數學科

本研究探討的主題是：給定正整數n，是否存在1~n的重排數列，使得「相鄰兩項之和都是平方數」。對於滿足上述條件的數列，我們稱其為平方數列，我們探討哪些n使得1~n可排成平方數列。對於某類的正整數n，我們已找到構造平方數列的方法： 1.若正整數a, b, c及k=0, 1, 2, 4滿足a>b，a2+b2-k2=c2且(a2-k, b2-k)=1，則1~a2-1可排成平方數列。 2.若正整數a, b, c, α, β滿足a>c>b，b2+c2=α2，a2+c2=β2且(a2-b2, c2)=1，則1~a2-1可排成平方數列。再者，我們可以證明n=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、18、19、20、21、22、24時，1~n無法排成平方數列；藉由有效率的程式運算，我們得知n=15、16、17、23及n=25、26、...、144時，1~n可排成平方數列。若平方數列的首尾兩項相加也是完全平方數時，我們將其定義為平方項鍊。我們造出1~32的平方項鍊，進而可知 1~32排成平方數列的方法至少有32種。對於特定的n，我們可將1~n排成平方項鍊；而我們更證明出，n=32是可將1~n排成平方項鍊的最小正整數。

傳統井字棋在兩人不犯錯的情況下遊戲會平手；另外2款傳統井字棋的延伸版：奇雞連連與棋蹟連連，有人研究過，當玩家都擁有全部種類的棋子時，遊戲是不公平的。 因此，傳統井字棋是公平，但變化少；而兩款井字棋延伸版變化多，但先手必勝；因此，我們想研究的是四人版的井字棋Otrio，且玩家都分別有大中小棋可以連線。 為了研究是否公平，我們設計了動態棋譜，根據場上狀況自動評估得分，玩家可依據下棋，評估的標準是連線數量與阻擋機會，而我們透過這方式研究，可以節省掉製作全部可能樹狀圖的任務，以更有效的方式研究是否公平，而目前為止，我們發現兩人遊戲是先手必勝，但在三人與四人遊戲中，先手玩家沒有絕對優勢會必勝，所以遊戲具可玩價值。

在高一數學裡有一章講到有關整數的性質，包括質數的檢驗、因數倍數、幣數的因素分解 … 等等，現在我們利用這些學過的性質來探討一些俱有特殊性質的自然數叫做「單形調和數」，首先需要下一些定義，以這些定義做基礎，再推演出一些有關單形調和數的性質，利用這些性質嘗試將單形調和數歸類，雖然我們所作的不十分完美，但是我們巳能應用在課堂上所學得的「數學方法」先適度的抽象化再由邏輯推理演譯出結論，對一個問題做分析、歸納綜合，本文共分為三段，每一段的目標均在正題之前說明。

從縫扣子中發展出空間中的一筆畫路徑，我們稱之為：「縫鈕扣策略」。鈕扣有兩個面，縫線（路徑）必須在空間中沿不同平面上下交錯前進才能完成。在線段不交叉的情況下，使用樹狀圖分析，得知不同鈕扣「縫鈕扣策略」：三孔扣有4條、四孔扣有4條，五孔扣及六孔扣各有6條；四孔扣中，若是允許線段跨越對角線，在28種組合中，扣除矛盾組合後，正、反兩面為：「二」+「Ｘ」、「二」＋「ll」、「Z」+「Z」組合，各有1條，「Z」+「И」組合有3條，「口」+「口」與「」+「」組合，各有4條，「」+「」組合與「口」+「」組合，各有16條，「」+「」組合有43條，「」+「」組合，以電腦計算得660條縫鈕扣策略。

先從平面上去探討邊長為一單位的正方形所構成的長方形，將長、寬是否互質分類去討\r 論對角線所通過多少（正方形）點數及邊數會如何變化？再去探討在空間中，由許多邊長一\r 單位的正立方體所構成的長方體，也是將長、寬和高是否互質分類去討論對角線會通過（正\r 立方體）多少點？多少邊？多少面？我們利用方格紙、在桌墊上實際操作、電腦Excel、製作\r 模型和遊戲方格實際操作去討論出通過點、邊和面，我們找到了以下的的結論：在平面上：\r 長＝a，寬＝b，（a,b）＝r，通過的點數為r－1，邊數為a＋b－2r。在空間：長＝a，寬＝b，\r 高＝c，（a,b）＝p，（b,c）＝q，（c,a）＝r，（a,b,c）＝s，通過的點數為s－1，邊數為p＋q＋r\r －3s，面數為a＋b＋c－2p－2q－2r＋3s。

從國二開始，因為經常在實驗室裏做化學實驗，發現實驗室裡，有很多大小不同的只知容量，但無刻度之燒杯，有一次興致一來想利用這些大小不同的燒杯，來平分一個注滿液體的燒杯中溶液，於是激發了我們研究如何在量計工具不足的情況下來分裝液體。

本文純以數學方法來探討一們物理上的問題一物體質心的位置，文分三節，第一節中以數學的形式來定義 n維歐氏空間中的物體及其密度和質心，並討論凸集合的一些性質，第二節引述了Hahn-Banach 定理而不加證明，但證明它的一個有用的推論，以作為討論物體質心的依據，第三節則為本文的主題，證明了具有凸領域的物饅其質心必在其領域之中，並進而說明了一般物體質心的位置。值得注意的是物理世界中真實的物體，其密度和質心均符合本文第一節中 n=3的定義，因此本文的結論自然適合物理上實際的情況，然而本文所述較實際略為一般化。本文牽涉一點基本的泛函分析，測度論和拓樸學，由於所用到的一些性質均屬相當基本的論述，故並未註明參考書目。

利用生物的幾何性質，歸納出生物成長的特殊規律性與數學幾何的密切關係。再針對菊科類植物花盤內螺旋線數量的獨特性質，去探討並推論其順、逆螺旋線數和費氏數列( Fibonacci Sequence ) 以及盧卡斯數列 ( Lucas Sequence ) 的特殊相關性，及其形成此規律性的原因。並藉由Maple執行各種不同發散角所模擬的花苞生長情形，來解釋為何黃金角是造成花苞排列緊密的最佳發散角。

本研究主要在探討單格至8 格圖形的因、倍數問題，過程是先找出5 至8 格的所有圖形，整理觀察，找出可拼成矩形的多方塊，即為最小公倍數方塊圖的因數多方塊，並歸納這些因數多方塊的特徵。

某一天當我正在作圖時無意之中發現到2/3=0·666… 在這直線坐標系裹不知該如何下筆來點出這令人頭痛的一點， √3= 1.732…… 也碰到同樣令人百思莫解的問題，於是我絞盡腦汁，十分費神地反覆思考著，想觸類旁通來發現代數中＋─X÷ 在幾何上扮演著什麼重要角色？能否利用幾何方法證明三大平均數呢？這一連串的問題，引起我無限的好奇，但又攪得我眼花撩亂，頭昏腦脹，於是下定決心，想徹底細心加以研究分析，來證明這顛撲不破的真理，但卻又令我腸枯思竭，不曉得該從何著手做起，於是便與志同道合的同學，日夜不間斷加以深入討論，有問題再去請教數學老師，終於發現到其中奧妙的哲理，想做一個代數與幾何的橋樑，來溝通代數與幾何的密切關係。