數學科

藉由數學課程中，怎樣解題的學習經驗，我們嘗試找出「別跟我相鄰」遊\r 戲中雙方可走的棋數，以探究遊戲的公平性；在由對戰結果進行觀察、分析、驗\r 證後，我們找出遊戲的必勝方法，並發現雙方可走棋數具規則性，且遊戲具公平\r 性；經由嘗試創造不同的正方形棋盤，進行遊戲，也能有相同的結論；更將遊戲\r 應用於生活中，以「別跟我相鄰」進行填滿平面圖形遊戲、填滿立體圖形遊戲及\r 串珠子活動，並從中找出棋子、珠子數量所呈現的規則性，並將其以數學式表示。\r 在研究過程中，我們將五年級數學課程中所學得「怎樣解題」、「因數和倍數」、「柱\r 體與錐體」的觀念及經驗加以應用，讓我們再次感受到數學有趣及神奇之處；另\r 一方面，這個研究有助於大家對於平面及空間的觀察及思考更加敏銳，且不論年\r 紀皆可以多玩「別跟我相鄰」，亦可幫助思考。

Hex遊戲是由諾貝爾經濟學獎得主納許(John Nash)在就讀研究所時所發明的一種圖形連接遊戲，本研究探究hex遊戲的獲勝技巧，同時初步探究hex遊戲的數學原理，包括hex棋盤的垂直座標表示法，同時根據此法來分析自創圖形連接的八種遊戲，如飛箭渡河(未改良前版本及改良後版本)、三角為王、六魔王、鑽石達令、家家樂、太陽笑臉及薇薇彩帶遊戲。 將遊戲棋盤使用垂直座標表示法表示之後，能清楚地了解圖形連接遊戲棋盤是由兩類基本圖形(三角形和四邊形)所擴展而成的，將六種自創遊戲、三種常見的連接類遊戲(傳聲筒、傳紙條和O×遊戲) 使用垂直座標表示法來分類之後，驚訝地發現自創遊戲棋盤中的家家樂遊戲和hex遊戲的結構相同，使得難度和玩法相近。

我們定義『驚奇的數』是指一個完全平方數a2，其中a∈N，若 Σn，恰為另一個完全平方數時，則稱a2為『驚奇的數』。本研究是找出哪些以驚奇的數為邊長的三邊形數是平方數。將問題轉換成連續股的直角三角形問題後，發現：當an2為驚奇的數時，滿足二階遞迴式為an=6an-1-an-2。本研究亦推廣上述結果，利用Pell方程式與矩陣計算來求哪些邊長的p邊形數亦同時為四邊形數。處理方法分為兩類：一類可以使用矩陣計算來討論，已討論出附帶方程式部分的初始解情形。另一類無法使用矩陣計算，利用因式分解的技巧處理，發現與切比雪夫多項式有著密切關係。

去年有同學製作『從角的方程式，到三角形、四邊形的方程式』參加科展，結果這些由線段組成的多邊形方程式，都是二元一次式與其絕對值的組合。接著我們學到圓錐曲線，其方程式則為二元二次方程式。引起我們興趣的是，利用二元二次式與其絕對值的組合，來表示一些有趣的圖形。

對於任一矩形磚牆，為了尋找如何用1×2的磚塊砌成沒有瑕疵線磚牆的策略。本研究發現：一、可以畫出沒有瑕疵線的磚牆最小規格為5×6(奇數×偶數型)或6×8(偶數×偶數型)的磚牆。二、(一)、在p×q磚牆中(p為奇數、q為偶數)，若滿足條件p×q≧4p＋3q－8，則當此磚牆被1×2的磚塊填滿時，必可以排出沒有瑕疵線的磚牆。(二)、在p×q磚牆中，(p、q皆為偶數)，若滿足條件p×q≧4p＋4q－8，則當此磚牆被1×2的磚塊填滿時，必可以排出沒有瑕疵線的磚牆。三、對於一奇×偶或偶×偶的磚牆(最小規格分別為5×6或6×8)，必有策略可以畫出沒有瑕疵線的圖形。

去年，學長; 姐找我和幾個同學一起做科展，在過程中我愈做愈有趣。今年我決定再接再厲，而且為了延續這項良好的活動，找同學外我還找了學弟一起來做科展，我以去年的心得跟他們分享，他們聽完之後，很感興趣，我們便開始找題目來做。這時數學課正好在上怎樣解題的單元，老師出了一個翻杯子的題目:「有七個杯口朝上的杯子，每次翻動四個不同的杯子，要翻幾次才能把所有的杯子都翻成杯口朝下?」我們一開始拿了幾個杯子做做看。想不到，把我們搞得暈頭轉向，好難啊!但此時不服輸的細胞告訴我們不要放棄!我便跟學弟們說:在研究的過程中遇到瓶頸是常有的事情，不需要感到驚訝。有人提議說，既然遇到不會的，那就簡化問題吧!所以我們開始以下的研究過程!

「點燈」益智遊戲，要想辦法讓所有的格子變亮，但點亮的方式必須遵循一個法則，即點亮一個燈時，周遭緊鄰的格子也都會亮起或熄滅，依其原本明暗狀態而變化。二維平面的點燈技巧，經過參考相關資料及嘗試，很快便能掌握，但是較為複雜的三維立體空間點燈，更引起我們的興趣。藉由這次的探討，我們發現立體點燈和平面點燈是有關聯性的，而且解法都具有規律。只要整理出規律，便能推算出同類圖形的解法，輕鬆掌握立體點燈的技巧。

有一次美勞課時，要把色紙分成五等分，起先並沒有去測量它，就拿剪刀大約的剪下去，剪完後一比較，才發現每塊都不一樣大，「哎！真慘！白白浪費了一張色紙。」因此引起我和同學研究等分圖形的興趣，並且擴大範圍，研究一切有關切割的問題，還請老師從旁指導。

利用不同的對稱軸，操作旋轉與鏡射變換，歸納出一些幾何圖形對稱群的規則性，進而利用對稱群推演一些幾何圖形有趣的著色問題。

由於螢幕保護程式產生的有趣立體圖形動畫，引發我的興趣想進一步探討是否可以以數學為工具處理大量的圖形運算取代卡通式的貼圖進而探討剛體的運動及其 3D 動態式模擬。