數學科

本研究是以環球城市數學競賽2000 秋季賽國中組初級卷4×4 方格的填格問題，尋找解答，試圖從解題過程中，發現填格的規則，進而延伸應用至N×N 方格。研究分析，方格內的空格可分成四個角落位置（只有2 個相鄰的方格）、邊緣位置（有3 個相鄰的方格）以及內側方格位置（有4 個相鄰的方格）三類，進而運用 這 三 種 圖 形 來尋求出填格規律。研究結果顯示，在N×N 的方格中，當N 為奇數時，無法找到覆蓋方式；而當N 是偶數時，可以找到覆蓋的方式，並進一步分析研究，當方格是N×N＝(4T)×(4T)時，數字總和為4K2+2K，當方格N×N＝(4T＋2)×(4T＋2)時，數字總和為4K2+6K+2；同時觀察所繪製的解圖，無論是(4T)×(4T)或(4T＋2)×(4T＋2)類型，均是為左右對稱的圖形，除了可應用所推得的公式來求解之外，亦可直接迅速繪製這二類的解圖，以解決題意。

三角形有角(angle)、邊(side)、高(height)、中線(median)以及內角平分線(angle bisector)各3個，總共15個條件，從其中任取3個，有95種不同的組合。研究中應用尺規作圖與國中所學的幾何性質，可以作出所有不含內角平分線的48種組合的三角形，含內角平分線的47種組合中，只作出9種，共作出57種組合的三角形。作出的組合中，有27種組合的三角形是唯一的，不唯一的組合中，有16種條件中只包含一個角，而當這個角為直角時，有15種的三角形會變成唯一。也就是說，研究中找到27個三角形全等條件以及15個特殊的全等條件。

在課堂上教到第三冊數學的「二次曲線」時，我們的數學老師提到一個相當有趣的性質：再一個橢圓中，若是以此橢圓之中心0為起點，向橢圓的圓周做兩條互相垂直的線段0A、0B交橢圓圓周於點A、B。如下圖： \r

本次研究的靈感來自於能力競賽中，一道證明由六邊形內部一點P所導致的面積比值為1的問題(詳見第3頁)。這份報告主要的目的，在探討推廣到正2n邊形內部時的情況，並求出將P點移至外部時任一點的面積比值。 這次研究利用GSP協助了解圖形的性質，並善用解析幾何和輔助線作圖。報告中的許多證明，可以用「各個三角形的高相加」的觀念搭配三角函數運算做出結論。 文中結果顯示，除了證明：當P點在正2n邊形內部時，必滿足面積比值為1外，並提供了當P點在正2n邊形外部時，面積比值的各種可能性。其證明方法，可作為解決正2n邊形面積問題的重要參考。

由學到的三角形全等、等積變換、相似多邊形、比例及二次函數等觀念，與未接觸過的三角函數及Σ的概念，利用逐步推導的方式探索由正多邊形到任意多邊形，當每邊以相同比例取分點時，依序連接各分點所形成的新多邊形與原多邊形是否相似，是否可並找出面積比值的公式及範圍；當每邊以不同比例取分點時，依序連接各分點所形成的新多邊形與原多邊形面積比值是否有公式及範圍。過程中透過Microsoft Excel及GSP繪圖軟體的運算分析來互相驗證結果。

從圓錐曲線作圖出發，放寬條件產生新圖形並研究其性質。設圓O的半徑為a ，點F 坐標為(k , 0)，Q在圓O上，R在 上滿足=t（t?R）〈其中FR 及FQ 表有向線段〉，若直線L過點R與 垂直並與交於點P ，當Q 在圓O上移動時，用極座標推導動點P 方程式， F 點在圓內，t=1/2 時為橢圓； F 點在圓外， t=1/2 時為雙曲線。稱F 點在圓內為E 型曲線為封閉曲線；稱F 點在圓外為H 型曲線為開放曲線。仿圓錐曲線令擬離心率e 為 k / a 。兩曲線e 值相同時有相似性， 以討論圖形。 旋轉直線L ， 使過點R 與交於P ， 用極座標推導動點P 方程式，當csco ≧時可為開放圖形，稱F 點在圓內為E' 型曲線，在圓外為H' 型曲線。 拋物線仿橢圓作法，將中垂線作圖改為t 比值，改變後圖形仍為拋物線，方程式為 (1-t)y2 - kx + (1-t)k2 = 0 。旋轉後， 拋物線變為雙曲線， 方程式為 (1-t)y2 + cotoxy - kx + (1-t)k2 = 0 。

在此作品”凡走過必留下痕跡”中，我們探討了任意三角形的重心G與其對各邊對稱所得到的三點G1，G2，G3形成的軌跡。使三角形二頂點固定，一頂點於單位圓上繞行，並探討重心G，G1，G2，G3這些點形成的軌跡。我們發現了許多有趣的性質，在這些軌跡中我們找出了近似於蚶線、心臟線、類似彎月等各種奇妙的現象，我們深感有趣，因此繼續深入探討下發現了許多有趣的結論。

暑假回鄉下，曾見爺爺買米時，向老板說“多少斤米”，而老板卻不用秤子，拿出一個圓筒形的容器裝滿後，再用趕麵棍將容器口撫平，算一個單位，量出爺爺所需的米量，當時我很好奇，問爺爺“他為何不用秤？這樣量準嗎？”爺爺說“那是量米的斗，一斗大約是 11 台斤，以前的人都是這樣量米的，準得很呢！”我不信，於是開學後向老師請教，為了滿足我的好奇，老師指導我和同學做了以下的操作。

此研究為探討圓錐曲線與弦的關係，主要分為兩大主題，一為探討在平面上一點與圓錐曲線所成之任一弦，其中點軌跡及按任一固定比例下所成之軌跡圖形與方程式；另一主題為研究圓錐曲線所有平行弦之中點軌跡及按任一固定比例下所成之軌跡圖形與方程式。經過研究有些軌跡方程式非常複雜，我們透過 GSP 與 Cabri Geometry II Plus等兩套幾何繪圖軟體協助觀察。最後得知主題一以弦中點繪出的圖形具有不變性，而按固定比例下所成的圖形看似蚶線(點在圓內)， 經過研究發現是不一樣的曲線(類蚶線)， 其他這類圖形似乎和擺線有一定的關係；主題二以弦中點所得的圖形為圓錐曲線之軸，而按固定比例下構成的圖形一樣具有不變性。

本研究主要目的是探討給定三角形邊長的等分點數（equal division points）後，形成在此三角形中所含三角形個數的計算方法。為達成此目的，我們參考過去科展優勝作品專輯，以尋找破題靈感。在指導老師的提點與組員腦力激盪下，我們先探討三角形中內含三角形個數的規律性，再以共頂點分層計算法找出其規律性，經觀察後發現每一層與層之間的和會形公差為（-2）的等差數列，最後利用等差級數求和的公式，推導出「共頂點三角形」的計算方式（Co-apex triangle formula）。由我們的研究結果發現，給定三角形邊長的等分點數後，此三角形中所含三角形的個數總和存在一般計算式。此方法在應用上既快速又不易出錯，對更複雜的多邊形所內含圖形數目的計算上亦有其參考的價值。