數學科

這是換位子引起的問題。有一次，老師想讓每位同學都有同鄰而坐的機會且要在換最少次數內達成這個目的？這引發了我們的深思。 在最完美的狀態是每一次換位子都使每位同學與上次相鄰而坐的同學不再相鄰，且在最少次數下達成目的。由於面的討論複雜且一直無汰突破，只好先考慮線型排列的換位。問題是這樣的： 設從 1 到 x 個自然數原先排列為 1 , 2 , 3 , 4 ，……， n - 1 , n , n 十 1 ， …… ， x ，今將這 x 個自然數重新排列得 P1 ， P2， …… , Pn-1， Pn， Pn+1， …… ， Px，但任二相鄰數不得連號，（即滿足 Pi ± l ≠ Pi+1 ， l ≦ i ≦ x - l ) ，這樣的換法有多少種？

在去年的科學園遊會上，有同學拿回乙份數學方面的問題，題目為「用 1 至 9 的數字，填入下圖的方格中，使田字的4個方格數字，加起來的和等於( 1 ) 16 ( 2 ) 20 ( 3 ) 24 。」 當試題落到我們學校去年科展數學研究小組的手上時，學兄學姊都異口同聲說：「啊！哈！只不過又一次“線 ─ 交點法”的應用而已。」因此，引起我們研究的興趣。由於他們的研究正如火如荼，就決定派一位學姊抽空指導我們，向這擂台挑戰。經驗豐富的學姊保證，一定會一樣讓我們找到所有的答案，並知道「為什麼 ? 」，而非僅有一種嘗試成功的短暫喜悅而已。總而言之，也是一趟令人著迷的數學之旅。

二階遞迴數列與一般遞迴數列最大的不同之處在於一般遞迴數列的足碼是n的函數；而二階遞迴數列卻是n與An的函數，這代表在求出第n項不只需要參照前兩項的值，還必須參照過去未知項的值，而這個特殊的性質會造成有些二階遞迴數列因為無法參照而無法成立於是，我刻意不找出足碼的值是多少，而重點在於前後兩項足碼的〝差異〞，而因為在數列中有特殊涵義，因此特稱〝子元素〞。〝出現次數〞也是很重要的研究工具，因為每一項都必須參照過去〝未知〞項的值，這就代表了代表前面的值會影響後面的值。研究過程如下： 1. 找出子元素的性質 2. 利用子元素的性質找出出現次數的規律以及每個區間的影響範圍 3. 利用出現次數的規律找出一般項

張鎮華教授在文章[4]中介紹威氏遊戲(Wythott’s Game)：文章中提到安全殘局所成的集合Sw為 {(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13),(9,15),(11,18),(12,20),(14,23),(16,26),…}。將這個集合中元素第一個座標的數所成的集合命名為A，而將第二個座標的數所成的集合命名為B，設其為A={a1, a2, a3,…}, B={b1, b2, b3, …}， 可以發現集合A和B滿足性質(1) A∪B=N ; 性質(2) A∩B=ψ；性質(3)數列是等差數列 ( bk- ak, k=1, 2, 3,…)。在這個研究計劃中，可以分成數學與遊戲兩部份：(一)數學部份：我們從不同的角度來介紹下列四個集合，並證明它們都相等。1.令{αs |集合S(αs )T(αs )= N?S(α)={[k(αs + s)] | k =1,2,3,…}滿足性質(1), (2), (3)}，其中S(αs)={[kαs ] | k =1,2,3,…},T(αs ) = N?S(α)={[k(αs + s)] | k =1,2,3,…}。2.{αs | ([kαs ] ?[(k ?1)αs ] = 2 k=1+ (s ?1)n + [nα]), s=1,2,3,…}。3.{αs | 1/αs +1/(αs + s) = 1, s = 1,2,3,...}。4.{(2- s+√S2+ 4) / 2 | s = 1,2,3,...}。(二)遊戲部份：研究變型(第二型)威氏遊戲和推廣的三排威氏遊戲，利用我們學會的方法來找及證明這兩個遊戲的所有有利位置。下列三個集合都相等，同時它們都和上面的集合有密切的關係5.{X | X ?1/ X = [X ]}。6.{Xs | Xs- 1/Xs= s, s= 1,2,3,...}。7.{(s+√s2+ 4) / 2 | s = 1,2,3,...}。

有一天在書上看到了一個圖形（如圖一）書上提出了一個問題，究竟這個圖形共有多少個正方形（大小不同）？於是拿出筆來仔細的研究一番，發覺此圓形中每邊一格大的正方形有（如圖二）4 ×4=16 們；每邊兩格大的正方形（如圖三）有 3×3=9 個；每邊三格大的正方形（如圖四）有 2×2=4 個；每邊四格大的正方形（如圓一）有 l×l=l 個故此圖形中共有正方形4x4+3x3+2x2+1x1=4 2+3 2+2 2+1 2=30個此恰合1 2+2 2+3 2+4 2+......+n 2之形式，經請教老師的結果得知1 2+ 2 2+3 2+....+n 2 =1/6n(n+1) (2n+l)，因此若欲解決有如上式形式的問題最簡捷的方法是1.算看看每邊有幾格小正方格 2.若每邊有 2 個，則 n=2 ；每邊有 5 個 n=5...再將n個代入1/6n(n+1)(2n+1)很快即能求得答案”解決了上述問題腦中突然浮現了三個問題：(一)假如原圖是個長方形則究竟（如圖五、圖六）1/6n(n+1)(2n+1)是否管用？若不能用究竟又要如何才能很快的求得答案。；(二)如在每邊 n 個小格的正方形中閻挖掘小正方形(如圖七、八) 則在此圖中，究竟合有多少個實心正方形？（正方形面積完整）(三)如在每邊 n 們小格的正方形中問挖掘小正方形（如圖七、圖八)則若單以所劃正方形（空心）為準，究竟又有多少個呢？ 為解決心中疑竇遂邋了陳瑞靜來共同研究，皇天不負苦心人”終於解決了這三個問題，以下就是我們兩人的研究過程與結果”

http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Four.Dogs/four.dogs.html數學網站有以下此問題:「有四隻狗分別位於正方形的頂點上，在同一時間開始以同一速率依逆時針方向追向下一隻狗，求每隻狗所留下的軌跡形狀及此軌跡的長度。」當我認真尋思此問題時，發現這是個非常有趣複雜的數學謎題，可視不同的給定條件而變化多端，於是開始了這趟有趣的數學之旅。

本作品對於2016年丘成桐中瘸數學獎作品（蛋破魂飛一個Google的雞蛋問題），給出完整解答。該問題尋找「最佳的最糟情況策略」，也就是將最大值最小化（min-max）的最佳策略。我們從特例出發：每d層樓檢測一次著手，證明出兩個定理（定理(壹)、(貳)）來解答在這種特殊情況下「最佳的最糟情況策略」的完整公式解。再將這種固定d層樓檢測一次的策略放寬，求得一個巧解Google原題的方法。我們的解法具一般性，定理(參)解答任意總樓層的「最佳的最糟情況策略」(原題限制100層樓)，而且刻畫「所有」的「最佳的最糟情況策略」，而不是只得到源解答所提供的其中一組解。本作品主要工具是高斯符號、算幾不等式、除法原理，佐以縝密分析手法，完全解答該問題。

「在圓周上點五個點，點和點彼此連線後，共可劃出幾條線？」六上的數學習作中，有這麼一題。當我連完後，發現圖中有星星。於是，我又在圓周上點六個點、七個點，點與點彼此連線後，發現圖中也有星星。在老師的鼓勵下，我們進行了這個研究。

常我們學得排列組合，在課本上常看到許多類似的問題，算多少個點，多少條直線或多少個三角形的問題，諸如在平面上兩點可決定一直線，三點最多可決定三直線，四點最多可決定六條直線……n 個點最多可決定nCn 條直線，這些有關的問題在課本或參考書上，可以說是俯拾皆是，在某一本有關組合排列的書中論及兩人畫線的遊戲，題目的意思是說：在平面上有六個點，任三點皆不共線，以兩色連結各點，先畫出同色三角形者為輸大家覺得好玩，從多次的嘗試中，我們歸納出似乎後畫的人較為有利，但又說不出什麼道理來，實在是知其然而不知其所以然，所以我們聚集幾個同學利用課餘的時間，從反覆不斷的試驗中，尋出其中存在的道理。

身邊常見美麗的串珠作品，但卻未見有關串珠的數學研究。我們進行二年時間來探討串珠。結論如下：研究一：相同大小的珠珠，以「點→線→面」的方式操作，若以某顆珠為中心點，周圍角度和是360°的有：四邊形＋四邊形、六邊形＋三角形，這二種串法可以形成平面。研究二：五邊形組合的「二十面十二面體」(稱為五邊形球體)只要增加四邊形或六邊形就可以擴充。而且使用六邊形較節省珠數，這也是串珠中最常見的作法。研究三：增加六邊形擴大球體時，五邊形維持12 面，六邊形以5 的倍數增加。而且串珠作品只要進行名詞轉換，也符合尤拉公式：珠珠數(稜邊數) ＋２ ＝ 三角形連接處(頂點數) ＋ 面數。研究四：沙發或盒子轉角處的串法，以畢氏定理檢驗證實為直角。