數學科

本研究探討「以正方形紙包裝正多面體」的問題。藉由拆解正多面體為展開圖的想法，將立體問題轉化為平面，再進一步分析展開圖的各種樣式，並利用各種方法找出展開圖的最小覆蓋正方形，得到本研究的答案。其中本文所提及之「四邊形固定法」與「貼邊固定法」可作為一般化尋求最小覆蓋正方形的工具。

滾積木遊戲為一邊長1╳1╳2的長方體積木，在由邊長為1╳1的方格所組成的棋盤上，立於起點，利用倒、滾、立三種移動方式向前、後、左、右方向移動，移動立於終點，即算過關。(走過的格子可重複走) 本作品主要在探討： 一、滾積木遊戲的有解及無解狀態。 二、探討m╳n矩形過關移動最少步數。 三、探討m╳n矩形移動最少步數路徑數量。 四、探討不規則形狀之棋盤如何過關。 最後利用Scratch製作一滾積木遊戲。

智慧拼圖現在已是一種處處可見的益智遊戲。在本研究中我們利用矩陣去定義智慧拼圖的位置，實際去操作a11與其他位置互換的狀況。我們將矩陣分成長方形與正方形兩部分來討論，並且在兩種不同形狀的矩陣中找出基本變換型，並且定義出一些固定走法，讓我們推導出不管是m×n矩陣或是n階方陣我們一樣可按照固定走法配合基本變換型進行a11 與aij的最短路徑的位置互換。最後我們嘗試點對稱的倒轉，也就是將矩陣內所有aij與a(m+1-i)(n+1-j)對調，去找出倒轉的可行性及步法規則，並且利用遞迴數列推導出在我們的固定走法下的步數通式。

本篇研究首先針對「登n階層的樓梯，每一次跨1~m階登樓梯總方法數」深入探討，而先建構樓梯法則，則可得到生成路徑圖，如此可推得轉移矩陣與方法數矩陣，最後得出總方法數，再推廣若一次跨任意階，推得其方法數的遞迴關係式，同時再建構跨p~m階樓梯法則，必存在生成路徑圖與轉移矩陣，因而求得總方法數。另外探討指定步數總方法數，其分佈呈現斜方向巴斯卡三角形係數。接著探討費氏數列(Fn)其彼此項數間具有因倍數的關係，並探討每一次跨1~m階所成樓梯數列每一項除以一正整數k後為餘數數列，探討其循環節個數的規律，同時每一項除以k後餘數數列呈現循環數列與有序性的餘數數列。最後建構樓梯數列對應立體幾何圖形，呈現直觀看到立體樓梯作為本篇的應用範疇。

學校在一次科學教育活動中，邀請蔡老師透過錄影帶教學，把中國時報登載的一個數學遊戲介紹給全校小朋友，問題是這樣的： 〔 首先在一個方塊的四角寫下一個正數，算出相鄰兩角數字的差，寫在四條邊線的中點，再以四個中點畫一個方塊，繼續重複這個程序，最後會有一個方塊的四個中點都是 0 。 〕 （如下圖）我覺得這個問題很有趣，又有一點兒不相信，我們 20 多位小朋友每人任意在方塊的四角寫下大大小小不同的四個數來研究這個問題，結果有的人寫的數畫 2 個小方塊後就結束，有的人寫的數必須畫很多個方塊後才會結束。真奇怪，這 〔 數字方塊 〕 裡到底隱藏著多少祕密？

本研究係配合國小數學科「整數的四則運算」及自然科「天平的操作」教材內容，在二位指導老師的引導下企圖透過數學演算「使用最少整數的加減」，得到最多的連續整數，並將演算結果應用到天平與砝碼的操作，改變傳統天平與砝碼操作的舊思維，從研究中發現出可以利用最少的砝碼，即可得到最佳的天平砝碼組合，研究結果並歸納出快速推算公式，我們發現這些關鍵的數字都是3的次方，其第n個數字的公式是3n-1。我們也推算從1到第n個關鍵數字這些連續整數和規律性，其公式為3n÷ 2- 0.5，也就是 (3n -1) / 2。 本研究利用來推算的數字僅止於整數部分，如果待測物的重量並非單純的整數，可能需利用到0.1～0.9的砝碼克數，當然，我們也可以由整數推算的經驗，設計出0.1、0.3、0.9克數的砝碼，使用相同的方式作本身及各數間加減的運算，可得到0.1～0.9的克數，同樣地，再往下延伸，也可依循相同的模式設計出0.01、0.03、0.09三種克數的砝碼，使用相同的方式作本身及各數間加減的運算，可得到0.01～0.09的克數，三位、四位、五位的小數克數也可依此規則類推。 最後本研究也提出建議往後國小自然科學的天平砝碼盒教具，其內含的砝碼克數，更改為0.01、0.03、0.09、0.1、0.3、0.9、1、3、9、27、81不同克數的關鍵性砝碼各一個，共11個。則我們可以測量的重量範圍將可由0.01克～122.43克。這就是我們設計出來經濟、快速、實用的砝碼盒。

本文主要是將生活中玩撲克牌時分兩堆的洗牌程序，抽象化為將n 張牌等份為m 堆，探討至少需要幾次「向下洗牌」才能回覆到原來次序。在處理過程中，我們先利用電腦以歸納原則觀察後，發現與整數系中的餘數有密切的關係。於是利用整數系中最基本的性質：長除法原理及多項式的因式分解著手。當我們從n 的標準分解式作分類討論時，發現以2 為質因數的n 的相關問題，如當n=22p 時(p 為質數)，則將牌等分成堆數不同，要回復到原來次序的「向下洗牌」，所需的最少次數就會不一樣。而當n=23p 時，所需的最少次數則又似會都一樣。就我們目前所學，尚無能力解決這類問題。故僅考慮牌數n=ab 及 n=ab+1(a,b 為正整數)兩種情形。為方便計，我們也利用模的符號及一些簡單性質。

最被廣泛使用的相似形尺規作圖法是使用投射中心作相似圖。這方法也被應用於相機、影印機……等依靠光源作放大縮小的機器上，本文創造了一種全新的相似形作圖法，不依賴投射中心，改成在各邊的延長線上依所要求的面積比，先建立一系列的動態還原表，擇最易操作組做動態操作。△依指定的投射比經一次順時針再一次逆時針後即可相似，多邊形則從一固定頂點處切割後，分別依指定的投射比及相同次序的順逆時針各一次操作，再合併回來後，即可得所要的相似形。放大圖及縮小圖本文的新方法都能達成。

本文主要在探索圓錐曲線上，以某點A為固定頂點的內接三角形，所具有的特殊性質。當A點的兩夾邊斜率相乘為固定數時，我們用了一個較為簡潔的方法證明之前文獻已有的結論：『A點的對應邊必通過一定點。』另外，本文證明出點的兩夾邊斜率相加為固定數時，若為圓、橢圓與雙曲線，A點的對應邊必通過一定點；但在拋物線的情況下，點的對應邊則會產生一系列的平行直線。本文也針對一些相乘或相加的特殊固定值作了詳細的分析。此外，若角A為固定角度的情形下，我們也利用了GeoGebra繪出其包絡線的圖形。

日常生活脫離不了機率問題，也因為機率使生活充滿樂趣與驚喜，本文藉由麻將賓果遊戲的討論，試著分析連線的概率計算，進而研究抽牌數量對應的連線機率，以及每局花費的成本與應得到的獎品價值的關係。目前在夜市中的麻將賓果遊戲玩法，大多是以排入6x6矩陣，達連線則獲勝，總共有36張牌，由當中抽取12張至15張牌，每局所需的費用由10局100元到1局100元都有(不同攤位抽取的數量各異)。經過我們理論計算的結果，能在夜市獲得連線得到獎品的概率實在是很低，機率由抽取12張牌的0.55%到抽取15張牌的3.73%，且其對應的獎品價值應該要比目前老闆提供的大娃娃更好才能達到期望值的數值。