數學科

我們從國中數學課本中知道，一個有理數能夠以分數表示，但對於一個無理數，是否能以分數表示又，我們巳經知道不能，但又應如何表示呢?

兩個互相垂直的簡諧運動所構成的圖形即為Lissajous曲線，可寫成{x=p1cos(α1t+c1) y=p2cos(α2t+c2) 的形式，而當且僅當頻率比α1/α2為有理數時，圖形會形成一個封閉曲線，且會有重合與不重合兩種情況，將兩種情況分開討論，對於任意給定的頻率和相位差，我們求出了Lissajous曲線的二重點(double point，指曲線與其本身相交的點且曲線在該點的兩條切線斜率是相異的)參數值及其個數公式以及判別其重合與否的充要條件，也對Lissajous曲線的連續性質做了一些研究，包括切線斜率、反曲點個數等。並將Lissajous曲線拓展到三維的情況，發現大部分的情況下圖形是沒有二重點的封閉曲線，也得到了在固定頻率比的情況下，二維Lissajous曲線相位差的改變即為三維Lissajous曲線在空間中旋轉的投影這一有趣結果。

國中課本第五冊第 141 頁 5-4 練習第六題，我國民間相傳有下列五邊形的近似作法”九五頂五九，八五分兩邊”經過幾次的畫法，均發現並非真正五邊形，其誤差雖極小，仍困擾著我們的求知欲，因而請教於老師。

在100個硬幣內，任取若干個，若能將硬幣分成至少2堆以上，且每堆的數量依少而多成為公差2的等差數列，則稱為1種分法。能以最少硬幣排出最多種分法者為優勝。先排出1~100的數中，計算每一個數的分法，再歸納出任一個整數有多少種分法的計算方式，發現與其因數個數相關。若一個數有n個因數，則有(n+1)/2-1(當n為奇數)或n/2-1(當n為偶數)種分法。從中將同樣多種分法的數歸為一類，並找出其中最小的整數，這些數就是我們獲勝的關鍵。計算出1~100種方法的最小整數，發現可由k種方法的最小整數推論出2k+1種方法的最小整數。而這之中有一些例外的情況，探討之後也整理出兩大類不同型態的原因。

課堂上所學得的重心僅止於三角形，並未提及四邊以上的多邊形或是凹多邊形的重心。於是我們利用網路及圖書館查閱多邊形的重心相關資料，找到以前科展的兩篇作品，及數學辭典中相關的幾何學知識。在了解資料的內容並試著自己作圖尋找多邊形重心時，我們發現以往科展作品中有錯及某些問題未曾解決。於是我們利用了【面積交換性質】找到修正的方法後，便可用【槓桿原理】求得正確之重心。並且此方法可推廣到凹、凸N多邊形。之後，我們也發現凹四邊形的重心隨著圖形的不同而存在於形內、形外、邊線等不同位置，進一步的我們研究出判斷式。至於凹N（N≧5）邊形之重心位置，是否存在判斷式？我們仍在努力尋找中。

依據學習理論，興趣乃學習之動力，如果學生數學科學習興趣低落，必然影響其數學成就，因果循環，日積月累，數學科低成就者當然與日俱增。然而因小學生是否有此現象，尚未有系統之研究。根據 Show 與 Mclucn 二氏（ 1960 ）的研究指出：低成就現象在小學低年級即已開始，隨年齡增加而漸趨顯著”又據Goldberg 氏（ 1959 ）的研究以為初中階段更為明顯；高中階段形成的數量又較前增加。根據以上研究結果可推知國中高中生數學成就低落原因，很可能自國小起已種下。若對國小學生數學科學習興趣之現況加以探討，究竟有那些因素影響其數學科學習興趣，將結果與國中高中生對照比較，以探討其影響之關鍵所在，進一步研究如何掌振這些因素，此透過科學的，有效的方法，從事學習指導，使學生自國小起便培養其數學濃厚的學習興趣，以奠定良好之基礎，俾便將來進國中乃至高中，對數學科仍能興趣盎然地學習，而完全消除害怕厭惡學習之心理障礙，已達到提高數學能力，培養科學人才之目的。

本作品首先探討流浪狗於正ｍ邊形中，設定一些假設條件後，以尋找已知數值之間相關性的方式，看能否找出ｎ天後其移動的機率通式，並且證明，然後套入台東市區分割圖中，則當狗符合假設之條件時，便可輕易求出ｎ天後某點的狗數期望值或某狗的移動到某點的機率，還有尋找不同方法（如高三上第四章矩陣）套用以化簡計算，最後推廣至很多狗很多天及複雜地圖的情形，並嘗試實際測試結果是否相符。

去年暑假我們參加學校舉辦的少年科學研習營，老師出了一個數學問題，很有趣，叫做移位遊戲。遊戲內容如下：你能不能動腦筋將左下方棋盤上的棋子，在下面的兩個條件限制下變換成右下方棋盤的情形（也就是將空格兩旁的黑白棋子換位）。

本文之目的在於討論「連續投擲一枚硬幣n次，出現正面，反面累積次數的分佈情況」。

圓柱積木中，12片積木有九億多種排列，故其看似簡單實則複雜，其中隱含許多數字的規律。我們先將問題簡化成找出可以完成前四片積木堆疊的排列，實作後發現積木洞數之間的四個規則，利用規則一?四篩選掉大部分不可行的組合，找出積木洞數符合規則者有324種組合；接著在進行堆疊的過程中，找到積木形狀和洞數的關聯性，即規則五?七，利用規則五?七篩選後剩下228種組合。最後一一堆疊，找到212種可行的堆疊組合，並發現其他16種組合都是因為複雜的形狀關聯性或受限於積木3C的位置而無法完成堆疊。現在我們將12片積木放在4×3的棋盤上，便可將立體積木，先在平面上輕易的用規則一?七檢驗調整後，再快速的完成堆疊。