數學科

從 8? ×? 6? 格棋盤的一子棋遊戲開始引起我們的研究興趣，進而得出一子棋是一個不公平的遊戲，而且先下者較佔優勢，但我們也解出了所有 M? ×? N 格一子棋棋盤後下者必勝的座標數列；在研究的過程中我們藉由將一子棋變形成蜂窩型棋盤時，察覺到其路徑數個數將呈費氏數增加。而一子棋遊戲規則像中國古老遊戲 ”拈 ”，所以我們發明出拈子棋，因破除了棋子走法的方位限制，也找出了後下者必勝數列而非座標數列。我們仍不滿足這樣的結果，我們知道棋手所下步數的限制會影響後下者必勝數列的生成，所以經過一連串的嘗試，我們最後把倍數的想法融入了一子棋的遊戲規則中，發明了(M，N)型棋，也找到了令人讚嘆美麗且規律生成的後下者必勝數列－泛費氏數列。

之前學到了畢達歌拉斯（Pythagoras）著名的畢氏定理，深入了解，發現他更是提出了黃金比例的人。由於我們對黃金比例的好奇，而且為了確認黃金比例是否潛藏在我們身邊，我們特地到大溪著名的武德殿與大溪橋，測量它的長與寬，最後我們發現武德殿和大溪橋拱門都存在著黃金比例，這個結果讓我們大吃一驚，因為這和我們在網路上搜尋到的資料——長寬比或高寬比為2:1，大相逕庭。最後我們小組決定，依造著黃金比例，打造出屬於我們的新天地，我們利用這個數字製作出我們的建築，將所有一切都完美化，從最基底的土地面積一直到細小的窗櫺構造，只要是能遵循著黃金比例的形狀，我們都會盡力做到，期待我們的成果吧！

有一次數學遊戲課的時候（團體活動時間才上課），老師拿來一個大釘板，當場用一條橡皮筋在釘板上造了一個「八角星」，要我們算一算它的面積是多少「單位方格」。雖然我們以前學過了計算正方形、長方形、直角三角形、梯形、平行四邊形等圖形面積的方法，但是面對這種不規則的圖形，卻都派不上用場，只好用拼成單位方格的方法慢慢的點算。可是這種老牛拉車的作法，實在太辛苦了（眼睛吃不消），因此，我們想，對於小規則的圖形，假如也能夠找出一個簡便的公式來計算它的面積，那不是很好嗎？於是就在老師的指導下，開始了我們的研究。

本次的研究主題是由井字棋延伸而成的桌遊3×3奇雞連連及4×4「棋」蹟連連。我們想要在不同格數棋盤以及不同類型棋子種類的情況下，分析其遊戲邏輯。我們的研究方式是將棋子依照規律，先手放在棋盤上的各種位置，再接著依照當下最好的選擇出棋，我們分析了井字棋、3×3奇「雞」連連及4×4「棋」蹟連連的各種遊戲局面，以及三種遊戲中不同種棋型的比較，並且找出格數與和局關聯的公式。

有一天，同學教我下棋，覺得馬走的方法很奇妙：它是走日字型的；但是也產生了一些問題：馬是不是能走到棋盤上的每一點？如果可以的話，那又要怎麼走呢？於是帶著棋盤，和老師一起研究。

我們知一元二次函數f(x)=ax 2+bx+c，一定有極值，當a>0時， f(x)有極小值為-b 2-4ac / 4a，a

分組活動的科學遊戲裡，老師介紹我們玩一種毛毛蟲遊戲，方法是在一條毛毛蟲身上，從中間分為二邊，每邊各有等量斑點，透過簡單遊戲規則，要使兩邊的斑點互換。兩節課下來，我們大致上都完成了任務，但是老師說還有更長更多斑點的毛毛蟲等著我們，要我們去尋找一些資料並做一些思考和研究。有一位同學無意中說毛毛蟲不要再長長了，變成蝴蝶算了，突然讓我們想到如果把一條直線的毛毛蟲變成平面式的蝴蝶來玩，將會有些什麼變化呢？於是，我們找了幾位同學一起研究這個問題。

問題與想法：邊長1的正三角鏡ABC中，光由原點B射到CA上一點P(圖一)，再依反射定律繼續反射下去，我們想探討：是否能回到原點B？而若回到原點B，所走路徑及反射次數可找到通式？考慮圖二探討此問題。圖二中的每一頂點都對應△ABC中每一頂點。主要結論：我們算出每一反射點在圖二中的座標得以下結論： (1)CP為有理數時，CP=b/a,(a,b)=1,a,b∈N，導出第一個相交頂點在展開圖的座標為(a-b,b)。再利用展開圖中，同名點構成的直線特徵(如圖三)得：由B射出光時，會返回原點B。並知反射後回到B所需的次數與路徑可由a、b決定，公式如下：若a+b≡0(mod3)，次數為2(a-1)次，路徑為B→B 若a+b≡1(mod3)，次數為6(a-1)次，路徑為B→C→A→B 若a+b≡2(mod3)，次數為6(a-1)次，路徑為B→A→C→B (2)當CP為無理數時，我們得到由B射出的光線不會返回B。且所有無窮多的反射點，在邊上的分布具有稠密性。

二階遞迴數列與一般遞迴數列最大的不同之處在於一般遞迴數列的足碼是n的函數；而二階遞迴數列卻是n與An的函數，這代表在求出第n項不只需要參照前兩項的值，還必須參照過去未知項的值，而這個特殊的性質會造成有些二階遞迴數列因為無法參照而無法成立於是，我刻意不找出足碼的值是多少，而重點在於前後兩項足碼的〝差異〞，而因為在數列中有特殊涵義，因此特稱〝子元素〞。〝出現次數〞也是很重要的研究工具，因為每一項都必須參照過去〝未知〞項的值，這就代表了代表前面的值會影響後面的值。研究過程如下： 1. 找出子元素的性質 2. 利用子元素的性質找出出現次數的規律以及每個區間的影響範圍 3. 利用出現次數的規律找出一般項

這是換位子引起的問題。有一次，老師想讓每位同學都有同鄰而坐的機會且要在換最少次數內達成這個目的？這引發了我們的深思。 在最完美的狀態是每一次換位子都使每位同學與上次相鄰而坐的同學不再相鄰，且在最少次數下達成目的。由於面的討論複雜且一直無汰突破，只好先考慮線型排列的換位。問題是這樣的： 設從 1 到 x 個自然數原先排列為 1 , 2 , 3 , 4 ，……， n - 1 , n , n 十 1 ， …… ， x ，今將這 x 個自然數重新排列得 P1 ， P2， …… , Pn-1， Pn， Pn+1， …… ， Px，但任二相鄰數不得連號，（即滿足 Pi ± l ≠ Pi+1 ， l ≦ i ≦ x - l ) ，這樣的換法有多少種？