數學科

在高二學數學的時候，老師曾提到共軸圓系有所謂極限點的名稱 ,但當時對於極限點的求法並未詳細介紹，我們為了進一步了解，便在蔡安華、郭茂雄兩位老師的指導下，根據共軸圓系極限點的定義，導出一般共軸圓系極限點的求法公式，同時也探討有關極限點的一些性質，更將這種方法推廣以達三度空間共根面球系時，發現也有相同關係，雖然這項結果也許不是新的，但是在探討的過程中，卻也提供了我們學習方法的一項模式。

師教我們玩了一個圍棋的數學遊戲-「兵臨城下」，看似公平的遊戲，其實暗藏玄機。利用倒推法，我們一盤一盤的進行分析，終於在努力研究和老師的討論中，找到了其中的奧祕：（一）、一路玩法必勝絕招：掌握n＋1這個必勝點，就要掌握到n＋1的倍數，即可掌握優勢取最後一顆而致勝。（二）、二路玩法必勝絕招：掌握到對稱的盤型，或利用餘數判斷法，使兩路餘數相等。（三）、三路玩法必勝絕招：利用餘數判斷法掌握五個關鍵必勝點：（0,0,0）（0,1,1）（0,2,2）（0,3,3）（1,2,3）。（四）結合數學二進位法的運用。（五）進行遊戲的改良和設計：除可增加為n路玩法外，雙方還可以任意先擺好棋子，再開始互相進攻，以增加遊戲的趣味性和變化。

中國時報69.10.13刊登了一篇有關疊紋的報導。如左下圖所示係兩張同心輻射線交疊，便產生了新的紋路，謂之疊紋。這美妙的幾何圖案引發了我們研究直線疊紋的動機。（因為那時我們正學到平面上的直線方程式。我們用印有等問隔平行條紋的筆記本紙由復印機製成膠片（經過縮小）。兩者以0 角交疊，圖從略，結果看到有一群特別明亮的紋件產生，這就是直線的疊紋，我們稱他為亮帶，當0 角改變時，亮帶的位置及間隔距離也跟著改變，仔細觀察，我們發現亮帶經過兩群平行線的所有交點，於是，我們想將座標幾何學以致用，希望能利用法式求出亮帶的問隔距離，這是本文最主要的目的。

由一個常見的數學考題：【找出20×20×40 的長方體中，兩相對頂點A、F 從表面上走的最短路 徑min AF】，從此題中提出不同的想法，進而去思考是否有更大的min AF，並作探討與分析 並發現在1×1×2 長方體中，頂點A 到長方體表面上一點P 的最大值min AP 的位置為當P 點 在A 點對面之1×1 面上對角線下 1/ 4 處有最大值為 √130/ 4 約2.85。從1×1×2 延伸至1×1×n 及1× m×n 的長方體，找出固定頂點到長方體表面上一點P 有最大值min AP 的位置與距離，並求出 其通式。最後希望能推廣找到在1×1×2 長方體上的任意兩點使其有最大值min PQ 的點的位置 與距離。

數學刊物從勾股定理談起以長方體的架構，長x、寬y、高z，對角線w 的概念去討論x2 + y2+ z 2= w2的畢氏數解，本文發現他遺漏了非常多組解。本文作者改以廣義的畢氏定理從平面幾何的概念找出所有畢氏數解。 傳統的畢氏定理只能在直角△上才能使用，本文探討一種廣義的畢氏定理，它適用於任何一種△(包括銳角△、鈍角△、直角△)，這種創新的廣義畢氏定理的靈感來自於直角△中的母子定理所使用的直角△，這種子△和原直角△的三邊依序垂直，銳角△和鈍角△中仍然存在著這種依序和原三角形三邊垂直的子△，文章中透過借用直角△推導畢氏定理相同手法去推導銳角△及鈍角△的畢氏定理，這樣的廣義的畢氏定理型如x2 + y2+ z 2 = a2 ，(其中a 代表△任一邊的長，x 和z 落在另兩邊上，而y 長的線段和a 長的線段平行)。在廣義的畢氏定理條件下，本文探討了正△、等腰△、直角△、銳角△、鈍角△的畢氏數，並找出了那些被遺漏的解，接著解開了四元二次不定方程x2 + y2+ z2= w2的所有畢氏數解。

藉由大家的提問及討論還有腦力激盪，找出「魔術數學骰子」遊戲背後所隱藏的數學規則，並設計出我們自制的「魔術數學骰子」。

本研究主要是探討輪盤遊戲之破解，遊戲規則是從攤販設計好的遊戲輪盤中，玩家先選擇順時針or逆時針旋轉，再從一副撲克牌任意抽兩張撲克牌相加，得到的數字為N，再從轉盤上N處按照選擇好的方向轉動(N-1)步，最後停留的數字所對應的獎品歸玩家所有。研究結果發現：一、不論順時針或逆時針轉，最終轉到的數字只有1和奇數二種結果和找出此種結果的原因。二、找出輪盤的終點數公式。三、減少輪盤數字數時，同樣找出終點數公式和終點數公式的一般式。四、設計出新規則，用機率來讓遊戲更有趣。本研究與小六數學「怎樣解題」相關。

六十七學年度開始使用新修訂的國小數學課本以後，我們在六十八學年度第一學期發現：原有的舊數學課木中（五十九年八月初版），乘法九九是出現在第五冊（三上）課本的第七單元（ 2 , 5 ）第八單元（ 4 , 8 ）第九單元（ 3 , 6 , 9 ）第十單元（ 7 ）和第十一單元（ l , 0 ）等五個單元當中。同學年度，六十八學年度，第二學期，又發現：第四冊（二下）新數學課本（六十九年一月初版），第五單元（ 2 , 5 ）第六單元（ 4 , 8 ）第七單元（ 3 , 6 ）第八單元（ 9 ）第九單元（ 7 ）等五個單元教材裹，已出現了九九乘法。六十九學年度第一學期，新數學課本第五冊（三上）第一單元，又接著出現未完的 1 , 0 乘扶九九教材。由此可見，新課本比舊課本足早了一個學期教學乘法九九。然然而，二、三年級的教師常感到困擾的是：要怎麼指導，才能使學生徹底了解乘法的意義，並且熟習乘法九九達到「反射」的程度呢？由於這個綠故，激發了我們研究的動機。

上一次，我和媽媽一起參觀科學園遊會看到了一張魔術卡，這張魔術卡和我們以前玩的魔術卡不同，但是仔細一看，發現它只是把1、2、3、4、和5、6、7、8換過而已。我想，難道魔術卡只能依照舊的魔術卡稍做變化，而沒有其他的變化嗎?所以我就約了一些同學，一起來研究這個問題。

里曼球面在高中數學只是大略提過，上課時談到里曼球面投影，過北極的大圓投影為一直線，那麼不經北極的大圓投影後圖形為何？任一小圓的投影又為何？前幾章講二次曲線，觀察里曼球面上，北極與圓上點的連線掃出的形狀不應稱圓錐，而應稱為橢圓錐，而此橢圓錐與複數平面相交的圖形又為何？問幾位同學，有的說橢圓，有的說不成圖形，有的說成雞蛋形，（一邊曲率半徑較大，另一邊曲率半徑較小），因沒有實際式子，實也難以決定何者正確，隨即著手求證。