利用數學課本第五冊第一章相似三角形的基本概念， 探討出一元二次方程式的另類解滕， 並經過金幬加工製作成模型， 成為解一元二次方程式的工具。

這個研究起源於一個平分圓的問題：平面上有2n+1個點，任三點不共線、任四點不共圓(這個情況下的點稱為正常位置上的點)，任取三點可決定一圓，若圓內外都各有n-1個點，則此圓為一個平分圓。在[1]論文The Number of Halving Circles中，Federico Ardila教授證明了平分圓的個數為一定值n2。以此為基礎，我們探討了平分圓分割平面的區塊數、交點數、圓弧段數，發現雖然在正常位置的條件下這些個數會不定，但只要再多一項限制──若任三個平分圓共點，其所共的點必為原來2n+1個點中的一個(我們稱滿足這樣條件的點在「絕對正常位置」上)，這些個數均為定值。以下為本研究的結果：一、平面上任意2n+1個絕對正常位置上的點構成的平分圓，所分割的區塊數(N[2n+1])、交點數(N﹛2n+1﹜)、圓弧段數(N(2n+1))均為定值

上學期數學上到數理本第三冊第三章三角函數時，我對附錄之三角函數值表產生了疑問？當然此表來源老師討說由某些我們未學到的公式導出，但此表內是真值或近似值如何以我們現有的數學程度判別。當然有些可無置疑的如 cos60o=0.5000為真值 cos30o=√ 3/2≒ 0.8660 為近似值，而若是非特別角如表上查出 cos21.3o=0.9317 到底是否真值，我問過老師，他曾提示我，研究一些角度的值是否為有理數，說不定可解決問題，於是花了幾個月的時間，斷斷續續的研究，最後得到幾個有用的結論，而解決上述之問題，在導出結論的過程中我利用到了一些第一、二冊所學的東西，如小數、有理、無理數、多項式、因數、倍數的概念、性質及三角公式、特別角、數學歸納法、輾轉相除法、一次因式檢驗法反證法（有理根之判別）等，使我對數學的連貫性、整體性、綜合應用性有了更進一步的了解。

在高中數學第三冊中我們剛了解圓與球的性質，再加上國中常接觸到許多正多邊形其內切圓及外接圓的問題。這令我們聯想到：是否所有多面體都有內切球與外接球？若有，它們間的關係又是什麼？恰巧，化學老師在課堂上提到了由六十個碳原子構成的C-60 模型，而我們發現，以數學的角度來看，“C-60 ” 是由數個正五邊形與正六邊形所構成的立體圖形。在我們與數學老師討論後得知這種由十二個正五邊形與二十個正六邊形所構成的立體圖形就是所謂的”巴克球”，且從數學刊物上看到”巴克球為最接近球體的多面體”。這引發了我們的興趣，因此我們決定就這方面的問題展開討論。

從圓柱積木中取5～11片積木也能堆疊，起初參考陳鼎文和王俞臻（民98）篩選12片積木洞數組合的規則，找到篩選5～11片積木洞數組合的規則；但是積木數或總洞數改變時都要重新篩選，且檢驗積木洞數組合能不能堆疊時需花很多時間試驗積木的形狀。後來發現第k片積木堆疊時置放的木棒數 的規則，用這個規則從5片積木4根木棒的篩選資料，能以積木數不變而木棒數加1、積木數和木棒數同時加1、積木數加1而木棒數不變等方法陸續推演出5～12片積木堆疊可能的 組合；在Excel中用 的規則和圓柱積木的洞數能篩選掉大部分不可堆疊的 組合。最後用自行設計的堆疊工具可同時完成積木形狀的挑選與積木的排列，改進了以積木洞數規則篩選的缺點。

從縫扣子中發展出空間中的一筆畫路徑，我們稱之為：「縫鈕扣策略」。鈕扣有兩個面，縫線（路徑）必須在空間中沿不同平面上下交錯前進才能完成。在線段不交叉的情況下，使用樹狀圖分析，得知不同鈕扣「縫鈕扣策略」：三孔扣有4條、四孔扣有4條，五孔扣及六孔扣各有6條；四孔扣中，若是允許線段跨越對角線，在28種組合中，扣除矛盾組合後，正、反兩面為：「二」+「Ｘ」、「二」＋「ll」、「Z」+「Z」組合，各有1條，「Z」+「И」組合有3條，「口」+「口」與「」+「」組合，各有4條，「」+「」組合與「口」+「」組合，各有16條，「」+「」組合有43條，「」+「」組合，以電腦計算得660條縫鈕扣策略。

本次作品主要研究三角形垂心、重心、外心、內心之相關軌跡變化，以及四心在不同情況時的排列組合。我們發現三角形頂點水平移動時，垂心的軌跡為一?物線圖形，重心為一水平直線，外心為一鉛直射線，內心則是一弧形。我們又觀察鉛直移動的情形，發現，內心為一弧線，另外三心則為鉛直線。之後把討論擴展到圓上，我們發現垂心的軌跡是此單位圓的對稱圖形，重心的軌跡是此單位圓內的圓，外心的軌跡即此圓的圓心，內心的軌跡即由兩個圓弧構成。接下來，在三角形中同時觀察四心，我們發現在等腰三角形時才會四心共線，且共線的次數會隨著底與高的比例變動。最後，我們在等腰三角形中發現：當等腰三角形底角的 值為1/4時，四心會等距排列。

由【希臘十字】的挑戰為起點，我們試著探討多方塊用最少刀切割再重組拼成正方形的可能性。研究過程中，我們發現邊長長度是一個重要的因素，在五方塊中找√5的邊長，八方塊中找√8的邊長是解題關鍵，垂直切割後能產生直角是另一個關鍵。研究結果顯示12種五方塊圖形中，切割重組成正方形的最少刀數是二刀(五種圖形)及三刀(七種圖形)、369種八方塊圖形中，切割重組成正方形的最少刀數是一刀(4種圖形)、二刀(215種圖形)、三刀(149種圖形)及四刀(1種圖形)。將五、八方塊切割組合的方法，運用到十方塊的切割組合是可能的。目前我們依方塊數及圖形的不同，分為等長型、固定型、不定型等應用類型，而更完整的應用持續在研究中。

縱觀同餘方程理論的發展，雖已有十分輝煌的成就，但二次剩餘卻還僅止於有無解的判別，而沒有良好的求解方法，有之，僅是以嘗試法，逐一代入求解（如李恭晴先生著整數論第 61、61 頁解 X =21mod 37 )，或以逐步捨棄法，去其不可能數，待數目較小，計算不太麻煩時，直接代入試驗得之（如數論導引第 48 頁，解 X=73 mod 127 ) ，這些方法在理論上，雖非站不住腳，但其不夠完美乃人盡皆知，尤其是數字一大，困難更是接踵而來；至於一次同餘式，目前更有多種形式的解法，那些理論雖稱完備，但其演算過程，都不夠單純明快，更由於不能一氣呵成，所以，也很難避免不必要的失誤，有鑑於此，而研究一次同餘式的連分解法，及中國餘數定理研究，以及二次剩餘的二次非剩餘解法和平方試驗法，這些方法及名稱，均為作者自己假設，希望能彌補時下理論之不足，並願以此新的嘗試，為您帶來一段思考的愉快時光。

本文所探討的是關於有趣的移位遊戲，並利用遊戲技巧定義出?跳島攻法?，當移動過程符合跳島攻法，可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2 時，奇數個字母為N2+3N-8/2次；偶數個字母為N(N+1)/2次。利用數據推導出解題公式(p.11)後，嘗試找出移動步驟之規律證明(p.9~p.12)，希望獲得公式的正確性，最後更以多元的反例驗證(p.17~p.25)，試圖以足夠的數據證明公式的正確性。反例驗證發現，當違反?跳島攻法?的任何移動方式與技巧，皆無法獲得更少的步驟數，因此更可推論證明出遊戲公式之正確性，獲得破解本移位遊戲的最佳策略。最後，希望這些數學方法可推廣至一般移位遊戲。