數學科

本文所探討的是關於有趣的移位遊戲，並利用遊戲技巧定義出?跳島攻法?，當移動過程符合跳島攻法，可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2 時，奇數個字母為N2+3N-8/2次；偶數個字母為N(N+1)/2次。利用數據推導出解題公式(p.11)後，嘗試找出移動步驟之規律證明(p.9~p.12)，希望獲得公式的正確性，最後更以多元的反例驗證(p.17~p.25)，試圖以足夠的數據證明公式的正確性。反例驗證發現，當違反?跳島攻法?的任何移動方式與技巧，皆無法獲得更少的步驟數，因此更可推論證明出遊戲公式之正確性，獲得破解本移位遊戲的最佳策略。最後，希望這些數學方法可推廣至一般移位遊戲。

如下圖所示，在一邊有6個圓圈的正三角形棋盤，將某個圓圈擺上皇后，此為皇后的根據地，箭號所指的三個與邊平行的方向，是皇后所能管轄的範圍，且兩個皇后不能互相管轄到對方的根據地，不是根據地的圓圈可以兩個皇后共管。我們的研究在討論一邊有n個圓圈的正三角形棋盤中使每個圓圈都被管轄到時，最少需要幾個皇后以及最多可放幾個皇后。為了解最少需要的皇后數，我們採用算術推理以及從三個方向(↘、↙、←)的考慮、由外而內的一整排來作邏輯上的推理得到了一邊有1~12個圓圈的正三角形棋盤的最少皇后數，並嘗試透過電腦程式的執行求出更大邊圓圈數棋盤的最少皇后數。最多皇后數部分，我們透過數學歸納法得到了所有邊數情況的最多皇后數。

在數學社團時，老師教我們玩一種撲克牌遊戲：「從一副撲克牌隨機抽出四張，看誰先用四張牌的點數經過加減乘除和括號運算湊出24的人贏。J代表11點，Q代表12點，K代表13點」我們玩這個遊戲玩得很高興。上數學課時，老師又在黑板上寫了4個數字1、4、7、9，要我們利用四則及括號運算將這4個數字拼湊成24，這個問題引起我們探討的興趣。我們想：是不是任意4個小於等於10的正整數，皆能利用四則運算拼湊成24？能不能找到數字間的規律性？因此，我們將所有可能的數字組合整理出來，並代入四則運算，於是完成下面的研究。

今年（ 88 年）春假，閒來無聊，順手翻出四下（第八冊）的數學，回想當時在學習第七單元─「長方體與正方體」中；有一種「下列各展開圖中，何者可折回正方體？」的題目；面對這一種題目，老師總是要我們實際操作後，再圈選出來正確的答案。如此一來每一次做一題題目總是會花費了我不少的時間，因此我才想找出更好更快的方法，來解決這一個問題。為了找出更好更快的方法，我找了幾位志同道合的同學展開了以下一連串的研究，並且隨時請教爸媽和老師。

某一天當我正在作圖時無意之中發現到2/3=0·666… 在這直線坐標系裹不知該如何下筆來點出這令人頭痛的一點， √3= 1.732…… 也碰到同樣令人百思莫解的問題，於是我絞盡腦汁，十分費神地反覆思考著，想觸類旁通來發現代數中＋─X÷ 在幾何上扮演著什麼重要角色？能否利用幾何方法證明三大平均數呢？這一連串的問題，引起我無限的好奇，但又攪得我眼花撩亂，頭昏腦脹，於是下定決心，想徹底細心加以研究分析，來證明這顛撲不破的真理，但卻又令我腸枯思竭，不曉得該從何著手做起，於是便與志同道合的同學，日夜不間斷加以深入討論，有問題再去請教數學老師，終於發現到其中奧妙的哲理，想做一個代數與幾何的橋樑，來溝通代數與幾何的密切關係。

在高一數學裡有一章講到有關整數的性質，包括質數的檢驗、因數倍數、幣數的因素分解 … 等等，現在我們利用這些學過的性質來探討一些俱有特殊性質的自然數叫做「單形調和數」，首先需要下一些定義，以這些定義做基礎，再推演出一些有關單形調和數的性質，利用這些性質嘗試將單形調和數歸類，雖然我們所作的不十分完美，但是我們巳能應用在課堂上所學得的「數學方法」先適度的抽象化再由邏輯推理演譯出結論，對一個問題做分析、歸納綜合，本文共分為三段，每一段的目標均在正題之前說明。

利用生物的幾何性質，歸納出生物成長的特殊規律性與數學幾何的密切關係。再針對菊科類植物花盤內螺旋線數量的獨特性質，去探討並推論其順、逆螺旋線數和費氏數列( Fibonacci Sequence ) 以及盧卡斯數列 ( Lucas Sequence ) 的特殊相關性，及其形成此規律性的原因。並藉由Maple執行各種不同發散角所模擬的花苞生長情形，來解釋為何黃金角是造成花苞排列緊密的最佳發散角。

(一)在學校「聯課活動」指導學生棋藝研究時常有學生提出「一車換馬炮，值不值得？」「象棋與數學有沒有關係？」諸問題。(二)民國五十八年夏，第二屆亞洲杯舉棋錦標賽在臺北舉行，（這是我國首次舉辦，也是首度與賽，共有中華、香港、新加坡、馬來西亞、泰國、高棉、越南、菲律賓、琉球等九隊參加。）盛況空前；此後幾屆在各地輪流舉辦的此項比賽，中華代表隊在團體及個人方面皆獲得了多次冠、亞等優異成絞，對於促進國民外交，提高文藝水準與地位，有相常的貢獻！但是自民國六十六年第六屆亞洲杯象棋賽在菲律賓、馬尼拉舉行，我國因國際局勢等因素而未參加；我有感想，因此盡力嘗試著將數學概念與方法滲入棋藝的研究中；此篇研究心得之報導，祈能拋磚引玉，引起共嗚，共同努力，俾一方面發揚此項國粹於深一層的探究中，另一方面藉此項「雅俗共賞」的藝術愛好，對一般廣泛的民眾施以基礎的數學教育，提供數學概念與方法，引起數學興趣與信心！(三)民國六十八年夏，應邋擔任第四屆全國交通杯棋藝錦標賽的棋證記錄工作，實際感覺到以一般坊間棋譜「一炮二平五」、「馬二進三」等方式記錄有所不便（尤其時間上），因此認為記錄方法或格式有簡化改進之必要，俾助於實戰資料之保存，參研或處理。

本研究探討的主題是：給定正整數n，是否存在1~n的重排數列，使得「相鄰兩項之和都是平方數」。對於滿足上述條件的數列，我們稱其為平方數列，我們探討哪些n使得1~n可排成平方數列。對於某類的正整數n，我們已找到構造平方數列的方法： 1.若正整數a, b, c及k=0, 1, 2, 4滿足a>b，a2+b2-k2=c2且(a2-k, b2-k)=1，則1~a2-1可排成平方數列。 2.若正整數a, b, c, α, β滿足a>c>b，b2+c2=α2，a2+c2=β2且(a2-b2, c2)=1，則1~a2-1可排成平方數列。再者，我們可以證明n=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、18、19、20、21、22、24時，1~n無法排成平方數列；藉由有效率的程式運算，我們得知n=15、16、17、23及n=25、26、...、144時，1~n可排成平方數列。若平方數列的首尾兩項相加也是完全平方數時，我們將其定義為平方項鍊。我們造出1~32的平方項鍊，進而可知 1~32排成平方數列的方法至少有32種。對於特定的n，我們可將1~n排成平方項鍊；而我們更證明出，n=32是可將1~n排成平方項鍊的最小正整數。

本文純以數學方法來探討一們物理上的問題一物體質心的位置，文分三節，第一節中以數學的形式來定義 n維歐氏空間中的物體及其密度和質心，並討論凸集合的一些性質，第二節引述了Hahn-Banach 定理而不加證明，但證明它的一個有用的推論，以作為討論物體質心的依據，第三節則為本文的主題，證明了具有凸領域的物饅其質心必在其領域之中，並進而說明了一般物體質心的位置。值得注意的是物理世界中真實的物體，其密度和質心均符合本文第一節中 n=3的定義，因此本文的結論自然適合物理上實際的情況，然而本文所述較實際略為一般化。本文牽涉一點基本的泛函分析，測度論和拓樸學，由於所用到的一些性質均屬相當基本的論述，故並未註明參考書目。