這原本是一個科學遊戲，盡量讓紙張伸展開來，卻不會弄破紙，除了發現其中有許多強韌的支撐點外，還利用許多數學規則來解開影響紙張伸展的因素，並發展出估測長度的最佳方法。從遊戲中學習數學，生動有趣。

本文探討結理論及不變量，來建構結的數學模型，並由雙錢結為分析主體，最後找出結的數\r 學表示式並推論判斷質結與複合結。\r 文章選擇雙錢結作為研究主題有二個主因：\r (1) 2000年，清大徐教授發表『把”雙錢結”一般化』一文，但文中只說明編結的方式[2]，\r 卻沒說明它的結理論關係及數學模型。\r (2) 由課堂中師生的一時戲言所引出的好奇心。\r 文中利用結多項式及結群不變量來分辦質結與複合結，也印證高三所學數學不變量的具體意\r 涵，更學會雙錢結的編結方式及其數學模型，在分析雙錢結的數學相關性質中，由W.P.及\r Alexander多項式方法得出一個判斷複合結與質結的數學現象：『若結為質結則必存在唯一型\r 不變量，若結為複合結則必存在一組以上同型不變量。』

本組同學在課程實驗─銅與硝酸的反應，發現：此一小小的實驗，卻造成了不少銅離子廢水的產生，故本實驗欲利用泡沫浮除法具有佔地小、高速率操作、污泥體積小及濃度高等的好處，去除水中銅離子，使之延伸至其他重金屬廢水。

在數學課本第十冊綜合與應用二， 76 頁一題：在三張每邊長 20 公分的正方形厚紙，照下面甲、乙、丙三圖，在四角各剪去相等的四個小正方形，摺成無蓋紙盒三個，那個容積最大？最大和最小相差是多少立方公分？我們想知道除了課本問題外，還有沒有比這三個更大的容積，於是我們做了各種的計算分析、歸納、預測等研究工作“

我國由於經濟快速生長，現有公路不敷需要形成各地區交通壅塞狀態。政府為解決公路運輸之阻塞，自民國五十九年開始設計興築南北高速公路，並於民國六十二年分十三段分別施工，預定民國六十七年十二月全線完工通車。（註一）在高速公路全線未完工前，為加強疏導已完工路段之交通，分段提前通車，但每分段提前通車均造成該地區之交通擁擠（註二）。由此可知高速公路縮短了都市間之交通距離，但造成臨近交流道都市之交通阻塞問題。再者社會繁榮，國民所得提高，車輛急速增加，易造成交通擁擠。高速公路定於六十七年十二月全線完工通車。為使各交流路臨近都市未雨綢繆，設法疏導進出交流道車輛暢通而引起本研究之動機。

我們發現三角形重心之垂足三角形的近似重心，會落在原三角形的尤拉線上。由於此心未編錄在EncyclopediaofTriangleCenters-ETC中，於是我們將此發現傳給ClarkKimberling，經確認後，此心於08/05/31編錄至ETC中，編號為3363。在本文中，我們找到與此新心有關且未編錄在ETC中的某些點會共線，及某些線會平行之有趣性質。

本研究係配合國小數學科「整數的四則運算」及自然科「天平的操作」教材內容，在二位指導老師的引導下企圖透過數學演算「使用最少整數的加減」，得到最多的連續整數，並將演算結果應用到天平與砝碼的操作，改變傳統天平與砝碼操作的舊思維，從研究中發現出可以利用最少的砝碼，即可得到最佳的天平砝碼組合，研究結果並歸納出快速推算公式，我們發現這些關鍵的數字都是3的次方，其第n個數字的公式是3n-1。我們也推算從1到第n個關鍵數字這些連續整數和規律性，其公式為3n÷ 2- 0.5，也就是 (3n -1) / 2。 本研究利用來推算的數字僅止於整數部分，如果待測物的重量並非單純的整數，可能需利用到0.1～0.9的砝碼克數，當然，我們也可以由整數推算的經驗，設計出0.1、0.3、0.9克數的砝碼，使用相同的方式作本身及各數間加減的運算，可得到0.1～0.9的克數，同樣地，再往下延伸，也可依循相同的模式設計出0.01、0.03、0.09三種克數的砝碼，使用相同的方式作本身及各數間加減的運算，可得到0.01～0.09的克數，三位、四位、五位的小數克數也可依此規則類推。 最後本研究也提出建議往後國小自然科學的天平砝碼盒教具，其內含的砝碼克數，更改為0.01、0.03、0.09、0.1、0.3、0.9、1、3、9、27、81不同克數的關鍵性砝碼各一個，共11個。則我們可以測量的重量範圍將可由0.01克～122.43克。這就是我們設計出來經濟、快速、實用的砝碼盒。

由我們所學三角形的『邊長關係』、『全等性質』、『面積公式』，進而討論到四邊形、n邊形。並利用逐步推理的方式，由特殊四邊形推到一般四邊形的面積公式，而從一般四邊形公式可知圓內接四邊形為最大，越退化成三角形或一直線時面積越小。最後依我們的研究方式推測n邊形給定邊長之最大面積範圍及面積極小值。

當有一數字不完全一樣的四位數，進行r進位( rd3 )Kaprekar’s operation時至少有一Kaprekar constant或封閉迴路，經分析，若Kaprekar constant存在，則可分為14種情況討論，發現到只有當r＝4、5t時才存在唯一的Kaprekar constant。在尋找Kaprekar constant的一般性時，經研究發現：(一)當r為正偶數，一個n位數的hM＝(r－1,r－2, … ,1,0)時，hM－hm即為Kaprekar constant；此外，當所有數字皆為Ｔ個時，亦有此一性質。(二)當r為正奇數，hM＝(r－1,…,r－1,r－2,…,r－2,…,1,…,1,0,…,0)，其中0為T個，其餘數字皆為2T個，則hM－hm即為Kaprekar constant；此外，0為T個，r－1為nT個，其餘皆為2T(n－1)個時，亦有此一性質。

去年參加建中「中學生數學通訊解題」時，發現第二期 88205 斟酒問題，內容充滿了思考和推理的趣味性，引發我研究的動機。（原題摘錄如下） : （如附件一） n 個客人圍坐一圓桌，按逆時針方向依次編號 l , 2 , 3 ， … n 。服務員先給 l 號座位斟酒，然後再按逆時針的方向斟，但每次都要跳過兩個未被斟酒的客人（已斟過酒的客人自然也跳過），才給下一位客人斟酒，但最後一位客人不受此限制。試問：最後一位斟到酒的客大的座位編號是多少？ 在思索問題的過程中，處處充滿了難題與挑戰，因此我到圖書館尋找解題相關線索，想從相關文獻資料中，探討其研究方式。我找到－民國 84 年我國參加紐西蘭第十九屆科學展覽的科展作品名稱：劫後餘生(其研究題目如下) : （如附件二） 「有一個古代的故事」，歷史學家約瑟與他的四十位猶太同伴為逃避羅馬人的追殺而躲在一個山洞裡。這些人寧死也不願被俘虜，最後眾人決定輪流自殺，先指定首領為 1 號，然後大家接著首領圍成一圈，從 1 號算起，每次算到第三個存活的人就必須自殺，直到全部死光為止。約瑟夫並不贊成，但為了求生存，他只好預先算好個位置，使得站上這個位置的約瑟尖在輪流次序中是最後一個人。桔果，約瑟夫終於避開了自投的命運。 我們好奇的是，在危急之時，約瑟夫如何冷靜地算出最後存活的位置，難道他有速算的公式？」 及民國 85 年第二十九屆台北市高中組科展優勝作品「天算不如人算」：(如附件三 ) 並在網上瀏覽台師大數學系網站時，發現科學教育月刊通訊解題第 2035 題，傳錢幣問題有類似作法（其題如下） : （如附件四） n 個人圍成一圈玩戲， n 大於等於 4 ，首先他們依反時針方向依序編號為 1號、2號、… … n號。且讓每個人手上都有一枚銅板，遊戲規則如下：遊戲開始， 1 號拿一枚銅板給 2 號，然後 2 號拿二枚銅板給 3 號，接著 3 號拿一枚銅板給 4 號， 4 號拿二枚銅板給下一位，規定遊戲過程中，手上沒有銅板的人，他就自動出局，離開此遊戲，而遊戲繼續下去，如此依次拿一枚，拿二枚給下一位手上仍有銅板者。試證有無限多個 n 使這個遊戲最後僅剩一人，而其餘的人均出局。 我覺得此題目在傳遞過程中，隱藏了數學規律在其中，更使我有進一步深入研究的興趣。