本研究透過函數模型的設計進行探討翻硬幣的問題，主題聚焦在翻動量為費氏數列與等差數列的情況。在費氏數列翻的方面，我們利用「逆推法」設計出「次數關係圖」和「奇偶函數推算表」，進行理論推演並證明出簡潔公式，由於我們的理論探討是架設在硬幣足夠翻的情況下，因此在進行實際操作時，還需要判斷究竟需要幾個正面硬幣才足夠翻，探討完後將所有情況分為五類。而等差數列翻，竟也可用相同的手法進行推演。此外，我們也找到了兩圖形互相轉換的問題解法，也就是完全創新的「比照圖」。

本次研究的靈感來自於2011年亞太數學奧林匹亞競賽初選考題中：「將10個箱子編號為1 , 2 , 3 , … , 10，另將10個球編號為1 , 2 , 3 , … , 10。今規定編號i的球只能放入編號1 , 2 , 3 , … , i的箱子 , i = 1 , 2 , 3 , … , 10。求恰有一個空箱子的放球方法數?」 此報告由原題向外延伸，運用「遞迴數列」與「排列組合」找出關係，從10個箱子空任一個箱子的總方法數，推廣到m個箱子空任n個箱子的總方法數，其結果與Euler's triangle相符。最後也將限制條件加以改變，包括奇偶數、改變球數與限制容球數，並討論其解法。

作者認為：教學時，應該在「常態分班」及「五育並重」之原則下，時時顧慮兒童的「個別差異」，因此以數學科為中心，研究適合「個別差異」的「能力分排教學法」。

本研究從兩個對偶的定理出發：Brianchon定理「圓外切六邊形三條對角線共點」以及Pascal定理「圓內接六邊形三組對邊延長線交點共線」，以「雙心六邊形共點共線性質探討」的前置研究為基礎，探討「雙心六邊形廣義Brianchon點與Pascal線的軌跡圖形與其邊延長或頂點切線交點連線所遞延形成的圓錐曲線雙心六邊形，其共點共線的可能情形」。研究有更驚人的發現，當雙心六邊形層層遞延所形成的圓錐曲線雙心六邊形，仍保有「三條對角線與三條對邊切點連線等六線共定點（Brianchon點）」及「三組對邊延長線交點與三組對頂點切線交點等六點共定線（Pascal線）」之對偶性質。

本研究以五連塊為基礎，利用窮舉法、圖形操作推導與驗證六連塊之所有組合方式。研究結果發現連塊個數、連接邊數、L形轉角數與連塊可擴充位置數量及連塊組合方式有關，此研究可做為後續推導七以上連塊組合方式之參考。

在去年，我曾以「有關整變數多項式之定理」為題（現更名為「等差變數多項式之定理」）參加第十八屆全國中小學科學展覽倖獲全國高中學生組第一名，後來幾經研究又得到了一些結果，並在其推廣探討中，又獲得更進一步的發現。在「有關整變數多項式定理」一文中，我所探討的皆限制於單變數多項式，舉凡一切的性質、定理等均建立在單一變數多項式函數之上。因是，我們便有了疑問，是否這種關係也存在於二變數、三變數 .... ，甚至多變數多項式之中呢？這是個很有趣的．猜測。因此，下面我們先回憶一下以前的資料，作全盤的了解，再繼續探討剛才所提出的新猜測。

本研究主題主要在探討在一平面上給定 n 條直線 L1 、 L2 、 L3 … Ln ，若有一點 P0 ，作關於 L1的對稱點 P1 。 P1 又作關於 L2 的對稱點 P2 ， P2 又作關於 L3 的對稱點 P3 ，…， Pn-1 又作關於 Ln 的對稱點 Pn ， Pn 又作關於 L1 的對稱點 Pn+1 ，如此反覆對直線 L1 、 L2 、 L3…Ln 對稱點 P1 、 P2 、 P3 …，Pm ，在什麼條件下 Pm 會和 P0 重合。這個問題是起源於三角形復原問題：已知三角形三邊的中垂線，要如何作出此三角形呢？我們知道中垂線其實就是兩個頂點的對稱軸。因此，要作出此三角形，如果能先找到這個三角形的一個頂點當作起始點，然後依序對這三條中垂線（對稱軸）作出對稱點，而能再回到起始點，就可以作出此三角形。我先從二條、三條、四條直線的情形開始研究，再逐步推展到一般的 n 條直線的情形。在研究過程中，從線對稱性質，分析四條直線情形，發現任一點依序對四條直線作線對稱，可以簡化成依序對二條直線作線對稱。這個重要性質，對 n 條直線連續作線對稱可依 n 為偶數或奇數化簡成對 2 條或 3 條直線作線對稱。因此再回頭分析 2 條以及 3 條直線的情形後，發展出一種雙重起始點測試法，對給定 n 條直線，會重合到起始點的的條件以及作圖法。這種化繁為簡的方法，完整的解決了 n 條直線的複雜問題。

在本文中我們以同心圓和直線構成蜘蛛網，並對每一個蜘蛛網定義出蜘蛛數；則若在此蜘蛛網中加入缺口後，會影響蜘蛛數的大小。探討蜘蛛網上的缺口該如何配置，才能夠得到蜘蛛數的極值(最大值及最小值)。首先由一直線或圓該如何分配缺口，蜘蛛數將有極值，再深入探討許多條直線或圓上的情況，進而推展到許多同心圓及通過圓心的許多條放射線的缺口該如何分配，蜘蛛數才會有極值發生。像科學家的研究，藉由特殊化簡單的情況，進而推廣至較為複雜一般化的結果。在得到初步的結果之後，我們再將研究的目標轉到三個不同方向：將蜘蛛數的規則放到其他圖形中(正多邊形、星型)；設計出新採地雷遊戲；總缺口數為定值的策略設計。

本文旨在探討萬花筒中的美麗圖形的現象原理。過程中透過碎形理論及迭代函數系統進行分析，並對其美麗圖形的建構組成，找出背後的數學理論。文中在制式萬花筒實物模型及軟體的模擬中，找出萬花筒中圖形背後的數學函數對映關係。發現其結果是依循三稜鏡所構成的頂點為中心，並以三頂點中心等間隔鏡射生成的平面，複製出對稱的圖形進而產生六芒星，並在三稜鏡面上所生成的鏡射平面上，再進行以六芒星為基礎圖複製的無理旋轉而成，最終使鏡射平面上佈滿稠密的六芒星。而該六芒星中心點會以三稜鏡的三個頂點為圓心的夾角，等間距地生成於起始位置周圍，而轉動萬花筒所產生的美麗圖形，正是基本圖在圓筒內進行遍歷的鏡射所生成，結果如下。

在去年的「磨圓陣之研究」中，探討的是平面上相交的圓之間的排列組合，但是立體的球形「魔球陣」也是令人非常感興趣的主題。