典型蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem）（李永乐 [1]），又以別稱「三門問題」廣為流傳，是一項源於賽局理論的機率謎題，得名於《Let's Make a Deal》節目主持人。遊戲規則表明，在三扇門後共有一件獎品，參賽者選擇一扇門後，主持人會打開另一扇無獎品門，接著參賽者有權選擇是否換門，此時若選擇換門則勝率將提高到 2/3，這對許多人而言並不直覺，這也正是這個問題的有趣之處。 本篇研究由典型蒙提霍爾問題出發，逐步將結果推廣至七變數組方程式，並進行多種開門規則、非全同機率門，與多回合換門機制、中獎個數機率分布之討論。最終推導出玩家各執行策略及與之對應之期望值和機率函數方程，除強化已知文獻結果之泛用性外，也使典型三門問題具有更大的調整自由度。

本研究主要探討正多邊形的換點問題。 在平面上給定一正𝑛邊形，在不重複經過任意點的情況下，一筆畫經過所有點並回到起始點形成圖𝐴。透過相同做法得到圖𝐵，最後將圖𝐴透過有限次的換點得到圖𝐵，找出換點次數最少的路徑。 本研究中證明了所有符合規則的圖形都能透過有限次換點得到，也探討了換點在鄰接矩陣上的意義，並透過排列矩陣定義出換點運算以及圖形的旋轉及翻轉運算矩陣，接著找出了圖𝐴換點到圖𝐵有捷徑步數的充要條件，並解決過程中使用到的基本運算。然後得出從正𝑛邊形換點路徑的唯一性以及尋找方法求出圖形的層數，並得出圖𝐴到圖𝐵最短路徑步數 ≤𝑖𝑚𝑎𝑥(𝑛)，最後求出了 正𝑛邊形中不同構的𝑛點圖形個數。

此研究探討在正角柱及正角錐上一刀斬後分割成二部份而形成截面時，觀察其所形成的截面變化，並利用Geogebra、Desmos等電腦軟體模擬繪製，藉此來計算正角柱及正角錐分割成的截面周長與面積，進而推導出其公式及觀察截面大小之變化，以及其與側稜線長的關係。

我運用學姐前三年研究的結論，採用初始配對方式，針對共有格數量、角對角數量及各類模組間最佳的組合研究：「在六邊形蜂巢中如何擺放有色六邊形，可求得外圍白色六形總數最少？」且依據模組間的相互關係值，求得K值(包圍的白色六邊形總數)計算公式。 在延伸活動中，我沿用初始配對模式，找出平面長鏈形六邊形的蜂巢堆砌模式，也求得足球這種立體六邊形組合的蜂巢堆砌模式。

本文以單堆拈有關的問題出發，討論當給定首項為1的連續數列，接著再就未刪除、刪除不同長度連續或不連續的數列等條件，觀察結果並找出其必勝策略。在刪除特定數列時，發現必勝點的數量與大小與「刪除的數列的首項」和「刪除的數列的長度」有關，最後將其簡化成公式。

本研究從分析產生n倍等角差線的聯立方程式與參數式出發，首先從觀察圖形的變化及計算，得到不同初始條件下的圖形分類，進一步探索其漸近線、輻射點的特性，並解決文獻中的稠密性猜想。 本研究再考慮n倍等角差線經旋轉、鏡射、反演後的圖形，討論封閉圈數，並求得分割區域數。並且得到當n為有理數時，能利用圖形逆推n值。

「六角星拼圖摺紙遊戲」是一個將平面的六角星拼圖摺成一個正四面體，且使其中的三面連接起來是一隻完整羊的摺紙遊戲。本研究以能摺出正四面體的23個圖格組合模組為基底，以展開圖作為平面圖形到立體形體的媒介，成功解構六角星拼圖圖格的選取與摺法。除了得出解謎密技外，也證明了謎底圖格與摺法的唯一性。此外，應用解構六角星拼圖所得之定理，將研究擴展至設計多隻羊拼圖以及摺出正八面體的多角星拼圖探討，並將之應用在創意園遊會闖關活動上。 （本作品之所有照片或圖片均由作者拍攝或繪製）

本實驗研究螺線圈數、擴大倍率對黃金螺線與阿基米德螺線交點數的影響，並預測交點座標。研究發現： 1.透過趨勢線預測圈數變化時的交點數，分別使用第一至第四象限預測，發現四個象限各別形成的趨勢線預測值總和會有較高的準確率。另外，我們也利用兩螺線圈數來推導出預測交點數的公式。 2.透過趨勢線預測兩螺線比例變化時的交點數，當黃金螺線和阿基米德螺線擴大倍率的比值越大，交點數越多。 3.前25個交點距離、夾角及圍成三角形面積所形成的趨勢線，用以預測第26個交點之後的數據，誤差率在5.16 %以內。 4.預測交點座標第26點以後，發現預測越接近x軸的交點，y座標偏差率越高，x座標偏差率越低，反之亦然。

在三角形邊長上任取的一點M，探討由M點出發依序把三角形周長分割成四段，經由「孟氏定理」研究三角形周長它的四個分割點交叉連線的截成線段的比例與M點分割三角形的邊長線段比例有何關係式，而且進一步探討它逆命題成立的條件。

玩昆托遊戲時，如能在給定九宮格中以符合要求條件(連塊數量)方式合成目標值，就可破關。依據排列可知固定九宮格數字下，共120個昆托九宮格。透過翻轉與比較，只需討論其中6個昆托九宮格，其他情況相同。 我們先以不同連塊放入固定九宮格中找到目標值公式。接著在改變數字位置的方式下，將6個昆托九宮格形成循環，分別為九宮格1到6。我們發現只要根據九宮格1的5種數字結合規律，就可以推論出其他5個九宮格目標值分布的情況，並找到昆托目標值的集合種類，進而推出另外4個不同的循環，找出30個昆托九宮格的連結關係。另外，從九連塊目標值公式延伸發現只需要變數集合與紀錄矩陣，可快速記下產生目標值公式。