一天，上數學課時，老師提出了一個問題：「鈍角三角形，能切割成銳角三角形嗎？」乍看之下，這題目似乎很簡單。班上大將X答道：「這還不容易！」然後很神氣地走上臺去，畫了約十分鐘，臉色逐漸發白，仍解不出來！在班上大將紛紛戰死沙場後，老師微笑道：「這問題不像你們想像的那麼容易，要好好思考，才能解出來。回去好好想吧！想到了寫成報告交出來，加平時分數。」 課後，老師還告訴我們，這題目她已給了三屆學長做過，都沒有人做出完整的解，老師鼓勵我們動動頭腦仔細思考，想出解來，讓大家分享。 敗在一個三角形下，實在心有不甘，於是，我們決定要解開這道題目！

有一三角形ABC，一點M在三角形邊AC上，一圓以BM為直徑，交AB、AC分別於P、Q，找出圓經P、Q作切線之交點R，當M在AC上做變動時動點R之軌跡為何？首先從特殊三角形的軌跡問題開始著手。再將原問題延伸，使原本的軌跡再對另一動點進行掃略，如使三角形頂點B於一平行邊AC的直線上、任意給定的直線上、過A及C之圓上(不含以AC為直徑的圓)等三種情形移動並利用幾何軟體「顯示軌跡」功能觀察其掃略圖形邊界，並試假設其為何種特殊圖形，並嘗試證明猜測的結論。最後嘗試研究此種特殊圖形的特殊性質並推廣之。

同餘方程的理論，原本十分複雜，舉凡判別一個方程式是否有解；當有解時會有幾個解？該如何求解？這些問題至今仍難有終南捷徑，問其困難之所自，固是數論之對象，僅限於整數上面卻也因而限制了討論的層面，即限制了使用符號的靈動性，更影響了思維的便利，常令人如霧中看花，難以清晰。有感於此，自州政論之對象固是整數，但探討過程卻未必限於整數之上，我們何妨引進分數做為討論的媒介，使整個討論過程，得以簡化和明朗，這個手段猶如下跳棋，綠色棋子雖不能停在紅色國裏，卻仍可能經過紅色國一樣。是：跳出整數模子的窠臼，將是海濶天空。引進分數符號，同餘方程的理論，有望花開朵朵。

本文發展出一套內鏡射圖形的尺規作圖法，由此作圖法操作中發現奇數邊多邊形的內鏡射圖形是唯一的，而偶數邊多邊形卻有無限多個。本文主要探討多層次內鏡射圖形的存在條件，依條件給定的各組內角，必可操作到指定的層數，當給定的各內角愈接近正多邊形的角度時，可操作到的層數愈多。

本研究的三柱輪換，在文獻上尚查無資料。在研究的移動策略中，我們發現：1.對於在只能利用三柱移動的情況下，其移動皆須遵循「最佳移動原則」。由於此部分的移動模式一定，所以最少步數公式，較容易導出。2.對於可利用四柱的移動，其移動過程皆須透過變數（盤子數量）的選擇，本研究稱之為「雞尾酒法」，試圖從中尋找最佳組合，並利用「造群」的方式，完成最少步數的尋求。

古人說：「詩中有書，畫中有詩。」要是能變成「數中有畫，晝中有數。」那該多麼有趣，所以我就在以國中程度的範圍內，去找尋一群數學的式子，希望這些式子可以實現。也許你會想到，在畫圖的遊戲中有一種數字連連看的遊戲，從這裡我們得到了一個靈感「一般的簡易圓形，可以用若干條線段來連成。」

我們從國中數學課本中知道，一個有理數能夠以分數表示，但對於一個無理數，是否能以分數表示又，我們巳經知道不能，但又應如何表示呢?

是因在課堂上某位同學向數學老師請教有關這類題目之求法，而老師是以一般分析方法解題。於足我們就互相研究出以統一化之整數圖解法。原題：棋盤形之街道（如下圖）今由 S 走到 T 之捷徑中所走路線恰平分這區域之走法共有幾種？解法：等於求滿足 x1+x2+x3+x4=10且0≦x1≦x2≦x3≦x4≦5之整數解 ，今列老師課堂上之分析如下圖，故得12種