。而且串珠作品只要進行名詞轉換，也符合尤拉公式：珠珠數(稜邊數) ＋２ ＝ 三角形連接處(頂點數) ＋ 面數。研究四：沙發或盒子轉角處的串法，以畢氏定理檢驗證實為直角。