數學科

本研究探討各種連續整數和表示法的最小整數及其關係。我們發現一個數的連續整數和表示法與該數的因數有關，將一個數質因數分解成A1a1×…×Amam ，質因數2不列入， 將所有質因數的次方數依a1×a2+ a1+ a2的方式依序算出的數，即為該數連續整數和表示法的種數。我們用Excel試算表找出一些連續整數和表示法的最小整數，也以此推算出各種連續整數和表示法最小整數的規律：有k種連續整數和表示法，當k為奇數時，(k-1)/2種的最小整數質因數分解為A1a1×…×Amam，則k種的最小整數為A1a1×…×Amam×（Am的下一個奇數）；當k為偶數時，y＝2、4、6、…，依序計算，(k-y)/(y+1)種為整數時，其最小整數質因數分解為A1a1×…×Amam，則k種的最小整數為A1a1×…×Amam×（Am 的下一個質數）y；如果(k-y)/(y+1)不是整數時，則k種的最小整數為3k。

(一)在許多智力測驗的題目中，都有數列填充，用來測驗我們的歸納能力，而“降階法”是發現一般項規律的方法，有時需要多降幾階才會發現規律性，這些高階數列有那些性質？能不能定義二元運算？數列的運算保留了那些性質？改變了那些性質？能建立起什麼層次的代數結構？階差級數有沒有求和公式？(二)追求數學結構之完美”也是支持我們深入研究的動機。

推推樂的連鎖效應遊戲是多數人對骨牌的印象，殊不知骨牌上的點數也可以營造出好玩且具思考性的數學拼組活動，有幸在去年高雄市的科展中看到多米諾骨牌的活動介紹，激發了我們深入探究的動力，因此以骨牌拼組的九宮方陣作為本次研究的主題。本研究將骨牌上的點數改換成數字模式，製作出整組的數字骨牌，進行九宮方陣的拼排，在窮盡所有的組合中，我們歸納出三大組型～對稱型、可逆型及單一型，並分別進行規律的分析與探究。再則，我們也發現同骨同 N 不同組法的骨牌組成元素及同骨不同 N 的骨牌組成元素，並利用自己研發的交錯搭配法來快速研判能否拼組成功。除了九宮方陣外，我們運用九宮方陣的性質延伸設計出更有難度的方連組型及風車組型，並將此本次的研究成果設計成五套益智動腦的遊戲組，讓大家一起來挑戰動腦筋。

這是我在小時候玩畫花圓圈的一種遊戲，起先，我認為只是畫一畫而已，但是玩久了以後，卻發現：奇怪！為什麼每一個點畫出來的圖案都不一樣？有些花瓣又尖又長，有些花瓣又圓又短，甚至還有一些畫了幾圈就開始重複了呢！於是，我就開始想研究這個奇怪的問題。

本研究為傳統遊戲創新，改變遊戲形式與玩法，中間前後不留空格，且題目中花色種類按a、b、c……順序排列，在每種花色數量相等的情況下進行直線相鄰移位遊戲。研究裡設定了三種不同的最後排列順序要求，觀察當花色種類數與每種花色數量為任意數時的最少移位次數，試著從操作過程歸納最少移位次數(最佳解決策略)之規律，並得到通式。接著，將直線型改為其他排列圖形─順時鐘環形，同樣的歸納在最後三種不同排列順序要求下最少移位次數之規律，得到通式，並比較與直線排列之相關性。

我發現萬花尺是由兩圓互繞，竟形成那麼特別的圖形，便開始研究圖形成的原因。我從動態模擬萬花尺機械作圖開始，發現機械作圖的原理是用齒輪控制圓形的轉動，以至於可以控制花瓣數量，試想，如果不是因為齒輪，機械作圖總有誤差，要維持大小兩圓半徑在整數比的情況下是非常困難的事情。處理外圈是橢圓的情形時更是如此。 處理完機械作圖後，我找出控制萬花尺圖形的擺線方程式，這時候有兩個重點： 一、試著用方程式模擬並解釋機械作圖的所有樣態。 二、利用方程式內抽象的係數變化，討論原本機械作圖無法作成的圖形，包含外輪擺線的部分。

設有一組數列定義{ai,j,l}，如下： 1. a1,1,1=0 2. ai,j,l規定: (1)除了a1,j,l，a2,j,l，a3,j,l，…，ai-1,j,l的整數不能再出現外的最小非負整數。 (2) 除了ai,1,l，ai,2,l，ai,3,l，…，ai,j-1,l的整數不能再出現外的最小非負整數。本研究首先發現 ai,j,l=aj,i,l，ai,i,l=0，ai,j,l=j-1，a2,j,l=(j-1)-(-1)j。並發現下列現象，並構造Al,r方塊。 Al,1=[0]，Al,2=[01 10]，Al,3=[0123 1032 2301 3210]，設Al,r成立，Al,r=[ai,j,l]2k-lx2k-1xl，A*l,r=[bi,j,l]2k-lx2k-1xl，則bi,j,l=ai,j,l+2r-l Al,r方塊分割成4個方塊，Al,r=[Bl,r-l Cl,r-l Dl,r-l El,r-l] ，則Al,r=[Bl,r-l B*l,r-l B*l,r-l Bl,r-l] 。本研究發現方塊的對稱，主對角線，次對角線的性質，並利用二進位法尋找ai,j,l的一般式1l。本研究並延伸到三維空間，發現三維方塊的構造、三維的軸對稱、三維空間最小步數的奇偶性及以二進位法探討三維空間一般式。

數學刊物從勾股定理談起以長方體的架構，長x、寬y、高z，對角線w 的概念去討論x2 + y2+ z 2= w2的畢氏數解，本文發現他遺漏了非常多組解。本文作者改以廣義的畢氏定理從平面幾何的概念找出所有畢氏數解。 傳統的畢氏定理只能在直角△上才能使用，本文探討一種廣義的畢氏定理，它適用於任何一種△(包括銳角△、鈍角△、直角△)，這種創新的廣義畢氏定理的靈感來自於直角△中的母子定理所使用的直角△，這種子△和原直角△的三邊依序垂直，銳角△和鈍角△中仍然存在著這種依序和原三角形三邊垂直的子△，文章中透過借用直角△推導畢氏定理相同手法去推導銳角△及鈍角△的畢氏定理，這樣的廣義的畢氏定理型如x2 + y2+ z 2 = a2 ，(其中a 代表△任一邊的長，x 和z 落在另兩邊上，而y 長的線段和a 長的線段平行)。在廣義的畢氏定理條件下，本文探討了正△、等腰△、直角△、銳角△、鈍角△的畢氏數，並找出了那些被遺漏的解，接著解開了四元二次不定方程x2 + y2+ z2= w2的所有畢氏數解。

本研究源自轉珠遊戲，剛開始參考第54屆高中組作品，接著使用「控制變因法」及「樹狀圖」，經歷了觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗的過程後得到： 一、「3消」及「5消」最短步數基礎樣式。 二、發現分界格的關係區域分類圖，並利用該圖找到最短步數起始珠的位置。 三、建立「3消」及「5消」達成combo的最短過程圖及路徑圖。 四、發現基礎樣式之間有包含關係，且具有階層關係。 五、建立降階表，將階層較低的樣式，使用降階法快速轉換為階層0；階層較高的樣式，使用降階法逐步轉換為較低階層。 六、建立起始珠的判斷準則，以得到「3消」及「5消」任意組合的最短步數，並以此為基準串連更多的「3消」及「5消」。 七、建立轉珠思考邏輯。