數學科

本文利用重排 (permutation) 、圈 (cycle) 及階數 (order) 等工具來探討102學年度國中基本學力測驗之中一個有關洗牌次數的問題。在研究過程中，我們定義了記錄撲克牌之排列的符號、洗牌操作σn1n2的重牌符號、重排的圈形式及洗牌次數ord(σ)，並探討其相關性質。

我們研究的是一個有段歷史的題目：「柏金斯太太的被單」。其定義為：如何將邊長為正整數的正方形切割成「最少個數」（最小階）的小正方形；而且這些小正方形的邊長也是正整數，相同邊長的小正方形可以重複，但小正方形的邊長的最大公因數需為1。我們歸納出，重複利用「簡單二倍法」及「重疊二倍法」，可以每次加兩階或是加三階的方式增加，反覆構作可以切割邊長120以內的正方形，都不超過19階。

喬治.波利亞(George Polya)所善「數學研究法」( Mathematics and Plausible Reasoning)給我很多的啟示與靈感。書中引數學家高斯(Gauss)的話說：「數論中有料想不到的好運氣，藉歸納法挖掘到最優美的新真理。」

公平分配是日常生活中很重要的概念。本研究是利用數學的概念探討公平分配工作的標準，及在此標準之下如何分配工作？並深入探討增加人數、物品數量後，它的搬運策略，以及如何達到最短工作路徑的條件。我們最後的公平分配的標準是：一、行走相等的距離，二、負重時行走相等的距離，並以此標準探討工作分配的方法、運送方法及其規律和數學一般式。最後再找出公平分配的方法以解決兩組同學不同的看法。

本研究試圖從三個正三角形所產生Echois三角形的特性，推廣至任意多個正多邊形與相似多邊形所產生的Echois圖形的特性。我們利用電腦進行動態幾何實驗，發現Echois圖形與原圖形之間的關係，並進一步驗證，同時在圖形變換過程中，觀察圖形退化的一些有趣現象，從而對一個三角形的三頂點與其重心的關係，擴增到Echois圖形與其一群圖形之間的關係，對重心的概念產生更深一層的認識。

物價飛漲時，商家會用什麼方式因應，以維持或增加客源? 我們將此想法，轉換為循環槍手賽局，針對其策略進行探討。遊戲規則：槍手依序輪流開一槍，若自己的靶被擊中就必須退出，最後留在遊戲中的為勝利者。若參考槍手們的命中率，並選擇射擊對象或不射擊，則如何決策才能讓自己的勝率最高? 先運用樹狀圖及幾何的方式找出兩人槍手遊戲的Nash平衡解。再考慮三人規範式槍手遊戲：選定一策略，只要槍手組合不變，其策略亦不變。給定三槍手的命中率，可用機率轉移矩陣及全決策盒找出最佳策略。而槍手的命中率或過去行動訊息缺乏時，可運用條件機率及截面的概念，找出其不完美最佳策略。推廣到一般化賽局的全決策空間，試提供賽局理論一個新的分析方法。

本報告主要討論一筆畫走法數，從含兩個奇數點的直線方塊圖到皆由偶數點構成的直線方塊圖，這些圖形又可分為直向與橫向，進而推出無限延伸的直線走法數公式，研究過程中發現偶直線圖形的一些性質，然後我們將方塊擴展成平面2×N，最後導出2×N 的通氏。在推導2×N. 3×3 圖形走法數時，觀察到路徑似乎可平移，且圖形平移後走法數不變。

故事的開始是在我們這快快樂樂的班級無數個吵吵鬧鬧的下課十分鐘中的一個。有人手舉圓規高嚷：「圓規作橢圓，賭一場電影！」於是一個聰明人把課木捲起來，在上面用圓規畫一個圓，攤開了課本，「嘿嘿!……」 然而且慢！這是一個橢圓嗎？我們發覺這是個很有趣，可能也很重要的問題，經過了半年多的探討，我們要告訴你一個故事。

暑假時我們幾個同學想研究一些數學課外讀物，就向老師請教，老師建議我們去做比較有意義的學習，如製作科展，並提供一個方向-費氏數列，告訴我們:九大行星的距離、鸚鵡螺的螺旋角度，都和費氏數列有著微妙的關係呢!鼓勵我們費氏數列是一個大寶藏，只要花心思，很少會空手而回。於是開始展開我們研究的系列，蒐集往年的科展資料，上網路查詢，到師大數學系圖書館翻閱雜誌，到書局翻書找靈感.....，開始研究這一串神奇的數列。

於偶然機會得一九連環，自此深感興趣，經常操練，慢慢學會其傳統解法，對於有關它的資料亦十分關心，後又自“科學月刊”第五卷第三期中有一專題指出，具解法所須操作次數與“二進位 ”有關，且指出解出 N 個環需操作 2 n-l 次，依序操作卻發現實際情形與公式不符，如解出九連環只須 341 次而非 2 9-1=511 次，於是引起想找出它與二進位制的確切關係及正確公式的興趣。