數學科

週六的團體活動時問，老師會帶領班上同學玩一些益智的科學遊戲，讓我們動動腦。其中「繆比烏絲帶」最令班上同學感到訝異與著迷。有一天，老師帶我們到植物園的科學教育館參觀時，竟然又看到超大型的「繆比烏絲帶」模型，只可惜底下的說明圖並未進一步介紹剪開後的神奇變化，更激發了我們的興趣與好奇，因此，在老師的帶領下，我們運用系統化的方法，按部就班的仔細分析、探討，並記錄其結果，最後終於找出紙帶扭轉次數與剪開後的結果之間的關係了。並意外發現，封閉曲線交叉所產生的交叉點數與其所圍出的區域數之間的關係了。

這個研究起源於一個平分圓的問題：平面上有2n+1個點，任三點不共線、任四點不共圓(這個情況下的點稱為正常位置上的點)，任取三點可決定一圓，若圓內外都各有n-1個點，則此圓為一個平分圓。在[1]論文The Number of Halving Circles中，Federico Ardila教授證明了平分圓的個數為一定值n2。以此為基礎，我們探討了平分圓分割平面的區塊數、交點數、圓弧段數，發現雖然在正常位置的條件下這些個數會不定，但只要再多一項限制──若任三個平分圓共點，其所共的點必為原來2n+1個點中的一個(我們稱滿足這樣條件的點在「絕對正常位置」上)，這些個數均為定值。以下為本研究的結果：一、平面上任意2n+1個絕對正常位置上的點構成的平分圓，所分割的區塊數(N[2n+1])、交點數(N﹛2n+1﹜)、圓弧段數(N(2n+1))均為定值

本研究起於網路教學網站（NLVM的Tessellations），在七個兩兩交集的圈內填入指定的14個數字，使每個圈內的三個數字和均相等，我們稱之為數字邏輯圈。從基本的四~七圈我們一併探究其中奧秘，得知當數組呈現等差數列時，圈數和介在【3n+[(5k-3)/2]xd～3n+[(7k-3)/2]xd】間，且有規律的以公差為間隔出現，且排出的數組及排出的組數前後均具對稱性，更可運用此公式自由設定圈數和，求出可行的數組；或給定內外圈的數組，經雙向脈絡圖輕鬆解題。 以原數組為基模，可經由平移或轉化為正負數、等差數列、小數及分數的過程，形成更多的數組，其組數及對應的位置均相同，可謂變化萬千；再搭配不同的提示位置，將解題的難易度分級，利用各類題本×提示個數×提示位置×提示盤轉動之加乘效果呈現出眾多的題目製成數字邏輯推理盤，以為此研究之具體成果。

本研究根據「同心魔方陣」遊戲改編，結合骨牌重新賦予新玩法與意義。骨牌有28張共56個數字，當我們進行填數時，發現許多驚奇有趣： 1. 窮盡骨牌能圍成圖形，4×4骨牌同心圓是最小面積（需使用8張骨牌），最大面積7×7骨牌同心圓（需使用24張骨牌）。 2. 骨牌同心圓內外圓總和有特定比例關係，此可由（n × 格子數＝一條外圓總和數值 × 外圓總和條數）得知，（內圓和）÷（內圓邊長）＝n。 3. 骨牌同心圓有最佳填數策略。

本研究探討的主題是：給定正整數n，是否存在1~n的重排數列，使得「相鄰兩項之和都是平方數」。對於滿足上述條件的數列，我們稱其為平方數列，我們探討哪些n使得1~n可排成平方數列。對於某類的正整數n，我們已找到構造平方數列的方法： 1.若正整數a, b, c及k=0, 1, 2, 4滿足a>b，a2+b2-k2=c2且(a2-k, b2-k)=1，則1~a2-1可排成平方數列。 2.若正整數a, b, c, α, β滿足a>c>b，b2+c2=α2，a2+c2=β2且(a2-b2, c2)=1，則1~a2-1可排成平方數列。再者，我們可以證明n=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、18、19、20、21、22、24時，1~n無法排成平方數列；藉由有效率的程式運算，我們得知n=15、16、17、23及n=25、26、...、144時，1~n可排成平方數列。若平方數列的首尾兩項相加也是完全平方數時，我們將其定義為平方項鍊。我們造出1~32的平方項鍊，進而可知 1~32排成平方數列的方法至少有32種。對於特定的n，我們可將1~n排成平方項鍊；而我們更證明出，n=32是可將1~n排成平方項鍊的最小正整數。

我們看看一個多項式 f(x)=X2-2x-2。首先以 ... -3，-2，-1,O,1,2,3… 等整數依次代入得一數列：…，13 , 6 , 1，-2 ，-3 ，-2 ,l…一再以此數列中相鄰兩項之差（後減前）得一新數列：… -7，-5，-3，-1,1,3 ……。到這，我們可看出此新數列成一等差數列，且公差為 2 。（見下表）經多次試驗別的多項式均有※之結果。因此我們便產生了一個疑問：對於∀f(x)εR(x)，領導係數＝ an deg( f(x) ) = n,( n ε N ) ，其第 n 數列必成等差數列嗎？若是，其公差必等於an(n!)嗎?

星期六晚上和姊姊倆逛士林夜市，在人山人海中，忽然聽到那邊的人群裏，爆出好大一聲：「我中大獎了！」我們精神一振，心想有大獎，我也去瞧瞧！迫不急待的鑽進人叢中一看，原來是滾彈珠遊戲。看到每個檯子部有 13 個洞，而每個人在檯子中也都進了好多珠子。可是有一個人卻喪氣的說：=又是一塊泡泡糖！」喔!原來進7、8、9 個洞都只能得到泡泡糖，由珠子若進9 個洞以上，或是7個洞口下 · 獎品就越來越好。這時我也興緻勃勃的想要一顯身手，試試看。心想這還不簡單嗎？於是對姊姊說：「看我的！」趕啊趕，一盤又一盤。結果玩了四次得了四塊泡泡糖，好洩氣！也好疑問。明明大獎那麼多，為什麼我得不到呢？這個問題使我整夜想不通。和同學討論也沒有結果。最後我們決定共同去請教老師，一起探討這奇怪又有趣的問題。

(一)在學校「聯課活動」指導學生棋藝研究時常有學生提出「一車換馬炮，值不值得？」「象棋與數學有沒有關係？」諸問題。(二)民國五十八年夏，第二屆亞洲杯舉棋錦標賽在臺北舉行，（這是我國首次舉辦，也是首度與賽，共有中華、香港、新加坡、馬來西亞、泰國、高棉、越南、菲律賓、琉球等九隊參加。）盛況空前；此後幾屆在各地輪流舉辦的此項比賽，中華代表隊在團體及個人方面皆獲得了多次冠、亞等優異成絞，對於促進國民外交，提高文藝水準與地位，有相常的貢獻！但是自民國六十六年第六屆亞洲杯象棋賽在菲律賓、馬尼拉舉行，我國因國際局勢等因素而未參加；我有感想，因此盡力嘗試著將數學概念與方法滲入棋藝的研究中；此篇研究心得之報導，祈能拋磚引玉，引起共嗚，共同努力，俾一方面發揚此項國粹於深一層的探究中，另一方面藉此項「雅俗共賞」的藝術愛好，對一般廣泛的民眾施以基礎的數學教育，提供數學概念與方法，引起數學興趣與信心！(三)民國六十八年夏，應邋擔任第四屆全國交通杯棋藝錦標賽的棋證記錄工作，實際感覺到以一般坊間棋譜「一炮二平五」、「馬二進三」等方式記錄有所不便（尤其時間上），因此認為記錄方法或格式有簡化改進之必要，俾助於實戰資料之保存，參研或處理。

本研究探討了在任一三角形內，做一內接相似三角形的方法，與存在範圍的討論，並依照研究的內容與過程，分為四大主題：主題一、給定邊上一點作內接相似三角形經由相關資料的協助與我們自己的研究，本研究提供了三種作圖法：垂足法、軌跡法、旋轉法。主題二、內接相似三角形之存在範圍給定邊上的點，並不一定可做出內接相似三角形。因此在邊上有「臨界點」的存在。並依照不同的條件分做二十六種狀況討論。主題三、給定形內一點作內接相似三角形將給定的點在邊上移動時，所做出三角形的邊形成了一個拋物線的軌跡。經由探索拋物線的性質，完成了給定三角形內一點，作過此點的內接相似三角形。並且運用主題二的結果將三角形內分為四區，由點所在的位置不同，最多可做出兩個內接相似三角形。主題四、最小的內接相似三角形作圖利用主題三的研究結果，我們也提出了最小內接相似三角形的尺規作圖法。由以上四個主題的研究，我們完成了給定邊上和形內一點內接相似三角形的尺規作圖法和可以作圖的範圍，以及最小內接相似三角形的尺規作圖法。

本文純以數學方法來探討一們物理上的問題一物體質心的位置，文分三節，第一節中以數學的形式來定義 n維歐氏空間中的物體及其密度和質心，並討論凸集合的一些性質，第二節引述了Hahn-Banach 定理而不加證明，但證明它的一個有用的推論，以作為討論物體質心的依據，第三節則為本文的主題，證明了具有凸領域的物饅其質心必在其領域之中，並進而說明了一般物體質心的位置。值得注意的是物理世界中真實的物體，其密度和質心均符合本文第一節中 n=3的定義，因此本文的結論自然適合物理上實際的情況，然而本文所述較實際略為一般化。本文牽涉一點基本的泛函分析，測度論和拓樸學，由於所用到的一些性質均屬相當基本的論述，故並未註明參考書目。