數學科

星期六晚上和姊姊倆逛士林夜市，在人山人海中，忽然聽到那邊的人群裏，爆出好大一聲：「我中大獎了！」我們精神一振，心想有大獎，我也去瞧瞧！迫不急待的鑽進人叢中一看，原來是滾彈珠遊戲。看到每個檯子部有 13 個洞，而每個人在檯子中也都進了好多珠子。可是有一個人卻喪氣的說：=又是一塊泡泡糖！」喔!原來進7、8、9 個洞都只能得到泡泡糖，由珠子若進9 個洞以上，或是7個洞口下 · 獎品就越來越好。這時我也興緻勃勃的想要一顯身手，試試看。心想這還不簡單嗎？於是對姊姊說：「看我的！」趕啊趕，一盤又一盤。結果玩了四次得了四塊泡泡糖，好洩氣！也好疑問。明明大獎那麼多，為什麼我得不到呢？這個問題使我整夜想不通。和同學討論也沒有結果。最後我們決定共同去請教老師，一起探討這奇怪又有趣的問題。

從圓柱積木中取5～11片積木也能堆疊，起初參考陳鼎文和王俞臻（民98）篩選12片積木洞數組合的規則，找到篩選5～11片積木洞數組合的規則；但是積木數或總洞數改變時都要重新篩選，且檢驗積木洞數組合能不能堆疊時需花很多時間試驗積木的形狀。後來發現第k片積木堆疊時置放的木棒數 的規則，用這個規則從5片積木4根木棒的篩選資料，能以積木數不變而木棒數加1、積木數和木棒數同時加1、積木數加1而木棒數不變等方法陸續推演出5～12片積木堆疊可能的 組合；在Excel中用 的規則和圓柱積木的洞數能篩選掉大部分不可堆疊的 組合。最後用自行設計的堆疊工具可同時完成積木形狀的挑選與積木的排列，改進了以積木洞數規則篩選的缺點。

有一天上數學課的時候，老師忽然提出了一個問題：「用1元、s元、10元、50元和100元的錢幣湊成 1256元，有幾種湊法？」我們覺得這個問題很有趣，但是一時之問答不上來，課後三五成羣，聚在一起討論，拿出錢幣排排看，發現情形錯綜複錐、種類繫多，無從著手，於是想到分類整理，作圖解，第二天提出了許多不同的答案，…… 414種，102 種 ..九百多種，二千多種 · · · · · · · 一但都沒有 172 把攔，隨後老師告訴我們種敵很多，不只這些，要知道正確答案，須先簡化問題，列表，找出規律性，並告訴我們這種方法是以後做學問常用的方法。於是在老師的指導下，我們做了以下的研習活動。

今年（ 88 年）春假，閒來無聊，順手翻出四下（第八冊）的數學，回想當時在學習第七單元─「長方體與正方體」中；有一種「下列各展開圖中，何者可折回正方體？」的題目；面對這一種題目，老師總是要我們實際操作後，再圈選出來正確的答案。如此一來每一次做一題題目總是會花費了我不少的時間，因此我才想找出更好更快的方法，來解決這一個問題。為了找出更好更快的方法，我找了幾位志同道合的同學展開了以下一連串的研究，並且隨時請教爸媽和老師。

我們住的地方附近寺廟共有十五處之多，每天經過那裹總看到廟宇香火繚繞，善男信女又是燒香膜拜，又是口中念念有詞彎腰「卜杯」。記得台灣省主席謝東閔先生曾經要我們破除迷信，雖然我們也看過「迷信害人知多少」這本書，但是，目前多數人還是執迷不悟，每遇到家裹大小事總愛在神的面前「卜杯」禱告以求神的指示，然後按照所謂神的旨意去做，有的人做事順利，他說是神很靈杯很準，做得不順利，還自圓其說的為神辯解說是自己不小心啦！或劫數作祟運氣不佳啦！一點都不敢埋怨神的不是，「到底用杯箋占卜可靠嗎？」大家都有興趣想追求它的究竟，請教老師，老師要我們做調查實驗研究，於是我們幾個人利用春節期間相約到附近寺廟去參觀，想得到一個比較滿意而合乎科學的結論。

本研究探討了在任一三角形內，做一內接相似三角形的方法，與存在範圍的討論，並依照研究的內容與過程，分為四大主題：主題一、給定邊上一點作內接相似三角形經由相關資料的協助與我們自己的研究，本研究提供了三種作圖法：垂足法、軌跡法、旋轉法。主題二、內接相似三角形之存在範圍給定邊上的點，並不一定可做出內接相似三角形。因此在邊上有「臨界點」的存在。並依照不同的條件分做二十六種狀況討論。主題三、給定形內一點作內接相似三角形將給定的點在邊上移動時，所做出三角形的邊形成了一個拋物線的軌跡。經由探索拋物線的性質，完成了給定三角形內一點，作過此點的內接相似三角形。並且運用主題二的結果將三角形內分為四區，由點所在的位置不同，最多可做出兩個內接相似三角形。主題四、最小的內接相似三角形作圖利用主題三的研究結果，我們也提出了最小內接相似三角形的尺規作圖法。由以上四個主題的研究，我們完成了給定邊上和形內一點內接相似三角形的尺規作圖法和可以作圖的範圍，以及最小內接相似三角形的尺規作圖法。

(一)在學校「聯課活動」指導學生棋藝研究時常有學生提出「一車換馬炮，值不值得？」「象棋與數學有沒有關係？」諸問題。(二)民國五十八年夏，第二屆亞洲杯舉棋錦標賽在臺北舉行，（這是我國首次舉辦，也是首度與賽，共有中華、香港、新加坡、馬來西亞、泰國、高棉、越南、菲律賓、琉球等九隊參加。）盛況空前；此後幾屆在各地輪流舉辦的此項比賽，中華代表隊在團體及個人方面皆獲得了多次冠、亞等優異成絞，對於促進國民外交，提高文藝水準與地位，有相常的貢獻！但是自民國六十六年第六屆亞洲杯象棋賽在菲律賓、馬尼拉舉行，我國因國際局勢等因素而未參加；我有感想，因此盡力嘗試著將數學概念與方法滲入棋藝的研究中；此篇研究心得之報導，祈能拋磚引玉，引起共嗚，共同努力，俾一方面發揚此項國粹於深一層的探究中，另一方面藉此項「雅俗共賞」的藝術愛好，對一般廣泛的民眾施以基礎的數學教育，提供數學概念與方法，引起數學興趣與信心！(三)民國六十八年夏，應邋擔任第四屆全國交通杯棋藝錦標賽的棋證記錄工作，實際感覺到以一般坊間棋譜「一炮二平五」、「馬二進三」等方式記錄有所不便（尤其時間上），因此認為記錄方法或格式有簡化改進之必要，俾助於實戰資料之保存，參研或處理。

第八次的「我來挑戰」是這樣一個數學題：「小明的媽媽宣布：『考試滿分第一次給獎金 10 元，以後每增加一次，獎金是前一次的二倍。」小明在上學期一共得到十次滿分，他總共得到多少獎金？」我交出答案紙後，覺得用一次一次連加的方法，次數一多，不但麻煩，而且容易出錯。如果能找出簡使的貿法，可適用於不同的獎金倍數和次數，那該多好！我把這們想法和同學討論，他們也認為這是個好主意，就去請教老師，要怎樣做才能找出這例公式？老帥說我們能進行自我的再挑戰，真是太好了。這類問題在數學上是等比級數求總和的方法，就指導我們進行下列的研究。

逛夜市時看到有人在射飛鏢，我們突然想到，如果飛鏢射中每個點的機率都相等，那我們是不是可以由射中圓的機率，及外圍的面積來推知圓周率呢？我們先後進行射飛鏢及擲黑豆的實驗發現，實驗過程都不夠隨機而宣告失敗。於是我們以解析幾何的方式將實驗的樣本空間座標化，然後用EXCEL 試算表的亂數製造隨機點，並判斷隨機點的落點。 我們共製造了109個亂數數對，由所得數據分析π的近似值為3.141607304。 我們並進一步實驗發現當短軸的長度固定時，橢圓的面積與長軸的長度成正比。進而推得橢圓面積為 1/4 ×長軸×短軸×π 透過實驗我們也發現，邊長為2r 的正立方體最大圓柱、球體、圓錐體積比為3:2:1。並進一步推得半徑為r 的球體體積為 4/3 r3π 此外，我們思索幾個可以再深入探討的主題： 1. 三角函數Sinθ 的近似值。 2. 對數表的製作。 3. 無理數逼近速度及準確性的探討。

在數學社團時，老師教我們玩一種撲克牌遊戲：「從一副撲克牌隨機抽出四張，看誰先用四張牌的點數經過加減乘除和括號運算湊出24的人贏。J代表11點，Q代表12點，K代表13點」我們玩這個遊戲玩得很高興。上數學課時，老師又在黑板上寫了4個數字1、4、7、9，要我們利用四則及括號運算將這4個數字拼湊成24，這個問題引起我們探討的興趣。我們想：是不是任意4個小於等於10的正整數，皆能利用四則運算拼湊成24？能不能找到數字間的規律性？因此，我們將所有可能的數字組合整理出來，並代入四則運算，於是完成下面的研究。