數學科

1. 由日常生活中觀察圖形，並決定以正多邊形密鋪平面，且觀察其規則。 2. 我們發現要密鋪平面，關鍵在於每塊正則圖形在接合於一點，其內角和是否相當於同頂角（在一相同頂點上，全部的角總和等於360°）。

本文利用尺規作圖的技巧求作三角形的第一型及第二型內接三角形，並擴展到任意凸多邊形。在第一型內接多邊形上找出其解的範圍，在第二型的順逆兩個內接圖形上，發現其解部分有共圓現象，部分有共橢圓或雙曲線的現象，直角△中有更多有趣的特性。關於正多邊形的第一型及第二型內接多邊形的尺規作圖，本文找到快速的畫法，並發現其解有許多特性。

本研究主要是由文獻中〝巧斷金練〞一條二十三環金練一天付一環之斷金問題延伸探討一條有k 環的鍊子，依假設每天需給付m 環，給付環數不同情況下，推導出在每一假設條件下之項鍊最大環數、切開環各段環節的環數、被切開環的序號等公式，進而再推研一條項鍊與一圈項鍊之差異性。首先我們先由一天付一個環、兩個環、三個環、四個環進行實驗、尋找規律、驗證推導公式，進而推導出一天付m 個環之情況。其次我們又進一步研究若為一圈密合項鍊在與一條項鍊假設條件相同之情況變化為何進行研究。總結我們研究推導出許多可行的公式，統整後歸納於結論即討論中。

在去年的「磨圓陣之研究」中，探討的是平面上相交的圓之間的排列組合，但是立體的球形「魔球陣」也是令人非常感興趣的主題。

用矩陣的特殊性質，如特徵根、行列式值，來解出有關矩陣週期的問題。

當一顆球在撞球桌上晶無數次與桌邊碰撞，則入射角之間有啥變化呢？如果撞球桌不是長方形而且是正n 邊形時？球的出發點是否跟角度之間有關係呢？讓我們一起來探討這個問題吧!且當正n 邊形時,球由任一邊的中點出發且能碰擊其他各邊θ 的取值範圍,若不是由中點出發而是由任一點出發,那又是什麼情形呢？如果是任意凸n 邊形又有什麼情形？

一天，上數學課時，老師一時興起拿了個魔術方塊給大家看，大家以為老師要教我們玩魔術方塊的訣竅，役想到老師卻出了難題，要我們說出在方塊上，由一點到另一點的最近路線來；並且是否可以由一點出發，不重覆的經過每一個點，不必經過每一個邊，再回到原點；我們絞盡腦汁，花了很多時間和同學討論，而在老師的指導之下做了探入的研究。

利用撲克牌變魔術是這次的研究主題，先選出一張牌【以下稱目標牌】，然後將它和其他牌混合，再依順序排列，重複幾次，目標牌會出現在固定的張序中，試著找出規律。【遊戲玩法詳見本報告：肆、研究過程與方法】依據不同的張數、堆數和疊合方式，目標牌會在不同的回合、張序中，這次的實驗就是要找出這些數據和規律。

在一次數學課時老師提到從直角三角形的頂點開始，連續往三邊作垂線，垂足點會逼近同一點如圖(1)，P1，P2，P3，P4……Pn，我們將此趨近點P與三頂點A，B，C 連接後發現將 P 點的周角分成三對與原三角形內角相等的角，如圖(2)，∠1=∠A，∠2=∠B，∠3=∠C，這很神奇，我們從老師口中約略的知道，此點叫布落卡點，但對一般三角形卻不知要怎麼去作出該點，這引起我們想要深入的去探村其中道理的興趣，老師也鼓勵我們去研究。 \r

m 個杯口向上的杯子，每次翻轉 n 個，讓所有的杯子朝下最少需要翻轉幾回合？去年的全國科展有一優勝作品，探討的正是這類問題。經過研究，我發現該文因較缺乏系統性，沒有提出快捷翻轉杯子的策略，在未證明翻轉次數確實是最少的情況下，即從所得數據歸納最少翻轉次數的公式，所以沒有發現部份結論有誤。一般研究杯子翻轉的問題都是在每一回合計算正反杯的數量變化，可是當杯數和翻量變大，這種計算杯數差的方法會十分複雜。因此本研究創造了三種特殊且簡易的操作法，分別稱為折半法、對稱法及折半法+對稱法。文內將介紹如何用這幾種快捷的翻法解各類型翻轉杯子的問題，並證明所得的確實是最少翻轉回合數。最後，本研究還會討論以連續數翻轉杯子的延伸問題，並設計一些生活應用題，以推廣研究的結果。