數學，是一門有趣的學科，我們實在很想做些數學題目，可是常常不知要做什麼，也不知該如何去做，老師了解我們的困難，也知道我們對數學有興趣，所以常講一些有趣的數學故事給我們聽，或找一些有趣的數學題目讓我們想想做做。最近，老師又出了一道數學題目讓我們當遊戲玩，按照它的規則玩下去，越玩越覺得有趣，幾個人還把玩出來的結果互相拿來比對，再請老師指導。經過長期的推算整理，加上老師的指導，就滙成了這一份成果。這遊戲的作法是這樣：「任何大於零的整數，如果是偶數，就把它除以 2 ，如果是奇數就乘以 3 再加 l ，然後把所乘的結果，繼續用以上的方法做運算，最後一定會達到 l 。」老師說，這個數學遊戲，裏面包含一個數學難題，是由原籍波蘭的著名美國數學家烏則教授（ Stanislaw Ulam ）提出的，這題目讓小學生來試做都會明白，可是到現在數學家們還不明白為什麼會有這樣的結果，找不到一個理論上的證明。雖然，老師知道我們的數學知識不多，目的不在期望由我們來做出好的解釋，但是，因為得到老師的鼓勵，我們也就敢來對大數學家的猜想作檢驗了。如此，我們就興致勃勃地往下做了。

將二維(2k×2k－1) 殘缺棋盤的完全覆蓋性質，推廣至三維( 2k×2k×2k－1)殘缺方塊，再推廣至四維(2k×2k×2k×2k－1)殘缺數對集合及n維( 2k×2k×…×2k－1)殘缺數對集合。

本研究內容為：討論黑、白相間的棋盤方格，經一條直線分割後，取大塊區域的黑色與白色面積，如何尋求最佳分割線與最大值？過程中，我們利用平行移動法以及等面積法，成功的找出的最佳分割線與最大值的通式。再應用2x2、3x3的結果與方法，推導出2xm、3xm 相關分割，進一步推廣到nxm的相關結論。

利用GSP(動態幾何繪圖軟體)協助探討正n邊形對角線相交所圍出圖形的性質與邊長關係，並利用正n邊形對角線與邊長的比值來探討正n邊形內接正m邊形其邊長關係，並找出其規律。

我們都知道圓有一個性質：假如用兩條平行線夾住它，則無論從那一個方向來夾（見圖 l )，其兩線間的距離恒為一個常數（即圓的直徑），這個性質是不是圓所獨有的性質呢？換句話說，假如一個圖形具有這種性質，它是否必然是一圓呢？在課堂裡，老師偶然提到了所謂的”諾雷三角形”(見圖 2 ) ；這個“三角形，解答了上面的問題。諾雷三角形是分別以正三角形之三頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，由這三段圓弧所構成之圖形。因為無論從那個方向來夾這個三角形，兩平行線間的距離都相等（即邊長 d )，因此上面這個問題的答案是否定的。除此之外，上面兩個圓形，假如它們的寬度（見註）相同的話，周長必相等（簡單的計算可以求出兩者的周長均為 d，當 a = d 時)這引起了我們的興趣，我們想要知道的是：除了上述兩種圖形外，是否還有其他這種等寬（見註）的圖形？假若有，那麼在寬度相同的條件下，它們的周長是否都相等呢？這就是本文所要研究的問題。註：寬度是指二平行線，從任一方向夾住一圖形，若其距離恆為一常數，我們稱此圖形為等寬圖形，此常數為其寬度，如圖 l之圓為等寬圖形，寬度為 a ，如圖 2 之諾雷三角形為等寬圖形，寬度為 d。

費氏數列中每一項除以任意正整數後所得的餘數數列具有許多有趣的性質，例如：所有餘數數列均有週期性及每個週期循環列皆是由0均勻分割，即數列在固定間隔某幾項後可被正整數整除，由此性質就可進一步計算週期長度。 本作品中我們嘗試將費氏數列中的餘數數列性質推廣到一般高階正整係數齊次線性遞迴數列(內文簡稱高階線性遞迴數列)的情形。我們發現除了所有餘數數列均為(前)週期數列外，每個週期循環列中的均勻分割的情形變化出二種：由數個0均勻分割(含某項後均為0)、數個不全為0均勻分割(含某項後皆為不為0的常數)，進一步則探討上述二種中的區分週期循環列之條件。最後由餘數數列性質探討出其數列的因倍數定理。

本研究是從數學講義上的一個考題出發，恰巧擴展了前年全國科展最佳教材獎「正多邊形母子面積比」，他們只研究正多邊形且每邊切割的比例相同，我們採取截然不同的研究方法，而且更進一步探索任意多邊形每邊切割的比例任意不同時，其子母面積比值的發展。而隨著邊數的增加，所得圖形儼然一個鳥巢狀，故名「巢狀切割」。我們從三角形做起，經歷四、六、八邊形，一直到五邊形、七邊形，並藉助GSP繪圖軟體幫忙檢驗，最後得到了通用於任意邊數且任意比例切割的子母面積比值公式，並設計Microsoft Excel運算表，只要輸入邊數與比例，可立即算出子母面積的比值！

1.去年我們研究”新型七巧板”得全國科學展覽第二名，對數學的研究增加信心，而更有興趣。2.學到圓的時候，老師常交代有趣的作業，如：收集圓的器物、測量圓周、尋找圓的面徑和圓心，再用直徑和圓周做實際的比較，有許多不同的數字出現，然後老師才告訴我們圓周率的近似值是 3.1416。3 .作圓面積的習題時，把圓切成八塊、十六塊、三十二塊的△形，湊合起來像似“平行四邊形”再想到面積的求法，都可以了解。4.圓的面積經大家討論有好多種，其中蘇幸如同學說‘圓面積用直徑 × 直徑 × 0.785 是不是可以？“老師說”你們想想看，要有道理才可以”於是我們決定研究有關圓的問題。

所謂約瑟夫問題，就是有 n 個自然數排成一環狀，從頭開始，殺 1(個數)留 1(個數)，求最後留下的數會是多少？該問題在台灣的全國中小學科學展覽出現多次（如表二）。而資訊界演算法大師 Donlad E. Knuth 在其著作 The Art of Programing，CONCRETE MATHEMATICS（具體數學），針對該數列作詳細的說明；但是，不論是歷屆科學展覽或是大師著作，對於該問題，都只是談及殺 1 留β或是殺α留 1。筆者本研究中利用獨創α分類、n 及 k 分類、F 函數、b 函數及循環節，將約瑟夫問題探討範圍提升至殺α(個數)留β(個數)，求倒數第 k 個留下的數是多少？

本文之目的在於討論「連續投擲一枚硬幣n次，出現正面，反面累積次數的分佈情況」。