數學科

在日常生活中，我們到處可見許多磁磚、壁紙，都是利用邊長相同的正多邊形組合而成。 甚至大自然界的蜂窩形狀（如圖）亦正是正六邊形鑲嵌而成。 到底那些正多邊形的組合可鑲嵌成一個面呢？依此問題，平行類推，到底那些正多面體（或「半正多面體」）的組合可鑲嵌整個空間呢？這個問題，引起我們的興趣。

旋轉盤是一種操作簡單又好玩的益智遊戲。利用對稱與旋轉的原理，測驗一個人的空間位置轉換概念。 本研究藉著一步步推理，希望找出它的規律性，首先定義角度、方向、不同玩法模式，以利分析歸納。我們先從簡單的模式開始尋求規律，發現角度和及位置和有固定的數值，進一步研究較複雜的模式，尋求它們的相關性。發現不管左右轉、上下轉，甚至斜著轉，其實答案都相同。 再以單一模式的轉動，對答案的變化來分析，發現答案受兩種因素的影響，一個因素是線對稱〈鏡射對稱〉Y＝－X。另一個因素是起始點的角度差。最後我們歸納出答案的公式：Y＝－X＋(Y0－X0)。這個公式符合所有模式。 在實際操作上，經由公式分析，發現一個快速的解題方法：以角度夾角中線為對稱軸，找反向的對稱圖案方向即可。 最後，我們將發現的規律，找同年級的同學做測驗，發現同學答對率有明顯提高。為了增加趣味性及合成各種模式，我們也設計一些相關的玩具。

滾積木遊戲為一邊長1╳1╳2的長方體積木，在由邊長為1╳1的方格所組成的棋盤上，立於起點，利用倒、滾、立三種移動方式向前、後、左、右方向移動，移動立於終點，即算過關。(走過的格子可重複走) 本作品主要在探討： 一、滾積木遊戲的有解及無解狀態。 二、探討m╳n矩形過關移動最少步數。 三、探討m╳n矩形移動最少步數路徑數量。 四、探討不規則形狀之棋盤如何過關。 最後利用Scratch製作一滾積木遊戲。

一年級時研究平面數獨，對於數字變化規則深深著迷，今年本想對平面變形數獨深入研究，但指導老師提起「立體」的提議時，使我躍躍欲試對立體數獨做挑戰。剛開始我只想到立體表面數獨，但後來發現三維與六面的共原則討論下，配合一元二次方程式的解應證到表面數獨只存在於4×4的立方體，若立體數獨就此停住，很快會失去人們對立體數獨的興趣，因此轉而研究需要透視力的立體數獨，這是目前國內都沒人研究、只有國外正在進行研究的的狄翁數獨。三維空間的狄翁數獨，每次思考一個數字要從三個面向去思考，並且要搭配九宮格去做思考與牽制，我們從2×2練習，再進階到3×3，配合EXCEL程式跑數據，漸漸地整理出立體數獨規則並設計電腦程式，以下便是我的研究報告。

學校在一次科學教育活動中，邀請蔡老師透過錄影帶教學，把中國時報登載的一個數學遊戲介紹給全校小朋友，問題是這樣的： 〔 首先在一個方塊的四角寫下一個正數，算出相鄰兩角數字的差，寫在四條邊線的中點，再以四個中點畫一個方塊，繼續重複這個程序，最後會有一個方塊的四個中點都是 0 。 〕 （如下圖）我覺得這個問題很有趣，又有一點兒不相信，我們 20 多位小朋友每人任意在方塊的四角寫下大大小小不同的四個數來研究這個問題，結果有的人寫的數畫 2 個小方塊後就結束，有的人寫的數必須畫很多個方塊後才會結束。真奇怪，這 〔 數字方塊 〕 裡到底隱藏著多少祕密？

在△ABC 中，以C 點為圓心，C 至BC邊上一點P1的長為半徑畫弧，交CA邊上的Q1點，接著以A 點為圓心，AQ1 為半徑畫弧到達AB邊上的R1點，然後以B 點為圓心，BR1為半徑的畫弧達到BC邊上的P2 點，依這樣的規律進行下去，在BC邊上會產生點P1，P2， P3，…。本文探討上述圖形中起始半徑CP1、數列P(由CP1、CP2、CP3、…、CPn 的長度組成)及弧弧相切的關係，並類推至多邊形，結果顯示：雖然數列P在奇數多邊形及偶數多邊形中，皆有形成公差為零之等差數列的狀況，但是發生條件相當不同，在奇數多邊形中，與「起始半徑CP1值」有關，但在偶數多邊形中，僅與「邊長」有關；弧弧相切的況狀在奇數多邊形中，一定會發生，而在偶數多邊形時，只有當『奇數邊的和＝偶數的和』時，才會有弧弧相切的現象產生。

這原本是一個科學遊戲，盡量讓紙張伸展開來，卻不會弄破紙，除了發現其中有許多強韌的支撐點外，還利用許多數學規則來解開影響紙張伸展的因素，並發展出估測長度的最佳方法。從遊戲中學習數學，生動有趣。

本文主要是將生活中玩撲克牌時分兩堆的洗牌程序，抽象化為將n 張牌等份為m 堆，探討至少需要幾次「向下洗牌」才能回覆到原來次序。在處理過程中，我們先利用電腦以歸納原則觀察後，發現與整數系中的餘數有密切的關係。於是利用整數系中最基本的性質：長除法原理及多項式的因式分解著手。當我們從n 的標準分解式作分類討論時，發現以2 為質因數的n 的相關問題，如當n=22p 時(p 為質數)，則將牌等分成堆數不同，要回復到原來次序的「向下洗牌」，所需的最少次數就會不一樣。而當n=23p 時，所需的最少次數則又似會都一樣。就我們目前所學，尚無能力解決這類問題。故僅考慮牌數n=ab 及 n=ab+1(a,b 為正整數)兩種情形。為方便計，我們也利用模的符號及一些簡單性質。

1. 由日常生活中觀察圖形，並決定以正多邊形密鋪平面，且觀察其規則。 2. 我們發現要密鋪平面，關鍵在於每塊正則圖形在接合於一點，其內角和是否相當於同頂角（在一相同頂點上，全部的角總和等於360°）。

我們發現 一、Menelus、Ceva定理亦可應用於平面的凸多邊形與空間中的多角錐， 且結論彼此有高度關聯性。 二、(一)、能畫出三角錐內部7條線段共點及內部6個△亦共於此點的方法。(二)、若三角錐中的任一個△之任2條線段的比例為已知，只要再任給剩下[25-(2+4)]=19條的其中1條線段比例，必可知所有25條線段比例！ 三、(一)、正四面體的外接球球心及內切球球心均為同一點I。(二)、 (外接球半徑):(內切球半徑)=3:1 四、(一)、Menelus、Ceva定理『大和解』的△跳法可推廣到三角錐。(二)、三角錐內部7條線段共點的結論可應用於在已知空間中任意相異四點P1, P2, P3, P4 (任三點不共線)的條件下， 證明出若此四點P1, P2, P3, P4 共平面AP1/P1B?BP2/P2C?CP3/P3D?DP4/P4A=1