數學科

本篇作品主要研究在兩個人或多個人在n場對戰中(例如賽馬)，其中一個人的實力處於劣勢，而處於劣勢的那個人，得到勝利的策略方法數有多少種。 如「田忌賽馬」原文中，田忌和齊王各有三匹馬，我們的目的在於找出一個演算的方法，可以求出當田忌和齊王各有n 匹馬時，田忌的致勝策略數。為了解決問題，我們利用排容原理先處理「超算方法數」及「修正係數」兩部分，最後才得到獲勝策略總數。又主要問題點在「超算方法數」，我們發現關於超算方法數的一種遞迴關係，並由此得到一般式的結論，且透過了數學歸納法證明之。除了解決原先問題外，我們更推廣此問題至其他條件或規則，例如雙方條件一樣、差 等級、限定條件或多方對戰等，並得到一些結果。

本研究試圖從三個正三角形所產生Echois三角形的特性，推廣至任意多個正多邊形與相似多邊形所產生的Echois圖形的特性。我們利用電腦進行動態幾何實驗，發現Echois圖形與原圖形之間的關係，並進一步驗證，同時在圖形變換過程中，觀察圖形退化的一些有趣現象，從而對一個三角形的三頂點與其重心的關係，擴增到Echois圖形與其一群圖形之間的關係，對重心的概念產生更深一層的認識。

72 年大學聯考歡學試題，有底下這個題目：設 O＜0＜π/2試求 3/cos+2/sin0之最小值。事後有很多人（包括大學教授）認為這個題目應該用微分來解，但三角 函數的微分在高中階段並未講授，故用微分解這個問題，實崔是超出高中生的能力範圍，因此激起我們對這個問題研究的興趣，希望能想出一個較完美的解法，並能推到一般的結論。

物價飛漲時，商家會用什麼方式因應，以維持或增加客源? 我們將此想法，轉換為循環槍手賽局，針對其策略進行探討。遊戲規則：槍手依序輪流開一槍，若自己的靶被擊中就必須退出，最後留在遊戲中的為勝利者。若參考槍手們的命中率，並選擇射擊對象或不射擊，則如何決策才能讓自己的勝率最高? 先運用樹狀圖及幾何的方式找出兩人槍手遊戲的Nash平衡解。再考慮三人規範式槍手遊戲：選定一策略，只要槍手組合不變，其策略亦不變。給定三槍手的命中率，可用機率轉移矩陣及全決策盒找出最佳策略。而槍手的命中率或過去行動訊息缺乏時，可運用條件機率及截面的概念，找出其不完美最佳策略。推廣到一般化賽局的全決策空間，試提供賽局理論一個新的分析方法。

故事的開始是在我們這快快樂樂的班級無數個吵吵鬧鬧的下課十分鐘中的一個。有人手舉圓規高嚷：「圓規作橢圓，賭一場電影！」於是一個聰明人把課木捲起來，在上面用圓規畫一個圓，攤開了課本，「嘿嘿!……」 然而且慢！這是一個橢圓嗎？我們發覺這是個很有趣，可能也很重要的問題，經過了半年多的探討，我們要告訴你一個故事。

由積性函數特性馬上可證得尤拉公式(B)=B(1-1/91)•(1-1/92)•(1-1/93)…(1-1/9n) 現在，我們想把尤拉公式推廣，若 A 表另一正整數令（ A , B ）表示：不大於 A 且與 B 互質的正整數個數我們想由積性函數的觀點切入，探討下列等式成立的條件 (A1,B)=A(1-1/91)•(1-1/92)……(1-1/9n)

本報告主要討論一筆畫走法數，從含兩個奇數點的直線方塊圖到皆由偶數點構成的直線方塊圖，這些圖形又可分為直向與橫向，進而推出無限延伸的直線走法數公式，研究過程中發現偶直線圖形的一些性質，然後我們將方塊擴展成平面2×N，最後導出2×N 的通氏。在推導2×N. 3×3 圖形走法數時，觀察到路徑似乎可平移，且圖形平移後走法數不變。

暑假時我們幾個同學想研究一些數學課外讀物，就向老師請教，老師建議我們去做比較有意義的學習，如製作科展，並提供一個方向-費氏數列，告訴我們:九大行星的距離、鸚鵡螺的螺旋角度，都和費氏數列有著微妙的關係呢!鼓勵我們費氏數列是一個大寶藏，只要花心思，很少會空手而回。於是開始展開我們研究的系列，蒐集往年的科展資料，上網路查詢，到師大數學系圖書館翻閱雜誌，到書局翻書找靈感.....，開始研究這一串神奇的數列。

「數字天平」常出現數學益智題目裡，或當作數學競賽訓練題，但本研究的數字天平是採用新的條件，此題於2011年1月在某研討會被提出來，當日與會者沒有人解出，題目如下：一個天平支點的左右兩側，每隔一個單位長各設一個掛勾，今有n個砝碼，其重量分別是1,2,3,...,n 個單位重，設定條件如下： 1.n個砝碼都必須要被掛上 2.每個掛勾下最多只能掛一個砝碼， 3.不考慮掛天平本身、掛勾及掛勾下細繩的重量。在天平力矩平衡的情況下，設支點左側掛有砝碼的最長力臂為L，支點右側掛有砝碼的最長力臂為R，規定符號Wn:{1,2,3,...,n}，其L+R的最小值記作R(wn)。問L+R的最小值為何。本研究得到的結論有二個部份，第一部份為： 1.R(w2)=3，R(w3)=6，R(w4)=5。 2.當n≧5，R(wn)=n。第二部份是研究重量一般化的情形，探索了任意n個相異整數重量的砝碼，得到L+R最小值大於n單位長的一些充份條件。

我們每天都會照鏡子，鏡子之影像與自己是左右相反，那天突然把幾個特殊的數在鏡中反映，結果發現有趣的現象，例如： 這些數的平方與它的鏡子反映的數平方在鏡子中的反映恰巧相等。我們給這樣的數一個名稱“平方鏡反數”。我們起了些疑問： (一)怎樣的數才是平方鏡反數？ (二)在自然數系中有幾個平方鏡反數？