數學科

暑假回鄉下，曾見爺爺買米時，向老板說“多少斤米”，而老板卻不用秤子，拿出一個圓筒形的容器裝滿後，再用趕麵棍將容器口撫平，算一個單位，量出爺爺所需的米量，當時我很好奇，問爺爺“他為何不用秤？這樣量準嗎？”爺爺說“那是量米的斗，一斗大約是 11 台斤，以前的人都是這樣量米的，準得很呢！”我不信，於是開學後向老師請教，為了滿足我的好奇，老師指導我和同學做了以下的操作。

在某一期牛頓雜誌上有一道將矩形分割後再組成正方形的問題。它的解法深深吸引我們，於是著手研究有關矩形與正方形之間切割的問題。我們發現，其中以“矩形中分割方形”最為有趣，亦深富價值，這也就是本文所要探討的主題。

由學到的三角形全等、等積變換、相似多邊形、比例及二次函數等觀念，與未接觸過的三角函數及Σ的概念，利用逐步推導的方式探索由正多邊形到任意多邊形，當每邊以相同比例取分點時，依序連接各分點所形成的新多邊形與原多邊形是否相似，是否可並找出面積比值的公式及範圍；當每邊以不同比例取分點時，依序連接各分點所形成的新多邊形與原多邊形面積比值是否有公式及範圍。過程中透過Microsoft Excel及GSP繪圖軟體的運算分析來互相驗證結果。

本篇研究中考慮在m×n棋盤中放置若干阻隔點，使得給定的圖形A經任意旋轉翻轉並放入棋盤中，皆會碰到阻隔點，這些阻隔點所形成的集合稱之為「阻隔集」。我們的目標是先有根據地推測阻隔點的排列方式，再證明我們的推測是正確的，以求出阻隔集的最小值。 相關參考資料大多利用窮舉法猜測答案，故此份研究報告首先釐清原題並補充參考資料的不足，即考慮以下三種二維平面圖形A:Sr(表r×r的正方形)、Pr(表1×r 的長方形)和Lr(表Pr末端旁接上一個方格的圖形)，求出b(m, n, A)之值並證明。最後將原題的平面概念延伸至三維空間m×n×l長方體)，研究圖形S'r(表r×r×r的正方體)、P'r(表兩邊為1、一邊為r的長方體)和L'r(表P'r末端旁接上一個方塊的圖形)，求出b(m, n, l, A)之值並證明。

本次研究的靈感來自於能力競賽中，一道證明由六邊形內部一點P所導致的面積比值為1的問題(詳見第3頁)。這份報告主要的目的，在探討推廣到正2n邊形內部時的情況，並求出將P點移至外部時任一點的面積比值。 這次研究利用GSP協助了解圖形的性質，並善用解析幾何和輔助線作圖。報告中的許多證明，可以用「各個三角形的高相加」的觀念搭配三角函數運算做出結論。 文中結果顯示，除了證明：當P點在正2n邊形內部時，必滿足面積比值為1外，並提供了當P點在正2n邊形外部時，面積比值的各種可能性。其證明方法，可作為解決正2n邊形面積問題的重要參考。

本研究主要目的是探討給定三角形邊長的等分點數（equal division points）後，形成在此三角形中所含三角形個數的計算方法。為達成此目的，我們參考過去科展優勝作品專輯，以尋找破題靈感。在指導老師的提點與組員腦力激盪下，我們先探討三角形中內含三角形個數的規律性，再以共頂點分層計算法找出其規律性，經觀察後發現每一層與層之間的和會形公差為（-2）的等差數列，最後利用等差級數求和的公式，推導出「共頂點三角形」的計算方式（Co-apex triangle formula）。由我們的研究結果發現，給定三角形邊長的等分點數後，此三角形中所含三角形的個數總和存在一般計算式。此方法在應用上既快速又不易出錯，對更複雜的多邊形所內含圖形數目的計算上亦有其參考的價值。

本作品主要是從「立即瘋」遊戲的解題過程，突發奇想，試著設計全新的「立即瘋」遊戲。「立即瘋」原設計的木頭材料不容易處理，沒有拓展空間，所以「瘋不瘋？非常瘋！」改以智慧片取代。暸解原設計的解題後，自行以正八面體設計不同顏色變化和位置，加以比對、分析和檢驗。本作品主要結果如下：一、以電腦輔助有調理且有效率的解決原設計的「立即瘋」遊戲。二、重新設計不同顏色的新「立即瘋」遊戲，並確認只有唯一解。三、設計正八面體的「瘋不瘋？非常瘋！」遊戲，並確認只有唯一解。我應用了「顏色表格化分析」、「特殊排列組合設計」和「Excel函數分析」，有效及有效率的解決原「立即瘋」問題，並重新設計創造出全新的「瘋不瘋?非常瘋!」遊戲。

我們的研究在探討各式函數圖形，什麼時候會與弦圍出最小面積，首先我們探討了圓錐曲線，這是分別利用代數、空間幾何、及平面幾何的方法來證明。在證明完圓錐曲線後，我們開始推廣探討各式函數是否皆適用，過程中也利用平面幾何的方法來嘗試證明，但其中會遇到反曲點、開口方向不同等等情況，於是我們再利用一些特殊方法解決了這些問題，也證明了在任意多項式函數圖形中，中點弦會與函數圖形圍出最小面積。

六上數學，「怎樣解題」是我們學習的重心。在「角柱與角錐」的單元裡，我們觀察立體模型及其展開圖，歸納出「角柱與角錐」的特性及規律性。\r 在一個偶然的機會，看到師大數學系收藏的多面體組合模型和幾何拼圖板，引起我動作操作拼圖的樂趣，拼出各式各樣的多面體，有的是正多面體，有的是奇形怪狀凹凸不平的，有些看起來像一個球，有些是拼不出封閉的多面體，引起我的好奇心。我想這其中一定有一些道理，結果在拼圖的過程中，觀察出立體頂點數、稜數、面數的變動有一定的規則。在老師的指導下，閱讀相關的書籍資料，終於了解其中的道理和許多解題思考的規則，並得到實用的研究成果，很有收獲。

最近老師在一次平時考中曾有一題"八女四男順序排列，遂個進入教室，規定任一時刻教室內之男生人數不得多於女生人數，則進法有幾？"事後同學爭論不已，提出之答案不下百種，遂激起吾人求證之興趣。(註：該題為275種)