數學科

國中有學過二次函數y=ax2+bx+c的圖形為拋物線，可以知道拋物線頂點是一個重要的圖型特徵，但沒有討論當a,b,c值變動時，對頂點會造成什麼影響。在本研究中，我發現當a,b,c值變動或者當a,b,c其中二個數值具有二次或一次的函數關係時，拋物線的頂點軌跡圖形會是圓錐曲線。特別是當a=Pb2+Qb+R時，拋物線的頂點軌跡會出現直線、拋物線、雙曲線及橢圓等情形。接著利用頂點座標求出各種情形的一般式並得到頂點移動軌跡圖形與其一般式的充要條件，進一步針對a=Pb2+Qb+R的特殊情況進行深入的探討，利用圓錐曲線類型的判別式找出P,Q,R的值與圖形的對應結果（如下圖）。

這個遊戲是個層層堆疊的數列，代表了一種有趣的乘法結果記錄：某一層的數列是將上一層的每一碼乘以2的乘積，依序排列起來。我們要求的是在第幾層時數列的長度會超過1000位？ 我們還研究了乘數是3、4、5、…、10的情形。 本作品使用的方法為直觀觀察、樹狀圖和有向圖，去找到遞迴式。很遺憾，一直乘以7沒有找到一般式。然而，我們可以利用有向圖求得：給定某次運算後，知道其數字分佈後，透過「矩陣運算」得到下次運算後的長度。

想要運用已學會的＜等差數列級數和＞公式和所知，來破解一個神秘數列（階差數列）是我很感興趣的挑戰。在這探索中，我意外地發現了一個階差數列的計算與推演的創意思考方法──我暫時把它命名為＜大小三角形排列＞思考法！這方法具有視覺與圖形一目瞭然的特性，使我們可以僅僅利用到簡單的四則運算，配合上大小三角形排列計算，就可破解各類的神秘階差數列求和之問題！甚至，不必用到我們國中生所看不懂的'Σ'符號，就可破解一切難題！ 用這大小三角形排列思考法，我進一步推導完成了＜階差數列求和的公式＞－也許我正在發明一個很重要的數學公式哦！這公式會使神秘又困難的階差數列求和的計算，變得簡單。請大家來一起看看我的創意思考過程，和這可愛的公式吧！

本研究的三柱輪換，在文獻上尚查無資料。在研究的移動策略中，我們發現：1.對於在只能利用三柱移動的情況下，其移動皆須遵循「最佳移動原則」。由於此部分的移動模式一定，所以最少步數公式，較容易導出。2.對於可利用四柱的移動，其移動過程皆須透過變數（盤子數量）的選擇，本研究稱之為「雞尾酒法」，試圖從中尋找最佳組合，並利用「造群」的方式，完成最少步數的尋求。

課堂上所學得的重心僅止於三角形，並未提及四邊以上的多邊形或是凹多邊形的重心。於是我們利用網路及圖書館查閱多邊形的重心相關資料，找到以前科展的兩篇作品，及數學辭典中相關的幾何學知識。在了解資料的內容並試著自己作圖尋找多邊形重心時，我們發現以往科展作品中有錯及某些問題未曾解決。於是我們利用了【面積交換性質】找到修正的方法後，便可用【槓桿原理】求得正確之重心。並且此方法可推廣到凹、凸N多邊形。之後，我們也發現凹四邊形的重心隨著圖形的不同而存在於形內、形外、邊線等不同位置，進一步的我們研究出判斷式。至於凹N（N≧5）邊形之重心位置，是否存在判斷式？我們仍在努力尋找中。

國中課本第五冊第 141 頁 5-4 練習第六題，我國民間相傳有下列五邊形的近似作法”九五頂五九，八五分兩邊”經過幾次的畫法，均發現並非真正五邊形，其誤差雖極小，仍困擾著我們的求知欲，因而請教於老師。

在100個硬幣內，任取若干個，若能將硬幣分成至少2堆以上，且每堆的數量依少而多成為公差2的等差數列，則稱為1種分法。能以最少硬幣排出最多種分法者為優勝。先排出1~100的數中，計算每一個數的分法，再歸納出任一個整數有多少種分法的計算方式，發現與其因數個數相關。若一個數有n個因數，則有(n+1)/2-1(當n為奇數)或n/2-1(當n為偶數)種分法。從中將同樣多種分法的數歸為一類，並找出其中最小的整數，這些數就是我們獲勝的關鍵。計算出1~100種方法的最小整數，發現可由k種方法的最小整數推論出2k+1種方法的最小整數。而這之中有一些例外的情況，探討之後也整理出兩大類不同型態的原因。

本研究實驗一：12位同學進行遊戲，每3個一數，第三人即出局，找出最後一位生存的人。雖然，實地進行遊戲找出最後生存者的方法很有趣，但人數增多時，要找出最後的生存者要花費很多時間。因此，實驗二：我們改以紙筆畫格子的方式找出最後的生存者，並將人數定為25人，從圖形中找出規則性。實驗三：我們試圖推演算式，結果發現必須先算出特殊總人數的例子並且表列出來，才可以推算所設定的目標人數之最後生存者的編號。實驗四中，我們將3個一數的方式改為5個一數，我們發現具有相同的規則性。最後實驗五，我們進一步研究「7個一數」、「9個一數」和「10個一數」亦有相同規則性的有趣遊戲。

我們從國中數學課本中知道，一個有理數能夠以分數表示，但對於一個無理數，是否能以分數表示又，我們巳經知道不能，但又應如何表示呢?

古人說：「詩中有書，畫中有詩。」要是能變成「數中有畫，晝中有數。」那該多麼有趣，所以我就在以國中程度的範圍內，去找尋一群數學的式子，希望這些式子可以實現。也許你會想到，在畫圖的遊戲中有一種數字連連看的遊戲，從這裡我們得到了一個靈感「一般的簡易圓形，可以用若干條線段來連成。」