數學科

本研究的三柱輪換，在文獻上尚查無資料。在研究的移動策略中，我們發現：1.對於在只能利用三柱移動的情況下，其移動皆須遵循「最佳移動原則」。由於此部分的移動模式一定，所以最少步數公式，較容易導出。2.對於可利用四柱的移動，其移動過程皆須透過變數（盤子數量）的選擇，本研究稱之為「雞尾酒法」，試圖從中尋找最佳組合，並利用「造群」的方式，完成最少步數的尋求。

去年暑假我們參加學校舉辦的少年科學研習營，老師出了一個數學問題，很有趣，叫做移位遊戲。遊戲內容如下：你能不能動腦筋將左下方棋盤上的棋子，在下面的兩個條件限制下變換成右下方棋盤的情形（也就是將空格兩旁的黑白棋子換位）。

依據學習理論，興趣乃學習之動力，如果學生數學科學習興趣低落，必然影響其數學成就，因果循環，日積月累，數學科低成就者當然與日俱增。然而因小學生是否有此現象，尚未有系統之研究。根據 Show 與 Mclucn 二氏（ 1960 ）的研究指出：低成就現象在小學低年級即已開始，隨年齡增加而漸趨顯著”又據Goldberg 氏（ 1959 ）的研究以為初中階段更為明顯；高中階段形成的數量又較前增加。根據以上研究結果可推知國中高中生數學成就低落原因，很可能自國小起已種下。若對國小學生數學科學習興趣之現況加以探討，究竟有那些因素影響其數學科學習興趣，將結果與國中高中生對照比較，以探討其影響之關鍵所在，進一步研究如何掌振這些因素，此透過科學的，有效的方法，從事學習指導，使學生自國小起便培養其數學濃厚的學習興趣，以奠定良好之基礎，俾便將來進國中乃至高中，對數學科仍能興趣盎然地學習，而完全消除害怕厭惡學習之心理障礙，已達到提高數學能力，培養科學人才之目的。

這個遊戲是個層層堆疊的數列，代表了一種有趣的乘法結果記錄：某一層的數列是將上一層的每一碼乘以2的乘積，依序排列起來。我們要求的是在第幾層時數列的長度會超過1000位？ 我們還研究了乘數是3、4、5、…、10的情形。 本作品使用的方法為直觀觀察、樹狀圖和有向圖，去找到遞迴式。很遺憾，一直乘以7沒有找到一般式。然而，我們可以利用有向圖求得：給定某次運算後，知道其數字分佈後，透過「矩陣運算」得到下次運算後的長度。

課堂上所學得的重心僅止於三角形，並未提及四邊以上的多邊形或是凹多邊形的重心。於是我們利用網路及圖書館查閱多邊形的重心相關資料，找到以前科展的兩篇作品，及數學辭典中相關的幾何學知識。在了解資料的內容並試著自己作圖尋找多邊形重心時，我們發現以往科展作品中有錯及某些問題未曾解決。於是我們利用了【面積交換性質】找到修正的方法後，便可用【槓桿原理】求得正確之重心。並且此方法可推廣到凹、凸N多邊形。之後，我們也發現凹四邊形的重心隨著圖形的不同而存在於形內、形外、邊線等不同位置，進一步的我們研究出判斷式。至於凹N（N≧5）邊形之重心位置，是否存在判斷式？我們仍在努力尋找中。

本作品首先探討流浪狗於正ｍ邊形中，設定一些假設條件後，以尋找已知數值之間相關性的方式，看能否找出ｎ天後其移動的機率通式，並且證明，然後套入台東市區分割圖中，則當狗符合假設之條件時，便可輕易求出ｎ天後某點的狗數期望值或某狗的移動到某點的機率，還有尋找不同方法（如高三上第四章矩陣）套用以化簡計算，最後推廣至很多狗很多天及複雜地圖的情形，並嘗試實際測試結果是否相符。

兩個互相垂直的簡諧運動所構成的圖形即為Lissajous曲線，可寫成{x=p1cos(α1t+c1) y=p2cos(α2t+c2) 的形式，而當且僅當頻率比α1/α2為有理數時，圖形會形成一個封閉曲線，且會有重合與不重合兩種情況，將兩種情況分開討論，對於任意給定的頻率和相位差，我們求出了Lissajous曲線的二重點(double point，指曲線與其本身相交的點且曲線在該點的兩條切線斜率是相異的)參數值及其個數公式以及判別其重合與否的充要條件，也對Lissajous曲線的連續性質做了一些研究，包括切線斜率、反曲點個數等。並將Lissajous曲線拓展到三維的情況，發現大部分的情況下圖形是沒有二重點的封閉曲線，也得到了在固定頻率比的情況下，二維Lissajous曲線相位差的改變即為三維Lissajous曲線在空間中旋轉的投影這一有趣結果。

我們檢討數學課本十一冊，練習十五，第四題：「圓池一個，直徑 10 公尺，在池的外圍築寬l 公尺的路，算出路的面積是多少？」時，大家都願用大圓面積減去小圓面積的算法： 62 × 3.14 -52× 3.14= 34.54 或(62-52)X 3.14來做。這時我問老師：「是不是可以用(10+1)× 3.14=34.54 來做？」不等老師的回答，王同學搶先說：「老師，我認為這樣做只是一種巧合，因為我用別的數字試過了，結果答案不同，況且也無法解釋它的理由！」老師聽了，告訴我們：「凡事在沒有得到充份理由來解釋以前，不要冒然就下斷語。這個問題既能造成巧合，必定有它的道理在。」於是我們幾個喜歡數學的同學，便聚在一起研究到底能不能用(10+1)X3.14= 34.54，這種方式來做？又怎麼來解釋它的道理呢？

去年在數學競試講習的某次課堂上，老師提出一個“用骨牌鋪砌”的益智問題，引起不小的迴響。這個問題乍看之下不甚起眼；然而實地動手去作，才發覺並非想像的那麼簡單。 而這分報告，將呈現我們思考的過程與研究的成果，尚祈不吝賜教。