數學科

「數字天平」常出現數學益智題目裡，或當作數學競賽訓練題，但本研究的數字天平是採用新的條件，此題於2011年1月在某研討會被提出來，當日與會者沒有人解出，題目如下：一個天平支點的左右兩側，每隔一個單位長各設一個掛勾，今有n個砝碼，其重量分別是1,2,3,...,n 個單位重，設定條件如下： 1.n個砝碼都必須要被掛上 2.每個掛勾下最多只能掛一個砝碼， 3.不考慮掛天平本身、掛勾及掛勾下細繩的重量。在天平力矩平衡的情況下，設支點左側掛有砝碼的最長力臂為L，支點右側掛有砝碼的最長力臂為R，規定符號Wn:{1,2,3,...,n}，其L+R的最小值記作R(wn)。問L+R的最小值為何。本研究得到的結論有二個部份，第一部份為： 1.R(w2)=3，R(w3)=6，R(w4)=5。 2.當n≧5，R(wn)=n。第二部份是研究重量一般化的情形，探索了任意n個相異整數重量的砝碼，得到L+R最小值大於n單位長的一些充份條件。

我們每天都會照鏡子，鏡子之影像與自己是左右相反，那天突然把幾個特殊的數在鏡中反映，結果發現有趣的現象，例如： 這些數的平方與它的鏡子反映的數平方在鏡子中的反映恰巧相等。我們給這樣的數一個名稱“平方鏡反數”。我們起了些疑問： (一)怎樣的數才是平方鏡反數？ (二)在自然數系中有幾個平方鏡反數？

利用數學課本第五冊第一章相似三角形的基本概念， 探討出一元二次方程式的另類解滕， 並經過金幬加工製作成模型， 成為解一元二次方程式的工具。

在一元n 次方程式中，其根與係數在在一種密切的關係。例如：若一元三次方程式 x3+px2+qx+r =0之三根αβγ則α+β+γ=-p αβ+βγ+γα=q αβγ=-r這些都是根與係數的基本關係式。由於對稱式基本定理「每一個對稱式皆可表為耀本對稱式之多項式」(證明請參閱高中數學實驗教材 自然組第六冊第 96 項）所以我們可以將根之任何對稱式表成其係數之關係。

象棋、跳棋和圍棋都是我們常見到的遊戲，根據玩象棋的規則，將、士、象、卒都不能走遍棋盤上的每個位置，而車、馬、包則威力十足，尤其是車、包在棋盤上可以橫衝直撞，走遍每個位置，至於馬的走法，雖然只能走日步，而無法隨意移動，但是仍然頗有威力而且可以走遍棋盤上每個位置，其中必然有些道理，尤其探討其中相關的數學道理，應該是既好玩又有意義。另外，從報章雜誌的報導，得知我國參加 1993 年第 34 屆國際數學奧林匹亞競試成績輝煌，並且在科教月刊 163 期第 48 頁至 61 頁中，看到有關這次競賽試題的解答與評析，發現在六道試題當中，有一道試題與玩棋有關，而且竟是六道試題當中最難的一題，我想解決這個玩棋問題的數學知識及方法，勢必不太容易，值得我們去探討研究。

本文由三角形幾何開起動機，並結合力學的觀念，來推導幾個已知的三角形幾何，其中包括三角形內心、重心、與垂心，推導的過程主要是以力學中「作用在剛體上的三個共面不平行的力是平衡的，則它們的作用線交於一點」的結論來做推論，三角形內心以力的合成與力的分解兩部份做推論，三角形重心以六個相等力做推論，三角形垂心則以力的垂直分量相加來做推論，而這另類的推導也得到合理的結果。

本研究是根據遊戲規則找出三色球的相關性質。利用此相關性質，分析所有情況的差異，討論是否有解，並找出最少的操作次數。我們先從基本的三色球開始研究，接著轉換成較為複雜的四色球，最後利用三、四色球之間的關連性分析出n色球的研究，完成之後，寫出研究的結論。

由於受到學習經驗的影響，我們理解可利用鏡像作圖，找出撞球台上從某一點「繞球台」撞至另一點的第一碰撞點位置。但面對真實撞擊時，就會覺得當判定用的線段落至球台外部時，會使得撞擊方向的確定更為困難。我們希望找出可將所有判定因素拉回球台上考慮的方法，以提高理論的應用性。 我們針對以「對邊連續碰撞」與「繞球台」兩種方式，撞擊母球至另一指定位置的撞擊方向進行討論，從少顆星探討到多顆星，從「對邊連續碰撞」探討到「依序繞球台」再到「非依序繞球台」，透過不斷試驗、推證與修訂，確立了「對邊連續碰撞」的簡易撞擊方向判定法，並證得以「黑盒子中心」找出判定「繞球台」撞擊方向的理論。依據推得的理論作圖，可得出P點繞球台n顆星撞至Q點的初始撞擊方向，若依此方向將P點撞出，則點P必能撞至點Q位置。

本年度的數學作品基本上相當令人滿意，比起上一屆的作品，除初小組稍嫌不足外，其餘皆有過之。尤其是高中組及國中組更有很好的表現。值得一提的是今年有些較偏遠地區的學校也有很好的表現。至於高小組一些優異的作品，更是參加過好幾次的科展，而且每一次都有很好的表現。 初小組參加之件數一直都較短缺，主要是題材不易，我們覺得如果除了生活上所接觸到的題目外，亦可取自一些期刊之資料，例如今年之優勝作品即為一例。 國中組之最優作品可嘐說是一枝獨秀，表現突出，使人有煥然一新的感覺。 高中組的優秀作品，不但考慮的層面廣而且深，更展現出作者的功力，而且其結果亦具學術價值及創新性。

由【希臘十字】的挑戰為起點，我們試著探討多方塊用最少刀切割再重組拼成正方形的可能性。研究過程中，我們發現邊長長度是一個重要的因素，在五方塊中找√5的邊長，八方塊中找√8的邊長是解題關鍵，垂直切割後能產生直角是另一個關鍵。研究結果顯示12種五方塊圖形中，切割重組成正方形的最少刀數是二刀(五種圖形)及三刀(七種圖形)、369種八方塊圖形中，切割重組成正方形的最少刀數是一刀(4種圖形)、二刀(215種圖形)、三刀(149種圖形)及四刀(1種圖形)。將五、八方塊切割組合的方法，運用到十方塊的切割組合是可能的。目前我們依方塊數及圖形的不同，分為等長型、固定型、不定型等應用類型，而更完整的應用持續在研究中。