某一天當我正在作圖時無意之中發現到2/3=0·666… 在這直線坐標系裹不知該如何下筆來點出這令人頭痛的一點， √3= 1.732…… 也碰到同樣令人百思莫解的問題，於是我絞盡腦汁，十分費神地反覆思考著，想觸類旁通來發現代數中＋─X÷ 在幾何上扮演著什麼重要角色？能否利用幾何方法證明三大平均數呢？這一連串的問題，引起我無限的好奇，但又攪得我眼花撩亂，頭昏腦脹，於是下定決心，想徹底細心加以研究分析，來證明這顛撲不破的真理，但卻又令我腸枯思竭，不曉得該從何著手做起，於是便與志同道合的同學，日夜不間斷加以深入討論，有問題再去請教數學老師，終於發現到其中奧妙的哲理，想做一個代數與幾何的橋樑，來溝通代數與幾何的密切關係。

本文純以數學方法來探討一們物理上的問題一物體質心的位置，文分三節，第一節中以數學的形式來定義 n維歐氏空間中的物體及其密度和質心，並討論凸集合的一些性質，第二節引述了Hahn-Banach 定理而不加證明，但證明它的一個有用的推論，以作為討論物體質心的依據，第三節則為本文的主題，證明了具有凸領域的物饅其質心必在其領域之中，並進而說明了一般物體質心的位置。值得注意的是物理世界中真實的物體，其密度和質心均符合本文第一節中 n=3的定義，因此本文的結論自然適合物理上實際的情況，然而本文所述較實際略為一般化。本文牽涉一點基本的泛函分析，測度論和拓樸學，由於所用到的一些性質均屬相當基本的論述，故並未註明參考書目。

「非對稱性螺旋槳定理」是一個很有趣的定理，並且有好幾個相類似的推廣性質。我們 試著自己提出這些性質的證明，並且嘗試作一些推廣的探討。

當我們在數學第七冊第十三單元中，學到面積的意義與計算，老師給我們利用方格紙的疊合．來比較等周長的長方形面積，結果發現；一樣的周長，所圍成的長方形中，以正方形的面積為最大。這時我們興起了疑問：為什麼會形成這樣的結果呢？它們的面積有什慶關係？於是我們請教老師，展開了我們的研習活動，並從中發現了有趣的數。

先從平面上去探討邊長為一單位的正方形所構成的長方形，將長、寬是否互質分類去討\r 論對角線所通過多少（正方形）點數及邊數會如何變化？再去探討在空間中，由許多邊長一\r 單位的正立方體所構成的長方體，也是將長、寬和高是否互質分類去討論對角線會通過（正\r 立方體）多少點？多少邊？多少面？我們利用方格紙、在桌墊上實際操作、電腦Excel、製作\r 模型和遊戲方格實際操作去討論出通過點、邊和面，我們找到了以下的的結論：在平面上：\r 長＝a，寬＝b，（a,b）＝r，通過的點數為r－1，邊數為a＋b－2r。在空間：長＝a，寬＝b，\r 高＝c，（a,b）＝p，（b,c）＝q，（c,a）＝r，（a,b,c）＝s，通過的點數為s－1，邊數為p＋q＋r\r －3s，面數為a＋b＋c－2p－2q－2r＋3s。

本研究探討一支刻度很少而長度為整數 Kcm 的節約尺，這支尺可以從 1cm、2cm、3cm、…，量到 Kcm，我們找出最大的 K，並且探討尺的間隔數和尺長的關係。我們發現有 N個間隔，一定會產生種間隔，尺長不會超過 cm。我們還找出了間隔組合總數的算法，當間隔數越多，間隔組合總數就越驚人，從幾十萬筆資料中，我們找出了 1~8個間隔的最佳解。當我們把這些間隔組合總數算法所形成的數列排在一起，發現這些數列竟然和巴斯卡三角形有關。

我們想要解決在ABCD順序的組件中，利用前二組件互換，以及後推一個組件的這兩種操作方法，完成所有排列組件，並從中研究最少次數以及規律。研究中，我們從簡化原題目的3個組件作為起始，研究了4個、5個組件的自動化智慧機器人~組件排列次序探討。我們利用編號、EXCEL試算表等工具以及方法，找出3個組件的所有排列需要2個操作步驟、4個組件的所有排列需要6個操作步驟、5個組件的所有排列需要11個操作步驟。我們還發現【t】操作以及【r】操作會有不同的特性，其中多次的【r】操作會出現循環重複。利用此性質來做分組，發現組與組之間的各種性質。結果若能運用在實際的組件操作上，也許對於機器人的效能會有所提升！

在高一數學裡有一章講到有關整數的性質，包括質數的檢驗、因數倍數、幣數的因素分解 … 等等，現在我們利用這些學過的性質來探討一些俱有特殊性質的自然數叫做「單形調和數」，首先需要下一些定義，以這些定義做基礎，再推演出一些有關單形調和數的性質，利用這些性質嘗試將單形調和數歸類，雖然我們所作的不十分完美，但是我們巳能應用在課堂上所學得的「數學方法」先適度的抽象化再由邏輯推理演譯出結論，對一個問題做分析、歸納綜合，本文共分為三段，每一段的目標均在正題之前說明。

週六的團體活動時問，老師會帶領班上同學玩一些益智的科學遊戲，讓我們動動腦。其中「繆比烏絲帶」最令班上同學感到訝異與著迷。有一天，老師帶我們到植物園的科學教育館參觀時，竟然又看到超大型的「繆比烏絲帶」模型，只可惜底下的說明圖並未進一步介紹剪開後的神奇變化，更激發了我們的興趣與好奇，因此，在老師的帶領下，我們運用系統化的方法，按部就班的仔細分析、探討，並記錄其結果，最後終於找出紙帶扭轉次數與剪開後的結果之間的關係了。並意外發現，封閉曲線交叉所產生的交叉點數與其所圍出的區域數之間的關係了。

柏拉圖時代就被發現的五個正多面體，一直吸引著人們的好奇心。它們經常出現在國小的教科書以及一般補充教材上，不過通常都是利用它們來介紹尤拉公式，對於另一個令人感到興趣的問題 ─“展開圖”的介紹卻不是很詳盡。在我們的研究中，對於正六面體與正八面體，我們找出了一組簡單、易記的模式，來判斷某個平面圖是否為正六面體或正八面體的展開圖，同時我們也找出了一個利用基本模式，就能產生所有正六面體與正八面體的展開圖的方法。