有一次與同學玩套繩遊戲，奇怪的是為什麼我總是套不中？當時，我的確找不出是什麼原因。但是為了要找出個解釋的理由，卻激發了我去想這個問題的興趣。

故事的開始是在我們這快快樂樂的班級無數個吵吵鬧鬧的下課十分鐘中的一個。有人手舉圓規高嚷：「圓規作橢圓，賭一場電影！」於是一個聰明人把課木捲起來，在上面用圓規畫一個圓，攤開了課本，「嘿嘿!……」 然而且慢！這是一個橢圓嗎？我們發覺這是個很有趣，可能也很重要的問題，經過了半年多的探討，我們要告訴你一個故事。

從一般人對「撲克牌遊戲」的看法來激發學習這個研習活動的興趣。

一年級時，在圖書館借閱一本科學叢書，其中介紹了"皮賽里爾聯節器"。當時感到好奇詫異，不知所以然地感到萬分困惑。而且書只介紹其現象及形狀，並沒有講解原理。現在已經學了些粗淺的幾何學及代數學，又在一次偶然機會中重新看到此書，因此激發了我們揭開它謎底的決心。

我們就單純的數學方法研究向日葵原基排列的規則列出以下的研究目的:一、費氏數列與原基緊密排列之關係 二、螺旋結構的產生、方向與螺線數目的關係三、向日葵雙螺旋結構的特性兩原基相切的關係式 p2＝1－2×(cosmφ＋1)/(amφ＋1/amφ＋2)初始原基標示為A0，設Am 為後續第m個產生的原基，與A0 相切，切點為T， 則p2＝1－2×(cosmφ＋1)/(amφ＋1/amφ＋2)《以餘弦得證》費氏數列與原基相切之關係如下：(一)若生成螺線方程式為r＝aθ, 0＜a＜1，則必存在n嘁，使得Q(a)＝Pa(Fn)。(三)原基相切會讓向日葵形成螺旋結構，而且螺線的數目必為費氏數列的某一項Fn。若n 為奇數，則螺旋方向為逆時針；若n 為偶數，則為順時針。(四)原基緊密的排列形成雙螺旋結構，使向日葵花頭最密實。

本研究的規則：以尺規作圖的方式，作一直線L將凸n邊形的周長與面積同時平分。若直線L存在，則我們稱L為完美分割線。我們得到以下成果： 1. 對於具有內心的凸n邊形，其完美分割線必過其內心；不通過內心的直線必不是完美分割線。 2. 利用等周線移動產生的面積變化，我們簡單的證出：凸n邊形必存在完美分割線。 3. 利用研究出的[完美分割線畢氏作圖法]，可作出凸n邊形的所有完美分割線。 4. 對於非平行凸n邊形，當等周線通過頂點，必存在「順坡」與「逆波」移動兩者之一。利用此結果，我們創造出「最多順坡移動建構法」，證出：最多有 個「順坡移動」。進一步證明出：最多存在2n-3條完美分割線。

本作品主要在推廣費氏數列，得到新的遞迴數列。費氏數列的來源之一是「兔子對生長問題」，該問題涉及4項條件：「成長期」、「懷孕期」、「下一代數量」、「壽命」。在歷屆科展中，我們是最先推廣原問題4項條件的研究小組，並得到更一般化的新數列。我們除了透過「整數數列線上大全」檢索、也在自己有限的能力下儘量搜尋各種文獻，還沒有我們發現的一般化數列。雖然我們得到新的結果，不過卻只使用了簡單的方法：畫圖、計數、直觀觀察，而且還試著保證數列規律成立，使作品更嚴謹。最後我們加入「狼」的條件，狼會吃掉兔子對。關於兔子對數量的規律得到一個猜想，可供人們繼續研究下去。

喬治.波利亞(George Polya)所善「數學研究法」( Mathematics and Plausible Reasoning)給我很多的啟示與靈感。書中引數學家高斯(Gauss)的話說：「數論中有料想不到的好運氣，藉歸納法挖掘到最優美的新真理。」

本報告主要討論一筆畫走法數，從含兩個奇數點的直線方塊圖到皆由偶數點構成的直線方塊圖，這些圖形又可分為直向與橫向，進而推出無限延伸的直線走法數公式，研究過程中發現偶直線圖形的一些性質，然後我們將方塊擴展成平面2×N，最後導出2×N 的通氏。在推導2×N. 3×3 圖形走法數時，觀察到路徑似乎可平移，且圖形平移後走法數不變。

我們每天都會照鏡子，鏡子之影像與自己是左右相反，那天突然把幾個特殊的數在鏡中反映，結果發現有趣的現象，例如： 這些數的平方與它的鏡子反映的數平方在鏡子中的反映恰巧相等。我們給這樣的數一個名稱“平方鏡反數”。我們起了些疑問： (一)怎樣的數才是平方鏡反數？ (二)在自然數系中有幾個平方鏡反數？