數學科

數學，是一門有趣的學科，我們實在很想做些數學題目，可是常常不知要做什麼，也不知該如何去做，老師了解我們的困難，也知道我們對數學有興趣，所以常講一些有趣的數學故事給我們聽，或找一些有趣的數學題目讓我們想想做做。最近，老師又出了一道數學題目讓我們當遊戲玩，按照它的規則玩下去，越玩越覺得有趣，幾個人還把玩出來的結果互相拿來比對，再請老師指導。經過長期的推算整理，加上老師的指導，就滙成了這一份成果。這遊戲的作法是這樣：「任何大於零的整數，如果是偶數，就把它除以 2 ，如果是奇數就乘以 3 再加 l ，然後把所乘的結果，繼續用以上的方法做運算，最後一定會達到 l 。」老師說，這個數學遊戲，裏面包含一個數學難題，是由原籍波蘭的著名美國數學家烏則教授（ Stanislaw Ulam ）提出的，這題目讓小學生來試做都會明白，可是到現在數學家們還不明白為什麼會有這樣的結果，找不到一個理論上的證明。雖然，老師知道我們的數學知識不多，目的不在期望由我們來做出好的解釋，但是，因為得到老師的鼓勵，我們也就敢來對大數學家的猜想作檢驗了。如此，我們就興致勃勃地往下做了。

※本文所探討的是關於有趣的移位遊戲 (本文問題一，共討論三種情形)：偶數個硬幣依序交錯排成一直線，設有反面硬幣數n 個(ex.正、反、正、反→反、反、正、正)，最少移動次數 n(n+1) /2次；偶數個硬幣數非交錯(ex. 正、正、反、反→反、反、正、正)，最少移動次數n2次；與奇數個硬幣數非交錯排列(ex. 正、正、反→反、正、正)，最少移動次數n(n+1)次。 (本文問題二，共討論五種情形)：利用技巧定義出｢跳島攻法｣，當移動過程符合跳島攻法，可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2 時，奇數個字母為 N2 + 3N − 8/2 次；偶數個字母為 N(N +1)/2 次。 以上雙主題研究皆以數學歸納法證明公式正確性，希望藉此推廣到一般移位遊戲，謝謝！

本研究是從數學講義上的一個考題出發，恰巧擴展了前年全國科展最佳教材獎「正多邊形母子面積比」，他們只研究正多邊形且每邊切割的比例相同，我們採取截然不同的研究方法，而且更進一步探索任意多邊形每邊切割的比例任意不同時，其子母面積比值的發展。而隨著邊數的增加，所得圖形儼然一個鳥巢狀，故名「巢狀切割」。我們從三角形做起，經歷四、六、八邊形，一直到五邊形、七邊形，並藉助GSP繪圖軟體幫忙檢驗，最後得到了通用於任意邊數且任意比例切割的子母面積比值公式，並設計Microsoft Excel運算表，只要輸入邊數與比例，可立即算出子母面積的比值！

數獨，是一種有趣的推理遊戲，能讓我們排遣時間之外，也能活化我們的頭腦；這遊戲的玩法很多，網路上衍伸出多種變形數獨，研究開始我們就坊間目前流行的數獨原型來做探討；一般數獨的玩法基本上就是利用眼睛觀察，將每一個空格不符合的數字一一刪除，留下空格可能可以填寫的數字，再進行第二階段的推理，而第一階段的觀察、推理、刪除如果出錯，會造成第二階段推理的困難。而我們的研究團隊也找出在幾年前有人曾提出利用質數與值因數分解的方法來過濾可能性，所以我們這次就針對之前方法進行探討與改良，找出更加便捷的流程來輔助推理數獨。

本文我從文獻已有的布洛卡三角形及其三種變換出發作各種推廣。首先將布洛卡點在三角形內的情形推廣至多邊形，發現並非任意多邊形皆存在布洛卡點。我發現了存在布洛卡點的充要條件，及布洛卡角、邊、面積的關係式。然後探討四邊形的情形，發現存在正、負布洛卡點的四邊形皆為調和四邊形。接著將文獻中三種布洛卡三角形的變換整併為更具數學風味的旋轉與伸縮變換。再以此方法為基礎，發現一系列布洛卡點、外心間的幾何性質，同時進一步推廣至多邊形，其中美妙的結果是：從任意布洛卡ｎ邊形出發的ｎ條全等的等角螺線皆會收斂至布洛卡點；最後，本文最驚艷的發現是：所有存在正、負布洛卡點的ｎ邊形，其頂點皆為正ｎ邊形的頂點經過反演後的反形。

有一天，在數學資源教室的團體課中，老師提出了一個研究主題:「數字謎面]。老師問我們一個題目「1+1=( )」，這個算式中的( )應填入什麼數呢?當我們回答完後，老師請我們把它翻譯成英文，並寫成直式，如下圖： 老師接著又說：「請看著你寫成的英文算式，讓每一個英文字母分別代表0、1、2....9中的一個數字，使上面的英文算式成為一個新的「數字謎面」的問題。在這個問題中，不同的英文字母不可使用同一個數字，同時0不可以在最高位。也就是說，對這個問題而言，因為英文字母T或O都在最高位，所以T、O所代表的數字都不可以是0，但是N、E V只要分別代表0、1、2....9中的一個數字就可以了。」 當我們決定好了T、O、N、E和W分別各代表0、1、2....9中的一個數字後，最後還需要再檢查一下這個"三位數"加"三位數"等於"三位數"的問題是否合理?如果合理，我們才可以算是解題成功。 我們小組討論很久以後，發現這個「數字謎面」的問題一共有16種不同的解法，我們覺得很有趣。我們是否也可以自行設計一些新的「數字謎面」問題，來進行研究呢?在老師的鼓勵與支持之下，我們進行了本研究。

n 維空間的超立方體Qn其頂點為n 維空間中的點，每一位坐標均為0 或1，兩個點若只有一位坐標不同代表有邊相連。對於一個圖G，取一個點集，使得這一堆點，以及所有與這些點有邊相鄰的點的聯集，恰好為整個圖，就稱它為圖G的控制集。點數最少的控制集其點數定為圖G的(最小)控制數，記為γ(G)。我們證明γ(Q1)=1，γ(Q2)=γ(Q3)=2，γ(Q4)=4， γ(Q5)=7，γ(Q6)=12 ， 30≦γ(Q8)≦32，當n=2p-1，γ(Qn)=2n-p。

在國中一年級下學期二元一次方程式常見到一道題目『一個二位數的十位數字與個位數字的和為15，若將這個數的十位數字與個位數字對調位置，則所得的新數比原數小9，請問原數為何？』。類似這樣的題型有許許多多，但是都探討到四位數之內，因此我們試著將其延伸到多位數，並試著能否找到一定值，並利用這些關係加以編碼，製作數組只有我們才能進行解碼的數字，利用它來傳遞我們之間的小秘密。 本文介紹關於二位數到八位數的證明過程和結果，我們發現只要依循數字之間的大小關係及既定的運算規則即能得一定值。利用這種關係可將轉換成文字，用來編碼及解碼。

研究茭的材質和大小，及擲茭時的高度和擺法這四個因素對出現聖茭機率的影響，並找出擲茭比賽時較佳贏的策略。就個別試驗的組合而言，沒有一個因素的分類能絕對的優於其它分類；若以每一種因素分類的整體平均機率來看，木質優於竹頭，大的茭優於小的茭，７０和１２０公分的高度沒有差異，平面皆向上且並排的擺法則優於其它６種擺法。較佳贏的策略為：條件為木質*大→選擇的高度為７０公分，擺法為平面皆向上且並排；條件為木質*小→選擇的高度為１２０公分，擺法為平面皆向上且並排；條件為竹頭*大→選擇的高度為１２０公分，擺法為平面左右相合且一角向上一角像下；條件為竹頭*小→選擇的高度為70公分，擺法為平面一上一下且並排。