數學科

網路上有一個有趣的益智遊戲「點燈」，這個遊戲方法很簡單：就是動動腦筋，將畫面上的燈全部點亮就可過關。但是點燈的方法很特別，即是當你點選其中一個燈，該燈以及上下左右四方的燈將會變成與原來相反的狀況。亦即原本亮的燈會變暗；原本暗的燈會變亮。本篇作品主要研究點燈遊戲之基本原理與解法，根據點燈原理設計出一套解題工具（拼圖），並研究出一個「奇偶判別法」合併解題，此外，我們觀察出解的對稱性質與最佳解之規律性來加速破解點燈盤面的速度，進而嘗試將所得出之結論推廣到一般點燈盤面。

在高二學數學的時候，老師曾提到共軸圓系有所謂極限點的名稱 ,但當時對於極限點的求法並未詳細介紹，我們為了進一步了解，便在蔡安華、郭茂雄兩位老師的指導下，根據共軸圓系極限點的定義，導出一般共軸圓系極限點的求法公式，同時也探討有關極限點的一些性質，更將這種方法推廣以達三度空間共根面球系時，發現也有相同關係，雖然這項結果也許不是新的，但是在探討的過程中，卻也提供了我們學習方法的一項模式。

圍地盤的遊戲一直是學生時代同學們課餘閒暇時會拿來互相較勁的數學遊戲之一。本次的研究將要去探討nxm地盤先下者或後下者之必勝的策略。為公平起見，則加以規定：當總筆數為偶數時，後下者有利，故規定後下者地盤數需大於先下者地盤數才算勝，否則為先下者勝；當總筆數為奇數時，先下者有利，故規定先下者地盤數需大於後下者地盤數，否則為後下者勝。 首先我們從3x3地盤開始，如下圖1。利用窮舉法研究結果顯示 地盤後下者的必勝圖共有四種，如圖2~圖5。相反的，先下者的必勝策略則是破壞此4個必勝圖。 由於3x3地盤為偶數型，而3x4地盤為奇數型。所以接下來，我們先試者研究偶數型後下者的必勝策略，即是先3x5地盤、3x7地盤、…、3x(2k+1)地盤，再推廣至5x(2k+1)地盤、7x(2k+1)地盤、9x(2k+1)地盤、…、(2h+1)x(2k+1)地盤。同理，3x4地盤，3x6 地盤、3x8地盤、…、3x2n地盤為奇數型，對先下者有利，故探討先下者及後下者的必勝策略。而另外2x2地盤、4x4地盤、6x6地盤、…、2n x 2n地盤我們發現有其特殊性，研究的方式我們一樣以不讓地為原則，去探討其先下者及後下者的必勝策略。 其中偶數型地盤推演的想法如下： 其中奇數型地盤必勝圖則分類分為「連續」型、「三筆畫」型、「封閉」型、「兩筆畫」型及「兩行」型等來作歸納及勝負判斷，舉例例如下：

里曼球面在高中數學只是大略提過，上課時談到里曼球面投影，過北極的大圓投影為一直線，那麼不經北極的大圓投影後圖形為何？任一小圓的投影又為何？前幾章講二次曲線，觀察里曼球面上，北極與圓上點的連線掃出的形狀不應稱圓錐，而應稱為橢圓錐，而此橢圓錐與複數平面相交的圖形又為何？問幾位同學，有的說橢圓，有的說不成圖形，有的說成雞蛋形，（一邊曲率半徑較大，另一邊曲率半徑較小），因沒有實際式子，實也難以決定何者正確，隨即著手求證。

師教我們玩了一個圍棋的數學遊戲-「兵臨城下」，看似公平的遊戲，其實暗藏玄機。利用倒推法，我們一盤一盤的進行分析，終於在努力研究和老師的討論中，找到了其中的奧祕：（一）、一路玩法必勝絕招：掌握n＋1這個必勝點，就要掌握到n＋1的倍數，即可掌握優勢取最後一顆而致勝。（二）、二路玩法必勝絕招：掌握到對稱的盤型，或利用餘數判斷法，使兩路餘數相等。（三）、三路玩法必勝絕招：利用餘數判斷法掌握五個關鍵必勝點：（0,0,0）（0,1,1）（0,2,2）（0,3,3）（1,2,3）。（四）結合數學二進位法的運用。（五）進行遊戲的改良和設計：除可增加為n路玩法外，雙方還可以任意先擺好棋子，再開始互相進攻，以增加遊戲的趣味性和變化。

本研究探討正方形、正三角形、正六邊形正則鑲嵌格子，無論其是否被塗色，與其相鄰的鑲嵌格子最多僅允許一至數格被塗色的條件，其存在最多塗色格子的數量及存在塗色方式的問題。本研究利用塗色格子位於邊線角落、非角落的邊線、或鑲嵌內部的共用邊數差異、及與塗色格子總數間的限制條件，採用賦值法解析最大塗色格數的上界。接著，利用塗色建構符合解析上界的塗色方式，以數學歸納法推導最大塗色格數的通式，並求證其與解析上界的塗色數量相同，證得確實存在該最多塗色格子數量。研究推廣至n→∞時，各正則鑲嵌塗色面積比率的極限值均收斂至特定數值，且發現當外框邊線效應消失時，以特定週期(鑲嵌層數)累計最大塗色格子數均可表示成數列g(l)=f((l)-f(l-1), h(l+1)=g(l+1)-g(l)≡C2, l∈N, f(0)=C1的形式。

「n×n 數字拼圖」的問題主要在研究：「找出把1、2、3…… n 2 個連續整數，依序填入n×n 的正方形方格中，填寫的規則是只能將『下一個數字』填寫在『前一個數字』的相鄰的位置，一直到最後一個數字n 2 填入最後一個方格為止，使單一對角線上 n 個數字總和為最大數的路線圖，並探討其中所隱藏的數學奧密」。 研究者經過實際的模擬與討論後發現：解題的方法應由最大的數字（n 2 ）逆回填寫至1；當n=奇數時，起點座標一定是（2，2）； 當 n=偶數時，起點座標一定是（1，1）或（2，2）；而且它的路線也有一定的規律。單一對角線上 n 個數字總和最大數與 n×n正方形方格之間存在著密切關係。研究者的想法請詳見「肆、解法」。

人類為了要了解或描寫自然現象，常採用一種「逼近」的過程來處理問題。比如某位同學使用一尺來量取一線段長幾次，結果產生每次的讀數都不相同，此時產生逼近解的問題。又比如有四支 50 公分左右的尺，每次使用兩支來量取一公尺左右的線段長，亦產生類似的問題。然而這些「逼近」解的可靠性到底如何？我們則用方差來權衡之。

上自然課的時候，老師和我們一起做了很多有趣的實驗，我們知道了槓桿能省力的道理，而且在我們的身邊，有很多工具是利用槓桿原理做成的。我們又使用槓桿實驗器做平衡試驗，發現槓桿實驗器上，．支點兩邊所掛的砝碼個數不相等也能夠平衡，而且可以有很多不同的掛法。可惜每一組只有一個實驗器，很多同學都沒有機會動手。所以，我們就自己製作槓桿實驗器，效果很好，進一步做了更多的平衡實驗。

(一)在高中數學課本（東華本自然組第四冊)中我們學到橢圓的定義和作圖。其定義如下：一動點 P ( x , y )到兩定點 F1( c , o ) 、 F2(-c，o)的距離和為一定值，即 PF1+ PF2=2a 。(2a 表橢圓的長軸長)。(二)在數學圈雜誌（第 2 卷第四期）上提到了數學一般化的觀念。繪出 mPF1+ n PF2= k 的圖形，而橢圓即為 m = n 的特殊結果。 m PF1 + n PF2 =k , k > F1, F2，的圖形稱為“笛卡兒蛋形”，繪出如 ZPF1+ 3 PF2= k 之類的圖形，但能像橢圓一樣用方程式表出嗎？(三)將“ m PF1+n PF2 =k ”這一式子化成方程式，發現此乃一二元四次方程式，所求出的解有虛根、增根、減根等現象產生，我們認為此方程式很繫雜，因此就著手尋找一較簡便的方程式來表示。