數學科

我們知一元二次函數f(x)=ax 2+bx+c，一定有極值，當a>0時， f(x)有極小值為-b 2-4ac / 4a，a

有一次數學遊戲課的時候（團體活動時間才上課），老師拿來一個大釘板，當場用一條橡皮筋在釘板上造了一個「八角星」，要我們算一算它的面積是多少「單位方格」。雖然我們以前學過了計算正方形、長方形、直角三角形、梯形、平行四邊形等圖形面積的方法，但是面對這種不規則的圖形，卻都派不上用場，只好用拼成單位方格的方法慢慢的點算。可是這種老牛拉車的作法，實在太辛苦了（眼睛吃不消），因此，我們想，對於小規則的圖形，假如也能夠找出一個簡便的公式來計算它的面積，那不是很好嗎？於是就在老師的指導下，開始了我們的研究。

從 8? ×? 6? 格棋盤的一子棋遊戲開始引起我們的研究興趣，進而得出一子棋是一個不公平的遊戲，而且先下者較佔優勢，但我們也解出了所有 M? ×? N 格一子棋棋盤後下者必勝的座標數列；在研究的過程中我們藉由將一子棋變形成蜂窩型棋盤時，察覺到其路徑數個數將呈費氏數增加。而一子棋遊戲規則像中國古老遊戲 ”拈 ”，所以我們發明出拈子棋，因破除了棋子走法的方位限制，也找出了後下者必勝數列而非座標數列。我們仍不滿足這樣的結果，我們知道棋手所下步數的限制會影響後下者必勝數列的生成，所以經過一連串的嘗試，我們最後把倍數的想法融入了一子棋的遊戲規則中，發明了(M，N)型棋，也找到了令人讚嘆美麗且規律生成的後下者必勝數列－泛費氏數列。

(一)在高中數學課本（東華本自然組第四冊)中我們學到橢圓的定義和作圖。其定義如下：一動點 P ( x , y )到兩定點 F1( c , o ) 、 F2(-c，o)的距離和為一定值，即 PF1+ PF2=2a 。(2a 表橢圓的長軸長)。(二)在數學圈雜誌（第 2 卷第四期）上提到了數學一般化的觀念。繪出 mPF1+ n PF2= k 的圖形，而橢圓即為 m = n 的特殊結果。 m PF1 + n PF2 =k , k > F1, F2，的圖形稱為“笛卡兒蛋形”，繪出如 ZPF1+ 3 PF2= k 之類的圖形，但能像橢圓一樣用方程式表出嗎？(三)將“ m PF1+n PF2 =k ”這一式子化成方程式，發現此乃一二元四次方程式，所求出的解有虛根、增根、減根等現象產生，我們認為此方程式很繫雜，因此就著手尋找一較簡便的方程式來表示。

問題與想法：邊長1的正三角鏡ABC中，光由原點B射到CA上一點P(圖一)，再依反射定律繼續反射下去，我們想探討：是否能回到原點B？而若回到原點B，所走路徑及反射次數可找到通式？考慮圖二探討此問題。圖二中的每一頂點都對應△ABC中每一頂點。主要結論：我們算出每一反射點在圖二中的座標得以下結論： (1)CP為有理數時，CP=b/a,(a,b)=1,a,b∈N，導出第一個相交頂點在展開圖的座標為(a-b,b)。再利用展開圖中，同名點構成的直線特徵(如圖三)得：由B射出光時，會返回原點B。並知反射後回到B所需的次數與路徑可由a、b決定，公式如下：若a+b≡0(mod3)，次數為2(a-1)次，路徑為B→B 若a+b≡1(mod3)，次數為6(a-1)次，路徑為B→C→A→B 若a+b≡2(mod3)，次數為6(a-1)次，路徑為B→A→C→B (2)當CP為無理數時，我們得到由B射出的光線不會返回B。且所有無窮多的反射點，在邊上的分布具有稠密性。

二階遞迴數列與一般遞迴數列最大的不同之處在於一般遞迴數列的足碼是n的函數；而二階遞迴數列卻是n與An的函數，這代表在求出第n項不只需要參照前兩項的值，還必須參照過去未知項的值，而這個特殊的性質會造成有些二階遞迴數列因為無法參照而無法成立於是，我刻意不找出足碼的值是多少，而重點在於前後兩項足碼的〝差異〞，而因為在數列中有特殊涵義，因此特稱〝子元素〞。〝出現次數〞也是很重要的研究工具，因為每一項都必須參照過去〝未知〞項的值，這就代表了代表前面的值會影響後面的值。研究過程如下： 1. 找出子元素的性質 2. 利用子元素的性質找出出現次數的規律以及每個區間的影響範圍 3. 利用出現次數的規律找出一般項

張鎮華教授在文章[4]中介紹威氏遊戲(Wythott’s Game)：文章中提到安全殘局所成的集合Sw為 {(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13),(9,15),(11,18),(12,20),(14,23),(16,26),…}。將這個集合中元素第一個座標的數所成的集合命名為A，而將第二個座標的數所成的集合命名為B，設其為A={a1, a2, a3,…}, B={b1, b2, b3, …}， 可以發現集合A和B滿足性質(1) A∪B=N ; 性質(2) A∩B=ψ；性質(3)數列是等差數列 ( bk- ak, k=1, 2, 3,…)。在這個研究計劃中，可以分成數學與遊戲兩部份：(一)數學部份：我們從不同的角度來介紹下列四個集合，並證明它們都相等。1.令{αs |集合S(αs )T(αs )= N?S(α)={[k(αs + s)] | k =1,2,3,…}滿足性質(1), (2), (3)}，其中S(αs)={[kαs ] | k =1,2,3,…},T(αs ) = N?S(α)={[k(αs + s)] | k =1,2,3,…}。2.{αs | ([kαs ] ?[(k ?1)αs ] = 2 k=1+ (s ?1)n + [nα]), s=1,2,3,…}。3.{αs | 1/αs +1/(αs + s) = 1, s = 1,2,3,...}。4.{(2- s+√S2+ 4) / 2 | s = 1,2,3,...}。(二)遊戲部份：研究變型(第二型)威氏遊戲和推廣的三排威氏遊戲，利用我們學會的方法來找及證明這兩個遊戲的所有有利位置。下列三個集合都相等，同時它們都和上面的集合有密切的關係5.{X | X ?1/ X = [X ]}。6.{Xs | Xs- 1/Xs= s, s= 1,2,3,...}。7.{(s+√s2+ 4) / 2 | s = 1,2,3,...}。

(一)由兩個問題談起：問題一：有一自然數，被 3 除之餘 2 ，被 5 除之餘 3 ，被 7 除之餘 2 , 則滿足條件之嬝小自然數為何？問題二：有一多項函數其次數至多為 3 ，而其圖形含有下列四點， (-1 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 ，-2 ) , ( 2 , 2 ) ，則此多項函數為何？

本次的研究主題是由井字棋延伸而成的桌遊3×3奇雞連連及4×4「棋」蹟連連。我們想要在不同格數棋盤以及不同類型棋子種類的情況下，分析其遊戲邏輯。我們的研究方式是將棋子依照規律，先手放在棋盤上的各種位置，再接著依照當下最好的選擇出棋，我們分析了井字棋、3×3奇「雞」連連及4×4「棋」蹟連連的各種遊戲局面，以及三種遊戲中不同種棋型的比較，並且找出格數與和局關聯的公式。

有一天，同學教我下棋，覺得馬走的方法很奇妙：它是走日字型的；但是也產生了一些問題：馬是不是能走到棋盤上的每一點？如果可以的話，那又要怎麼走呢？於是帶著棋盤，和老師一起研究。