本研究旨在探討「帕隆多悖論」，將兩個容易賠錢的賽局遊戲A與B遊戲合在一起進行，卻能變成容易賺錢的賽局(遊戲C)，這是違反常人直覺的現象，因此我們想探究其中的機制、原因和成立條件。 我們以「執行遊戲A和B之特殊組合」、「執行遊戲A和B之機率」和「遊戲A和B的賺錢機率」為實驗變項，應用Excel和Scratch模擬各情況之期望值，來探討帕隆多悖論成立的條件。最後，將研究發現結合專家訪談，找出在市場機制中的實際案例。 發現遊戲執行組合的影響最為關鍵，而且在執行遊戲A的機率為41%時會有最高的期望值。最後，我們找出帕隆多悖論在三種以上賽局成立的情形與必要條件，也歸納出各變項對於獲利影響程度 差異 及賺錢的關鍵週期 。

先設定△作為外圖形，在其內作內△。利用內△等分點做塞瓦線，透過相鄰內△塞瓦線交點及其頂點探討產生之不同圓錐曲線圖形的關係，並做相關推論及證明。之後，改變外圖形邊數，利用外圖形相鄰邊夾角與內△的關係研究出「萬花三角芒星」規則，並藉由製作多邊形的圓錐曲線，並在確認外圖形邊數及內角角度的條件下直接推出對應圓錐曲線關係。

「莫比烏斯環」是由德國數學家莫比烏斯和約翰•李斯丁在1858年發現的。將一般的紙環剪斷後，將其中一邊翻轉一次(翻轉180度)再黏合，會形成一種單面單邊體。本研究將從莫比烏斯環的結構及特性出發，並測試不同翻轉次數，以及不同的裁切方式所產生的影響。最後嘗試找出翻轉及裁切兩種變因不同時的規律，進一步推論出在其他翻轉次數或是裁切方式所產生的結果。

在這次的研究中，我們在書上看到了一個問題，是一道有關於在棋盤上，貓和老鼠不能看到對方的問題。我們先研究這個題目中棋盤大小、貓和老鼠數量的規律，我們從1×1一路研究到了8×8，並且試著找出在不同棋盤大小的遊戲中，要有幾隻貓才能讓老鼠的平均數量接近2隻，之後我們將 題目設計成對戰的遊戲。 我們首先設計了一個棋盤大小是6×6的桌上型遊戲，並且修改過幾次規則。後來學習了程式設計，把遊戲改到電腦裡遊玩，我們使用scratch寫程式來製作遊戲，並且把原本6×6的棋盤擴大改成了8×8的棋盤。我們在試玩的過程中，又再次把一些不公平的遊戲規則修改了一下，最後我們和同學一起試玩遊戲，製作出了屬於我們的「貓鼠終極戰」。

此研究主要探討將利樂棒填入不同之矩形及阿茲特克鑽石網格圖形，研究重點放在以二棒、三棒、四棒的單一或任取兩種元件分別探討不同比例的組合，可成功覆蓋圖形格線的情形，研究發現，不同元件可透過擺放位置及棒數計算，利用著色法、窮舉法、遞迴式及數學歸納法等不同方法，分析成功覆蓋及無解原因，加以歸納說明，並將其可擴展之矩形邊長及鑽石階數以一般式呈現。

本研究最初將兩正方形重疊，使其面積重疊處形成一八邊形，將此八邊形的八個邊分成兩組，發現此兩組邊長有1次方和相等、2次方和相等的性質。 而後我們將正方形推廣至正n邊形，討論什麼條件之下，可以使兩正n邊形重疊處為2n邊形。探討其中一正n邊形對另一正n邊形平移範圍的限制。再證明重疊部分2n邊形的兩組邊長之1～n-1次方和相等，最後再討論兩組邊長n次方和相等的條件。 除此之外，我們將正n邊形推廣到其他多邊形。發現有兩條互相垂直對稱軸的圖形與等角多邊形，也會具有兩組邊長1次方和相等、2次方和相等的性質。

如果正整數 存在環狀排列，使得相鄰的數字和皆為質數，則將其定義為質數環。 本文主要用不同方法探討質數環的存在性。在本文與文獻中，都沒有解出質數環通式的方法，因此我藉由孿生質數、類孿生質數、一般質數（相差不固定的質數組）等方法，證明對於特定值的質數環存在性，並使用程式驗證各定理在有限範圍能構造出質數環的整數個數、比例。 本文的貢獻之一在於發展出類孿生質數構造質數環的方法，我突破質數對相差變大會比較難找出數字間的關係的框架，延伸孿生質數的方法至類孿生質數，還結合一對孿生質數與一對相差四的質數以構造質數環。 更進一步地，本文提出不需要使用孿生質數的方法，擺脫孿生質數猜想，使這個問題更一般化。

科學研習月刊上有一道數學問題，將編號1至5的鵲與1隻鳩(編號0)任意排成一圈，鵲媽媽由k號鵲開始餵，下一次順時針數k隻鳥後，餵第二隻r號鵲，再順時針數r隻鳥後餵第三隻，依此類推且鳩吃不到食物，我們成功找出原題不讓鳩吃到食物的解。但隨著鵲與鳩的增加，直接討論餵食順序與位置關係越趨困難，所以用鵲(n隻)不重複餵食進行討論得出成功餵食順序，也推出鵲鳩圍成一圈的排列位置。因此，我們證明出n鵲m鳩成功餵食的有解條件，並用排列組合與對稱性算出成功餵食順序的方法數。最後，我們也改變餵食方法，採餵食後跳過不數的方式，發現成功餵食順序的方法數不會隨著鳩數增加而改變，皆為編號1至n的鵲的直線排列數n!。

本研究由一題三角形內心與其旁心三角形頂點連線交外接圓所構成三角形面積問題出發，藉由相似形的觀察發現可透過連接頂點與內心作中垂線作圖而成，以此為靈感開始定義點心中垂三角形，創新探究其他形心所構造的點心中垂三角形性質以及與原三角形的面積比，過程中發現三角形五心之間心與心互換的關係，讓我們聯想到如果繼續疊作中垂線，三角形有外、內、垂心共點與共線性質，接著我們延伸至四邊形與多邊形，發現層層之間的圖形有彼此相似與對應邊 平行…等共點、共線性質存在。

本作品取自國際數學奧林匹亞2022年第一題，我們給出完整的解答，不需要使用中學以上的數學知識，而且利用本作品的方法，將原題探討的兩種硬幣，推廣到m≧3種。