數學科

有一天我們幾位同學到數學老師家，正巧師丈在打電腦，我們很好奇想玩，師丈就拿了一些遊戲程式讓我們玩，並叮嚀我們別忘了在玩之餘還得動動腦筋，怎樣才會獲勝，可別讓電腦笑你笨哦！其中有一種類似下棋的尋寶遊戲，在我們輪流玩了許多回之後，漸漸的發覺好像只要能走到某一格就有獲勝的機會，科展在即，老師就鼓勵我們不妨想看看能不能推論其規則，也是科展的好題材！

學校在一次科學教育活動中，邀請蔡老師透過錄影帶教學，把中國時報登載的一個數學遊戲介紹給全校小朋友，問題是這樣的： 〔 首先在一個方塊的四角寫下一個正數，算出相鄰兩角數字的差，寫在四條邊線的中點，再以四個中點畫一個方塊，繼續重複這個程序，最後會有一個方塊的四個中點都是 0 。 〕 （如下圖）我覺得這個問題很有趣，又有一點兒不相信，我們 20 多位小朋友每人任意在方塊的四角寫下大大小小不同的四個數來研究這個問題，結果有的人寫的數畫 2 個小方塊後就結束，有的人寫的數必須畫很多個方塊後才會結束。真奇怪，這 〔 數字方塊 〕 裡到底隱藏著多少祕密？

在本文中我們以同心圓和直線構成蜘蛛網，並對每一個蜘蛛網定義出蜘蛛數；則若在此蜘蛛網中加入缺口後，會影響蜘蛛數的大小。探討蜘蛛網上的缺口該如何配置，才能夠得到蜘蛛數的極值(最大值及最小值)。首先由一直線或圓該如何分配缺口，蜘蛛數將有極值，再深入探討許多條直線或圓上的情況，進而推展到許多同心圓及通過圓心的許多條放射線的缺口該如何分配，蜘蛛數才會有極值發生。像科學家的研究，藉由特殊化簡單的情況，進而推廣至較為複雜一般化的結果。在得到初步的結果之後，我們再將研究的目標轉到三個不同方向：將蜘蛛數的規則放到其他圖形中(正多邊形、星型)；設計出新採地雷遊戲；總缺口數為定值的策略設計。

這篇作品的想法源自於課堂內同學的發問，讓我們對「三角形兩中線直交」的問題產生了興趣，在經過我們嘔心瀝血的研究後，不僅找出了使一般三角形兩中線直交的充分必要條件，更發現到：若一三角形兩中線直交時，其重心到頂點的距離會等於「底邊」的長度等諸多性質，最後並統整出具有兩直交中線的可能特殊三角形。利用這些數學發現，讓我們在必要的時候，很快就能判斷出一三角形的兩中線是否直交，也因此縮短了做題的時間，使解題更有效率，更因此活化了我們的數學思考方式。

勾股定理中以直角三角形三邊邊長引作正方形，則兩股正方形面積和等於直角三角形斜邊正方形的面積；那一般三角形呢?有無類似情形呢? 我們找到一種方法，以西姆松線為主題作出的三角形面積和等於原三角形的面積。

國小五年級時學到了體積的求法，印象中的體積是很死的公式：長 × 寬 × 高，本來以為祇有長方體才能求體積，但是後來學到了柱形的體積，才知道原來體積的計算不祇限於長方體，圓柱體也可以算出體積，我們現在試著用切割與組合的方法，看看能不能求出錐形的體積。

在△ABC 中，以C 點為圓心，C 至BC邊上一點P1的長為半徑畫弧，交CA邊上的Q1點，接著以A 點為圓心，AQ1 為半徑畫弧到達AB邊上的R1點，然後以B 點為圓心，BR1為半徑的畫弧達到BC邊上的P2 點，依這樣的規律進行下去，在BC邊上會產生點P1，P2， P3，…。本文探討上述圖形中起始半徑CP1、數列P(由CP1、CP2、CP3、…、CPn 的長度組成)及弧弧相切的關係，並類推至多邊形，結果顯示：雖然數列P在奇數多邊形及偶數多邊形中，皆有形成公差為零之等差數列的狀況，但是發生條件相當不同，在奇數多邊形中，與「起始半徑CP1值」有關，但在偶數多邊形中，僅與「邊長」有關；弧弧相切的況狀在奇數多邊形中，一定會發生，而在偶數多邊形時，只有當『奇數邊的和＝偶數的和』時，才會有弧弧相切的現象產生。

我們發現 一、Menelus、Ceva定理亦可應用於平面的凸多邊形與空間中的多角錐， 且結論彼此有高度關聯性。 二、(一)、能畫出三角錐內部7條線段共點及內部6個△亦共於此點的方法。(二)、若三角錐中的任一個△之任2條線段的比例為已知，只要再任給剩下[25-(2+4)]=19條的其中1條線段比例，必可知所有25條線段比例！ 三、(一)、正四面體的外接球球心及內切球球心均為同一點I。(二)、 (外接球半徑):(內切球半徑)=3:1 四、(一)、Menelus、Ceva定理『大和解』的△跳法可推廣到三角錐。(二)、三角錐內部7條線段共點的結論可應用於在已知空間中任意相異四點P1, P2, P3, P4 (任三點不共線)的條件下， 證明出若此四點P1, P2, P3, P4 共平面AP1/P1B?BP2/P2C?CP3/P3D?DP4/P4A=1

從七十一年九月開始，我們學校九位老師參加電腦函授教學，加上最近幾年國內資訊發展上的重視以及每年資訊週的舉辦，使我們對電腦由陌生進而瞭解、熟悉。但因處於「偏遠地區」，對電腦的實際接觸，那是今年的五月才開始，且僅限於個人或家用的微電腦。家用電腦的功用有一項很吸引人一教育的功能。看了幾位同事小孩對國小加減乘除卡式帶的熱烈反應，使我們聯想要團中的教材是否也可製作輔助教材，以補救那些對數學沒信心及不敢發問的同學。目前國科會已有C.A.I.研究、發展計劃，且最終的目標是讓全體教師能參與C.A.I.課程軟體教材內容的製作一而不必具備專業寫程式的能力，也可製作。另一促使研究C.A.I.的理由是看到學生對數理科的失去信心而幾乎莫不關心。不敢另做嘗試，完全抹殺了數學是種思維的方式，是要學生從不同的資料中去瞭解整體以及分析、判斷各種複雜卻有脈絡可尋的情況。後者是促使我們研究，探討國中數學電腦輔助教學的動機。

本研究探討「以正方形紙包裝正多面體」的問題。藉由拆解正多面體為展開圖的想法，將立體問題轉化為平面，再進一步分析展開圖的各種樣式，並利用各種方法找出展開圖的最小覆蓋正方形，得到本研究的答案。其中本文所提及之「四邊形固定法」與「貼邊固定法」可作為一般化尋求最小覆蓋正方形的工具。