數學科

先從平面上去探討邊長為一單位的正方形所構成的長方形，將長、寬是否互質分類去討\r 論對角線所通過多少（正方形）點數及邊數會如何變化？再去探討在空間中，由許多邊長一\r 單位的正立方體所構成的長方體，也是將長、寬和高是否互質分類去討論對角線會通過（正\r 立方體）多少點？多少邊？多少面？我們利用方格紙、在桌墊上實際操作、電腦Excel、製作\r 模型和遊戲方格實際操作去討論出通過點、邊和面，我們找到了以下的的結論：在平面上：\r 長＝a，寬＝b，（a,b）＝r，通過的點數為r－1，邊數為a＋b－2r。在空間：長＝a，寬＝b，\r 高＝c，（a,b）＝p，（b,c）＝q，（c,a）＝r，（a,b,c）＝s，通過的點數為s－1，邊數為p＋q＋r\r －3s，面數為a＋b＋c－2p－2q－2r＋3s。

三角形有一個多邊形缺角時，重心會產生偏移，如何切割截角，使得截角後圖形的重心回到原三角形的重心。這樣的截角稱為不變心截角。本研究將三角形的缺角分成六類，並成功找出不變心截角法則，完成此六類的不變心截角。 我們並探討不變心等積切割問題，就是當三角形有一個多邊形的缺角時，在另外兩個對應位置截去兩個與缺角等積截角的作圖方法。我們先完成正三角的不變心等積截角。再以正三角形為媒介，透過平行線之間的面積轉移，完成底：高為2：√3的三角形之不變心等積截角。以此成功的例子為基礎，我們找出並證明任意三角形不變心等積截角的方法，並成功完成缺角為任意多邊形的不變心等積切割。

一、三角形內接最大長方形面積是三角形面積的一半，且長方形的底是其所在三角型底邊長的一半。 二、三角形內接最大正方形 (一)銳角三角形的三個內接正方形中，與三角型較小邊共邊的較大。 (二)直角三角形只能畫出二個內接正方形，且與兩股共邊的較大。 (三)鈍角三角形只有一個內接正方形，既與最大邊共邊的內接正方形。 三、三角形最大內接正方形邊長公式為 四、單位正三角形最大內接正方形的邊長等於單位正方形最大內接正三角形的面積。(這裡單位所指的是各邊長長度為１)。

我們原本只是要研究「吹牛」這個遊戲，希望藉此了解每一個數字出現的機率，到底20顆骰子要喊到幾顆以內才是絕對安全的範圍，又何時「抓」可以十拿九穩的捉到對手吹牛，進而提高我們的獲勝機會，於是我們開始分析規則。 一開始我們先了解遊戲規則，並實際進行活動，以便接下來的分析。首先針對通用點「一點」的設計進行分析，發現此一設計使遊戲更多變、更好玩的，而且「一點」出現的多寡對遊戲的難度相對的提高了；此外，在遊戲中可能出現幾個「一點」進行分析，在分析個過程中，發現了一些規律性，這些規律性除了基本的排列組合外，其中竟然隱藏著一個有趣的數字三角形---「巴斯卡三角形」，這是我們始料未及的。 剛開始我們運用計算機協助計算，配合「巴斯卡三角形」進行機率的分析，為了讓分析更容易，我們進一步運用Excel軟體來比較機率出現的高低，最後發現其實運用骰子（ 1/ 6 ）的機率，再配合別人喊的數字與顆數作為依據，即可進行歸納出最基本又容易的判斷了。

逛夜市時看到有人在射飛鏢，我們突然想到，如果飛鏢射中每個點的機率都相等，那我們是不是可以由射中圓的機率，及外圍的面積來推知圓周率呢？我們先後進行射飛鏢及擲黑豆的實驗發現，實驗過程都不夠隨機而宣告失敗。於是我們以解析幾何的方式將實驗的樣本空間座標化，然後用EXCEL 試算表的亂數製造隨機點，並判斷隨機點的落點。 我們共製造了109個亂數數對，由所得數據分析π的近似值為3.141607304。 我們並進一步實驗發現當短軸的長度固定時，橢圓的面積與長軸的長度成正比。進而推得橢圓面積為 1/4 ×長軸×短軸×π 透過實驗我們也發現，邊長為2r 的正立方體最大圓柱、球體、圓錐體積比為3:2:1。並進一步推得半徑為r 的球體體積為 4/3 r3π 此外，我們思索幾個可以再深入探討的主題： 1. 三角函數Sinθ 的近似值。 2. 對數表的製作。 3. 無理數逼近速度及準確性的探討。

從國二開始，因為經常在實驗室裏做化學實驗，發現實驗室裡，有很多大小不同的只知容量，但無刻度之燒杯，有一次興致一來想利用這些大小不同的燒杯，來平分一個注滿液體的燒杯中溶液，於是激發了我們研究如何在量計工具不足的情況下來分裝液體。

本研究探討了在任一三角形內，做一內接相似三角形的方法，與存在範圍的討論，並依照研究的內容與過程，分為四大主題：主題一、給定邊上一點作內接相似三角形經由相關資料的協助與我們自己的研究，本研究提供了三種作圖法：垂足法、軌跡法、旋轉法。主題二、內接相似三角形之存在範圍給定邊上的點，並不一定可做出內接相似三角形。因此在邊上有「臨界點」的存在。並依照不同的條件分做二十六種狀況討論。主題三、給定形內一點作內接相似三角形將給定的點在邊上移動時，所做出三角形的邊形成了一個拋物線的軌跡。經由探索拋物線的性質，完成了給定三角形內一點，作過此點的內接相似三角形。並且運用主題二的結果將三角形內分為四區，由點所在的位置不同，最多可做出兩個內接相似三角形。主題四、最小的內接相似三角形作圖利用主題三的研究結果，我們也提出了最小內接相似三角形的尺規作圖法。由以上四個主題的研究，我們完成了給定邊上和形內一點內接相似三角形的尺規作圖法和可以作圖的範圍，以及最小內接相似三角形的尺規作圖法。

在接觸了巧智拼球後，我們想利用「按照同樣的轉法轉幾次後會回到原本的位置」的規律找出和網路上破解法完全不同的公式。為了能夠更快速找出公式，採取了「簡化」策略，從2個盤子與3個盤子開始研究。之後我們發現了從編號1-1開始可以透過「轉法一、二和轉盤子」到達所有的情況。而且轉法一、二所產生的環型圖案與規律就有如巧智拼球上綻放的花朵令人著迷。接下來在電腦的幫助下，我們使用矩陣運算了解了轉法相加的規律，並且透過了位置交換列出所有的狀況，繼而發現可以用4朵花覆蓋全部的3個盤子編號。最後根據我們的研究發現，我們找到了將所有情況回復原位的方法。

有一天上數學課的時候，老師忽然提出了一個問題：「用1元、s元、10元、50元和100元的錢幣湊成 1256元，有幾種湊法？」我們覺得這個問題很有趣，但是一時之問答不上來，課後三五成羣，聚在一起討論，拿出錢幣排排看，發現情形錯綜複錐、種類繫多，無從著手，於是想到分類整理，作圖解，第二天提出了許多不同的答案，…… 414種，102 種 ..九百多種，二千多種 · · · · · · · 一但都沒有 172 把攔，隨後老師告訴我們種敵很多，不只這些，要知道正確答案，須先簡化問題，列表，找出規律性，並告訴我們這種方法是以後做學問常用的方法。於是在老師的指導下，我們做了以下的研習活動。

從縫扣子中發展出空間中的一筆畫路徑，我們稱之為：「縫鈕扣策略」。鈕扣有兩個面，縫線（路徑）必須在空間中沿不同平面上下交錯前進才能完成。在線段不交叉的情況下，使用樹狀圖分析，得知不同鈕扣「縫鈕扣策略」：三孔扣有4條、四孔扣有4條，五孔扣及六孔扣各有6條；四孔扣中，若是允許線段跨越對角線，在28種組合中，扣除矛盾組合後，正、反兩面為：「二」+「Ｘ」、「二」＋「ll」、「Z」+「Z」組合，各有1條，「Z」+「И」組合有3條，「口」+「口」與「」+「」組合，各有4條，「」+「」組合與「口」+「」組合，各有16條，「」+「」組合有43條，「」+「」組合，以電腦計算得660條縫鈕扣策略。