數學科

※本文所探討的是關於有趣的移位遊戲 (本文問題一，共討論三種情形)：偶數個硬幣依序交錯排成一直線，設有反面硬幣數n 個(ex.正、反、正、反→反、反、正、正)，最少移動次數 n(n+1) /2次；偶數個硬幣數非交錯(ex. 正、正、反、反→反、反、正、正)，最少移動次數n2次；與奇數個硬幣數非交錯排列(ex. 正、正、反→反、正、正)，最少移動次數n(n+1)次。 (本文問題二，共討論五種情形)：利用技巧定義出｢跳島攻法｣，當移動過程符合跳島攻法，可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2 時，奇數個字母為 N2 + 3N − 8/2 次；偶數個字母為 N(N +1)/2 次。 以上雙主題研究皆以數學歸納法證明公式正確性，希望藉此推廣到一般移位遊戲，謝謝！

上學期，學校召開了數學科教學研究會時，當時有位老師提出在第一冊課本，第 24 頁中，討論到農曆沒有決定大小月的規則，以及每三年就多加一個閏月，但每十九年加七個閏月，其推算的方法很複雜，既然是沒有規則！那天文台所定出的農曆又是憑藉些什麼來制定的呢？基於此種好奇心的驅使，我們就憑著地球公轉一次及月球繞地球一適所需的時間，加上連分數的運用，所推出來的數字，竟與課木所提的數字 (三年一閏，十九年七閏）不謀而合，所以就想不利用連分數來驗證農曆萬年曆，以下即是我們的研究過程及數據，供大家參考。

在三角錐中有很多性質，這可以由數學書藉中找到在此不再陳述。現在僅就我們研究所得結果，定義出「容錐」在此不「容心」與「心線」，再把此心線與極著名之歐拉(Euler) 線作一比較，並研究其在四角錐五角錐以至 n 角錐中是否成立。

Sicherman Dice 就是一對點數配置與正常骰子(6 面正立方體，點數為1到6) 不同的骰子，它所拋擲出的每一種不同點數和(2,3,4...,12) 的機率恰好與一對正常的骰子相同。這種骰子是美國的Col. George Sicherman 所發現的。 Sicherman 更進一步指出：在不使用Sicherman Dice的情形下，不可能找到一組大於或等於三顆的非正常骰子，它們拋擲出的每一種不同點數和的機率恰好與一組同數量的正常骰子相同。本研究的目標在於1. 尋求計算「Sicherman Dice的組合和正常的骰子有相同的出現機率」的方法2. 證明Sicherman 結論的真偽及是否適用於其他正多面體(4 面/ 8 面/12 面/ 20面) 的標準骰子3. Sicherman Dice (Crazy Dice)的延伸探討(1) 不同面數骰子的組合，是否可以找到面數組合相同，但點數配置不同的 Crazy Dice( 如4 面與6 面的標準骰子組合，找到4 面與6 面的Crazy Dice)(2) 多個面數相同或不同骰子的組合，是否可以找到面數、個數及點數配置皆不同的Crazy Dice ( 如3 個4 面標準骰子組合，找到2 個8 面的Crazy Dice)同時我們也和Col. George Sicherman取得聯繫，討論當年他發現Sicherman Dice的經過及其結論的限制條件，作為本研究未來發展的參考。

國小時就常和同學一起玩數學小遊戲，相當喜歡這種「想想看」的感覺。高一時考環球城市盃數學競賽，題目中有一題令我百思不解，後來和同學提起這個遊戲，發現大家對這題也都沒什麼好辦法，經過幾天討論之後，終於把題目解決了！不過我卻又發覺這個遊戲在加以變化之後，又可以有不同的玩法與解法！恰好當時我們也學到「排列組合」這一章，其中樹狀圖的概念和我當時的解法可說大同小異。當下我們就決定要繼續挑戰這個既繁且雜令人又愛又恨的遊戲。

本研究是從數學講義上的一個考題出發，恰巧擴展了前年全國科展最佳教材獎「正多邊形母子面積比」，他們只研究正多邊形且每邊切割的比例相同，我們採取截然不同的研究方法，而且更進一步探索任意多邊形每邊切割的比例任意不同時，其子母面積比值的發展。而隨著邊數的增加，所得圖形儼然一個鳥巢狀，故名「巢狀切割」。我們從三角形做起，經歷四、六、八邊形，一直到五邊形、七邊形，並藉助GSP繪圖軟體幫忙檢驗，最後得到了通用於任意邊數且任意比例切割的子母面積比值公式，並設計Microsoft Excel運算表，只要輸入邊數與比例，可立即算出子母面積的比值！

研究茭的材質和大小，及擲茭時的高度和擺法這四個因素對出現聖茭機率的影響，並找出擲茭比賽時較佳贏的策略。就個別試驗的組合而言，沒有一個因素的分類能絕對的優於其它分類；若以每一種因素分類的整體平均機率來看，木質優於竹頭，大的茭優於小的茭，７０和１２０公分的高度沒有差異，平面皆向上且並排的擺法則優於其它６種擺法。較佳贏的策略為：條件為木質*大→選擇的高度為７０公分，擺法為平面皆向上且並排；條件為木質*小→選擇的高度為１２０公分，擺法為平面皆向上且並排；條件為竹頭*大→選擇的高度為１２０公分，擺法為平面左右相合且一角向上一角像下；條件為竹頭*小→選擇的高度為70公分，擺法為平面一上一下且並排。

本次的研究主題是由河內塔遊戲延伸而成的，我們在不增加河內塔的柱數(維持3柱)，而增加原始擺盤子的塔數，由河內塔的單塔移動、雙塔的雙塔互換，到三塔的三塔輪換，探討不同塔數的最佳移動模式與最少移動次數間的規律，並推導出一般式。我們的研究是將實際搬盤遊戲過程階段化與模式化，將移動次數表格化，由表格的次數找出規律的算式，再套用等比級數公式、乘法分配律與數的合成與分解，去求出搬盤遊戲的一般式。

n 維空間的超立方體Qn其頂點為n 維空間中的點，每一位坐標均為0 或1，兩個點若只有一位坐標不同代表有邊相連。對於一個圖G，取一個點集，使得這一堆點，以及所有與這些點有邊相鄰的點的聯集，恰好為整個圖，就稱它為圖G的控制集。點數最少的控制集其點數定為圖G的(最小)控制數，記為γ(G)。我們證明γ(Q1)=1，γ(Q2)=γ(Q3)=2，γ(Q4)=4， γ(Q5)=7，γ(Q6)=12 ， 30≦γ(Q8)≦32，當n=2p-1，γ(Qn)=2n-p。

本文我從文獻已有的布洛卡三角形及其三種變換出發作各種推廣。首先將布洛卡點在三角形內的情形推廣至多邊形，發現並非任意多邊形皆存在布洛卡點。我發現了存在布洛卡點的充要條件，及布洛卡角、邊、面積的關係式。然後探討四邊形的情形，發現存在正、負布洛卡點的四邊形皆為調和四邊形。接著將文獻中三種布洛卡三角形的變換整併為更具數學風味的旋轉與伸縮變換。再以此方法為基礎，發現一系列布洛卡點、外心間的幾何性質，同時進一步推廣至多邊形，其中美妙的結果是：從任意布洛卡ｎ邊形出發的ｎ條全等的等角螺線皆會收斂至布洛卡點；最後，本文最驚艷的發現是：所有存在正、負布洛卡點的ｎ邊形，其頂點皆為正ｎ邊形的頂點經過反演後的反形。