本文由三角形幾何開起動機，並結合力學的觀念，來推導幾個已知的三角形幾何，其中包括三角形內心、重心、與垂心，推導的過程主要是以力學中「作用在剛體上的三個共面不平行的力是平衡的，則它們的作用線交於一點」的結論來做推論，三角形內心以力的合成與力的分解兩部份做推論，三角形重心以六個相等力做推論，三角形垂心則以力的垂直分量相加來做推論，而這另類的推導也得到合理的結果。

今年（ 88 年）春假，閒來無聊，順手翻出四下（第八冊）的數學，回想當時在學習第七單元─「長方體與正方體」中；有一種「下列各展開圖中，何者可折回正方體？」的題目；面對這一種題目，老師總是要我們實際操作後，再圈選出來正確的答案。如此一來每一次做一題題目總是會花費了我不少的時間，因此我才想找出更好更快的方法，來解決這一個問題。為了找出更好更快的方法，我找了幾位志同道合的同學展開了以下一連串的研究，並且隨時請教爸媽和老師。

從遊玩Dots and Boxes中3×3的遊戲設定中發現必勝法，藉此推廣其方法至大小2×n的的狀況下，尋找其中的相關規律。

由於受到學習經驗的影響，我們理解可利用鏡像作圖，找出撞球台上從某一點「繞球台」撞至另一點的第一碰撞點位置。但面對真實撞擊時，就會覺得當判定用的線段落至球台外部時，會使得撞擊方向的確定更為困難。我們希望找出可將所有判定因素拉回球台上考慮的方法，以提高理論的應用性。 我們針對以「對邊連續碰撞」與「繞球台」兩種方式，撞擊母球至另一指定位置的撞擊方向進行討論，從少顆星探討到多顆星，從「對邊連續碰撞」探討到「依序繞球台」再到「非依序繞球台」，透過不斷試驗、推證與修訂，確立了「對邊連續碰撞」的簡易撞擊方向判定法，並證得以「黑盒子中心」找出判定「繞球台」撞擊方向的理論。依據推得的理論作圖，可得出P點繞球台n顆星撞至Q點的初始撞擊方向，若依此方向將P點撞出，則點P必能撞至點Q位置。

有一天上數學課的時候，老師忽然提出了一個問題：「用1元、s元、10元、50元和100元的錢幣湊成 1256元，有幾種湊法？」我們覺得這個問題很有趣，但是一時之問答不上來，課後三五成羣，聚在一起討論，拿出錢幣排排看，發現情形錯綜複錐、種類繫多，無從著手，於是想到分類整理，作圖解，第二天提出了許多不同的答案，…… 414種，102 種 ..九百多種，二千多種 · · · · · · · 一但都沒有 172 把攔，隨後老師告訴我們種敵很多，不只這些，要知道正確答案，須先簡化問題，列表，找出規律性，並告訴我們這種方法是以後做學問常用的方法。於是在老師的指導下，我們做了以下的研習活動。

「分水問題」原自於古代的一個數學問題：有個農夫到油行要買2 袋4 升的麻油，但是油行只有3 升、5 升兩種容量的量杯，沒有其他的測量工具，油行老闆如何利用這兩種容量的容器倒出農夫所要的2 袋4 升麻油呢？這個原本是個生活中現實的問題，現在已經演變成一個數學益智遊戲的問題，不只小學的數學課本曾經出現類似的問題，甚至於連電影都曾經拿它當作劇情（終極警探3）。我們將分水問題中的每一次倒水步驟用座標的方式來記錄，再將它用圖形來標記，進而探討它的規律，讓「分水問題」變的簡單而有趣。

物價飛漲時，商家會用什麼方式因應，以維持或增加客源? 我們將此想法，轉換為循環槍手賽局，針對其策略進行探討。遊戲規則：槍手依序輪流開一槍，若自己的靶被擊中就必須退出，最後留在遊戲中的為勝利者。若參考槍手們的命中率，並選擇射擊對象或不射擊，則如何決策才能讓自己的勝率最高? 先運用樹狀圖及幾何的方式找出兩人槍手遊戲的Nash平衡解。再考慮三人規範式槍手遊戲：選定一策略，只要槍手組合不變，其策略亦不變。給定三槍手的命中率，可用機率轉移矩陣及全決策盒找出最佳策略。而槍手的命中率或過去行動訊息缺乏時，可運用條件機率及截面的概念，找出其不完美最佳策略。推廣到一般化賽局的全決策空間，試提供賽局理論一個新的分析方法。

暑假時我們幾個同學想研究一些數學課外讀物，就向老師請教，老師建議我們去做比較有意義的學習，如製作科展，並提供一個方向-費氏數列，告訴我們:九大行星的距離、鸚鵡螺的螺旋角度，都和費氏數列有著微妙的關係呢!鼓勵我們費氏數列是一個大寶藏，只要花心思，很少會空手而回。於是開始展開我們研究的系列，蒐集往年的科展資料，上網路查詢，到師大數學系圖書館翻閱雜誌，到書局翻書找靈感.....，開始研究這一串神奇的數列。

三角形有一個多邊形缺角時，重心會產生偏移，如何切割截角，使得截角後圖形的重心回到原三角形的重心。這樣的截角稱為不變心截角。本研究將三角形的缺角分成六類，並成功找出不變心截角法則，完成此六類的不變心截角。 我們並探討不變心等積切割問題，就是當三角形有一個多邊形的缺角時，在另外兩個對應位置截去兩個與缺角等積截角的作圖方法。我們先完成正三角的不變心等積截角。再以正三角形為媒介，透過平行線之間的面積轉移，完成底：高為2：√3的三角形之不變心等積截角。以此成功的例子為基礎，我們找出並證明任意三角形不變心等積截角的方法，並成功完成缺角為任意多邊形的不變心等積切割。

現在有許多求平方根的方法，有精準而麻煩的，如：《十分逼近法》、《直式開方法》。也有簡單而不準的如：《內插法》、《圖解法》。經過我們的研究討論，得到一平方根近似值的最新解法──二分逼近法。此法可以綜合以上的優點，除去以上的缺點，並將它推廣成為一個有用的方法。