數學科

推推樂的連鎖效應遊戲是多數人對骨牌的印象，殊不知骨牌上的點數也可以營造出好玩且具思考性的數學拼組活動，有幸在去年高雄市的科展中看到多米諾骨牌的活動介紹，激發了我們深入探究的動力，因此以骨牌拼組的九宮方陣作為本次研究的主題。本研究將骨牌上的點數改換成數字模式，製作出整組的數字骨牌，進行九宮方陣的拼排，在窮盡所有的組合中，我們歸納出三大組型～對稱型、可逆型及單一型，並分別進行規律的分析與探究。再則，我們也發現同骨同 N 不同組法的骨牌組成元素及同骨不同 N 的骨牌組成元素，並利用自己研發的交錯搭配法來快速研判能否拼組成功。除了九宮方陣外，我們運用九宮方陣的性質延伸設計出更有難度的方連組型及風車組型，並將此本次的研究成果設計成五套益智動腦的遊戲組，讓大家一起來挑戰動腦筋。

(一)在許多智力測驗的題目中，都有數列填充，用來測驗我們的歸納能力，而“降階法”是發現一般項規律的方法，有時需要多降幾階才會發現規律性，這些高階數列有那些性質？能不能定義二元運算？數列的運算保留了那些性質？改變了那些性質？能建立起什麼層次的代數結構？階差級數有沒有求和公式？(二)追求數學結構之完美”也是支持我們深入研究的動機。

本研究探討各種連續整數和表示法的最小整數及其關係。我們發現一個數的連續整數和表示法與該數的因數有關，將一個數質因數分解成A1a1×…×Amam ，質因數2不列入， 將所有質因數的次方數依a1×a2+ a1+ a2的方式依序算出的數，即為該數連續整數和表示法的種數。我們用Excel試算表找出一些連續整數和表示法的最小整數，也以此推算出各種連續整數和表示法最小整數的規律：有k種連續整數和表示法，當k為奇數時，(k-1)/2種的最小整數質因數分解為A1a1×…×Amam，則k種的最小整數為A1a1×…×Amam×（Am的下一個奇數）；當k為偶數時，y＝2、4、6、…，依序計算，(k-y)/(y+1)種為整數時，其最小整數質因數分解為A1a1×…×Amam，則k種的最小整數為A1a1×…×Amam×（Am 的下一個質數）y；如果(k-y)/(y+1)不是整數時，則k種的最小整數為3k。

這是我在小時候玩畫花圓圈的一種遊戲，起先，我認為只是畫一畫而已，但是玩久了以後，卻發現：奇怪！為什麼每一個點畫出來的圖案都不一樣？有些花瓣又尖又長，有些花瓣又圓又短，甚至還有一些畫了幾圈就開始重複了呢！於是，我就開始想研究這個奇怪的問題。

數學刊物從勾股定理談起以長方體的架構，長x、寬y、高z，對角線w 的概念去討論x2 + y2+ z 2= w2的畢氏數解，本文發現他遺漏了非常多組解。本文作者改以廣義的畢氏定理從平面幾何的概念找出所有畢氏數解。 傳統的畢氏定理只能在直角△上才能使用，本文探討一種廣義的畢氏定理，它適用於任何一種△(包括銳角△、鈍角△、直角△)，這種創新的廣義畢氏定理的靈感來自於直角△中的母子定理所使用的直角△，這種子△和原直角△的三邊依序垂直，銳角△和鈍角△中仍然存在著這種依序和原三角形三邊垂直的子△，文章中透過借用直角△推導畢氏定理相同手法去推導銳角△及鈍角△的畢氏定理，這樣的廣義的畢氏定理型如x2 + y2+ z 2 = a2 ，(其中a 代表△任一邊的長，x 和z 落在另兩邊上，而y 長的線段和a 長的線段平行)。在廣義的畢氏定理條件下，本文探討了正△、等腰△、直角△、銳角△、鈍角△的畢氏數，並找出了那些被遺漏的解，接著解開了四元二次不定方程x2 + y2+ z2= w2的所有畢氏數解。

我發現萬花尺是由兩圓互繞，竟形成那麼特別的圖形，便開始研究圖形成的原因。我從動態模擬萬花尺機械作圖開始，發現機械作圖的原理是用齒輪控制圓形的轉動，以至於可以控制花瓣數量，試想，如果不是因為齒輪，機械作圖總有誤差，要維持大小兩圓半徑在整數比的情況下是非常困難的事情。處理外圈是橢圓的情形時更是如此。 處理完機械作圖後，我找出控制萬花尺圖形的擺線方程式，這時候有兩個重點： 一、試著用方程式模擬並解釋機械作圖的所有樣態。 二、利用方程式內抽象的係數變化，討論原本機械作圖無法作成的圖形，包含外輪擺線的部分。

本研究主要是探討輪盤遊戲之破解，遊戲規則是從攤販設計好的遊戲輪盤中，玩家先選擇順時針or逆時針旋轉，再從一副撲克牌任意抽兩張撲克牌相加，得到的數字為N，再從轉盤上N處按照選擇好的方向轉動(N-1)步，最後停留的數字所對應的獎品歸玩家所有。研究結果發現：一、不論順時針或逆時針轉，最終轉到的數字只有1和奇數二種結果和找出此種結果的原因。二、找出輪盤的終點數公式。三、減少輪盤數字數時，同樣找出終點數公式和終點數公式的一般式。四、設計出新規則，用機率來讓遊戲更有趣。本研究與小六數學「怎樣解題」相關。

一、本年度數學科參展作品共五十七件，比往年略增，特別是國中組。許多作品，尤其國中、高中組多為學生自己討論出來的題目，而且作品品質顯著提昇，特別是國中組。 二、國小初小組部分作品顯示教師指導的比例偏高，題材跟往年略有重疊，惟學生對作品很有表達能力及成就感，初小教師應可加強輔導學生選題及相關資訊之搜尋，培養正確的參展態度及研究興趣。另外國小部分作品以實驗的方式呈現，但學生無法辨識數學實驗與自然科學實驗研究活動的特質，指導教師應該正確輔導。 三、國小高小組部分近年水準均佳，尤其或第一、二的兩件作品，顯示參展學生具超人一等的數學能力及空間想像力，值得培養繼續鼓勵，應為可造之才。 四、整體作品今年趨向於幾何與離散數學題材，似與參加國際數學競賽活動有關。取材適合學生本身能力，得獎作品探討細緻，部分作品已達國際科展選拔之水準，值得佳許。 五、部分作品屬長時間持續性的研究成果逐年增進作品內容，值得鼓勵。

中國時報69.10.13刊登了一篇有關疊紋的報導。如左下圖所示係兩張同心輻射線交疊，便產生了新的紋路，謂之疊紋。這美妙的幾何圖案引發了我們研究直線疊紋的動機。（因為那時我們正學到平面上的直線方程式。我們用印有等問隔平行條紋的筆記本紙由復印機製成膠片（經過縮小）。兩者以0 角交疊，圖從略，結果看到有一群特別明亮的紋件產生，這就是直線的疊紋，我們稱他為亮帶，當0 角改變時，亮帶的位置及間隔距離也跟著改變，仔細觀察，我們發現亮帶經過兩群平行線的所有交點，於是，我們想將座標幾何學以致用，希望能利用法式求出亮帶的問隔距離，這是本文最主要的目的。

本研究源自轉珠遊戲，剛開始參考第54屆高中組作品，接著使用「控制變因法」及「樹狀圖」，經歷了觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗的過程後得到： 一、「3消」及「5消」最短步數基礎樣式。 二、發現分界格的關係區域分類圖，並利用該圖找到最短步數起始珠的位置。 三、建立「3消」及「5消」達成combo的最短過程圖及路徑圖。 四、發現基礎樣式之間有包含關係，且具有階層關係。 五、建立降階表，將階層較低的樣式，使用降階法快速轉換為階層0；階層較高的樣式，使用降階法逐步轉換為較低階層。 六、建立起始珠的判斷準則，以得到「3消」及「5消」任意組合的最短步數，並以此為基準串連更多的「3消」及「5消」。 七、建立轉珠思考邏輯。