數學科

在國中一年級下學期二元一次方程式常見到一道題目『一個二位數的十位數字與個位數字的和為15，若將這個數的十位數字與個位數字對調位置，則所得的新數比原數小9，請問原數為何？』。類似這樣的題型有許許多多，但是都探討到四位數之內，因此我們試著將其延伸到多位數，並試著能否找到一定值，並利用這些關係加以編碼，製作數組只有我們才能進行解碼的數字，利用它來傳遞我們之間的小秘密。 本文介紹關於二位數到八位數的證明過程和結果，我們發現只要依循數字之間的大小關係及既定的運算規則即能得一定值。利用這種關係可將轉換成文字，用來編碼及解碼。

※本文所探討的是關於有趣的移位遊戲 (本文問題一，共討論三種情形)：偶數個硬幣依序交錯排成一直線，設有反面硬幣數n 個(ex.正、反、正、反→反、反、正、正)，最少移動次數 n(n+1) /2次；偶數個硬幣數非交錯(ex. 正、正、反、反→反、反、正、正)，最少移動次數n2次；與奇數個硬幣數非交錯排列(ex. 正、正、反→反、正、正)，最少移動次數n(n+1)次。 (本文問題二，共討論五種情形)：利用技巧定義出｢跳島攻法｣，當移動過程符合跳島攻法，可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2 時，奇數個字母為 N2 + 3N − 8/2 次；偶數個字母為 N(N +1)/2 次。 以上雙主題研究皆以數學歸納法證明公式正確性，希望藉此推廣到一般移位遊戲，謝謝！

本文我從文獻已有的布洛卡三角形及其三種變換出發作各種推廣。首先將布洛卡點在三角形內的情形推廣至多邊形，發現並非任意多邊形皆存在布洛卡點。我發現了存在布洛卡點的充要條件，及布洛卡角、邊、面積的關係式。然後探討四邊形的情形，發現存在正、負布洛卡點的四邊形皆為調和四邊形。接著將文獻中三種布洛卡三角形的變換整併為更具數學風味的旋轉與伸縮變換。再以此方法為基礎，發現一系列布洛卡點、外心間的幾何性質，同時進一步推廣至多邊形，其中美妙的結果是：從任意布洛卡ｎ邊形出發的ｎ條全等的等角螺線皆會收斂至布洛卡點；最後，本文最驚艷的發現是：所有存在正、負布洛卡點的ｎ邊形，其頂點皆為正ｎ邊形的頂點經過反演後的反形。

n 維空間的超立方體Qn其頂點為n 維空間中的點，每一位坐標均為0 或1，兩個點若只有一位坐標不同代表有邊相連。對於一個圖G，取一個點集，使得這一堆點，以及所有與這些點有邊相鄰的點的聯集，恰好為整個圖，就稱它為圖G的控制集。點數最少的控制集其點數定為圖G的(最小)控制數，記為γ(G)。我們證明γ(Q1)=1，γ(Q2)=γ(Q3)=2，γ(Q4)=4， γ(Q5)=7，γ(Q6)=12 ， 30≦γ(Q8)≦32，當n=2p-1，γ(Qn)=2n-p。

研究茭的材質和大小，及擲茭時的高度和擺法這四個因素對出現聖茭機率的影響，並找出擲茭比賽時較佳贏的策略。就個別試驗的組合而言，沒有一個因素的分類能絕對的優於其它分類；若以每一種因素分類的整體平均機率來看，木質優於竹頭，大的茭優於小的茭，７０和１２０公分的高度沒有差異，平面皆向上且並排的擺法則優於其它６種擺法。較佳贏的策略為：條件為木質*大→選擇的高度為７０公分，擺法為平面皆向上且並排；條件為木質*小→選擇的高度為１２０公分，擺法為平面皆向上且並排；條件為竹頭*大→選擇的高度為１２０公分，擺法為平面左右相合且一角向上一角像下；條件為竹頭*小→選擇的高度為70公分，擺法為平面一上一下且並排。

上學期，學校召開了數學科教學研究會時，當時有位老師提出在第一冊課本，第 24 頁中，討論到農曆沒有決定大小月的規則，以及每三年就多加一個閏月，但每十九年加七個閏月，其推算的方法很複雜，既然是沒有規則！那天文台所定出的農曆又是憑藉些什麼來制定的呢？基於此種好奇心的驅使，我們就憑著地球公轉一次及月球繞地球一適所需的時間，加上連分數的運用，所推出來的數字，竟與課木所提的數字 (三年一閏，十九年七閏）不謀而合，所以就想不利用連分數來驗證農曆萬年曆，以下即是我們的研究過程及數據，供大家參考。

國小時就常和同學一起玩數學小遊戲，相當喜歡這種「想想看」的感覺。高一時考環球城市盃數學競賽，題目中有一題令我百思不解，後來和同學提起這個遊戲，發現大家對這題也都沒什麼好辦法，經過幾天討論之後，終於把題目解決了！不過我卻又發覺這個遊戲在加以變化之後，又可以有不同的玩法與解法！恰好當時我們也學到「排列組合」這一章，其中樹狀圖的概念和我當時的解法可說大同小異。當下我們就決定要繼續挑戰這個既繁且雜令人又愛又恨的遊戲。

2008 年環球數學競賽秋季賽有一道題目如下所示：在無窮數列{a(n)}，a(0)=0，若n 的最大奇因數除以4 餘數為1，則a(n)=a(n-1)+1，若n 的最大奇因數除以4 餘數為3，則a(n)=a(n-1)-1。此數列的首幾項為：0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。(a) 證明在此數列中，1 將出現無窮多次(b) 證明在此數列中，每一個正整數將出現無窮多次。因a（2k-1-1）=1。數列{a(n)}定義2k-1≦n≦2k-1 為第k 區間。網路上有第k 區間a(n)=k 的存在性證明。本研究特色在於二進位法找出a(n)表示法，證明第k 區間a(n)=k 唯一性。為了延伸研究，定義數列{dp(n)}，討論質數p 為情況下，猜測數列{dp(n)}第k區間極值、比較出現次數分佈對稱性、數列{d2(n)}降階關係。為了定義統一，本研究從前言起，以數列{d2(n)}代替競賽題目提到的數列{a(n)}。

在三角錐中有很多性質，這可以由數學書藉中找到在此不再陳述。現在僅就我們研究所得結果，定義出「容錐」在此不「容心」與「心線」，再把此心線與極著名之歐拉(Euler) 線作一比較，並研究其在四角錐五角錐以至 n 角錐中是否成立。