數學科

本研究主要是探討輪盤遊戲之破解，遊戲規則是從攤販設計好的遊戲輪盤中，玩家先選擇順時針or逆時針旋轉，再從一副撲克牌任意抽兩張撲克牌相加，得到的數字為N，再從轉盤上N處按照選擇好的方向轉動(N-1)步，最後停留的數字所對應的獎品歸玩家所有。研究結果發現：一、不論順時針或逆時針轉，最終轉到的數字只有1和奇數二種結果和找出此種結果的原因。二、找出輪盤的終點數公式。三、減少輪盤數字數時，同樣找出終點數公式和終點數公式的一般式。四、設計出新規則，用機率來讓遊戲更有趣。本研究與小六數學「怎樣解題」相關。

符合畢氏定理X12+X22=X32的正整數解(X1,X2,X3)我們稱為三元畢氏數；符合N元不定方程式X12+X22+⋯+Xn－12=Xn2的正整數解(X1,X2,⋯,Xn－1,Xn)被稱為N元畢氏數。本研究更正陳揚叡同學在台灣2008國際科展中對N元不定方程式X12+X22+⋯+Xn－12=Xn2所提出的N元畢氏數一般解，並利用對圓點方陣的降階分奇偶數組加以探討，其中，奇數組是在(M+1)階方陣中透過一次降一階來探討三元畢氏數中X1＝2k+1的情況，而偶數組是在(M+2)階方陣中透過一次降二階來探討三元畢氏數中X1＝2k+2的情況。在獲得初步的成果後，又藉著直角三角形的擴充依遞迴定義的方式來進一步來探討N元畢氏數。最後，我得到N元畢氏數(X1,X2,⋯,Xm,⋯,Xn－1,Xn)的關係式(表一)。

中國時報69.10.13刊登了一篇有關疊紋的報導。如左下圖所示係兩張同心輻射線交疊，便產生了新的紋路，謂之疊紋。這美妙的幾何圖案引發了我們研究直線疊紋的動機。（因為那時我們正學到平面上的直線方程式。我們用印有等問隔平行條紋的筆記本紙由復印機製成膠片（經過縮小）。兩者以0 角交疊，圖從略，結果看到有一群特別明亮的紋件產生，這就是直線的疊紋，我們稱他為亮帶，當0 角改變時，亮帶的位置及間隔距離也跟著改變，仔細觀察，我們發現亮帶經過兩群平行線的所有交點，於是，我們想將座標幾何學以致用，希望能利用法式求出亮帶的問隔距離，這是本文最主要的目的。

一、本年度數學科參展作品共五十七件，比往年略增，特別是國中組。許多作品，尤其國中、高中組多為學生自己討論出來的題目，而且作品品質顯著提昇，特別是國中組。 二、國小初小組部分作品顯示教師指導的比例偏高，題材跟往年略有重疊，惟學生對作品很有表達能力及成就感，初小教師應可加強輔導學生選題及相關資訊之搜尋，培養正確的參展態度及研究興趣。另外國小部分作品以實驗的方式呈現，但學生無法辨識數學實驗與自然科學實驗研究活動的特質，指導教師應該正確輔導。 三、國小高小組部分近年水準均佳，尤其或第一、二的兩件作品，顯示參展學生具超人一等的數學能力及空間想像力，值得培養繼續鼓勵，應為可造之才。 四、整體作品今年趨向於幾何與離散數學題材，似與參加國際數學競賽活動有關。取材適合學生本身能力，得獎作品探討細緻，部分作品已達國際科展選拔之水準，值得佳許。 五、部分作品屬長時間持續性的研究成果逐年增進作品內容，值得鼓勵。

藉由大家的提問及討論還有腦力激盪，找出「魔術數學骰子」遊戲背後所隱藏的數學規則，並設計出我們自制的「魔術數學骰子」。

六十七學年度開始使用新修訂的國小數學課本以後，我們在六十八學年度第一學期發現：原有的舊數學課木中（五十九年八月初版），乘法九九是出現在第五冊（三上）課本的第七單元（ 2 , 5 ）第八單元（ 4 , 8 ）第九單元（ 3 , 6 , 9 ）第十單元（ 7 ）和第十一單元（ l , 0 ）等五個單元當中。同學年度，六十八學年度，第二學期，又發現：第四冊（二下）新數學課本（六十九年一月初版），第五單元（ 2 , 5 ）第六單元（ 4 , 8 ）第七單元（ 3 , 6 ）第八單元（ 9 ）第九單元（ 7 ）等五個單元教材裹，已出現了九九乘法。六十九學年度第一學期，新數學課本第五冊（三上）第一單元，又接著出現未完的 1 , 0 乘扶九九教材。由此可見，新課本比舊課本足早了一個學期教學乘法九九。然然而，二、三年級的教師常感到困擾的是：要怎麼指導，才能使學生徹底了解乘法的意義，並且熟習乘法九九達到「反射」的程度呢？由於這個綠故，激發了我們研究的動機。

爸爸買了 NOKIA 新手機，裡面還有遊戲真好玩。可是有一個遊戲好難，於是到學校請教老師。老師說這個題目很不錯，讓我們找幾位同學一起研究，同學聽了也很有興趣，老師就指導我們做研究。

上一次，我和媽媽一起參觀科學園遊會看到了一張魔術卡，這張魔術卡和我們以前玩的魔術卡不同，但是仔細一看，發現它只是把1、2、3、4、和5、6、7、8換過而已。我想，難道魔術卡只能依照舊的魔術卡稍做變化，而沒有其他的變化嗎?所以我就約了一些同學，一起來研究這個問題。

在高二學數學的時候，老師曾提到共軸圓系有所謂極限點的名稱 ,但當時對於極限點的求法並未詳細介紹，我們為了進一步了解，便在蔡安華、郭茂雄兩位老師的指導下，根據共軸圓系極限點的定義，導出一般共軸圓系極限點的求法公式，同時也探討有關極限點的一些性質，更將這種方法推廣以達三度空間共根面球系時，發現也有相同關係，雖然這項結果也許不是新的，但是在探討的過程中，卻也提供了我們學習方法的一項模式。

由一個常見的數學考題：【找出20×20×40 的長方體中，兩相對頂點A、F 從表面上走的最短路 徑min AF】，從此題中提出不同的想法，進而去思考是否有更大的min AF，並作探討與分析 並發現在1×1×2 長方體中，頂點A 到長方體表面上一點P 的最大值min AP 的位置為當P 點 在A 點對面之1×1 面上對角線下 1/ 4 處有最大值為 √130/ 4 約2.85。從1×1×2 延伸至1×1×n 及1× m×n 的長方體，找出固定頂點到長方體表面上一點P 有最大值min AP 的位置與距離，並求出 其通式。最後希望能推廣找到在1×1×2 長方體上的任意兩點使其有最大值min PQ 的點的位置 與距離。